Теорема Хелли и сдвиги множеств. Ii. Опорная функция, системы экспонент, целые функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 125-138.

УДК 514.17 : 517.547.2 : 517.555

ТЕОРЕМА ХЕЛЛИ И СДВИГИ МНОЖЕСТВ. II. ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ, СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ, ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ

Б.Н. ХАБИБУЛЛИН

Аннотация. Пусть S — семейство множеств в Rra, S — объединение всех этих множеств и С — выпуклое множество в Мга. В терминах опорных функций множеств из S и множества С устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых некоторый параллельный сдвиг множества С покрывает множество S. Отдельно исследуется двумерный случай, когда множества неограничены, для чего используются дополнительные характеристики множеств. Даны применения этих результатов к задачам неполноты экспоненциальных систем в пространствах функций.

Ключевые слова: выпуклое множество, система линейных неравенств, сдвиг, опорная функция, неполнота систем экспонент, индикатор целой функции.

Mathematics Subject Classification: 52A35, 52A20

1. Введение и некоторые ключевые результаты

Используются обозначения предыдущей первой части работы [1] и, зачастую, не оговаривая специально, известные факты и термины из [2]-[6]. Тем не менее, в п. 1.1 для удобства ссылок мы напоминаем основные элементарные свойства опорных функций. Для S С Rra через cl S, int S, co S обозначаем соответственно замыкание, внутренность, выпуклую оболочку множества S; В(х,г) — открытый шар с центром х радиуса г > 0 в Rra.

1.1. Для произвольного множества S С Rra в обозначении (•, •) для скалярного произведения на R функция

Hs: Rn ^ +то], Hs(а) := sup (a, s), а е Мга,

s£S

— опорная функция множества S С Rra. В частности, если S = 0 — пустое множество в Мга, то Н0(а) = —то, а е Rra, согласно традиционному соглашению sup 0 = —то и inf 0 = +то для пустого подмножества в [—то, +то]. Обратно, если Hs (а) = —то хотя бы для одного а е Rra, то S = 0. Таким образом, если S = 0, то образ Hs(Rra) С (—то, +то]. Наконец, множество S С Rn ограничено, если и только если Hs(Rra) С R. Опорная функция положительно однородна, т. е.

Hs(Ха) = XHS(а), X е (0, +то), а е Rra, А • (±то) := ±то, (1)

субаддитивна, т. е. Hs(а + а') ^ Hs(а) + Hs(а1) для всех а, а' е Rra, полунепрерывна снизу и даже непрерывна, если S ограничено, а также обладает топологически-алгебраическими свойствами Hs = Hc\s = Hcos = Hc\cos, S С Rra, которые для выпуклого S при int S = 0

B.N. Khabibullin, Helly's Theorem and shifts of sets. II. Support function, exponential systems, entire functions. © ХАБИБУЛЛИН Б.Н. 2014. Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00030-a). Поступила 25 февраля 2014 г.

можно дополнить равенствами НтЬ ^ = НтЬс\ я = Дз = Нс\тЬ ^. Очевидно, для одноточечного множества 5 = {х}, х Е Ега при любом а Е Ега имеем Н{х}(а) = (х, а) = (а, х).

Для выпуклого С С Кга множество в С Кга содержится в С при замкнутом С или открытом в, если и только если (а) ^ Не (а) для всех а Е Кга.

Множество 5 С С С Ега предкомпактно включается в открытое множество С, если и только если в индуцированной на С с Кга топологии замыкание с1 в — компакт в С (пишем

5 ш С).

1.2. Основная рассматриваемая задача для в С Кга и выпуклого С С Кга — в терминах опорных функций (прежде всего) или каким-либо иным функциональным способом дать необходимые и достаточные условия, при которых некоторый сдвиг в содержится в С, когда в представлено объединением произвольных множеств. В основе исследования этой задачи лежит элементарное

Предложение 1. Пусть С — непустое выпуклое множество в Кга, 5 С Ега.

Если С замкнутое или в открытое множество, то некоторый сдвиг множества Б содержится в С в том и только том случае, когда найдется х Е Ега, для которого (а,х) + Не (а) ^ Не (а) при всех а Е Ега.

Для открытого С некоторый сдвиг Б предкомпактно включается в С тогда и только тогда, когда в ограничено, т. е. Не(Кга) С К, и найдется х Е Ега, для которого (а,х) + Не (а) < Не (а) при всех а Е Кга.

Доказательство. Некоторый сдвиг множества в содержится в С тогда и только тогда, когда найдется х Е Кга, для которого 5 + х С С, откуда (а, х) + Не (а) = Нз+Х(а) ^ Не (а) для всех а Е Кга. Обратно, если С замкнутое или в открытое множества, то включение в + х С С означает, что, как отмечалось выше, Нз+Х(а) ^ Не (а), где левая часть есть (а,х) + Нечто доказывает первую часть Предложения 1.

Если в — ограниченное множество, то — непрерывная функция, и при этом (•,х) + — Не — полунепрерывная сверху функция и достигает своего максимального значения — е < 0 на единичной сфере с центром в 0. Отсюда в силу положительной однородности опорной функции (а,х) + Нс18(а) + еЩ ^ Нс(а) для всех а Е Кга. Следовательно, имеем включение х + с1 в + еВ(0,1) С С и компактность с1 в в С. Предложение доказана. □

1.3. Приведем в этом подразделе формулировки некоторых характерных результатов для случая выпуклого компакта С С Кга, который рассмотрен достаточно полно (см. Теоремы 1, 2 во Введении). Ситуация неограниченного множества С С Кга ввиду ее многовариантности при п > 3 рассмотрена здесь лишь для некоторых случаев (см. п. 3.1, раздел 3) и несколько более детально для плоского случая п = 2, т. е. для С С С, где комплексная плоскость С отождествляется с К2 (см. п. 3.2, раздел 3). Случаи ни замкнутого, ни открытого выпуклого множества С вовсе не затрагиваются как весьма затруднительные даже в выборе подходящей терминологии. В последнем разделе 4 доказываются теоремы о неполноте систем экспонент в различных функциональных пространствах, иллюстрирующих важность для этих вопросов возможности покрытия сдвигом выпуклого множества некоторого объединения множеств.

Теорема 1 (для выпуклых множеств С Ш Кга). Пусть п Е N С — выпуклое ограниченное множество в Кга, § — семейство множеств из Кга, а Б — объединение всех множеств из §. Допустим, что С замкнутое или Б открытое множество. Тогда попарно эквивалентны следующие четыре утверждения:

1. некоторый сдвиг множества Б содержится в С;

2. для любого набора п +1 множеств ..., вп+1 из семейства § и любого набора п + 1 замкнутых полупространств Сг,... Сп+1, содержащих С и ограниченных опорными гиперплоскостями к выпуклому множеству С, найдется вектор х, для которого каждый сдвиг вк + х содержится в замкнутом полупространстве Ск при всех к = 1,...,п +1;

3. для любого набора п +1 множеств ..., Бп+1 из семейства § и любых наборов п +1 векторов а1,..., ап+1 Е Ега и чисел рг,... ,рп+1 > 0 при условии

п+1 £

к=1

Рк ак = 0

выполнено неравенство

п+1

п+1

У^уРк н8к (ак) ^ ^ Рк Не (ак);

к=1

к=1

4. для любого набора п + 1 множеств п +1 векторов

, Бп+1 из семейства § и для любого набора аг = (ап,.. .,аы) Е Кга,

О^п+1 = (fln+1,1, . . . , &п+1,п) Е К"

ранга г > 0 существует отличный от нуля минор

А

' akljr

акг]1 ' ' акг]г

г-го порядка, для которого выполняются неравенства (к = 1,... ,п +1)

1

А

Няк1 0^1 ) 1 akljl ' ' О'к^г Нс (ак1)

акг31 ' ' акг Зг ' ак]г някг (акг) нзк (ак) < — ^ А акг 31 ' ' акг]г ' ак]г Нс (акг) Нс (ак)

В плоском случае п = 2 отождествляем К2 с комплексной плоскостью С:

К2 Э (х, у) м- х + гу =: г := гегв Е С, г — мнимая единица, г > 0, 9 Е К.

При этом чаще всего по традиции [7], [8] вместо опорной функции рассматривается 2^-периодическая функция Ив: К м [-то, +то], также называемая опорной функцией для в С С и определенная через сужение Нз на единичную окружность по правилу

^(9) := Н8(е*) = вирКе ее-10,

в Е К.

(5)

Ввиду положительной однородности (1) функции Нз она однозначно восстанавливается по функции кз, а Теорема 1 переформулируется как

Теорема 2 (для выпуклых множеств С Ш С). Пусть С — выпуклое ограниченное множество в С, § — семейство множеств из С, а Б — объединение всех множеств из §. Допустим, что С замкнутое или Б открытое множество. Тогда следующие четыре утверждения попарно эквивалентны:

1. некоторый сдвиг множества Б содержится в С;

2. для любого набора трех множеств Б1, Я2, 5э из § и любого замкнутого непустого1 треугольника, описанного вокруг С, найдется точка г Е С, для которой все три сдвига Б1 + г,Я2 + г, Бз + г содержатся в этом треугольнике;

3. для любого набора трех множеств 81,82,8з Е § и для любых наборов трех чисел д1,@2,дз Е К и чисел д1,д2,дз > 0 при условии

д^91 + + дзет = 0

выполнено неравенство

д^(01) + (02) + (0з) ^ дгЬс(01) + д2Ьс(02) + дзкс(0з);

4. для любого набора трех множеств 81,82,8з Е § и для любого набора чисел в1,в2,вз Е К имеют место оба из условий

(a) если всякая разность из этого набора чисел кратна -к, то для каждой пары номеров к,] Е {1, 2, 3}, для которых разность в^ — вк не кратна 2ж, выполнено неравенство

Ч(Ок) + Ч(0,) ^ кс(вк) + кс(д3); (6)

(b) если, — возможно, после перенумерации, — разность в2 — в1 не кратна -к, то справедливо неравенство

к (Й )81п(0з — 02) + к (Й ) + к (й )81п(01—0з)

^ (01)8Ш(02 — 0,) + ^ (9з) + ^ (Чт(02 — 01) ^

81п(0з — 02) , , ^ , , ,81п(01 — 0з)

2. Доказательства Теорем 1 и 2 Доказательство Теоремы 1. Импликация 1^2 очевидна.

Для доказательства импликации 2^1 для каждого вектора а Е Кга, а = 0, обозначим через Са замкнутое полупространство, содержащее С и ограниченное опорной гиперплоскостью к выпуклому множеству С в направлении а, т. е.

Са := {х: (х,а) ^ Нс(а)}.

Здесь Са = Са', если вектора а и а' сонаправлены, т. е. а = аа! при некотором а > 0. Рассмотрим семейство полупространств С := {Са: а Е Кга \{0}}, где пересечение С = Р|а=0 Са ограничено. Утверждение 2 Теоремы 1 означает, что для любого набора п + 1 множеств в1,... , 8п+1 из семейства § и любого набора п +1 замкнутых полупространств Са1,... Сап+1 найдется вектор х, для которого каждый сдвиг + х содержится в замкнутом полупространстве Сак при всех к = 1,... ,п +1, т. е. пересечение

га+1

П —^) к=1

геометрических разностей — Сак непусто. Тогда [1, Теорема 1 о покрытиях сдвигами, Замечание 2, импликация (СБ)^-(Т)] влечет за собой справедливость и импликации 2^1 Теоремы 1.

Для доказательства эквивалентности 2^3 перепишем утверждение 2 в виде системы п +1 линейных неравенств. Утверждение 2 по Предложению 1 эквивалентно бесконечной серии неравенств

(а, х) + Н3к (а) ^ НСа (а) при всех а Е Кга, к = 1,... ,п + 1. (8)

1Под треугольником понимаем также и невырожденный отрезок (только одна сторона нулевой длины), и точку (все стороны нулевой длины, а вершины совпадают), и фигуру, ограниченную двумя параллельными прямыми и пересекающей их прямой (одна вершина — точка то, две стороны бесконечной длины).

Но по построению замкнутых полупространств Сак для всех векторов а, не сонаправ-ленных с ак, имеем Нсак (а) = Следовательно, бесконечная система неравенств (8)

равносильна конечной системе п +1 линейных неравенств

(ак ,х) + Н3к (ак) ^ НСак (ак) при всех ак е Кга, к = 1,... ,п +1,

или иначе, в более традиционной записи,

(ак ,х) - (НСак (ак) - Н3к (ак)) ^ 0 при всех ак е Мга, к =1,...,п + 1. (9)

Совместность такой уже конечной системы линейных неравенств (9) (при любом фиксированном наборе векторов а1,... , ап+1 е Кга) по известной Теореме Александрова-Фань-Цзи [9, Теорема 2.3] эквивалентна утверждению: для любого набора п + 1 чисел р1,... ,рп+1 > 0 при условии

п+1

У^Рк ак = 0

к=1

выполнено неравенство

п+1

^рк (Н8к (ак) - Нс(ак)) ^ 0.

к=1

Последнее эквивалентно высказыванию 3 доказываемой Теоремы.

Возвращаясь к конечной системе п +1 линейных неравенств (9) (при любом фиксированном наборе векторов а1,... ,ап+1 е Кга) по критерию совместности С. Н. Черникова [9, Теорема 1.5] для конечных систем линейных неравенств в обозначениях и соглашениях (2)-(3), система (9) совместна тогда и только тогда, когда выполнено неравенство

1

А

akljl ' ' akljr Нс (ак1) - Няк1 (ак1)

акг]1 ' ' акг]г Не (акг) - Някг (акг)

■ &к]г Нс (ак) - Няк (ак)

> 0, к =1,...,п +1,

что совпадает с неравенством (4). Теорема 1 доказана.

Доказательство Теоремы 2. Легко видеть, что утверждения 1 и 2 — это в точности утверждения 1 и 2 Теоремы 1. Для того чтобы получить утверждение 3 Теоремы 2, запишем утверждение 3 Теоремы 1 для п = 2 с учетом (5) в виде: для любого набора трех множеств 81,82,83 е § и для любых наборов трех чисел а1 = ^е^2, а2 = 12егв2, а3 = Ь3егвз е С, где 11,12,Ь3 > 0, и р1,р2,р3 > 0 при условии

р&е»1 + р212егв2 + р3Ьегвз = 0

выполнено неравенство

Р1Ькв1 (д-) + Р212ЬЯ2 (О2) + РзЬзЬяз (03 ) ^ Р-икс (01) + P2t2hc (02) + РУзХъЬс (0а).

Положив д1 = р111, д2 = р212 ,д3 = р3¿3, с учетом положительной однородности (1) убеждаемся, что последнее утверждение эквивалетно утверждению 3 Теоремы 2.

Докажем теперь, что утверждение 4 Теоремы 1 при п = 2 в точности совпадает с утверждением 4 Теоремы 2.

Три вектора а1,а2,а3 е К2 из (2) можно рассматривать как три комплексных числа

:ю)

а1 := = Ь1 сое в1 + г Ь1 вт в1, Ь > 0,

а,2 := г2е*2 = Ь2 сое в2 + г Ь2 вт в2, Ь2 > 0,

03 := = Ь сое 63 + г Ь Й1П 033, 13 > 0.

Ранг рассматривается над полем К.

Случай ранга г = 1. В этом случае радиус-векторы точек сонаправлены или противоположно направлены. В случае, когда все радиус-векторы сонаправлены, все шесть разностей 6j — 9к, j, к =1, 2, 3, j = к, кратны 2п, обе части неравенства (4) равны нулю в силу 2-^-периодичности функции (5), и неравенство (4) автоматически выполнено. Пусть теперь хотя бы два радиус-вектора противоположно направлены. Для определенности допустим, что это а\ и а,2, т. е. 92 — 9\ кратно ж, но не кратно 2п, и, опять-таки для определенности, А = t\ cos в\ = 0. Тогда (4) перепишется в виде

1

ti cos 6i tk cos 9к

где к

ti cos 9\ 2, 3, или с учетом (5 1

HSl (Ьегв1) Hsk (tk eiSk)

1

ti cos 9\

ti cos 6i tk cos 9k

Hc (he»1) He (tk егвк)

cos 9л

cos 9\ cos 9k

hsi ( hsk (

h)

%)

cos 9л

cos 9\ he (9\) cos 9 k he (9 k)

'11)

Если 93 — 9\ кратно 2n, то обе части последнего неравенства равны нулю и оно автоматически выполнено. Когда разность 9к — 9\ кратна ж, но не 2п, то cos 9к = — cos 9\. Таким образом, в этом случае из (11) следует

hsk (Ok) - ^ hsi (9л) ^ he(9k) - ^ hSl (9г).

cos 9л

cos 9л

'12)

Отсюда и получаем неравенство вида (6) с j = 1, а в силу произвола в выборе Si,S2,S3 в левой части (12) вместо Sk и S\ можем ставить любые из множеств S\, S2, S3. Аналогично поступаем, если cos 9\ = 0, но используем sin9\ = 0. Перебор остальных случаев для г = 1 сводится к перенумерации чисел и множеств. Таким путём получаем п. 4(a). Случай ранга г = 2. Пусть два радиус-вектора точек из (10) линейно независимы — для определенности ал и а2. Это означает, что

А :=

ti cos 9\ t2 sin 92 ti cos 9л t2 sin 92

t1t2 sin(02 - 0i) = 0.

При этом неравенство (4) запишется в виде

1

tit2 sin(02 - 0i)

ti cos 9л sin 9л t2 cos 92 t2 sin 92 t3 cos 93 t3 sin 93

tihsi (9i) t2hs2 (92)

tahs3 (9a) <

1

tit2 sin(02 - di)

ti cos 9л sin 9л t2 cos 92 t2 sin 92 t3 cos 93 t3 sin 93

tihe (9i) t2he (92) hhe (9a)

или

sin(

- di)

cos 9л cos 92 cos 93

sin 9л sin 92 sin 93

hsi ( hs2 ( hs3 (

h) 2) h)

<

sin(

- di)

cos 9л cos 92 cos 93

sin 9л sin 92 sin 93

he (9i) he (92) he (93)

Отсюда, разлагая два определителя по последним столбцам, получаем (7), что завершает доказательство Теоремы 2.

1

1

1

2

2

3. Неограниченное выпуклое замкнутое множество С

3.1. Случай п > 1. В определенных достаточно простых ситуациях аналоги Теорем 1 и 2 можно установить и для неограниченного множества С С Кга. Напомним [1, Определение 1], что ненулевой вектор у € Кга называем направлением звёздости для множества С С Кга (относительно бесконечности), или направлением рецессии, если для любой точки с € С луч гу(с) := {с + ty: t > 0} содержится в С. Вектор у € Ега называется направлением

линейности, если как у, так и противоположный ему вектор —у — направления звёздости для множества С, т. е. для каждой точки с Е С прямая

1У(с) := (с + ty: t Е R} = гу(с) U (г-у(с)) = — (с) (13)

содержится в С. Множество С полиэдрально, если С — пересечение конечного числа замкнутых полупространств, определяемых конечной системой линейных неравенств вида

(а,х) — b ^ 0 при некоторых а Е Rra, b Е R. (14)

При этом сами полупространства, определяемые через (14), называем определяющими полупространствами полиэдрального множества С.

Теорема 3 (для неограниченных выпуклых замкнутых множеств). Пусть С — выпуклое неограниченное замкнутое множество в Rra, п Е N, S — семейство множеств из Rra, а S — объединение всех множеств из S. Допустим, что семейство S конечно, т,. е. card S < ж, а множество С полиэдральное или каждое направление звёздости для С — направление линейности для С. Тогда попарно эквивалентны следующие четыре утверждения:

1. некоторый сдвиг множества S содержится в С;

2. для любого набора п + 1 множеств S\,..., Sn+\ из семейства S и любого набора п + 1 замкнутых полупространств (только определяющих, если С полиэдральное) С\,... Сп+\, содержащих С и ограниченных опорными гиперплоскостями к выпуклому множеству С, найдется вектор х, для которого каждый сдвиг + х содержится в замкнутом полупространстве при всех к = 1,... ,п +1;

3. выполнено утверждение 3 Теоремы 1;

4. выполнено утверждение 4 Теоремы 1.

Доказательство. Пусть C — конечное семейство всех определяющих полупространств, когда С — полиэдральное множество, или, в противном случае, семейство всех замкнутых полупространств, содержащих С и ограниченных опорными гиперплоскостями к выпуклому множеству С. Применяя [1, Теорема 1 о покрытиях сдвигами, условие (F)], при условии конечности (С — полиэдральное множество, семейство S конечно) из эквивалентности (ST)^(T) в [1, Теорема 1] следует эквивалетность 1^2. При условии на направления звёздости пользуемся [1, Теорема 1 о покрытиях сдвигами, условие (d) с cardS < ж], и вновь из эквивалентности (ST)^(T) в [1, Теорема 1] следует эквивалетность 1^2. Остальная часть доказательства (эквивалентности 2^3 и 2^4 Теоремы 3) повторяет без особых изменений доказательство аналогичных эквивалентностей Теоремы 1. □

3.2. Плоский случай. Напомним, что шириной Bs(в) (см. [10, 33], [11, 4.1.1], [12, гл. I, §4]) произвольного множества S С C в направлении 9 Е R называется расстояние между двумя опорными прямыми к S, ортогональными радиус-вектору точки егв. B терминах опорной функции

Bs (в) = hs (в) + hs (в + п) = Hs (егв) + Hs (—егв).

Наименьшая ширина bs := infeeR, Bs(в) называется широтой [12, гл. I, § 4] или толщиной [11, 4.1.1] множества S. Далее, если егв — направление звёздости для выпуклого множества С С C, то число в Е R также удобно называть направлением звёздости. В плоском случае так и будем понимать направление звёздости. В таком понимании число в — направление линейности, если направлениями звёздости являются одновременно и в, и в + ж. Если каждое направление звёздости выпуклого неограниченного замкнутого множества С С C есть направление линейности, то это либо пустое множество, либо вся комплексная плоскость, либо полоса конечной широты, т. е. в любом случае это С — полиэдральное множество, или выпуклый многоугольник в широком смысле (соответственно либо без

вершин и сторон, либо одноугольник с вершиной в то и стороной нулевой длины, либо двуугольник с вершинами в то и с двумя сторонами бесконечной длины). Таким образом, в Теореме 3 условие на направления звёздости множества С вписывается в случай его полиэдральности, и Теорема 3 при п = 2 звучит короче:

Теорема 4 (для неограниченных выпуклых множеств С С C). Пусть С — выпуклый неограниченный замкнутый многоугольник в C (в широком смысле, с конечным числом сторон, среди которых могут быть и стороны бесконечной длины, т. е. лучи или прямые ), S — конечное семейство множеств из C, а S — объединение всех множеств из семейства S. Тогда попарно эквивалентны следующие четыре утверждения:

1. некоторый сдвиг множества S содержится в С;

2. для любого набора множеств S\,S2,S3 из семейства S и любого замкнутого треугольника (в широком смысле, со сторонами, определяющими полиэдральное множество С) найдется точка z G C, для которой сдвиги + £, к = 1, 2, 3, содержатся в этом треугольнике;

3. выполнено утверждение 3 Теоремы 2;

4. выполнено утверждение 4 Теоремы 2.

Но есть немало ситуаций, когда возможны содержательные утверждения либо в более простой форме, либо для не полиэдрального неограниченного выпуклого множества С. Некоторые из них использовались, иногда в неявной форме, в работах [13], [14, § 7], [15, § 4] (см. также [16, пп. 3.2.1-3.2.3]) при исследовании полноты экспоненциальных систем в пространствах функций на неограниченных выпуклых множествах.

Для выпуклого множества С С C дугой рецессивности, или звёздости (относительно бесконечности), называем дугу единичной окружности с центром в нуле, образованную пересечением этой единичной окружности с множеством всех направлений звёздости для С [2, гл. II, § 8]. Дугу звёздости обозначаем как 0+С. Множество С ограничено тогда и только тогда, когда дуга звёздости — пустое множество [2, гл. II, Теорема 8.4]. Если дуга звёздости выпуклого множества С содержит дугу раствора > ж, то С = C. Для произвольного множества S С C также определим дугу звёздности 0+$ := 0+ co S.

Пусть S С C. Определим функции срезанных верхней и нижней ширины множества S относительно точки s в направлении 9 = 0 по правилу

Wg(x\ s) := sup{Im z — Im s: z G S, Im z > Im s, Re z = x}, x G R, (15)

s) := sup{Im s — Im z: z G S, Im z ^ Im s, Re z = x}, x G R,

где, как обычно, sup 0 := —то для пустого подмножества 0 С [—то, +то].

Для неограниченного выпуклого множества С С C, звёздного в направлении 9 = 0, определения функций W^(•; с) и W^(•; с) относительно точки с G С в направлении 9 = 0 иллюстрирует рис. 1.

Теорема 5. Пусть S С C, С — выпуклое множество в C.

1. Если С имеет хотя бы два направления звёздости 9г,92 G R и разность 9\ — 92 не кратна -к, а S ограничено, то некоторый сдвиг множества S содержится в С.

2. Если 0 < 92 — 9i ^ ж и дуга ^ (9\,92) := {eie: 9Х < 9 < 92}, содержится в 0+С, а также ^ (9'i,9'2) D 0+5 и 9\ < 9[ < 9'2 < 92, то некоторый сдвиг множества S содержится в С.

3. Если множество С замкнуто и имеет лишь два различных направления звёздости 9\ и 92 с точностью до слагаемого, кратного 2ж, а разность 92 — 9\ кратна ж, но не кратна 2ж, — для определенности рассматриваем 9\ = 0 и 92 = ж, — то С — горизонтальная полоса конечной толщины be = Вс (к/2), а некоторый сдвиг множества S содержится в С тогда и только тогда, когда ширина Bs(^/2) множества S в направлениии ж/2 не превышает толщины be полосы С.

4. Если множество С замкнуто и имеет лишь одно направление звёздости 9 = 0 с точностью до слагаемого, кратного 2ж, то некоторый сдвиг множества Б содержится в С в том и только том случае, когда найдутся числа в Е С, с Е С, а также х0 Е К, для которых выполнены неравенства

!

Ws(x•, в) ^ ШС(х + х0; с) при всех х Е К, , .

в) ^ (х + х0; с) при всех х Е К.

Доказательство. 1. По условию первого утверждения Теоремы 5 выпуклое множество С содержит угол ненулевого раствора, куда всегда можно поместить параллельным переносом ограниченное множество в.

2. В условиях утверждения 2 рассмотрим числа 9'{,9'2, удовлетворяющих неравенствам < в" < 9[ < 9'2 < в2 < . По определению направления звёздости нетрудно видеть,

что множество С содержит некоторый сдвиг угла / [9'{,9'£] := {гегв: г > 0, 9\ ^ 9 ^ 9''}, а некоторый сдвиг множества $ содержится в угле / [9[,9'2] С / [9'{,9'2]. Утверждение 2 доказано.

3. В условиях утверждения 3 для любой точки с Е С замкнутое выпуклое множество С содержит в себе прямую (13) вида 10(с), т.е. горизонтальную прямую, проходящую через точку с [2, Теорема 8.3], [1, Предложение 1]. Таким свойством на плоскости обладают лишь сама плоскость, полуплоскость с границей, параллельной вещественной оси, и горизонтальная полоса конечной толщины. Но плоскость и полуплоскость имеют более двух (с точностью до числа, кратного 2ж) направлений звёздости. Значит С — действительно горизонтальная полоса конечной толщины Ьс = Вс (к/2). Заключительная часть утверждения 3 о сдвиге множества Б теперь очевидна.

4. В условиях утверждения 4 (полезно ориентироваться на рис. 1) докажем достаточность. На первом шаге сдвиг плоскости С вместе с множеством Б на число с — в совмещает точки в и с, а множество в сдвигается в множество в' := в + (с — в), для которого в силу

(16) при некотором х0 G R выполнены неравенства

W%(х; с) ^ W^(х + х0; с) при всех х G R, Wg,(х; с) ^ W^(х + х0; с) при всех х G R.

Заметим, что в силу выпуклости С функции срезанных верхней и нижней ширины wq (x,s) и wq (х,с) возрастают по переменной х в нестрогом смысле: (х1 ^ х2^ (W^(х1,с) ^ wq(х2,с)) и аналогично для W^0,с). Поэтому, осуществив еще один сдвиг множества S' = S + (с — s) на достаточно большое значение х'0 > х0 в силу условия (17) поместим сдвиг S + (с — s) + х'0 в С.

Необходимость (16) при некоторых s G C, с G С, х0 G R достаточно очевидна ввиду определения (15) функций срезанных верхней и нижней ширины. Теорема 5 доказана. □

Пример 1. Этот пример показывает, что в утверждении 4 Теоремы 5 урезанные верхние и нижние ширины множеств S и С нельзя заменить просто на длины сечений

Ws(ж) := sup{| Imz1 — Imz2|: z\,z2 G S, Rez1 = Rez2 = x}

и Wc (x) даже для выпуклого множества S. Достаточно рассмотреть множества

S := {х + гу G C: х,у G R, х > 0, 0 ^ у ^ arctgх}, С := {х + гу G C: х,у G R, х > 0, — arctgх ^ у ^ 0},

которые имеют единственное (с точностью до числа, кратного 2ж) направление звёз-дости в = 0 и толщину ж/2. При этом Ws(х) = Wc (ж) = arctg х при х > 0 и Ws (х) = Wc (х) = —то при х < 0. Но никакой сдвиг S не содержится в С.

4. Неполнота систем экспонент и целые функции экспоненциального типа

В этом параграфе демонстрируется связь предыдущих результатов о сдвигах множеств с неполнотой систем экспонент в пространствах функций.

4.1. Общий случай Cra, п > 1. Пусть п G N, Cn — n-мерное комплексное пространство над полем C, наделённое евклидовой метрикой пространства R2ra, т. е. Cra отождествляется с R2ra: каждой точке

z =(zi,...,zn) G Cn, zk = xk + iyk, xk,yk G R

сопоставляется точка (x\,y1,... ,xn,yn) G R2ra; z := (z1,...,zn) G Cra. Для A = (Ai,..., An) G Cn полагаем

(A, z) := XiZi + ... Xnzn G C, |z| := \J(z,z)

— норма в Cra. Для окрытого множества П С Cn через Hol(Q) обозначаем пространство всех голоморфных в П функций, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах, а для компакта С С Cra через CHol(C) — банахово пространство функций f: С ^ C, непрерывных на С и голоморфных во внутренности int С, если она непустая, со стандартной нормой

II/\\снлю :=sup{|/(z)|: z G C}.

Пространство линейных непрерывных функционалов на CHol(C) образовано комплексно-значными мерами Радона ^ с носителем supp ^ С С [17, Appendix А]. Такая мера для каждого функционала неединственна. Более того, при п > 1 нельзя даже утверждать, что для заданного линейного непрерывного функционала на CHol(C) найдется мера с наименьшим

относительно включения носителем, представляющая этот функционал [18, гл. 8]. Характеристической функцией (преобразованием Фурье-Бореля, или Фурье-Лапласа, или Лапласа) функционала-меры ¡л называют функцию

L„(А):= = /ФМ, А Е С» (18)

Это целая функция экспоненциального типа, т. е.

, log м А)| <

Iim sup-—- < то.

Класс всех целых функций экспоненциального типа обозначаем Ent[1, то). Если характеристическая функция Lß ненулевая, то функционал, порожденный мерой ß на CHol(C), ненулевой.

Пусть Z+ := {0} U N. Функцией-дивизором на С» называем отображение Л: С» ^ Z+ и носитель дивизора, как обычно, обозначаем supp Л С С». Пусть

р = (ръ ... , рп) Е Z+, z = (гъ ..., z») Е С», zp := Д 4"

к=1

В этих обозначениях каждому дивизору Л на Сп (см. [16, гл. 4]) сопоставляется система (кратных) экспонент на Сп

ЕхрЛ := [гре{х>: г € Сп, Л € виррЛ,р 1 + ■ ■ ■ + Рп ^ Л(Л) - 1}.

Функции Ь € ЕП;[1, то) можно сопоставить дивизор нулей Zeroь: Сп ^ Z+, который в каждой точке г € Сп равен кратности нуля функции Ь в точке г. Для произвольного дивизора Л пишем далее Л ^ Zero¿м, если Л( Л) ^ Zero ( Л) для всех Л € Сп. Давно известно ([16, Теорема 1.1.2]), что если найдется мера у с вирру С С и с ненулевой характеристической функцией Ьц вида (18), для которой Л(Л) ^ ZeroЬм(Л) при всех Л € Сп, то система1 ЕхрЛ неполна в пространстве CHol( С).

Комплекснозначная мера у, заданная на Сп, сосредоточена на множестве 8 С Сп, если для любого А С Сп имеет место равенство у (А) = у(А П в).

Теорема 6. Пусть п € М, С — выпуклый компакт в Сп, а — не

более чем счетная последовательность комплекснозначных мер Радона, сосредоточенных соответственно на множествах 81,82, ■■■ С Сп. Если для семейства § = [8\, 82,... } выполнено хотя бы одно из четырех эквивалентных утверждений Теоремы 1, ряд^к> 1 слабо* сходится (на пространстве непрерывных функций) к мере у и

(Сп) = 0, (19)

к>1

то в обозначениях (18) для любого дивизора Л ^ Zero система экспонент ЕхрЛ неполна в пространстве СНэ1( С).

Доказательство. При слабой* сходимости ряда ^к> 1 к мере у носитель меры у содержится в замыкании объединения 8 = 1 8к, и нетрудно показать, что в обозначениях (18) ряд к>1

= Ь, (20)

к 1

1 Система векторов в топологическом векторном пространстве неполна, если замыкание ее линейной оболочки не совпадает с пространством.

сходится равномерно на компактах из Cn к функции L^ Е Ent[1, то), для которой ввиду (19) имеем L^(0) = 0. Если сдвиг С + а множества С покрывает все Sk одновременно, то такой же сдвиг С + а покрывает и cl S. Тогда ненулевая функция

е{-а'-] • L^ Е Ent[1, то) (21)

— характеристическая функция меры определенной по правилу ^а(А) = ^(А — а), где А

— произвольное борелевское множество в Cn, а мера с носителем supp С С порождает ненулевой функционал. Этот функционал аннулирует систему экспонент с дивизором показателей, совпадающим с дивизором нулей функции (21), который равен Zero^^ и, тем более, аннулирует систему экспонент ЕхрЛ, поскольку Л ^ Zero^M. Следовательно, система ЕхрЛ неполна в CHol(C) [16, Теорема 1.1.2]. □

Замечание 1. При произвольном Ао Е Cn условие (19) можно заменить на

ем d^k(z) = 0.

к>1 ^

Можно сформулировать подобную Теореме 6, но несколько более слабую теорему безотносительно к мерам только в терминах целых функций экспоненциального типа и их радиальных регуляризованных индикаторов роста.

Прежде всего отметим, что верно и обратное к (18): если L Е Ent[1, то), то для L найдется (неединственная) мера ^ с компактным носителем в Cra, для которой L = L^ в обозначениях (18). Для каждой функции L Е Ent[1, то) определяется полунепрерывная сверху функция [18, гл. I, § 8]

h*(z,L) :=limsup limsup ———(—— , (22)

z'^z t

называемая радиальным регуляризованным индикатором роста при порядке 1 целой функции L. Если для выпуклого компакта С С Cn с опорной функцией Не (отождествляем Cn с R2ra) и функции L Е Ent[1, то) имеет место неравенство h*(~z, L) ^ Не(z), z Е Cra, то по Теореме Мартино-Эренпрайса-Пойа [18, Теорема 8.9], [19, Теорема 12.3] для любой области П D С функция L — характеристическая функция некоторой меры ^ с компактным носителем supp ^ С П.

Теорема 7. Пусть п Е N, С — выпуклый компакт в Cra,

L1 ,L2, •••е Ent[1, то) (23)

— конечная последовательность ненулевых функций на Cra с радиальными регуляризован-ными индикаторами роста Lk), k =1, 2,..., и при каждом к для некоторой непрерывной положительно однородной сублинейной функции на R2ra, отождествленном с Cra, т,. е. для опорной функции HSk некоторого выпуклого замкнутого множества Sk, выполнено неравенство h*(z, Lk) ^ HSk (z) при всех z Е Cra. Если для семейства S = {¿1, S2,... } выполнено хотя бы одно из четырех эквивалентных утверждений Теоремы 1, и

^ Lk = L (24)

k>1

— ненулевая функция, то для любого дивизора Л ^ Zero^ система ExpЛ неполна в пространстве Но1(П) для любой области П D С.

Доказательство. Пусть сдвиг С + а выпуклого компакта С покрывает все Sk, а область П + а содержит С + а. Тогда по Теореме Мартино-Эренпрайса-Пойа для некоторой меры ^ с компактным носителем supp ^ С П + а в обозначениях (18) L = L^. Следовательно, система экспонент ExpZer°L аннулируется ненулевым функционалом-мерой ^ на Но1(П + а).

Это значит, что система Ехрл при Л ^ Zero^ неполна в пространстве Hol(Q + а). Отсюда система Ехрл неполна в Hol(^). Теорема доказана. □

Замечание 2. В Теореме 7 последовательность функций в (23) можно считать бесконечной (счетной), но при этом необходимо требовать довольно жесткую сходимость от ряда из (24). Например, достаточно, чтобы такой ряд сходился равномерно на компактах в С» и равномерно по N выполнялась оценка

| ^^ Lk(z) ^ Мехр(Ясоyksk(z)), zE С», М — постоянная.

К к< N

Можно усилить Теорему 7 и в другом направлении, а именно: система Ехрл неполна в пространстве Hol( С) функций, голоморфных в окрестности компакта С, с естественной топологией индуктивного предела (см. [16], [18], [19]).

4.2. Плоский случай п =1. При п =1 несколько упрощается трактовка отдельных объектов, участвующих в формулировках Теорем 6 и 7.

Вместо функции-дивизора уместнее рассматривать не более чем счетную последовательность точек Л = {Хк}к>1 С С , среди которых могут быть и повторяющиеся, но последовательность Л не имеет предельных точек в С. Последовательности Л сопоставляется система (кратных) экспонент

Ехрл := {zpe: z Е С, 0 ^ р ^ пл(Хк) - 1},

где пл (А) — число повторений точки Л Е С в последовательности Л. Ненулевой функции L Е Ent[1, то) соответствует последовательность нулей Zerob, перенумерованная с учетом кратности. При этом Л ^ Zero ь означает пл(Х) ^ nZerOL(А) для всех А Е С. В такой трактовке надо заменить в заключении Теоремы 6 фразу «... для любого дивизора Л ^ Zero ... » на «... для любой последовательности Л ^ Zero ... ».

Что касается Теоремы 7, вместо радиального регуляризованного индикатора роста при порядке 1 целой функции L Е Ent[1, то) можно рассматривать индикатор роста

h(d, L) := lim sup bg lL(^)l , в Е R, (25)

t

— непрерывная 2-^-периодическая тригонометрически выпуклая функция [7], [8], [16], которая является опорной функцией некоторого выпуклого компакта (индикаторной диаграммы), или опорной функцией hs(0) = h(-9, L) сопряженной диаграммы S функции L. Тогда Теорема 7 переформулируется как

Теорема 8. Пусть С — выпуклый компакт в С, (23) — конечная последовательность ненулевых функций на С соответственно с сопряженными диаграммами Sk, к = 1, 2,... . Если для семейства множеств S = { S1,S2,... } выполнено хотя бы одно из четырех эквивалентных утверждений Теоремы 2 и функция L из (24) — ненулевая функция, то

для любой последовательности Л ^ Zerob система Ехрл неполна в Hol(^) для любой области П D С.

Замечание 3. По отношению к Теореме 8 остается в силе Замечание 2.

Автор глубоко признателен А. С. Кривошееву за полезные обсуждения отдельных вопросов, касающихся целых функций многих переменных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хабибуллин Б.Н. Теорема Хелли и сдвиги множеств. I // Уфимский математический журнал. 2014. Т. б, № З. С. 98-111.

2. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. M.: Mир. 197З.

3. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. M.: Наука. 19ВБ.

4. Тихомиров B.M. Выпуклый анализ // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. Mатематический ин-т им.В.А. Стеклова РАН. Mосква. 1987. Т. 14. С. 5-101.

Б. Mагарил-Ильяев Г. Г., Тихомиров В. M. Выпуклый анализ и его приложения. M.: Эдиториал УРСС. 2000.

6. Половинкин Е.С., Балашов M.B. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. M.: Физ-матлит. 2004.

7. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. M.: Физматгиз. 19Бб.

В. B.Ya. Levin Lectures on entire functions. Transí. Math. Monographs. Providence RI. Amer. Math. Soc. V. 1Б0. 199б.

9. Черников С.Н. Линейные неравенства. M.: Наука. 19бВ.

10. Боннезен Т., Фенхель В. Теория выпуклых тел. M.: Фазис. 2002.

11. Хадвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. M.: Наука. 19бб.

12. Сантало Л. Интегральная геометрия и геометрические вероятности. M.: Наука. 19ВЗ.

13. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Докл. АН СССР. 1988. Т. З02, № 2. С. 270-27З.

14. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Mатем. сборник. 1989. Т. 180, № Б. С. 70б-719.

15. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа с заданными нулями вдоль прямой // Analysis Math. 1991. Т. 17, № З. С. 2З9-2Бб.

16. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности (издание четвертое, дополненное). Уфа: РИЦ БашГУ. 2012.

17. T. Ransford Potential Theory in the Complex Plane. Cambridge: Cambridge University Press. 199Б.

18. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных M.: Mир. 1989.

19. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. M.: Наука. 1982.

Булат Нурмиевич Хабибуллин,

ФГБОУ ВПО «Башкирский государственный университет», ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]