CC BY
12Отсюда следует, что [u, w]]# является отрезком. С другой стороны, w G int[[u, v]]#, что противоречит (***). Следовательно, предположение о том, что L не являлось чебышевским, было неверно.
Рассмотрим пересечение Lnn. Воспользуемся хорошо известным утверждением: пусть Y С Rra, n G N, и пусть K — чебышевское множество в Y (Y снабжено некоторой нормой), тогда оператор метрического проектирования Pk на K в Y непрерывен; отсюда K связно, если Y связно. Полагая Y = П и K = L П П, из начального предположения П С Т(П П L) (П связно) получаем, что L П П связно. С другой стороны, так как w / L, то w разделяет множество L ПП. Это противоречит только что доказанному утверждению, что L П П связно. Следовательно, [[u, v]]# С П.
Итак, если u,v G П, то int[[u, v]] С П. На один момент предположим, что u,v G ^П (это возможно, поскольку ётП = 2). Определим точки u',v', лежащие на прямой, проходящей через u и v, таким образом, что u G (u',v), v G (u,v'), u',v' G int^ Из (3) вытекает, что [[u, v]] С int[[u', v']]. Согласно только что доказанному, int[[u', v']] С П, откуда [[u, v]] С П для всех u,v G int П. Если П открыто, то доказательство завершено. Окончательно получаем, что замыкание любого [[•, •]]-выпуклого множества снова [[•, •]]-выпукло [10, теорема 10.2]. Следовательно, П [[•, -^-выпукло. Теорема 3 доказана. □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 06-01-00160.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карлов М.И., Царьков И.Г. Выпуклость и связность чебышевских множеств и солнц // Фунд. и прикл. матем. 1997. 3, № 4. 967-978.
2. Алимов А.Р. Сохранение аппроксимативных свойств чебышевских множеств в i'x(n) при пересечении с подмножествами R" // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. 70, № 5. 3-12.
3. Алимов А.Р. Монотонная линейная связность чебышевских множеств в пространстве C(Q) // Матем. сб. 2006. 197, № 9. 3-18.
4. Gruber P.M. Planar Chebyshev sets // Mathem. Structure — Computational Math. — Math. Modelling. Vol. 2. Sofia: Bulgar. Acad. Sci., 1984. 184-191.
5. Hetzelt L. On suns and cosuns in finite dimensional normed real vector spaces // Acta math. Acad. sci. hung. 1985. 45, N 1-2. 53-68.
6. Menger K. Untersuchungen iiber allgemeine Metrik // Math. Ann. 1928. 100. 75-163.
7. Васильева А.А. Замкнутые промежутки в векторнозначных функциональных пространствах и их аппроксимативные свойства // Изв. РАН. Сер. матем. 2004. 68, № 4. 75-116.
8. Kirkland W., Khamsi W.K., Kirk W. An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. N.Y.: Wiley, 2001.
9. Berens H., Hetzelt L. Suns and contractive retracts in the plane // Теория приближений функций / Под ред. Н.П. Корнечука и др.: Тр. Междунар. конф. Киев, 31 мая - 5 июня, 1983. М.: Наука, 1983. 483-487.
10. Boltyanski V., Martini H, Soltan P.S. Excursions into Combinatorial Geometry. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1997.
11. Gruber P. Fixpunktmengen von Kontraktionen in endlichdimensionalen Raumen // Geom. Dedic. 1975. 4. 173-198.
12. Алимов А. Р. Чебышевские компакты на плоскости // Тр. Матем. ин-та РАН. 1997. 219. 8-26.
13. Alimov A.R. Solstice property for a system of 2-spaces // East J. Approx. 1998. 4, N 1. 25-34.
14. Hetzelt L. Uber die beste Coapproximation in R": Dis. Erlangen, 1981.
15. Brown A.L. On the connectedness properties of suns in finite dimensional spaces // Proc. Cent. Math. Anal. Austral. Natl. Univ. 1988. 20. 1-15.
Поступила в редакцию 28.02.2007
УДК 519.718.7
О СХЕМАХ, ДОПУСКАЮЩИХ ЕДИНИЧНЫЕ ТЕСТЫ ДЛИНЫ 1 ПРИ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ
Ю. В. Бородина
Будем рассматривать схемы из функциональных элементов [1, 2] в базисе {&, ф, 1, 0}. В качестве неисправностей будут выступать единичные константные неисправности типа " 1" на выходах конъюнк-торов & и сумматоров ф (ровно один из этих элементов может быть неисправным и выдавать значение 1 независимо от входных данных).
Пусть 5 — некоторая схема из функциональных элементов, реализующая булеву функцию / (X), X — (х1, х2 , . .., xn) •
Функция, реализуемая на выходе схемы при наличии в схеме неисправного элемента, называется функцией неисправности. Всякое множество Т входных наборов схемы 5 называется единичным проверяющим тестом для этой схемы, если для любой функции неисправности д(Х), не равной тождественно / (X), в Т найдется хотя бы один такой набор а, что / (а) — д(а) [3, 4]. Число наборов, составляющих этот тест, называется длиной теста.
Теорема. Любую булеву функцию можно реализовать схемой из функциональных элементов в базисе {&, ф, 1, 0}7 допускающей единичный проверяющий тест длины 1.
Доказательство. Пусть задана произвольная булева функция / (X), где X — (Х1,Х2,..., Хп). Будем предполагать, что функция / не является константой (константные функции являются базисными и реализуются без сумматоров и конъюнкторов) и существенно зависит от всех п переменных. Это предположение не умаляет общности: если некоторая функция /* получается из / изъятием фиктивных переменных и для /* утверждение теоремы справедливо, то это утверждение справедливо и для /.
Пусть а — (ст1,..., ап) — нулевой набор функции /, содержащий максимальное количество в единиц. В случае в — 0 без ограничения общности можем считать, что эти единицы соответствуют последним в переменным. Пусть к — п — в.
Представим функцию /(X) полиномом Жегалкина (см. [2, гл. 1, § 5])
п
/^1, . .., ^п) \ ^ ^ a{i1.....il}Xil . . . Щ ф с,
1=1 1^л1<---<ц^п
где суммы — это суммы по модулю 2, а^...,ц}, с € {0,1}.
Разобьем все конъюнкции Xi1 Xi2 ..^ц на два непересекающихся множества А1 и А2. К А1 отнесем все конъюнкции, содержащие хотя бы одну переменную из множества {X!,... ^к}. В А2 войдут все оставшиеся слагаемые и константа с. Пусть Р1 (Р2) — сумма по модулю 2 всех конъюнкций множества А1 (соответственно А2). Многочлен Р2 зависит только от переменных Xk+l,...,xn. Если множество А2 пусто, то Р2 = 0.
Функция д^1,..., Xk) — Р1 ^1,..., Xk, 1,..., 1) принимает значение нуль на наборе (0,..., 0). Поскольку 0 — /(а) — д(0,... , 0) фР2(1,..., 1), имеем Р2(1,..., 1) — 0. Следовательно, значение функции д на всех наборах (¿1,..., §к) — (0,... , 0) равно 1 (иначе набор (§1,...,5к, 1,..., 1) является нулевым для функции / и содержит более в единиц). Поэтому д^1,..., Xk) — Xl У — У Xk. Представим эту функцию полиномом Жегалкина
п
д^1 ,...^к) —^ ^ Xil . (*)
1=1 <—<ц^п
Заметим, что множество А1 содержит все конъюнкции из представления (*), возможно, умноженные на переменные из множества ^к+1,..., Xп}.
Если Р2 ф 0, то Р2(1,..., 1) — 0. Следовательно, А2 содержит четное число мономов, т.е.
Р2^к+1, ...^п)— К1 ф---ф К2т — (К ф 1) ф---ф (К 2т Ф 1),
где К^ (1 < ] < 2т) — конъюнкции переменных из множества {xk+l,...,xn} и, возможно, константа с — 1. Пусть Kj — Xj1 ... Xjp, где 1 < ] < 2m, k < j1 < • • • < ]р < п. Тогда
Kj ф 1 — xjl . ..Xjp ф 1 — ((xjl ф 1)Xj2 . . . Xjp) ф ((xj2 ф 1)xjз . . . Xjp) ф • • • ф ((xjp-1 ф 1)xjp) ф (xjp ф 1). (**)
Схему 5, реализующую функцию /(X), составим из шести подсхем 51,52,5з,54,5б,5б (рисунок).
Подсхема 51 реализует все конъюнкции из представления (*) цепями из конъюнкторов [4, с. 114] следующим образом. Значения одночленных слагаемых вида Xi, 1 < г < к, сразу подаем на выход подсхемы. Затем реализуем все двучленные слагаемые Xi&Xj, 1 < г < j < к, с помощью конъюнкторов, выходы которых подаем на выход подсхемы. После этого реализуем каждое трехчленное слагаемое Xi&Xj&x¿, 1 ^ г < j < I ^ к, с помощью конъюнктора, на левый вход которого подаем выход конъюнктора, реализующего конъюнкцию Xi&Xj, а на правый вход — значение переменной XI. Выход этого конъюнктора подаем на выход подсхемы. Далее построение продолжается индуктивно: каждое т-членное слагаемое Xi1 &Xi2 ...^^т, 1 < ¿1 < ¿2 < ••• < гт ^ к, реализуется с помощью конъюнктора, на левый вход которого подаем выход цепи, реализующей конъюнкцию Xi1 &Xi2 ...foxim_ 1, а на правый вход — значение переменной Xim. Выход этого конъюнктора подаем на выход подсхемы.
В подсхеме 82 реализуем все конъюнкции множества Ах следующим образом. Пусть К = хг1&хг2 ... &Хгт&К' — некоторая конъюнкция множества Ах, в которой 1 < ¿х < ¿2 < ••• < гт ^ к, а конъюнкция К' содержит только переменные из множества {хк+1,...,Хп\. Множество Ах содержит нечетное количество конъюнкций вида К с фиксированными ¿х ,¿2 ,...,гт, иначе функция д(хх,... ,Хи) = Рх(хх,... ,хи, 1,..., 1) вообще не содержит конъюнкцию хг1 &х^2 ... , а значит, не равна функции Хх V ••• V хи в силу единственности представления функции посредством полинома Жегалкина [2, ч. 1, гл. 1, § 5]. Пусть цепь 2
подсхемы 8х реализует на выходе конъюнкцию хг1 &х
^2
Если конъюнкция К' пуста, то добавим в схему 82 конъюнк-тор, на левый вход которого подадим выход цепи 2, а на правый — константу 1; тогда достроенная цепь будет реализовывать функцию К&1 = К. Иначе достраиваем цепь 2, добавляя в нее конъюнкторы, на левый вход каждого из которых подаем выход предыдущего элемента, а на правый — значение очередной переменной из множества {хи+х,... ,хп}, входящей в конъюнкцию К'.
Подсхема 83 содержит сумматоры, на левые входы которых подаются значения переменных хи+х,..., хп, а на правые — константа 1, т.е. на выходах этих сумматоров реализуются функции хг Ф 1, г = к + 1,...,п. Число таких сумматоров для каждой переменной х^, г = к + 1,... ,п, совпадает с числом конъюнкций из А2, зависящих от этой переменной.
В подсхеме £4 для каждой конъюнкции Кр, 1 < р < 2т, из А2 реализуем конъюнкции
(х 31 Ф 1)х32 . . . х3р, (х 32 Ф 1)х3з . ..х3р,..., (х3р-х Ф 1)х3р, (х3р Ф 1)
из представления (**) цепями конъюнкторов, на левый верхний вход которых подаются значения выражений хг Ф 1, реализованные на выходах подсхемы £3. Если константа 1 принадлежит множеству А2, то добавляем в подсхему сумматор, на оба входа которого подаем значение 1.
Подсхема £5 состоит из цепей сумматоров, каждая из которых реализует сумму по модулю 2 выходных значений цепей подсхемы £4 согласно представлению (**). Таким образом, на выходах этой подсхемы реализуются выражения К3 Ф 1, где К3 — конъюнкция из А2.
Заметим, что в случае Р2 = 0 подсхемы 83,84,85 в схеме отсутствуют.
Подсхема £б представляет собой цепь из сумматоров и реализует сумму по модулю 2 выходных функций всех цепей подсхем 82 и 85.
Очевидно, что полученная схема 8 реализует функцию /(х).
Докажем, что единичным проверяющим тестом для построенной нами схемы 8 будет набор (0,... , 0, 1,..., 1) значений переменных хх ,...,хп с к нулями и в единицами.
На этом наборе значение функции /(х) равно нулю. Достаточно показать, что при переходе в неисправное состояние какого-либо элемента схема 8 на данном наборе будет выдавать единицу.
Нетрудно видеть, что в исправном состоянии значение на выходах всех сумматоров и конъюнкторов схемы на данном наборе равно нулю.
При неисправности любого элемента подсхемы 8б или при подаче на ее входы нечетного числа единиц схема 8 выдает единицу.
При неисправности любого элемента подсхемы 85 или при подаче на любой из ее входов единицы подсхема на некотором выходе, являющемся одновременно входом подсхемы 8б, выдаст единицу, а значит, мы получим единицу и на выходе всей схемы.
Рассмотрим случай неисправности какого-либо элемента подсхемы 82 (84). Так как она состоит из цепей конъюнкторов, на правые входы которых на данном наборе подаются единицы, а на левые (в исправном состоянии схемы) — нули, то при подаче на левый вход первого элемента цепи единицы или при переходе в неисправное состояние какого-либо элемента цепи на левый вход следующего элемента подается единица. Но в таком случае это значение окажется и на выходе всей цепи, являющемся входом подсхемы 86 (85). В итоге в данном случае получим единицу и на выходе всей схемы 8.
При переходе в неисправное состояние одного из элементов схемы 83 на вход некоторой одной цепи подсхемы 84 будет подана единица. Из вышесказанного следует, что и в этом случае на выходе всей схемы 8 получим единицу.
По построению подсхемы 8х выход любого элемента этой подсхемы подается на выход самой подсхемы
52
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №5
и, возможно, на левые входы нескольких конъюнкторов, у которых на правые входы подаются значения переменных из множества ,..., Xk}, равные нулю в нашем наборе. Поэтому при переходе в неисправное состояние любого элемента подсхемы 51 получим единицу ровно на одном выходе подсхемы 51, а значит, и на нечетном числе выходов подсхемы 52, в свою очередь являющихся входами подсхемы 5б. Таким образом, получим значение 1 и на выходе всей схемы 5.
Теорема доказана.
Автор приносит глубокую благодарность профессору Н. П. Редькину за внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-4470.2008.1) и программы фундаментальных исследований Отделения математических наук РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики" (проект "Синтез и сложность управляющих систем").
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2002.
3. Яблонский С.В. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Матем. вопросы кибернетики. 1988. 1. 5-25.
4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
Поступила в редакцию 16.07.2007
УДК 517.982.22, 517.982.256
ОБ ОДНОМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ КРИТЕРИИ ГИЛЬБЕРТОВОСТИ БАНАХОВА
ПРОСТРАНСТВА
О. Н. Косухин
Введение. Пусть (X, || • ||) — действительное банахово пространство. Известно много критериев, позволяющих определить, является ли пространство (X, || • ||) гильбертовым, т.е. существует ли в этом пространстве скалярное произведение (•, •), определяющее норму || • || равенством ||ж|| = л/(х, х) при всех x Е X. Примером такого критерия может служить доказанный в работе [1] критерий Йордана-фон Неймана (так называемое тождество параллелограмма): для того чтобы пространство (X, || • ||) было гильбертовым, необходимо и достаточно, чтобы для любых x,y Е X имело место тождество Цх + y||2 + Цх — y||2 = 2||х||2 + 2||y||2. Следствием из него является другой известный критерий: для того чтобы пространство (X, || • ||) было гильбертовым, необходимо и достаточно, чтобы для любого двумерного подпространства П пространства X сечение единичной сферы S := {х : ||х|| =1} этим подпространством представляло собой эллипс.
Эти и другие удобные для использования в теории приближений критерии гильбертовости банаховых пространств можно найти в статьях [2] и [3]. В настоящей работе получен новый геометрический критерий гильбертовости пространства X, сформулированный в терминах свойств метрической проекции в этом пространстве.
Основные определения. Метрической проекцией точки х Е X на прямую l С X называется множество Рг(х) := {y : y Е l, Цх — y|| < Цх — хЦ Ух Е 1} С l. Это множество непусто и представляет собой точку или отрезок прямой l. Если х Е l, то каждую из прямых, проходящих через х и некоторую точку y множества р(х), будем называть высотой, проведенной из точки х к прямой l. Отметим, что в евклидовом пространстве такая высота всегда единственна, а в произвольном банаховом пространстве, вообще говоря, нет.
Пусть A, B и C — произвольные точки пространства X, не лежащие на одной прямой. Обозначим через AB, AC и BC прямые, проходящие через пары точек A и B, A и C, B и C соответственно. Будем говорить, что в треугольнике ABC найдутся три высоты, пересекающиеся в одной точке, если найдутся три высоты, проведенные из точек A, B и C к прямым BC, AC и AB соответственно и имеющие
