Задача размещения объектов региональной транспортной системы с ограниченными мощностями и приближенный метод её решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

"" ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 656.2.078.11.001.57

Б.И.Алибеков

ЗАДАЧА РАЗМЕЩЕНИЯ ОБЪЕКТОВ РЕГИОНАЛЬНОЙ ТРАНСПОРТНОЙ СИСТЕМЫ С ОГРАНИЧЕННЫМИ МОЩНОСТЯМИ И ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ЕЁ РЕШЕНИЯ

B.I.Alibekov

TASK OF ACCOMMODATION OF OBJECTS OF REGIONAL TRANSPORT SYSTEM WITH THE LIMITED CAPACITIES AND APPROACHED METHOD OF ITS DECISION.

Рассматривается многоэкстремальная задача размещения с нелинейными функциями транспортных издержек и нелинейными проиводственными затратами в вункции цели и линейными ограничениями. Выпуклая вверх исходная функция цели заменяется кусочнолинейной функцией, и исходная задача сводится к частично-целочисленной приближенной задаче. Для решения приближенной задачи предлагается двухсторонний итерационный метод определения плана, близкого к оптимальному плану. Приводятся описание алгоритма решения задачи размещения и анализ эффективности метода по экспериментальным расчетам.

Ключевые слова: Структура, методы управления, размещение и развитие, организация перевозок, многоэкстремальная задача размещения, нелинейное программирование, динамическое программирование, частично-целочисленная задача, локально-оптимальное решение.

The multiextreme task of allocation with nonlinear function of the purpose and linear restrictions is considered. Convex upwards initial function of the purpose is replaced with piece-linear function, and the initial task is reduced to a partially integer-approached task. For the decision, the author offers a two-side iterative method of definition of the plan close to the optimum. On each iteration, the transport tasks are solved, and the local optimum decision of an initial task is defined. The description of algorithm of the decision of a task of allocation and analysis of efficiency of a method on experimental accounts is resulted.

Keywords: Structure, methods of management, forecasting, accommodation and development, The multiextreme task of allocation, organization of transportations, nonlinear programming, dynamic programming, integer-approached task, the local optimum decision.

Введение. Уровни (слои), из которых состоит система (транспортный комплекс) -это различные структуры, обеспечивающие различные функциональные области деятельности экономики региона, подразделения и предприятия железнодорожного транспорта. Каждая структура транспортного комплекса региона интерпретируется как самостоятельная сетевая модель различных составляющих регионального хозяйства [1,2,10,11]. Функционирование динамических объектов структурированных транспортных систем определяется последовательностью изменений в пространстве состояний, которое может быть представлено множеством характеристик, связанных отношениями. Для определенной структуры региональной транспортной системы под преобразованиями информации понимаются решения множество задач, в том числе решение многоэкстремальных задач типа размещения [1-7,10]: размещение производства сырья; размещение пунктов выпуска продукции; размещение пунктов переработки подвижного состава; размещение и развитие опорных сортировочных станций, прикрепление к ним

районов тяготения; размещение и развитие депо по ремонту подвижного состава железнодорожного транспорта; размещение и развитие транспортных узлов; размещение и развитие динамических объектов региональной транспортной системы и другие.

Главная цель моделирования заключается в максимизации или минимизации определенного экономического показателя. Одной из сложных проблем является определение структуры функции (функционала) экономического критерия. Во многих случаях эту функцию определяют для определенного уровня структуры. Часто допускается, что она линейная для достаточно большого интервала. При этом резко увеличивается размерность модели и тем самым число параметров и искомых неизвестных. Фактически, функция, определяющая определенный показатель данного уровня структуры определяется как интегральный показатель всех нижних уровней относительно рассматриваемого уровня. Мы рассматриваем задачи с нелинейной целевой функцией определенного класса [1-7]. В работах автора [1,2,10] приводится аппроксимация функции, сведения задачи нелинейного программирования к целочисленной задаче линейного программирования. Анализ решения многочисленных задач типа размещения показал, что целесообразно функции цели вычисления определенного экономического показателя для исследуемой структуры определить следующим способом. Пусть г объем производимого сырья в пункте а^ г ,

^ = 1,2,...,т^ г 1,..., \ = 1,2,...,т0. Функция общей производственной затраты может быть

т0 т1 тЩ2.']

/ (х)=£[Л Ц)+ЕЛ )+...+ ЕЛ...^ Х^»)]...]]. (1)

'1 =! '2 =! 0+1 =1

Пусть к количество подвижного состава, обрабатываемого в транспортном узле 1 = 1,2,...,¡к^г ...^ ,...,1 = 1,2,...,/0. Функция общих затрат обработки подвижного

с к _ , 2 .

кхк2..к] ~> ] ? ? * * * ? к^...!^

состава может иметь вид

/п

И^ = £ К (2к! ) + £ Кк, () +... + £ [^2...^+! (2кМк++1 )]...]] . (2)

к2 '

к =1 к? =1

Пусть у . ] объем производимой продукции в пункте Ъ . j , Ь = 1,2,...,пу. . ] ,...,ь = 1,2,...,п0 . Функция общих производственных затрат может иметь вид

По пл пл12...к

Е(у) = £[Еь (УЛ) + £[Е^ (улл) +... + Ее^м« (улл..^^,+1)]...]]. (3)

1 =! 1г =! Л+1 =!

Структура целевой функции в виде (1)-(3) дает возможность вычислить и оптимизировать итоговые суммы нескольких вложенных структур по вертикали и по горизонтали. Алгоритмы, разработанные автором [1-6,10] рассчитаны в основном для оптимизации задач с нелинейными функциями цели вида (1)-(3) для больших размеров ограничений. В данной работе рассматриваются многоэкстремальная задача размещения с нелинейной функцией транспортных издержек и нелинейными производсвенными функциями в функции цели (1)-(3) и линейными ограничениями. Выпуклая вверх исходная функция цели заменяется кусочно-линейной функцией, и исходная задача сводится к частично целочисленной приближенной задаче. Для решения приближенной задачи предлагается двухсторонний итерационный метод определения плана, близкого к оптимальному плану [1-7]. На каждой итерации решаются транспортные задачи, и определяется локальное оптимальное решение исходной задачи. Используя полученное локально оптимальное решение приближенной задачи, осуществляется покоординатное двухстороннее сужение области допустимых решений исходной задачи. С помощью

¡к1к2...к

¡1

к+ =1

оптимального решения задачи размещения с ограниченными мощностями сужается область допустимых решений задачи размещения с ограничениями на мощности в вариантной постановке [1,2,7]. Определяется план, принадлежащий новой области, полученный путем исключения из множества допустимых решений некоторых не оптимальных планов, обеспечивающий минимум целевой функции исходной задачи. Оценивается снизу значение целевой функции, соответствующее полученному решению. Приводится описание алгоритма решения задачи размещения и анализ эффективности метода по экспериментальным расчетам.

Экономико-математическая формулировка задачи размещения и приближенный метод её решения..

В определенной области (республике, районе и т. д.) имеются т пунктов производства сырья / = 1,2,...,т и п пунктов его переработки у = 1,2,...,п. К пунктам переработки относятся действующие предприятия и предприятия, которые планируется строить или расширить. Зная объем производства сырья а ^ 0 в каждом пункте ;, себестоимость транспортировки единицы сырья (), функцию расхода (у) при переработке сырья ^ и максимально допустимую мощность ^ предприятий, ставится задача определения плана х,. распределения сырья между предприятиями так, чтобы

II II тхп

суммарные затраты на транспортировку и переработку были минимальными, т. е. определить план х = ||хг>.|| , обращающий в минимум функцию

llmxn n

z(x) = 22«V (j + 2f (yJ), (4)

i=1 j=1 j=1

при условиях

n

2Xj = a,, i = 1,2,...,m, (5)

j=1

m

2 Xj= yj < VJ, j = ^ n, (6)

i=1

Xj > 0, i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n . (7)

Обозначим

in m I

x: 2 xj=a, i=^^ m; 2 xj=yj ~ vj, j=1,2v." n; xj >0, i=1,2v." m, j=1,2v." nj

n m n n m

g(y) = min Y2Vj (xj ), р(У) = 2 fj (yj), H = {y : 2 yj =2 a; x e Hx (y)}.

xeHx (y) j=1 i=1 j=1 j=1 i=1

При этих обозначениях задача (4)-(7) примет вид:

R( y*) = min{R( y)} = min{g (y) + F (y)}

yeH yeH

Используя методы динамического программирования можно решить последнюю задачу. Это будет не эффективный метод.

В данной работе допускается случай, когда функции gij (xjj) = - транспортные

х

издержки, gj (yj) = f ((1) (где fj {yj) - производственные функции, yj - мощности) не

y i

возрастают для всех хг>. > 0 и y. > 0. Часто в экономических задачах увеличение

мощности производства приводит к уменьшению производственных издержек на единицу перерабатываемого сырья. При решении большеразмерных задач приходится

m n

использовать итерационный процесс, где при каждой итерации необходимо исследовать локальные задачи с получением соответствующего оптимального решения. При этом используются свойства функции рц (у), Л (у ). В классических задачах размещения

допускается, что функции р (у) линейные, а функции (у) имеют вид

/(у )= ) + р.(у ) , где р](у]) - строго вогнутые или линейные неотрицательные

и возрастающие функции текущих производственных затрат, а Л. - положительные фиксированные производственные затраты (капиталовложения). Наше допущение не сужает, а расширяет класс решаемых задач.

Если функции р(у), г = 1,2,...,т, } = 1,2,...,п и (у), } = 1,2,...,п выпуклые вверх функции и область допустимых значений имеет вид

Нх(у) = |х : £ху = а,' = 1,2,..,т; х. > 0,' = 1,2,...,т,} = 1,2,...,п|, то функция (7)

принимает наименьшее зачения на вершинах выпуклого многогранника Нх(у), т.е. х^ равно нулю или а (х} е {0,а1}). Следовательно, задача (4)-(7) сводится к задаче с

р (а)

постоянными транспортными издержками вида с^ = —-= ^^ (у ). Алгоритмы решения

аг

таких задач приводится в работах автора [1-5].

Для решения задачи (4)-(7) предлагается двухсторонний итерационный метод определения плана, близкого к оптимальному плану. Аналогичный односторонний итерационный метод, приводится в [6]. Общая схема метода изложена в работах [1 -7]. Обозначим через Нх множество планов, удовлетворяющих соотношениям (5)-(7).

{п т I

х : £х} = а1,г = 1,2,..,т; £х. < у,} = 1,2,...,п; х^ > 0,г = 1,2,...,т,} = 1,2,...,п1.

Теорема 1. Если Нх -непустое множество и

т

у™ = тах{у.:у. =£х*;Т1(х*) = mjn{Гl(x)}},

'=1 хеНх

т

у(г2) = тах{у.:у. =£4;Т2(х*) = mjn{Г2(x)}},

^Т хеНх

г=1 х

где

п т т п т т

Т1(х) = ££ . х. + £ С. х) + Л (у.), ад = ££ . х. + £ с,. (х,.) + /г (у.),

}=1 г=1 г=1 }=1 г=1 г=1

} > с(2),/ = 1,2,...,т,} = 1,2,...,г -1,г +1,...,п, то имеет место неравенство

т т

у? = ££х(1) > у.2) = £хл

г=1 г=1

Мощность любого предприятия ограничена снизу некоторой величиной. Поэтому исследуем функцию Л (у), ] = 1,2,....п, на интервале 0 <8< у, <( = тах{у }, полагая

-1 1<}<п }

Л(у,) = при 0 < у < £ и у > (, Л (у ) = 0 при у = 0 . Предположим, что функции

\ ( \ ^ /Л Ру(ху) Ч /у (Уу)

Ру (ху), Л (у.) - кусочно-непрерывные, а функции g1J (ху ) =-, gJ (у у) =- не

ху уу

возрастающие для всех х} из интервала 8' < х} < ( и у} из интервала 8 < у. < /3. Выберем

в интервале 5< y . <ß p точек, так что: 5< b < b2 <... < b < b^+i = ß + s, s> 0 — малое число, и f. (y.) непрерывная на каждом отрезке [b, b+i ]. Обозначим

1 V

dft =- I g (t)dt, k = 2,3,...,p,da = g (5) . Фактически, мы находим среднее

h — h^ j j

uk+1 hk h

значение функции себестоимости на отрезке [b, b+i ]. Заменим функцию f . (y .) на отрезке

[5, ß] прямыми fj(yj) = dßy}, yj e [bk, bk+1). Отрезок прямой d^j, yj e [bk, bk+1), называется k -ой аппроксимацией функции f . (y.) .

Каждая прямая пересекается с кривой f . (y .) внутри отрезка [b, b+i ]. Пусть значения хг> принадлежат отрезку S' < xtJ < ß', где 5' > 0- малое число. Если значения хг> меньше 5 ', считаем, что x;>. равно нулю. Выберем в интервале 5' < xtJ < ß' l точек, так что: 5 < b < b <... < b < b'1+j = ß' + s', s' > 0 - малое, а l достаточно большое числа, и Фу (хг>) непрерывная на каждом отрезке ]р', b'q+J. Обозначим

1 hq+i 1 hq+i ( (t)

djq = h' -У I g'1(t)dt = h' -h' I dt' q = 2,3,. .,l, dji = gj(5 '). Фактически мы

hq+1 hq hq hq+1 q hq t

находим среднее значение функции стоимости перевозки единицы груза межу пунтами i и j на отрезке [bq, b'q+J. Заменим функцию ( (хг>.) на отрезке [5' ,ß' ] прямыми

фу (Х1 ) = dijkxj , Xj e [bq , bq + 1 ) . °Трезок прямой dl]qXj , X e [bq , b'q + 1 ) , называется q -ой

l

аппроксимацией функции ((xij) . Кусочно-линейные функции ((.(х^) = 2dijqÄijqхц ,

q=1

_ p

fi(yj)=2 dßxßyj, (где переменные , Ä}k равны единице, если xj e[bq, bq+1),

k=1

y. e [b, b+i), в других случаях - нулю) аппроксимируют, соответственно, функции ( (х,-), f (yj) на отрезках 5' < x < ß' 5 < y. < ß с любой точностью при достаточно больших значениях l и p. Тогда задачу (4)-(7) можно аппроксимировать следующей:

, обращающий в минимум функцию

найти план x =

\Xj

m n

f l p >

ix ) =

i=1 j=1

~(x)=22 2+2xj (8)

уq=1 k=1 у

при ограничениях (5)-(7) и условии, что переменные Я, А -к равны единице, если X £ Ъ, Ъ+1), У у £ [Ь, Ь+1), соответственно, в других случаях - нулю.

при ограничениях (5)-(7) и условии, что Яук равно единице, если yj е[Ь, Ь+1), иначе нулю, Ят равно единице, если е[Ъ, х), иначе нулю. На практике функции Фу (ху) и (уу) задаются не аналитической форме, а в виде таблицы. Таким образом построенная нами приближенная задача является реальной экономической задачей, с

, Л Фу (Х у )

известными транспортными издержками gг (х.. ) =- и производственными затратами

Ху

I (У )

gj (Уу) = ~—~ на единицу перерабатываемого сырья, заданными в виде таблицы. К

у у У у

последней задаче можно было бы применить метод динамического программирования,

mxn

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. № 22, 2011. перебирая значения у. из различных интервалов так, чтобы выполнялись условия

п т

У у = У аг = Ь, 0 < у у < V-, и решая соответствующие транспортные задачи. Число

.=1 ¿=1

транспортных задач будет очень велико, поэтому этот метод практически не пригоден. Ниже описан приближённый метод решения (5)-(8), где надо решать транспортных задач не более п х р.

Если бы заранее были известны оптимальные значения перовозок хг>. и мощностей у ■, можно было бы заменить фнркции р (у), /. {у.) соответствующими линейными аппроксимациями и, решив получившуюся транспортную задачу, получить точное решение (2)-(5). Пусть хг>. и у. - оптимальные значения перевозки хг>. г = 1,2,...,т и

мощностей у, у = 1,2,...,п. сгу = ¿гу 0^ + ¿ув] - соответствующие этим планам у и у

линеаризованные транспортные коэффициенты функции (8). Значения индексов 00, в у определяются из условий < хц < Ъу+1 и Ъё < у] < Ъ^+1, г = 1,2,...,т, у = 1,2,...,п. Для каждого г, из г = 1,2,...,п, последовательно, вычисляются значения мощностей уг, оценивающие сверху и снизу уг. В этих целях, для каждого у, у = 1,2,...,п, у ^ г, выбираются первые аппроксимации функции р(у), и /(у .) , и решается задача минимизации функции

г

Руг (х) = У У + )+ У (У + У ^Л*)ХГ , 1 ¿=1 ¿=1 ?=1 £=1

(9)

на множестве

{п т I

х : У X, = а,,/ = 1,2,...,т,у Ху < у,у = 1,2,...,п,у < 0,г = 1,2,...,т,у = 1,2,...,п|>, а затем выбирается ее последняя аппроксимация, т.е. берем т = у, р — у,

ту (т) =

(10)

у = 1А...,[|],

Л

у, если у < [—], т = у,

Л г 1л

если у> [-],Т = У,

I — у, если у < [—], т = р — у,

Л Л

если у > ^],Т = р — у,

еще раз решается задача минимизации функции (9) на множестве Нх, где у - номер

Р Р Р Р

аппроксимации, у = 1,р —1,2,р — 2,...,[—],р — [—], [—] - целая часть числа —.

Решив пару задач, определяем планы

х(у, г), х(р — у, г) е Нх, доставляющие

р

минимум функции (9), у = 1,2,.,[~]. Очевидно, имеют место неравенства

¿у1 + йул - ¿в + ^О, - 4у—1 + ¿у—1, так как (X.) =

- не

У.

п т

т

возрастающие функции для всех хг>, из интервала 8' < хц < ¡¡' и у из интервала 8< Уу <Р-

Следовательно, из теорем 1, следует неравенство:

т т т

Уг (1, Г) = X хгг (1, Г) - Уг = X х'Г - Уг (Р ~ 1, Г) = X хгг (Р ~ 1, Г)

г=1 г =1 г=1

В (9) нелинейной является лишь г -я составляющая. Минимум (9) на множестве Нх можно получить за конечное число итераций, каждая из которых состоит в решении транспортной задачи. Сначала для ф у (х у ) и /г (уг ) выбираются /г> и / - аппроксимации,

где /= шт(вг,I —1), /иг = ш1п(в, р — 1), вг и в определяются, соответственно, из

условий ¿в < шт(шах{а,},V) < Ъ'в +1, Ъв < vy < Ъв+1. Пусть х(1)(/), , = 1,2,...,т, У1(у),

1<1<т

у = 1,2,...,п, - значения перевозок и мощностей, полученные в результате решения соответствующей транспортной задачи. При у = 1 транспортные издержки определяются следующими формулами: сЦ (у) = сЦ (1) = ^ + , у * г и

С1 (Р — у) = у (Р — 1) = —х + а1р—х, у * г, с,® = + й/, / = Ш1п(вг, I — 1),

/= ш1п(в, р — 1), вив определяются, соответственно, из условий Ъ'^ < шт(шах{аг}, V ) < Ъ +1, Ъв < у< Ъв+1. Оставив для всех у * г прежнюю линейную

1<1<т у г у

аппроксимацию, возьмем для у = г а(1 = а)'гт, ((1) -е аппроксимации, где а'г(1) и а(1) -номера интервалов, которому принадлежат шах{х(1)} и у(1). Решив соответствующую

1<1<т

транспортную задачу, получим х(2), и у(2) причем шах{х(1)} - шах{х(2)} и у(1) - у(2). Взяв

1<, <т 1<,<т

для У = г ( ^^ (г(2) -е аппроксимации ( < шах(х(2У} < ( +1 , ( < Уг2) < ( +1,

решим новую транспортную задачу и т. д. Процесс окончится, как только шах{хг^)}, у(5)

1 г - ■ - г 1<1<т

(5 - номер итерации) и шах{х('+1)}, У<( ^, соответственно, попадут в одини и те же

1<1<т

интервалы. В этом случае транспортные задачи двух последовательных итераций 5 и 5 +1 будут идентичны и их оптимальные решения совпадут. Таким образом, число итераций, необходимых для минимизации (9) на множестве Н , не превосходит Р .

При минимизации (9) используя теоремы 1, можно сужать область Нх , вводя после решения очередной задачи и получения значения у = у (у, г), у = Уг (р — у, г) г = 1,2,...,п ограничения вида

Р.-2

т т

X х,г < Угу X х,г- Уг (р—у, у = 1,2,...,^].

г=1 г=1

Таким образом, будут решаться задачи

Рг (x(г, г)) = Ш1п{Ьг (х)Ь T = у, р—у, г = г(г) (11)

Н (г) -3 -3

где

т т р

И (г) = {х: х е Нх, X х„ < у (у, у), X х - Уу (Р — у, у), У = 1,2,..., г — 1}, у = 1,2,...,Ь], 1=1 1=1 2

т т

Уr(Т,Г)-ХXгr(Т,Г) , Уr(т,Г)-ХXгr(т,г), |Х(т,г)|т*п (Т = У, р — у),

г=1 I=1

г = г (т) - оптимальные планы задач (11).

Дадим формальное описание процесса. Пусть 5 = (г — 1)п + г, где г = у, р — у. Положим /{0)={ 1,2,...,т}, г = 1,2,...,п и Н(1) = Нх. Пусть план х(/)(т,г)еН(5) минимизирует функцию

п п

К (х) = УУ ^у^ (Т) + ¿уву (Т))ху + У (4,гкг + ¿к( г )К , (12)

у=1 г=1 ге1г

у * г

где к (г), кгг, уг (д — 1), х^ (д — 1) определяется условиями Ък (г )< уг (д —1) < Ък (г )+1 Ък < Хгг(д — 1) < Ъ^ +1 и меняется с изменением д, д = 1,2,...., при д = 1 имеем Ь*(г)< Уг (Т — 1г) < Ъ'К < хгг (Т —1, г) < Ъ1 +1 а 0} (т) равно г , если

т

У Ху (г — 1, у )-Ъ

Т ' иначе значение 0 у (т) определяется из условия

г=1

т

Ъву (т)<У ху (т — 1, у )< Ъву (Г)+1 . 1=1

Если выполняется условие х(т — 1,у) > Ъ'Т , то 0у(т) = гг>. вычисляется по формуле (10), иначе значение вДт) определяется из условия < хг>.(г — 1,у) <

Н (5)

х(г, г) е Н (5) доставляет локальный минимум функции (8) в окрестности х(т, г). Введем дополнительный фиктивный пункт производства сырья с объемом

п т у

а =У у а и с общей себестоимостью с0у = с0у + йд = 0,

у=1 г=1

с0. = 0,у = 1,2,...,п,йд = 0, у = 1,2,...,п,£ = 1,2,...,р и сведем задачу (4)-(7) к следующей

т

План х(т, г ) = | •(т, г ) минимизирует (9), (11) или (12) на Н(5). План

задаче: найти план [х(0)и(0)] е Нхи = {[хи]: х е Нх,У хг>. + и. = V.,и - 0,у = 1,2,...,п}

х е пх,у хг>. + и, = V,и,

г=1

п т г р

такоЙ, что ~ ([x(0), -(0)]) = тт{5и ([ X -])} = тт(2[2 (У + У ) X, + С0—. ]}

Хи у=1 ¿=1 д к=1

X- НХ1

(13) В силу вогнутости целевой функции х) минимум следует искать среди вершин многогранника Нхи. Следовательно, и приближенное решение вспомогательной приближенной задачи отыскиваются среди вершин многогранника Н .

В дальнейшем оптимальное решение задачи (5)-(8) находим с п + т — 1 положительными элементами.

План х(г, г ) определяется по алгоритму А1.

(?) * т * 1. Полагаем у = уг (т — 1, г) = У хгг (т — 1, г) и х(<?) = х,г (тгг — 1, г) при д = 1 и

г г=1

определяем кг (д) и кг> (д), соответственно, из условий Ък (д )< угд) < Ък (д )+1 и

*

К,(д) <х(гд) <^кгу(д)+1. При Т = у =1,Ту =1 (Г = р — у = р — 1ту = I—1), значения уг(0,г),

У г (р, г ) и хг (0, г ), хг (/, г) не определены. В этом случае кг (д) и кг> (д) определяются из условий Ъкг (д) < Уг < Ъкг (д)+1 , Ъ'К (г) < шт(шах{ а }, vг ) < Ъ1 (?)+1 .

1< 1 <т

2. Ищем опорный план || хц(д)||т*п, минимизирующий (9),(11) или (12) на Н(5). Определим кг (д) и кг (д), соответсвенно, из условий Ъ ^) < у(^ < Ъ (9)+1,

т

Ъ'К (д) < х(гд) < Ъ'К (д)+1 Если выполняется одно из условий кг (д) = кг (д — 1), у(д) = X х{гД = 0

г=1

т т

или у[д) =Xх,д)= уг(у — 1) г = у (у(д) =Xх{г)= уг(р — у +1), г = р-у), то план

,=1 г ,=1 г

х(г, г) = х(д ^ оптимизирует (9), (11) или (12) на Н(5) и алгоритм А1 завершен. Иначе

увеличиваем д на единицу и повторяем операции пункта 2.

* *

Локально-оптимальный план х(5) = х(г, г) е Н х, доставляющий минимум функции

- Р

z(х) в окрестности плана х(5) = х(г,г) е Нх, где 5 = (у — 1)п + г,г = у,р — у,у = 1,2,...,[^-],

Г = 1,/ — 1,.,[/ ], I — [/ ] , определим по следующему алгоритму А2:

Р

1. Определяем г = 1 и полагаем х(г) = х(г, г),т = у, р — у,у = 1,2,...,[^-],

Г = 11 —1,.,[ I ], 1 — [/ ]

2. Для каждого х(г) невыбранного (небазисного, свободного) элемента (,0, у0) образующего с х(г) выбранными (базисными) элементами замкнутую цепь

к , У к+1 у0 )

и вычисляем

к

АZ(,0, у0) = [X ^'дуаОд,3Ч) — ^'дуд+М'д,уд+1)) — ^уаОд) + й./,+1®(./,+1)]Лхг0./0 +

д=1

+ ) — Л1.8и. ) ) У. ^) + (^.+1«(Л+1 ) — ) ) У.+1 ^) где Ч Л = Шi<l{X'Wl(t)} =

(Цг ),аид+1),8и. ),8(уе+1) ((Л ),(СЛ+1),(0'д , Л ) ((,д +1) отред^^^

соответственно из условий

) < У, (0 < )+1, +1) < УJq+l(t) < +1)+^ Ъаие) < У. (0 < Ъаие )+1, Ъ((у.+1) < У.+1 (/) < (.+0+1 , Кд) < Уу ) < Кд )+1 , Ъ8(]ч+1) < Ууд+1 ) < Ъ8{]++1)+1,

У,(г) = У, (г) +(—1)Р Чл,, х„Р (г) = х1рур(г) +(—1)РЧл, р = g, д + 1

3. если &г(г0, у0) < 0, то переходим к новому плану х(г +1) е Н (5): х , ^ +1) = х , (/) + Ах , , х ,. (/ +1) = х ,. (г) — Ах,, , д = 0,1,2,..., к Элемент (^, у0) включаем в базис, а элемент (гр, jр+1), где х^ (г +1) = 0 исключаем из базиса.

увеличиваем t и переходим к второму пункту. Если для всех х(г) невыбранных

*

элементов А~(10, у0) - 0, то допускаем х(г, г) = х(г) и завершаем алгоритм А2.

Приближенное решение задачи (5)—(8) определим по следующему Алгоритму А.

1. При s=l положим Н(1) = Яж

2. По алгоритму А1 находим планы х(у, г), х(р - у), а затем по алгоритму А2 локально - оптимальные планы х(у, г), х(р — у, г).

3. Определим Н(^ + 1) = |х : х е Н(5),у^(р — у,г)-Ехг> - Уг(у,г)(' где У,г

однозначно находятся из условия 5 = (у — 1)п + г .

4. Если выполняется одно из условий:

п т п т

а) Е Уу у, у )=Е а, б) ъу- mзx{yJ у,л}, в) Е Уу (р—у, у)=Еа,

;=1 ¡=1 ] у=1 ¡=1

n n

Г) Ър_7 <minly(р-yj)}, д) 2yj(p-7> j)^Eyj7j)

1 j=i j=i

то в качестве приближенного решения (5)—(8) выбирается наилучший из полученных ранее локально оптимальных планов. Иначе увеличиваем s на единицу и переходим к пункту 2. В работах автора [1,2,6,7] приводится следующая оценка метода Теорема 2. Если x(0) приближенный оптимальный план задачи (5)-(8), полученный

по алгоритму A, то имеет место неравенство ~(х(0)) - min{~(х)} < — max{d m - d },

Hx n l<j<n Л7-] 7

Jy n m

где y определяется из условия b х < — < — , b = 2 y = 2 ai.

П j=- i=-

Зная точность аппроксимации, используя оценку метода по теореме 2 можно оценить погрешность метода [1,2,6,7]. Алгоритм запрограммирован на алгоритмическом языке Паскаль (Delphi). При решении контрольной задачи (4)-(7) n = m = 12, f (y ) = 100y°'7651 + 0,25y"'76077 на компьютере за 5-10 сек. получен тот же результат, как

за 1,5 мин. на "Минск -22" в [1-7]. Эксперимент, проведенный автором на ЭВМ БЭСМ-4, МИНСК-22, ОДРА-1204, ЕС ЭВМ и на современных компьютерах, показал высокую эффективность предложенного метода. По этому методу решены задачи при n < 50, m < 120: Размщение депо по ремонту подвижного состава СКЖД; размещения сахарнх заводв на Северном Кавказе; размещения базовых (опорных) сортировочных станции и определения сферы их влияния Ростовского отделения СКЖД; оргонизации вагонопотоков, задачи унификации, и другие многоэкстремальные задачи типа размещения, на различных ЭВМ используя языки ЭВМ и алгоритмические языки Алгол, Фортран, PL1, Паскаль, VBA на Excel для задач с постоянными транспортными издержками, т.е. g ( у ) = ^. В основном все полученные результаты были

оптимальными. Программой VBA на Excel решены задачи на современных компьютерах с нелинейными функциями транспортных затрат, когдо целевая функция имеет вид (8), n = m = 12.

Библиографический список:

1. Алибеков Б.И., Жуков В.П. Моделирование логистической системы управления транспортным комплексом региона. Научная монография. - М.: - ВИНИТИ РАН, 2007. -287с.

2. Алибеков, Б.И. Логистика грузовых перевозок региональных транспортных систем: моделирование и управление: монография / Б.И. Алибеков, - Ростов н/Д, Рост. гос. ун-т путей сообщения. 2010. - 180 с.

3. Алибеков Б.И. Оптимальное размещение и развития сортировочных станций региона // Вестник РГУПС. №2, 2008 -С. 65-69.