Описание сопряженных для весовых пространств голоморфных функций заданного роста в выпуклых ограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.5+517.9 DOI 10.23683/0321-3005-2018-1-4-9

ОПИСАНИЕ СОПРЯЖЕННЫХ ДЛЯ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАННОГО РОСТА В ВЫПУКЛЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ*

© 2018 г. Т.М. Андреева1,2

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

DUALS FOR WEIGHTED SPACES OF HOLOMORPHIC FUNCTIONS OF PRESCRIBED GROWTH IN BOUNDED CONVEX DOMAINS

T.M. Andreeva1'2

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute-Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Андреева Татьяна Михайловна - аспирант, кафедра математического анализа, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия; младший научный сотрудник, отдел математического анализа, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]

Tatiana M. Andreeva - Postgraduate, Department of Mathematical Analysis, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Junior Researcher, Southern Mathematical Institute -Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 362027, Russia, e-mail: metzi@yandex. ru

Рассматриваются весовые (DFS)-пространства голоморфных в выпуклой ограниченной области комплексной плоскости функций заданного роста вблизи границы этой области при предположении, что весовая последовательность удовлетворяет ряду достаточно общих и естественных условий. Основной целью работы является удобное с технической точки зрения описание сопряженного пространства с данным пространством в терминах преобразования Лапласа. Ранее в данном направлении в основном рассматривался двойственный случай пространств Фреше. Для (DFS)-пространств содержательные результаты получены только для конкретного пространства голоморфных в выпуклой области функций полиномиального роста. В качестве применения основного результата об описании приведена схема построения счетного достаточного подмножества для сопряженного пространства, а также рассмотрены приложения результата к пространствам функций экспоненциально-степенного роста и построению в них абсолютно представляющих систем экспонент. Сделан вывод о возможности представления функций из основного весового пространства рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в этом пространстве.

Ключевые слова: весовые пространства голоморфных функций, сопряженное пространство, преобразование Лапласа, абсолютно представляющие системы, достаточные множества, ряды Дирихле.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-01-01404а).

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

We consider weighted (DFS)-spaces of holomorphic functions in a bounded convex domain that have a prescribed growth near its boundary. The growth assumptions are given by some general and natural conditions on the weights. Our main goal is to find a convenient description of the duals to this spaces in terms of the Laplace transform offunctionals. In this direction the dual projective case of Frechet spaces was mainly studied. Some meaningful results were obtained for only the space of holomorphic functions in a convex domain that have polynomial growth near its boundary. As an illustration of the application of this result an algorithm of constructing of a countable sufficient subset for the dual space is presented. The main result is also applied to the spaces offunctions of exponential-power growth and to the construction of absolutely representing systems of exponentials in them. It was made a conclusion that there is an opportunity to represent of all functions from the main weight space by Dirichlet series that converge absolutely in this space.

Keywords: weighted spaces of holomorphic functions, dual space, Laplace transform, absolutely representing systems, sufficient sets, Dirichlet series.

Введение

Пусть О - выпуклая ограниченная область в С , содержащая начало координат; Н(О) - пространство всех функций, голоморфных в О; V = (уп )п^ -последовательность неотрицательных выпуклых монотонно возрастающих функций на ,

к > 0.

С каждым весом уп, п е N, свяжем соответствующее банахово пространство

Нп О) := \f е Н (О): |Д := еир < 4

[ XеGe пУ ' )

и образуем пространство УН(О):= ^ Нп(О), наделенное топологией внутреннего индуктивного предела.

В статье изучается вопрос об описании сопряженного к УН (О) пространства с помощью преобразования Лапласа. На основании этого описания, которое обозначается через УН о , приводится схема построения для УН о счетного достаточного подмножества. С учетом этих результатов и известной связи между достаточными множествами и абсолютно представляющими системами делается вывод о возможности представления функций из УН (О) абсолютно сходящимися (по топологии УН (О)) экспоненциальными рядами.

В статьях [1-3] (см. также библиографию в них) изучен двойственный случай пространств Фреше, при котором используются убывающие по порядковому номеру весовые последовательности, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Индуктивный случай ранее рассматривался только для конкретного пространства функций полиномиального роста [4-6], при этом основная трудность в том, что, в отличие от пространств Фреше, при доказательстве сюръективности преобразования Лапласа приходится строить функционал, удовлетворяющий счетному набору условий непрерывности.

В настоящей работе распространется метод из [4, 6] на систему весов общего вида, удовлетворяющих техническим условиям, подобным используемым в работе В.В. Напалкова [2], с естественной переформулировкой с проективного на индуктивный случай.

Сопряженное пространство к пространству УН (О)

В данном разделе с помощью преобразования Лапласа функционалов

2):=^, ,е(УН (О))', 7 еС, приводится удобное для приложений описание сопряженного пространства с пространством УН (О),

задаваемым последовательностью весов, удовлетворяющей некоторым дополнительным естественным ограничениям.

Заметим, что, как известно, наибольший интерес представляют пространства голоморфных в области функций, рост которых определяется весами вида у(Х) = ф(1п(1/й(X))), где Ф(/) - некоторая возрастающая выпуклая функция в окрестности ; й(X) - расстояние от точки X е О до границы О. В связи с этим будем рассматривать убывающие по п последовательности весов У = (уп)п^ в О вида уп (X) = фп (1п(1/ й(X))), где функции фп неотрицательны, выпуклы, монотонно возрастают на (?о;+да), ¿о > 0, и удовлетворяют следующим условиям общего характера:

(с1) V/ е N Ф /+1^) > Ф / (¿) + г, г > ¿0;

(с2) у е N, Va ЗР = Р(/, а): Ф/(г + а) <Ф/+1(г) + р , г > ¿0;

(с3) V/ е N Зру > 0 : ф/ (г) < ер/ + 5/, г > ¿0, где 8 / - постоянные величины.

С целью технических упрощений без ограничения общности в доказательствах будем считать, что функции ф / определены на всей оси и ф/ (г) = 0

при всех г < 0 .

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: HG (z):= sup{Re Xz :Xe G} - опорная функция области G; S := {z e C: | z | = l};

NATURAL SCIENCE.

> e~a-b ■ eH°(z)-vn+i(| z I )

2018. No. 1

(3)

Ясно, что из оценок (2), (3) следует требуемая

г := min{tfG(z): z е S}; R := max{HG(z): z е S}; оценка (1) , >

* л , / ч ^ Лемма 2. Система E = :zеС( полна в

v*(| z |):= Inf {z|t + Фи(ln(1/t)): 0 < t < l}, z е С . Отме- г ;

тим, что при больших \2\ инфимум в определении

* г

V* достигается при X, близких к 0.

УИ (О).

Доказательство. Установим специальное представление произвольного функционала це(УИ (О)) .

Следующая лемма позволяет определить вид

у г Его непрерывность на УИ (О) эквивалентна тому, что

он непрерывен на каждом из пространств Ип (О), которое является линейным подпространством банахова пространства Сп (О):=|/" еС(О):||<<х>|. По-

сопряженного с VH (G) пространства. Лемма 1. Уп е N 3s > 0:

e-s ■ eHG(z)-v„+i(|z|) <

Xz

*

< es ■ eHG(z)-v»(|z| ). (1)

Доказательство. Ясно, что 0 <г <Я и этому по теореме Хана - Банаха функционал ц

0 < d(X) < R, Xe G.

можно продолжить до непрерывного линеиного

Зафиксируем произвольное п е N. Учитывая функционала на Сп (О) при каждом фиксированном

п е N. Тогда, как известно, найдется такая комплексная борелевская мера Лц, п на О, что

вспомогательную оценку

ReXz <HG(z)-1 z I d(X) , XeG , z еС , получим

-Xz =

XeG

e

n = Sup|e^|exp(-фп(ln d(X)))<

H (z) ■ sup exp 1 z I d(X) - Фп [ln J < Hg(z) ■ expí- inf (|z|t + Фп(ln41.

1 0<t <r 4 '"i

Отсюда следует, что при некотором С > 1

< CeHG(z)-v*(l z| )

(2)

Обозначим G' := {X е G: d(X) > t). Тогда [2,

лем-

ма 6.1] существуют числа t > 0 и K > 1 такие, что

0 < HG (z) - H , (z) < Kt I z 1, 0 < t < t0 . Поэтому

Xz

П = SUpeXPIReXz-Фп11П dX)Jl>

> sup sup exp (ReXz -фп (in1 ))>

0<t<t0 d(X)=t 1

> sup exp(HGt (z)-Фп(lni))>

0<t <t0

> eHG(z) • expi- inf n(^t | z | +Фп(in 1))! .

V 0<t<t0 J

Далее, в силу условия (c2) имеется такое a, что Фп(inK + lnl)< фп+1(1п1)+ a при всех t. Поэтому

inf(Kt | z | +Фп(ln1 ))= inf(t | z | +Фп(lnK))<

0<t<t0 0<t<Kt0

< inf (t | z | +Фп+1(|п1))+ a < v*+i(| z |) + a + b ,

í (X)dh»,nl(X) <® и »(f) = í f (X) d^n W ,

G G

Vf e Cn0(G),

где C>0(G) - подпространство тех функций f e Cn (G) , для которых f (X)e~Vn (X) ^ 0 при X —^ G. Заметив, что в силу условия (c1) Hn_i(G) с C0(G), заключаем, что

) =í f (X) , Vf e Hn_i(G).

G

Далее, в силу вогнутости функции расстояния [7, теорема 2.1.24] d(yX)>yd(X), ye[1;lj, XeG , а

тогда в силу условия (с2) при некотором 5 и всех

Xe G

_l( ín + 5 ln dlX) + In2 (ln di) ^ +

Te[[24

Отсюда следует, что для любой функции f e Hn_i(G) и всех ye[i;lj

|f (y • X) |< || f||n_ieVn_l(y'X) < C\\f\\n _i evn(X).

0</< Кг0

где Ь - некоторая положительная постоянная. Учитывая это, продолжим оценку нормы экспоненты снизу

Напомним, что jevn(X)d | | (X) < да. Поэтому

G

для системы функций (f (у • X): у е [l ;lj) выполнены

все условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости, в соответствии с которой

lim ц(Ду))= lim jf (у•X)dv^,n(X) =Jf(X)dv^,n(X) =^(f)-

У^1 y^lG G

n

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

статочных множеств для пространств VHq , на ос-

Итак, |(f) = lim |(f(у-)), Vf eVH(G). Это и

есть искомое специальное представление функционала |i.

Предположим теперь, что |ie(VH(G)) таков, что (е^) = 0 при всех z e C . Поскольку пространство H (G) ростков голоморфных функций на G непрерывно вложено в VH(G), то | является линейным непрерывным функционалом и на H (G) . В силу полноты системы экспонент в H (G) заключаем, что |(g) = 0, Vg e H(G). Воспользовавшись

тем, что f (yz) e H (G) для любой функции f e VH (G) и всех у e (0;1), и полученным выше представлением функционала, имеем

|(/) = lim |(/(у-)) = 0 для всех f e VH(G). Чтобы

завершить доказательство, остается воспользоваться критерием полноты Банаха.

Всюду ниже для локально выпуклого пространства H через Hb обозначается пространство H' с топологией сильного сопряженного.

Теорема 1. Пусть G с C - выпуклая ограниченная область; V = (vn)neN; G - весовая последовательность, удовлетворяющая условиям (c1), (c2), (c3). Тогда преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм из (VH(G)) b на пространство Фреше VH g :=

\f (z)|-eV

= \f e H (C): \f\n.= supi

zeC

HG (z)

■ < да, Vn e N k

Доказательство. Из леммы 1 следует, что преобразование Лапласа Е непрерывно действует из

(УН (С))/, в УН о , а из леммы 2 - что оно инъектив-но. Его сюръективность проверяется по схеме доказательства из [4, предложение 4], реализация которой не имеет существенных трудностей при переходе от конкретных весов, как в [4], к весам общего вида, как в настоящей работе. Непрерывность обратного к Е оператора следует из теоремы об открытом отображении.

Приложения

Приведем конкретизацию теоремы 1 для наиболее важного в приложениях случая пространств функций экспоненциально-степенного роста и конструктивный алгоритм построения дискретных до-

новании которого делается вывод о существовании абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах VH(G), задаваемых весовыми последовательностями, удовлетворяющими условиям (c1) - (c3).

Пространства экспоненциально-степенного роста. Различают два типа пространств экспоненциально-степенного роста - максимальные и нормальные. Первые задаются последовательностями

весов вида V = (vn)»= c vn (X) = n(d(Х))"а, где 0 < а < 1 фиксировано. Будем использовать для этих пространств специальное обозначение H» (G). Легко проверить, что при больших \z\

* ^ -1— I , \

v* (| z |) =| z |а+1 n а+1аа+1 (1 +1), n e N.

Ясно, что эта последовательность эквивалентна

/* V» v* -а_

последовательности (vn )и=1, где vn (| z |) = n | z | а+' .

Эквивалентность понимается в обычном смысле -каждый вес первой последовательности мажорируется во всей плоскости некоторым весом второй с добавлением аддитивной постоянной, и наоборот. Поскольку эквивалентные весовые последовательности задают одно и то же пространство, то в данном случае

VHg :=

f e H(C) : \ f \n:= sup-

\f (z)\

-<да, Vn e N

ZeC eHG (z) njzh+1

Будем использовать для этого пространства специальное обозначение Н^ а.

Пространства нормального типа экспоненциально-степенного роста задаются последовательностями вида уп^):= р(1 -1 )| X |-а , где р>0 и, как и

прежде, 0 < а < 1. Будем обозначать их через

(' *

V* )п=1

следовательности

а := а'

(i-1 )p а+1 а* \ z \а+1 + (i + i). Пространство

эквивалентна пода

c

n=1

VHg , которое будем

обозначать через HP , может быть записано в виде

if (z)\

- < да, Ve> 0 k

НОа := еН(С): °ир— ^ ^ а ,

I 7еС еН°(7)-ра+1а*к|а+1 + ^|г|а+1 I

Применив теорему 1 к пространствам экспоненциально-степенного роста, получаем

Теорема 2. Пусть О с С - выпуклая ограниченная область. Преобразование Лапласа уста-

а

*

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

навливает топологический изоморфизм между На (О)) Ь и НО а при всех 0 <а< 1 и 0 < р < да .

Достаточные множества в УНо ■ Пусть, как и ранее, О - ограниченная область комплексной плоскости, содержащая начало координат; 5" - подмножество комплексной плоскости. Для любой функции f е УНо положим

I f (7) |

\ f \n,S := SuP-

n e N.

sup

zeC „HG (z)-vp (\z\)

< C sup

S eHG (z)- vm (\ z \ )

zeS e

Vf e VHg .

В частности, последовательность Л = ^к )да=1 с С называется достаточной для пространства УНо, если Ур е N Зт = т(р) е N, ЗС = С(р) > 0:

1Д*)1 ^^к )1

< C sup

к >1 eHG к )-vm

Vf e VHg .

Сначала берем две последовательности 0 < ({к )да=1 Т да и 0 < ^к )да=1 Т да, удовлетворяющие следующим условиям:

11т

1к+1

= 1 и lim

1

= 0.

к^да гк к^да sк (гк+1 - гк ) Затем на кривых := {г е С : Но (г) = гк }, к > 1, отмечаем 1к точек г к, / (/ = 1,2,..., 1к), которые об-

е еНо(г)-^(|г|)

Заметим, что | • |п,£ - система преднорм на УНО . Пространство УНО , следовательно, можно наделить новой топологией, задаваемой этой системой. При этом новая топология, очевидно, не сильнее исходной топологии этого пространства. Если обе топологии совпадают, подмножество 5 называют достаточным множеством для УНО .

Ясно, что в данном случае понятие достаточного для УНО множества можно переформулировать.

Определение 1. Пусть О - ограниченная выпуклая область в С . Подмножество £ с С называется достаточным для пространства УНС, если Ур е N

Зш = т(р) е N, ЗС = С(р) > 0 :

и (Z)I и (7)|

разуют 1/ Sk -сеть на соответствующем St

И,

Бир-

геС еНо (|г|)

Изучение достаточных множеств в пространствах Фреше, инициированное работой Эренпрайса [8], имеет ряд важных приложений в теории роста целых функций и представления голоморфных или бесконечно дифференцируемых функций рядами Дирихле. Подробное освещение предыстории вопроса и ряд фундаментальных результатов в данном направлении в случае пространств Фреше имеются в работе [9]. Конструктивный алгоритм построения счетного достаточного подмножества для пространства, сопряженного с функциональной

алгеброй А(О), приведен в [6]. В двойственной ситуации слабодостаточных множеств он впервые был предложен Ю.Ф. Коробейником [10, §4] и, как оказалось, применим и в нашей ситуации. Дадим описание этого алгоритма.

наконец, перенумеровываем полученное множество в виде одной последовательности, сначала записав в произвольном порядке все точки с порядковым номером к=1, затем - с номером к=2 и т.д. Полученную таким образом последовательность

обозначим через Л = (к„. Упомянутым выше

методом Ю.Ф. Коробейника проверяется, что Л является достаточным множеством для УНО .

Представление функций из УН (О) рядами

Дирихле.

Определение 2. Напомним, что последовательность (хк) ненулевых элементов локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей системой в Н, если любой элемент х из Н представим (необязательно единственным обра-

оо

зом) в виде ряда х = 2 скхк , сходящегося абсолют-

к=1

но по топологии Н.

Ю.Ф. Коробейником был получен ряд критериев для абсолютно представляющих систем в пространствах Фреше и (ОЕ5)-пространствах. В дальнейшем его результаты были распространены на функциональные пространства иных типов. Из [11, теорема 7] и теоремы 1 следует такой результат для рассматриваемых нами пространств.

Предложение 1. Пусть О - выпуклая ограниченная область в С , Xk е С , к е N, и | Xk |^да,

к ^да. Система {е^к'г )да=1 является абсолютно представляющей в пространстве УН(О) тогда и только тогда, когда последовательность Л является достаточной для УНО .

Отсюда и из приведенного выше алгоритма построения достаточной для УНо последовательности вытекает

Теорема 3. Пусть О - выпуклая ограниченная область в С . Существует алгоритм конструктивного построения последовательности Л = ^к )да=1 комплексных точек Xк, к е N, таких, что состав-

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

(eX -- f=i

ленная по ним система \e'K~ jk = является абсолютно представляющей в пространстве VH(G), т.е. любую функцию f е VH (G) можно представить в виде ряда Дирихле

f(z) Scke%kz , z е G , k=1

сходящегося абсолютно в VH (G).

Автор признателен А.В. Абанину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Литература

1. Юлмухаметов Р.С. Пространство аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Мат. заметки. 1982. Т. 32, № 1. С. 41-57.

2. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т. 51, № 2. С. 287-305.

3. Абузярова Н.Ф., Юлмухаметов Р.С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 1. С. 3-17.

4. Melikhov S.N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation // J. Math. Anal. Appl. 2004. Vol. 297, № 2. P. 577-586.

5. Abanin A. V., Le Hai Khoi. On the duality between

(D) and A~xd for complex domains // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 2009. Vol. 347, № 15-16. P. 863-866.

6. Abanin A.V., Le Hai Khoi. Dual of the function algebra A~ж(D) and representation of functions in Di-richlet series // Proc. Am. Math. Soc. 2010. Vol. 138, № 10. P. 3623-3635.

7. Hormander L. Notion of Convexity. Boston: Birkhauser, 1994. 415 p.

8. Ehrenpreis L. Analytically uniform spaces and some applications // Trans. Am. Math. Soc. 1961. Vol. 101, № 1. P. 52-74.

9. Абанин А.В., Варзиев В.А. Достаточные множества в весовых пространствах Фреше целых функций // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 4. С. 725-741.

10. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1978. Т. 42, № 2. С. 325-355.

11. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36, № 1. С. 73-126.

References

1. Yulmukhametov R.S. Prostranstvo analiticheskikh funktsii, imeyushchikh zadannyi rost vblizi granitsy [Space of analytic functions with prescribed growth near the boundary]. Mat. zametki. 1982, vol. 32, No. 1, pp. 499-508.

2. Napalkov V.V. Prostranstva analiticheskikh funktsii zadannogo rosta vblizi granitsy [Spaces of analytic functions of prescribed growth near the boundary]. Izv. ANSSSR. Ser. Math. 1987, vol. 51, No. 2, pp. 287-305.

3. Abuzyarova N.F., Yulmukhametov R.S. Soprya-zhennye prostranstva k vesovym prostranstvam analiticheskikh funktsii [Dual spaces of weighted spaces of analytic functions]. Sib. mat. zhurn. 2001, vol. 42, No. 1, pp. 3-17.

4. Melikhov S.N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation. J. Math. Anal. Appl. 2004, vol. 297, No. 2, pp. 577-586.

5. Abanin A.V., Le Hai Khoi. On the duality between

A~ж (D) and A d for complex domains. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. 2009, Vol. 347, No. 15-16, pp. 863-866.

6. Abanin A.V., Le Hai Khoi. Dual of the function

algebra A~ж (D) and representation of functions in Di-richlet series. Proc. Amer. Math. Soc. 2010, vol. 138, No. 10, pp. 3623-3635.

7. Hormander L. Notion of Convexity. Boston: Birkhauser, 1994, 415 p.

8. Ehrenpreis L. Analytically uniform spaces and some applications. Trans. Amer. Math. Soc. 1961, vol. 101, No. 1, pp. 52-74.

9. Abanin A.V., Varziev V.A. Dostatochnye mnozhestva v vesovykh prostranstvakh Freshe tselykh funktsii [Sufficient sets in weighted Frechet spaces of entire functions]. Sib. mat. zhurn. 2013, vol. 54, No. 4, pp. 725-741.

10. Korobeinik Yu.F. Predstavlyayushchie sistemy [Representing systems]. Izv. AN SSSR. Ser. math. 1978, vol. 42, No. 2, pp. 325-355.

11. Korobeinik Yu.F. Predstavlyayushchie sistemy [Representing systems]. Uspekhi mat. nauk. 1981, vol. 36, No. 1, pp. 73-126.

Поступила в редакцию /Received

14 ноября 2017 г. /November 14, 2017