CC BY
6пУгг ,и2Уг2,... ,ипУгп. Аналогично рассматривается случай, когда нашлось п слов у^^, лексикографически меньших и. Значит, среди периодических подслов в выборке, полученной в ходе определения большой выборочной высоты разбиения слова Ш, в каждом классе эквивалентности по сильной несравнимости не больше (2п — 2) элементов. Применяя теперь теоремы 1 и 2, получаем доказываемое утверждение.
Автор приносит благодарности А. Я. Белову за помощь в написании статьи, а также А. В. Михалеву и В. Н. Латышеву за внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ширшов А.И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах // Матем. сб. 1957. 41, № 3. 381-394.
2. Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями // Матем. сб. 1957. 43, № 2. 277-283.
3. Белов А.Я. Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 5. 19-79.
4. Белов А.Я., Борисенко В.В., Латышев В.Н. Мономиальные алгебры // Итоги науки и техники. Сер. Современная математика и ее приложения. Алгебра-4. Темат. обз. № 26. М.: ВИНИТИ, 2002. 35-214.
5. Белов А.Я., Харитонов М.И. Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте // Матем. сб. 2012 (см. также http://arxiv.org/abs/1101.4909).
6. Kemer A.R. Comments on the Shirshov's Height Theorem // Selected papers of A.I. Shirshov. Basel: Birkhauser Verlag AG, 2009. 41-48.
7. Procesi C. Rings with Polynomial Identities. N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 1973.
8. Кузьмин Е.Н. О теореме Нагаты-Хигмана // Сб. трудов, посвященный 60-летию акад. Илиева. София, 1975. 101-107.
9. Размыслов Ю.П. Тождества алгебр и их представлений. М.: Наука, 1989.
Поступила в редакцию 27.06.2011
УДК 519.718
МЕТОД СИНТЕЗА ЛЕГКОТЕСТИРУЕМЫХ СХЕМ В ОДНОМ БАЗИСЕ,
ДОПУСКАЮЩИХ ЕДИНИЧНЫЕ ПРОВЕРЯЮЩИЕ ТЕСТЫ КОНСТАНТНОЙ ДЛИНЫ
Д. С. Романов1
В работе предлагается метод синтеза неизбыточных схем из функциональных элементов в базисе {x&y,x ф y, 1 ,x(y V z) V x(y ~ z)}, реализующих произвольные булевы функции и допускающих единичные проверяющие тесты длины не более 4 при инверсных и произвольных константных неисправностях на выходах элементов.
Ключевые слова: схема из функциональных элементов, проверяющий тест, константная неисправность на выходе элемента, инверсная неисправность на выходе элемента, функция Шеннона, легкотестируемая схема.
It is constructively proved that any Boolean function of n variables may be implemented in the basis of gates {x&y,x ф y, 1,x(y V z) V x(y ~ z)} by a testable combinational circuit admitting a fault detection test set whose power does not exceed 4 under arbitrary single inverse or constant (stuck-at) faults at outputs of gates.
Key words: combinational circuit, fault detection test set, constant (stuck-at) fault at output of gate, inverse fault at output of gate, Shannon function, easy-testable circuit.
Пусть /(Хп) — произвольная булева функция, формально зависящая от переменных Х\,Х2,...,хп, а 5 — схема из функциональных элементов в некотором базисе В, реализующая функцию / (все определения, не введенные в данной статье, можно найти в монографии [1]). Пусть на схему 5 действует
1 Романов Дмитрий Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математической кибернетики ф-та ВМК МГУ, e-mail: romanov@cs.msu.ru.
источник одиночных неисправностей и, вызывающий инверсные или константные неисправности на выходах функциональных элементов, т.е. на выходе любого не более чем одного функционального элемента схемы вместо реализуемой на его выходе функции от его входов может реализовываться либо отрицание этой функции (случай инверсной неисправности), либо произвольная булева константа (случай константной неисправности). При этом мы для простоты будем считать, что источник неисправностей и не может вызывать неисправность типа "константа а" у функциональных элементов типа "константа а", а также константную неисправность выходного элемента схемы 5, тождественно равную реализуемой схемой 5 функции (если таковой функцией является константа).
Обозначим через Ш(5) множество всех попарно неравных функций, каждая из которых может быть реализована схемой 5 после поломки элементов, вызванной действием на схему источника неисправностей и. Схема 5 называется неизбыточной (см., например, [1]) тогда и только тогда, когда для любой функции д(Хп) € Ш(5) справедливо соотношение /(Хп) ф д(Хп). Множество Т наборов значений переменных Х\,Х2, ...,хп называется единичным проверяющим тестом для схемы 5 относительно инверсных и константных неисправностей на выходах элементов тогда и только тогда, когда для любой функции д € Ш(5), такой, что д(Хп) ф /(Хп), найдется набор а из Т, для которого выполнено неравенство / (а) = д(а). (Понятие единичного проверяющего теста относительно константных неисправностей на выходах элементов вводится аналогичным образом.) Количество различных наборов в тесте Т называется его длиной и обозначается через 1(Т) или через \Т|. Тест минимальной длины называется минимальным. Обозначим через 0(5) длину минимального единичного проверяющего теста относительно инверсных и константных неисправностей на выходах элементов в схеме 5, через Ов(/(Хп)) — минимум величины 0(5) по всем неизбыточным, реализующим /(Хп) схемам 5 в базисе В. Через Ов(п) обозначим функцию Шеннона длины единичного проверяющего теста относительно инверсных и константных неисправностей на выходах элементов, т.е. функцию
°в(п) = у^ °в(/(Хп)).
В классической работе С. М. Редди [2] было доказано, что Ов(п) ^ п + 3 при В = {Х&у,Х Ф у, 1}. Н. П. Редькиным [3] было установлено, что в стандартном базисе Во = {Х&у, Х V у,Х} функция Шеннона длины полного проверяющего теста относительно однотипных константных неисправностей на выходах элементов не превосходит п. Впоследствии Н. П. Редькиным, С. В. Коваценко, Ю. В. Бородиной и П. А. Бородиным были получены константные верхние оценки функций Шеннона длин проверяющих тестов при различных однотипных неисправностях на выходах функциональных элементов. В [4] установлено, что в случае В = {Х&у,Х Ф у, 1} функция Шеннона длины единичного проверяющего теста относительно инверсных неисправностей на выходах элементов равна 1. В [5] доказано, что в произвольном базисе функция Шеннона длины единичного проверяющего теста относительно инверсных неисправностей на выходах элементов не превосходит 3. В [6] получено, что в стандартном базисе Во функция Шеннона длины полного проверяющего теста относительно однотипных константных неисправностей на выходах элементов равна 2. В [7] показано, что функция Шеннона длины единичного проверяющего теста относительно константных неисправностей типа 1 на выходах элементов в базисе Жегалкина равна 1. В [8] установлено, что функция Шеннона длины полного проверяющего теста относительно константных неисправностей типа 0 на выходах элементов в базисе Жегалкина равна 1.
В данной работе доказывается, что функция Шеннона длины единичного проверяющего теста относительно инверсных и произвольных константных неисправностей на выходах элементов в базисе В' = {Х&у, Х Ф у, 1, Х(у V г) V Х(у ~ г)} не превосходит 4, а именно справедливо следующее утверждение.
Теорема. При п € N имеет место неравенство Ов' (п) ^ 4.
Доказательство. Заметим, что если некоторое множество наборов образует единичный проверяющий тест относительно произвольных константных неисправностей, то это же множество наборов образует единичный проверяющий тест относительно инверсных и произвольных константных неисправностей (поскольку инверсная неисправность на выходе фиксированного элемента обнаруживается на том наборе, на котором обнаруживается произвольная константная неисправность на выходе этого элемента). Поэтому для доказательства теоремы достаточно рассмотреть случай произвольных константных неисправностей на выходах элементов.
Введем обозначение ф(Х, у, г) = Х(у V г) V Х(у ~ г).
Пусть /(Хп) — произвольная булева функция, формально зависящая от переменных Х1,Х2,... ,Хп.
Запишем полином Жегалкина функции / в виде Ру = К1 Ф К2 Ф ... Ф Къ Ф ао, где К± — конъюнкции различных переменных или переменные (г = ао € {0,1}.
Случай 1. Пусть функция / нелинейная. Пусть далее К1 — самое короткое слагаемое в полиноме Жегалкина функции /, отличное от константы и переменной. Будем, не ограничивая общности, считать,
что = ХlХ2 . ..Х8 (2 ^ в ^ п) и что слагаемые И\, К2,..., (1 ^ д ^ Ь) нелинейные, а слагаемые Kq+l, Кд+2,..., К переменные.
Подслучай 1(а). Пусть функция / такова, что в Ру нет линейных слагаемых, входящих в качестве множителей-переменных в К1. Построим неизбыточную схему 5, реализующую / и допускающую единичный проверяющий тест длины 4 относительно константных неисправностей на выходах элементов.
Схема 5 составлена из блоков 51, 52, 5з, 54, как показано на рис. 1.
Блок 51 представляет собой д цепочек конъюнкторов С1, С2,..., Cq, моделирующих все нелинейные слагаемые К1, К2, ...,К1] (соответственно) полинома Жегалкина Ру функции /. При этом на входы первого элемента каждой цепочки подаются переменные (в частности, на входы первого элемента цепочки С1 подаются переменные Х1, Х2); на левый вход каждого конъ-юнктора цепочки начиная со второго подается выход предыдущего конъюнктора; на правые входы конъюнкторов цепочки начиная со второго подаются входные переменные. Так как К1 — самая короткая конъюнкция (отличная от переменной), то для любого г € {2, 3,... ,д] в конъюнкции Кг имеется переменная , не входящая в К1. Потребуем, чтобы на правый вход первого конъюнктора цепочки С г подавалась переменная , а на левый вход первого конъюнктора цепочки С г — переменная Х1, если она входит в Кг, и любая переменная конъюнкции Кг, отличная от , если Х1 не входит в Кг.
Блок 52 представляет собой копию блока 51, в которой удалены последние элементы в каждой из цепочек С1, С2,..., Сч. Пусть число элементов в блоке 52 есть ¿2, обозначим элементы из 52 через Е1,
Рис. 1. Схема 5
Е2,----
Е! 2.
Блок ¿>3 состоит из трехвходовых подсхем Е3 (г = 1,^2)- Для каждой пары "дублирующих друг друга" конъюнкторов из блоков 51 и 52 строится одна такая подсхема. Для каждого конъюнктора Е2 = Е&& из блока 52, отличного от выходного элемента цепочки из блока 52, и его копии Е& в блоке 51 соответствующая подсхема Е3 изображена на рис. 2; на левый вход этой подсхемы подается выход элемента Е&, на средний вход Е3 — выход элемента Е&&, а на правый — переменная Х1. Для каждого конъюнктора Е2 = Е&& из блока 52, являющегося выходным элементом цепочки из блока 52, и его копии Е& в блоке 51 соответствующая подсхема Е3 представляет собой трехвходовый элемент Еф, на левый вход которого подается выход элемента Е&, на средний вход — выход элемента Е&&, а на правый — переменная Х1. Заметим, что если все конъюнкторы в блоках 51, 5з работают правильно, то на выходе каждой подсхемы Е3 реализуется функция Х1.
Блок ¿>4 состоит из цепочки С элементов сумм по модулю 2 и, быть может, одного функционального элемента типа "константа 1". При этом на левый вход самого первого элемента цепочки С подается выход цепочки С1 блока 51; на левый вход каждого элемента суммы по модулю 2 в цепочке начиная со второго подается выход предыдущего элемента суммы по модулю 2; на правые входы первых (д — 1) элементов цепочки С подаются выходы цепочек С2,..., Cq блока 51; на правые входы следующих ¿2 элементов цепочки С подаются выходы всех трехвходовых подсхем Е3 из блока 5з (и если ¿2 нечетное, то на правый вход следующего элемента суммы по модулю 2 подается переменная Х1); на правые входы следующих Ь — д элементов цепочки С подаются переменные, являющиеся линейными слагаемыми в Ру. Если ао = 0, то других элементов в блоке 54 нет. Если же ао = 1, то в С есть еще один элемент суммы по модулю 2 (обозначим . л его через Ео), на правый вход которого подается выход элемента типа "констан-
та 1" (обозначим его через Е1). Обозначим через последовательность всех Рис. 2. Схема е3 элементов цепочки С (в порядке следования в цепочке), у которых хотя бы на
один вход подается выход цепочки из блока 51. Пусть далее ^2 — последовательность всех элементов цепочки С (в порядке следования в цепочке), у которых на правый вход подается выход элемента из блока 53 (если ¿2 нечетное, то к ^2 относится и следующий функциональный элемент суммы по модулю 2, на вход которого подается переменная Х1; таким образом, в ^2 четное число элементов). Наконец, пусть ^3 — последовательность всех элементов цепочки С (в порядке следования в цепочке), у которых на правый вход подается входная переменная. Заметим, что при д = 1 у и ^2 есть один общий элемент,
а в остальных случаях попарно общих элементов у 01, О и Оз нет; последовательность Оз может не содержать элементов.
Выход последнего элемента цепочки С является выходом схемы 5. Легко видеть, что при правильной работе схема 5 реализует функцию / (так как в силу построения в схеме 5 по модулю 2 суммируются слагаемые полинома Жегалкина функции / по одному разу каждое, а также четное число равных функций Х1).
Предположим теперь, что в схеме 5 произошла константная неисправность на выходе какого-то элемента (но не неисправность типа 1 на выходе элемента типа "константа 1"). Докажем, что наборы (0п), (1п), (1, 0п-1), (15, 0п—) образуют единичный проверяющий тест для схемы 5.
Сразу заметим, что при подаче на входы схемы 5 каждого из трех наборов (0п), (1п), (1, 0п-1) для любого г € {1,...,Ь2} будет обнаружена какая-то константная неисправность на выходе подсхемы X3 (и при этом будут обнаружены все такие константные неисправности на выходе X3). Теперь из того, что при подаче этих трех наборов на входы 5 на входах X3 возникают наборы (0, 0, 0), (1,1,1), (0, 0,1), образующие единичный проверяющий тест для X3, следует, что на наборах (0п), (1п), (1, 0п-1) обнаруживаются все константные неисправности на выходах всех элементов всех подсхем X3, г € {1,...,Ь2}.
Легко видеть, что на наборе (0п) обнаруживаются все неисправности типа 1 на выходах всех остальных элементов схемы 5, кроме Ео и Е1, а также обнаруживаются неисправности типа 0 на выходах Ео и Е1 (если эти элементы есть в 5). Действительно, /(0п) = ао и на выходах всех элементов исправной схемы 5, кроме Ео и Е1, на наборе (0п) оказываются нули. Если неисправность типа 1 произошла на выходе конъюнктора Е& блока 51, не являющегося последним конъюнктором одной из цепочек С1, С2,..., Сд, то на выходе следующего за Е& конъюнктора в цепочке будет по-прежнему 0 и на выходе цепочки конъюнкторов, в которую входит Е&, будет по-прежнему 0. Зато на выходе трехвходовой подсхемы X3, на вход которой подается выход Е&, появится 1 и на выходе схемы 5 значение изменится с ао на ао. Если неисправность типа 1 произошла на выходе конъюнктора Е& блока 52, то на выходе следующих за Е& конъюнкторов (если они есть) в цепочке будут по-прежнему 0. Зато на выходе трехвходовой подсхемы X3, на вход которой подается выход Е&, появится 1 и на выходе схемы 5 значение изменится с ао на ао. Если же неисправность типа 1 произошла на выходе какого-то другого элемента схемы 5 (кроме Ео, Е1 и элементов из 53), то в силу того, что выход этого элемента не ветвится и подается на вход цепочки С элементов сумм по модулю 2 либо сам неисправный элемент является элементом цепочки С, значение на выходе схемы 5 изменится с ао на ао. Так же дело обстоит с неисправностью типа 0 на выходе Ео или Е1.
На наборе (1п) обнаруживаются все неисправности типа 0 на выходах всех конъюнкторов схемы 5, не лежащих в 53. Действительно, на наборе (1п) на выходах всех конъюнкторов и трехвходовых элементов исправной схемы 5 оказываются единицы. Неисправность типа 0 на выходе конъюнктора Е& блока 51, не являющегося последним конъюнктором цепочки Сг (г € {1, 2,...,д}), будет обнаружена на наборе (1п), поскольку значение на выходе цепочки конъюнкторов Сг (и только этой цепочки конъюнкторов) изменится с 1 на 0, а значения на выходах всех трехвходовых подсхем X3 останутся равными 1. Неисправность типа 0 на выходе конъюнктора Е& блока 52 будет обнаружена на наборе (1п), поскольку значение на выходе трехвходовой подсхемы X3, на средний вход которой подается последний элемент из той цепочки конъюнкторов блока 52, которой принадлежит Е&, изменится с 1 на 0, а значения на выходах остальных трехвходовых подсхем X3 останутся равными 1. Если же неисправность типа 0 произошла на выходе последнего конъюнктора цепочки Сг, то в силу того, что выход этого элемента не ветвится и подается на вход цепочки С элементов сумм по модулю 2, значение на выходе схемы 5 на этом наборе изменится.
На наборе (1, 0п-1) на выходах всех конъюнкторов исправной схемы 5 оказываются нули, на выходах всех трехвходовых подсхем X3 — единицы, на выходах всех элементов из О (при Ь > 1), всех элементов из О2 с четными номерами и всех элементов из О — нули, на выходах всех элементов из О с нечетными номерами — единицы. Нетрудно видеть, что на этом наборе обнаруживаются все неисправности типа 0 на выходах элементов из О с нечетными номерами.
На наборе (15, 0п-5) на выходах всех конъюнкторов цепочки С1 блока 51 и на выходах копий этих конъюнкторов в блоке 52 оказываются единицы, на выходах всех остальных конъюнкторов исправной схемы 5 вне блока 53 — нули (поскольку на правые входы первых конъюнкторов других цепочек конъюнкторов подаются переменные, не входящие в К1 и принимающие на данном наборе значение 0), на выходах всех трехвходовых подсхем X3 оказываются единицы (поскольку на правые входы трехвходовых подсхем X3 подается переменная Х1, принимающая на данном наборе значение 1), на выходах всех элементов из О1 (при д > 1), всех элементов из О с четными номерами и всех элементов из О оказываются единицы, на выходах всех элементов из О с нечетными номерами — нули. Нетрудно видеть, что на этом
наборе обнаруживаются все неисправности типа 0 на выходах всех элементов из Di (при q > 1), элементов из D2 с четными номерами и элементов из D3, а также обнаруживается неисправность типа 1 на выходе Eo (если этот элемент есть в S).
Таким образом, построенная схема S является неизбыточной и указанные 4 набора образуют единичный проверяющий тест для нее.
Подслучай 1(б). Пусть функция f такова, что в Pf есть линейные слагаемые, входящие в качестве множителей-переменных в Ki. Будем, не ограничивая общности, считать, что переменные xi, x2, •••, xk из Ki входят в Pf как слагаемые Kt-k+i, K-k+2, • • •, K соответственно (здесь 1 ^ к ^ s). Все переменные, не входящие в Ki в качестве множителей, но входящие в Pf в качестве слагаемых, образуют слагаемые Kq+i, Kq+2, • • • , Kt-k.
Неизбыточную схему S, реализующую f и допускающую единичный проверяющий тест длины 4 относительно константных неисправностей на выходах элементов, будем строить в полной аналогии со случаем 1(а), незначительные уточнения коснутся лишь последовательности элементов D3 цепи C блока S4. Именно на правые входы первых t — к — q элементов D3 подаются переменные, представляющие собой слагаемые Kq+i, Kq+2, • • • , Kt-k и не встречающиеся в Ki; обозначим последовательность из этих элементов через D3. На правые входы остальных к элементов D3 подаются слагаемые Kt-k+i = xi, Kt-k+2, • • • , Kt (в указанном порядке), представляющие собой переменные, встречающиеся в Ki; обозначим последовательность из этих элементов через D3'.
Оказывается, что, как и в предыдущем случае, наборы (0n), (1n), (1, 0n-i), (1s, 0n-s) образуют единичный проверяющий тест для схемы S. Поскольку доказательство этого факта практически совпадает с доказательством случая 1(а), упомянем лишь основные факты, касающиеся проверки работы элементов блока S4. На наборе (0n) обнаруживаются все неисправности типа 1 на выходах всех элементов блока S4, кроме Eo и Ei, а также неисправности типа 0 на выходах Eo и Ei (если эти элементы есть в S). На наборе (1, 0n-i) обнаруживаются все неисправности типа 0 на выходах элементов из D2 с нечетными номерами, все неисправности типа 0 на выходах элементов из D3', а также неисправность типа 1 на выходе Eo (если этот элемент есть в S). На наборе (Is, 0n-s) обнаруживаются все неисправности типа 0 на выходах всех элементов из Di (при q > 1), элементов из D2 с четными номерами и элементов из D3. Таким образом, и в этом случае построенная схема S является неизбыточной и указанные 4 набора образуют единичный проверяющий тест для нее.
Случай 2. Функция f (xn) линейная.
Подслучай 2(а). Функция f (xn) — константа 0. Тогда реализующая ее схема S моделирует формулу xi ф xi. Нетрудно заметить, что в этом случае набор (0n) образует единичный проверяющий тест.
Подслучай 2(б). Функция f (xn) — константа 1. Тогда схема S состоит из одного элемента типа "константа 1". И в этом случае набор (0n) образует единичный проверяющий тест.
Подслучай 2(в). Функция f (xn) — не константа. Будем, не ограничивая общности, считать, что f (xn) = xi ф x2 ф • • • ф xr ф ao (1 ^ r ^ n, ао £ {0,1}). Тогда схема S состоит из цепочки C элементов сумм по модулю 2 и, если ao = 1, еще одного элемента типа "константа 1". На входы цепочки подаются переменные xi, x2, • • • , xr (в указанном порядке) и (при ao = 1) выход элемента типа "константа 1". В этом случае наборы (0n) и (1, °n-i) образуют единичный проверяющий тест.
Теорема доказана.
Замечание. Ввиду того что каждую не равную константе функцию f (xn) следует отличать от обеих констант, при n £ N имеет место неравенство Dg> (n) ^ 2.
Автор выражает глубокую благодарность профессору С. А. Ложкину и доценту Ю.В. Бородиной за обсуждение работы и ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ № 09-01-00817-а, 10-01-00768-а и 12-01-00964-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
2. Reddy S.M. Easily testable realization for logic functions // IEEE Trans. Comput. 1972. 21, N 1. 124-141.
3. Редькин Н.П. О схемах, допускающих короткие тесты // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1988. № 2. 17-21.
4. Коваценко С.В. Синтез легкотестируемых схем в базисе Жегалкина для инверсных неисправностей // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 2000. № 2. 45-47.
5. Редькин Н.П. Единичные проверяющие тесты для схем при инверсных неисправностях элементов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 12. М.: Физматлит, 2003. 217-230.
6. Бородина Ю.В. О синтезе легкотестируемых схем в случае однотипных константных неисправностей на выходах элементов // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и киберн. 2008. № 1. 40-44.
7. Бородина Ю.В. О схемах, допускающих единичные тесты длины 1 при константных неисправностях на выходах элементов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 5. 49-52.
8. Бородина Ю.В, Бородин П.А. Синтез легкотестируемых схем в базисе Жегалкина при константных неисправностях типа "0" на выходах элементов // Дискретн. матем. 2010. 22, № 3. 127-133.
Поступила в редакцию 11.02.2011 После доработки 07.09.2011
УДК 511
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ МОМЕНТОВ КАГИ И РЕНКО ДЛЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
М. А. Спиряев1
В статье рассматриваются вероятностные характеристики методов технического анализа Каги и Ренко. Для линейной модели Л. Башелье дается выражение ожидаемой прибыли инвестора, использующего стратегию Каги. Также в работе получены некоторые свойства, связанные с величинами "падения" и "размаха" броуновского движения.
Ключевые слова: броуновское движение, величины "падения" и "размаха" броуновского движения, стратегии Каги и Ренко, моменты Каги и Ренко.
The probabilistic characteristics of Kagi and Renko techniques are studied in the paper. Within the framework of the Bachelier model, a formula for expected gain of a trader following the Kagi strategy is derived. In addition, some properties of the "range" and 'downfall" of the Brownian motion are obtained.
Key words: Brownian motion, "downfall" and "range" of Brownian motion, Kagi and Renko strategies, Kagi and Renko stopping times.
1. Введение. На сегодняшний день существует множество графических методов технического анализа финансовых данных, позволяющих выявлять закономерности в движении цен и делать прогнозы путем анализа их графиков. Многие из этих методов посвящены проблеме определения трендов и моментов в случае, когда один тренд сменяется другим. Широкое распространение в этой связи получили методы Каги и Ренко.
Впервые подробное описание методов Каги и Ренко, а также связанных с ними стратегий было выполнено в работе [1]. В работе [2] приводится статистический анализ стратегий Каги и Ренко и их математическая формализация. В работе [3] исследуются свойства моментов Каги и Ренко для случайного блуждания и дается выражение для ожидаемой прибыли инвестора, использующего стратегию Каги в случае, когда цена актива описывается случайным блужданием.
В настоящей работе исследуется случай, когда цена актива X описывается броуновским движением со сносом (линейная модель Л. Башелье). Вычисляются распределения приращений цены актива в моментах Каги и Ренко, преобразования Лапласа этих моментов, а также математическое ожидание прибыли инвестора, использующего стратегию Каги.
2. Основные определения. Для произвольной величины H > 0 и процесса (Xtиндуктивно определим следующую последовательность моментов остановки.
Базис к0 = inf{u ^ 0: max X — min X = H):
[0,u] [0,u]
если XK0 = maxX, то k^ = inf{u £ [0, k0]: Xu = min X};
[0,ко] [0,ко]
1 Спиряев Максим Александрович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: spiryaevmax@gmail.com.
