Интегралы от экспоненты по мере Радона Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 2 (2011). С. 57-80.

УДК 517.442

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭКСПОНЕНТЫ ПО МЕРЕ РАДОНА

Аннотация. В данной статье изучаются свойства множеств сходимости интегралов от экспонент в конечномерном евклидовом пространстве. К таким множествам, в частности, относятся множества абсолютной сходимости рядов экспонент. Показано, что эти множества всегда выпуклы.

Вводится специальный класс выпуклых множеств, и в терминах этого класса для открытых и относительно замкнутых выпуклых множеств найдено полное описание множеств сходимости.

Приводятся необходимые и достаточные условия, при которых любое множество сходимости открыто и, отдельно, неограничено.

Ключевые слова: выпуклые множества, меры Радона, интегралы Лапласа, абсолютно сходящиеся ряды экспонент.

1. Введение

Первым результатом, относящимся к тематике данной статьи, можно считать следующее свойство рядов экспонент (см. [1], [2], с. 194-195).

Множество абсолютной сходимости ряда экспонент

выпукло, внутри этого множества ряд сходится равномерно на компактах.

На многомерные ряды экспонент доказательство о выпуклости переносится непосредственно, вторая же часть из приведенных работ не следует.

Свойства множеств абсолютной сходимости рядов экспоненциальных мономов одной комплексной переменной в зависимости от показателей, удовлетворяющих некоторым условиям, рассматривались в статье [3].

Пусть Е — конечномерное евклидово пространство над полем вещественных чисел. Скалярное произведение элементов х, у Є Е будем записывать как ху.

Типичным примером такого пространства служит пространство Кт, т Є N с обычным скалярным произведением.

Другой пример — конечномерное евклидово пространство Н над полем комплексных чисел со скалярным произведением г,ш, если новое скалярное произведение задать как

где z, w Е H.

Через S и B будем обозначать соответственно единичную сферу и замкнутый единичный шар с центрами в нуле пространства E.

S.G. Merlyakoy, Integrals of exponential functions with respect to Radon measure.

© Мерзляков С.Г. 2011.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00 779) и Гранта Президента РФ НШ 3081.2008.1.

Поступила 21 февраля 2011 г.

С.Г. МЕРЗЛЯКОВ

ГО

2. Определения и предварительные результаты

{z, w) = Re zw,

Опорная функция множества M С E определяется по формуле

H(Л, M) = sup Ax, А е E.

xeM

Это однородная выпуклая функция.

В силу однородности опорную функцию достаточно знать на единичной сфере. Приведем примеры опорных функций.

Пример 1 Для вектора а е S и числа с е R опорная функция гиперплоскости M = {x е E : ах = с} задается формулой

+ оо, s = ± а

H (s,M)

± с, 5 = ±а где 5 Є 8.

Действительно, пусть 5 Є 8, 5 = ±а. Ясно, что в таком случае число і = аз будет удовлетворять неравенству |і| < 1. Для фиксированного числа г Є К вектор

с — гі г — сі

х =--------~ а +------— з,

1 — і2 1 — і2 ’

очевидно, обладает свойством ах = с, зх = г, откуда и вытекает искомое.

Пример 2 Для вектора а Е S и числа c Е R опорная функция полупространства M = (ж Е E : ах ^ с} задается формулой

( +оо, s = а H (s,M ) = ,

[с, s = а

где s Е S.

Это несложно вывести из предыдущего.

Замыкание и внутренность множества M будем записывать соответственно как M и int M.

Через aff M обозначается аффинная оболочка множества M, то есть множество векторов вида ¿ix + ■ ■ ■ + tkxk, где Xj Е M, tj Е R, j = 1,. . . , k, и ti + ■ ■ ■ + tk = 1. Для любого вектора a Е aff M множество aff M — a является линейным пространством.

Относительную внутренность ri M множества M определим как его внутренность в пространстве aff M с индуцированной топологией.

Если выпуклое множество M не пусто, то и множество ri M будет не пустым (см. [4], с. 60).

Для линейного подпространства L С E через П^ будем обозначать ортогональную проекцию пространства E на подпространство L.

Пусть S является замкнутым подмножеством единичной сферы S.

Слабо S-выпуклую оболочку множества M определим как совокупность точек x Е E, которые удовлетворяют условию

sx ^ max sx,, s Е S, (1)

i <j<fc j

для некоторой системы векторов x1,..., xfc Е M. Это множество будем записывать как

convs M. Множества, совпадающие со своей слабо S-выпуклой оболочкой, назовем слабо

S-выпуклыми.

Очевидно, что слабо S-выпуклая оболочка сохраняет включения, а именно:

M1 С M2 ^ convS M1 С convS M2. (2)

Несложно видеть, что в случае равенства S = S, слабо S-выпуклая оболочка совпадает с обычной выпуклой оболочкой.

Как легко показать, для любого множества M С E имеет место равенство

H(s, convSM) = H(s,M), s E S. (3)

Для числа e > 0 будем полагать

S£ = {s E S : 3u E S, |s — u| ^ e} .

В дальнейшем нам пригодится такой несложный результат.

Лемма 1. Для множества M С E и компакта

K С {x E E : sx < H(s, M), s E S}

найдутся число e > 0 и система векторов x^ ... ,xk E M, что будет выполнено включение:

K С convse {xi,... ,xfc} .

Доказательство. Для любых фиксированных точек y0 E K и so E S найдется вектор Xo E M с условием s0y0 < s0x0. В силу непрерывности получим неравенство sy < sx0, где |s — s0| <8, |y — y0| <8, s E S,y E E, для некоторого числа 8 > 0.

Но множество S х K является компактом в топологическом произведении S х E, поэтому можно найти число e > 0 и вектора xi,... , xk E M, что

sy < max sxj, s E S£, y E K, i^j^k

из чего и вытекает искомое. □

Следствие 1. Пусть множество M С E слабо Ss-выпукло для любого числа e > 0. Тогда множество int M является слабо S-выпуклым и имеет место равенство:

int M = {x E E : sx < H(s, M), s E S} . (4)

Действительно, если точка x принадлежит левой части этого соотношения, то найдется число e > 0, для которого имеет место включение x + eB С M, и поэтому, sx + e ^ H(s, M), s E S, так что эта точка лежит в правой части.

Обратное включение вытекает из условия на множество M и только что доказанной леммы.

Правая часть соотношения (4), очевидно, слабо S-выпукла.

Следствие 2. Для выпуклого множества M С E и компакта K С ri M найдутся вектора xi,... ,xk E M, что

K С conv {xi,... , xk} .

Можно считать, что 0 E ri M.

Положим L = aff M. Применяя лемму для евклидова пространства L в случае S = L ПS, найдем систему точек xi,... , xk E ri M, удовлетворяющих соотношению

sx ^ max sx,, s E S, x E K. i^j^k

Для произвольной точки s E S, очевидно, имеют место равенства sx = n^(s)x, x E M, из чего и вытекает искомое.

Предложение 1. Для слабо S-выпуклого множества M С E и компакта K С ri M имеет место включение convSK С ri M.

Доказательство. Согласно только что доказанному результату, найдутся точки xi,... , xk E M, что выполняется включение

K С conv {xi,... , xk} ,

и, значит, K С convs {xi,... , xk}. Последнее множество слабо S-выпукло и замкнуто, из чего и вытекает искомое. □

Множество M, для которого выполнено равенство

M = {x E E : sx ^ H(s, M), s E S} (5)

называется S-выпуклым (см. [5], гл. III). Такое множество, очевидно, будет замкнуто.

Как несложно показать, для любого множества D С E множество

{x E E : sx ^ H(s,D), s E S}

будет S-выпуклым. Частным случаем таких множеств, очевидно, является множество convs {xi, . . . , xk} для произвольной системы векторов xi, . . . , xk E E.

Ясно, что S-выпуклые множества будут слабо S-выпуклыми, а последние — выпуклыми.

Заметим, что определенные выше операции, как несложно показать, перестановочны со сдвигами, а именно:

x + M = x + M, int (x + M) = x + int M, ri (x + M) = x + ri M, aff (x + M) = x + aff M, (6)

convS(x + M) = x + convSM, H(s,x + M) = sx + H(s, M), где множество M С E, x E E.

3. Свойства специальных выпуклых множеств

В данном параграфе мы приведем свойства S-выпуклых и слабо S-выпуклых множеств (см. также [6], §4).

Имеют место следующие простые факты.

Предложение 2. Пересечение слабо S-выпуклых множеств слабо S-выпукло.

Предложение 3. Пусть {Ma : а E A} — семейство линейно упорядоченных по вклю-

чению множеств Ma С E.

Тогда имеет место равенство:

convs У Ma = (J convs M«.

Следствие Объединение возрастающей по включению последовательности слабо S-выпуклых множеств слабо S-выпукло.

Предложение 4. Пусть множество M С E слабо S-выпукло и не пусто.

Тогда следующие множества также будут слабо S-выпуклыми:

1. M + x0, x0 E E.

2. tM, t > 0.

3. ri M.

4. M.

5. aff M.

Доказательство. Для первых двух множеств зто очевидно.

Принимая во внимание равенства (6), можно считать, что 0 Е ri M, и последние три множества будут слабо S-выпуклыми в силу известных равенств

ri M = U tM, M = р| tM, aff M = У tM,

0<t<1 t>1 t>0

и предыдущих утверждений. □

Для дальнейшего нам понадобится следующий результат.

Предложение 5. Пусть M С E выпуклое множество, для которого выполнено условие

ri M P| ri convSM = 0.

Тогда

ri convS M = convSri M.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что

0 Е ri M P| ri convSM.

Применяя доказанные свойства слабо S-выпуклых оболочек, получим:

ri convSM = |^J t convSM = |^J convStM = convS |^J tM = convSri M, t<i t<i t<i

что и доказывает утверждение. □

Следствие 1 Пусть для выпуклого относительно открытого множества U С E имеет место соотношение

U Q ri convSU = 0.

Тогда множество convs U также является относительно открытым.

Следствие 2 Пусть M С E выпуклое множество, для которого выполнено включение

ri convS M С M.

Тогда множество ri M будет слабо S-выпуклым.

Действительно, из условия на множество и соотношения M С convsM заключаем, что выпуклые множества convsM и M будут одной размерности. В таком случае, очевидно, выполняется включение ri convsM С ri M, и искомое вытекает из вышеприведенного утверждения и включения convsri M D ri M.

Для точки x Е E и множества M С E через p(x, M) будем обозначать расстояние от точки x до множества M.

Для множества M С E через д M будем обозначать относительную границу множества M.

Нам понадобится следующий результат.

Лемма 2. Пусть M С E замкнутое выпуклое множество.

Имеет место соотношение

( р(х, д M), x Е M maxi*. - Я(S,MИ = | _р(х_ам)_ х е м-

Доказательство. Для точки х Е Е положим г = р(х, д М) и обозначим через х0 € Е точку, для которой выполнено равенство |х0 — х| = г.

Если х Е М, то из теоремы Хана-Банаха несложно вывести существование вектора в0 Е 8, что для любых векторов у Е Е и ,ш Е Мвыполнена импликация

|у — х| ^ г ^ Зоу ^ 5оад,

из чего следует неравенство в0х — г ^ Н(в0, М).

С другой стороны, для любого вектора в Е 8 получим

— Н(в, М) ^ —вх0 = в [—х + (х0 — ж)] ^ —вх + г,

и первая половина леммы доказана.

Пусть теперь х Е М. В таком случае будет выполнено неравенство вх + г ^ Н(в, М), в Е

8.

Обратно, для точки в0 Е 8, определяющей касательную гиперплоскость к множеству М в точке х0, получим

Н(в0, М) = в0х0 = в0 [х + (х0 — ж)] ^ в0х + г, что и доказывает лемму. □

Следствие Для замкнутого выпуклого множества М С Е функция

р(х,дМ), х Е М

является выпуклой.

^(х) 1 —р(х,дМ), х Е М

Действительно, это вытекает из только что доказанной леммы и теоремы 5.5 монографии [4].

Предложение 6. Пусть ^ С Е линейное подпространство, {0} = ^ = Е, ¿2 = ¿^, множество Б = {в Е 8 : |ЩХ (в)| ^ е} для некоторого числа е, 0 < е ^ 1, а выпуклое множество и С ¿1 открыто в топологии пространства Ь1.

Тогда выполнено соотношение

еопу^и = {ж Е Е : х = х1 + х2, х1 Е и, х2 Е ¿2,

(7)

/1 — е2|х2| < ер(х1, д и) | .

Доказательство. Обозначим правую часть равенства (7) через О и покажем, что имеет место соотношение

О = {ж Е Е : вх < Н(в, и), в Е Б} . (8)

Заметим, что в силу включения и С ¿1 выполнено равенство

Н(в, и) = Н(Щх(в), и).

Любой вектор х, принадлежащий правой части (8), единственным образом представляется в виде х = х1 + х2, х1 Е ¿1, х2 Е ¿2. Если х2 = 0, то положим

/1 — е2х2 в2 = |Ж2| ,

в противном случае пусть в2 произвольный вектор пространства ¿2 с условием |в2| = /1 — е2.

Для любой точки в1 Е ¿1, |в1| = е вектор в = в1 + в2 принадлежит множеству Б,

поэтому вх = в1х1 + в2х2 = в1х1 + л/1 — е2|х2| < Н(в1, и), и из леммы 2 несложно вывести,

что х1 Е ¿1 и V1 — е2|х21 < ер(х1, д и).

Обратно, пусть точка x принадлежит левой части (8). Любой вектор s Е S можно представить в виде s = s1 + s2, s1 Е Li, s2 Е L2, и, по условию, будут выполняться неравенства |s1| ^ е, |s2| ^ V1 — е2. Используя лемму 2, получим

sx = s1x1 + s2x2 < H(s1, U) — |s1 |p(x1, d U) + ep(x1, d U) ^ H(s1, U),

что и доказывает равенство (8).

Из следствия 1 леммы 1 вытекает равенство

int convS U = D,

а так как множество D, очевидно, открыто и U С D, то искомое, в конце концов, получим из следствия 1 предложения 5. □

Предложение 7. Пусть гиперплоскость L = {x Е E : ax = 0} для некоторого вектора а Е S, множество S = {s Е S : as ^ е} для фиксированного числа е, 0 ^ е < 1, а

выпуклое множество U С L открыто в топологии пространства L.

Тогда выполнено соотношение

ri convSU = {x Е E : x = x1 + ta, x1 Е U,

/_____ (9)

t > 0, еí < V1 — е2p(x1,ÖUH .

Доказательство. Как и выше, обозначим правую часть равенства (9) через D и покажем, что имеет место соотношение (8).

Любой вектор x, принадлежащий правой части (8), единственным образом представляется в виде x = x1 + ta, x1 Е L, t Е R, и так как точка — а, очевидно, принадлежит множеству S, должно выполняться неравенство

—ax = —t < H(a, U) = 0,

т. е., t > 0.

Для любого вектора s1 Е L, |s1| = 1 вектор s = \Jl — е2s1 + еa принадлежит множеству S, поэтому sx = s1x1 + еt < H(s1,U), и из леммы 2 несложно вывести, что x1 Е L1 и tе < /1 — е2p(x1,öU).

Обратное включение доказывается как и выше, и искомое вытекает из соотношения (3). □

Приведем несколько результатов о S-выпуклости слабо S-выпуклых множеств.

Предложение 8. Замкнутое слабо S-выпуклое множество M С E с непустой внутренностью будет S-выпуклым.

Доказательство. Можно считать, что 0 Е int M.

Из предложения 4 и следствия 1 леммы 1 заключаем, что

int M = {x Е E : sx < H(s, M), s Е S} .

Это представление, как несложно видеть, влечет соотношение

M С {x Е E : sx ^ H(s, M), s Е S} .

Обратно, пусть x Е E и sx ^ H(s, M), s Е S. Как легко видеть,

H(s, M) > 0, s Е S,

поэтому для числа t, 0 < t < 1 будет выполнено

sy < H(s, M), s Е S,

где y = tx, так что tx Е int M, и, следовательно, x Е M. □

Предложение 9. Для выпуклого компакта K С E имеет место равенство:

convSK = {x G E : sx ^ H(s, K), s G S} . (10)

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что 0 G ri K.

Очевидно, что левая часть соотношения (10) является подмножеством правой.

Обратно, пусть для точки x G E выполнено неравенство

sx ^ H(s, K), s G S.

Тогда для числа t, 0 < t < 1, получим:

sy ^ H(s, tK), s G S,

где y = tx.

Компакт tK, очевидно, есть подмножество ri K, поэтому из следствия 2 леммы 1 заключаем, что

H(s,tM) ^ max sx,-, s G S

для некоторых векторов x1,... , xk G K.

Итак, tx G convsK для любого числа t, 0 < t < 1, из чего и вытекает искомое. □

Как известно, выпуклая оболочка компакта является компактом. Покажем, что слабо S-выпуклая оболочка компакта, вообще говоря, незамкнута.

Пример 3 Пусть

E = R3, so = (1, 0,1), sn = ^— (cos —, sin —, 1^ , n G N,

2 2 y n n )

S = {s0, s1, s2,..., } , K = {(a, b, 0) G R3 : a2 + b2 ^ 1} .

Ясно, что S замкнутое подмножество единичной сферы, а K — выпуклый компакт. Докажем, что точка y = (0,0,1) не принадлежит множеству convsK.

Действительно, предположим, что найдутся точки x1, . . . , xfc G K, для которых выполнены соотношения

sny ^ max snx,, n G N. (11)

Пусть x, = r,(cos t,, sint,, 0), 0 ^ r, ^ 1, 0 ^ t, < 2n, j = 1,... , k, а j(n) — индекс, для которого достигается максимум в формуле (11).

В таком случае

- ti(n^ ,

или r,(n) = 1, t,(ra) = П. Последнее равенство для всех n не выполнимо, получили противоречие.

С другой стороны H(sn, K) = л/2/2 = sn(0, 0,1), n G N0, и из предложения 9 заключаем, что (0,0,1) G convsK, следовательно, слабо S-выпуклая оболочка компакта K незамкнута.

Предложение 10. Для вектора a G S и числа с G R гиперплоскость M = {x G E : ax = с} слабо S-выпукла тогда и только тогда, когда ±a G S.

В этом случае она будет S-выпуклой.

Доказательство. Будем считать, что с = 0, и положим:

k = m n S.

Если ±a G S, то, согласно примеру 1, множество M удовлетворяет соотношению (5), так что оно будет S-выпуклым.

2

Г, (n)'

2

cos i — n

1

2

2

Обратно, предположим, что гиперплоскость М слабо Б-выпукла, но а € Б .В силу

замкнутости множества Б найдется число е, 0 < е < 1, для которого выполняется условие:

|в — а| ^ е, в € Б.

Множество М также замкнуто и, применяя утверждение 9 и свойство (2), получим:

(ж € Е : вж ^ Н(в, К), в € Б} С М. (12)

Любой вектор в € § однозначно представляется в виде

в = ¿а + и, Ь € К, и € Е, аи = 0, и, следовательно, 1 = ¿2 + |и|2. Для точек в € Б будем иметь:

|в — а| = 1 — 2Ь + ¿2 + |и|2 = 2 — 2Ь ^ е.

Для опорной функции компакта К, очевидно, выполняется равенство:

Н(в, К) = |и| = VI — ¿2, и из предыдущих выкладок несложно вывести включение вектора

2е2 — е4 -а

4 — е2

в левую часть соотношения (12), но в правую часть этот вектор не входит.

Полученное противоречие показывает, что a G S. Для точки —a ситуация аналогична, и утверждение доказано. □

Покажем теперь, что классы S-выпуклых и слабо S-выпуклых множеств различны. Пример 4 Пусть

E = R3, M = {(x1, x2, 0) G R3 : x1 ^ 0} ,

<p(t) = (sin t cos t, cos21, sin t) , S = {^(t) : —n ^ t ^ n} .

Предположим, что для точек x G R3, x1,... ,xk G M выполняется соотношение (1):

1 223 /1 2 2 \

x sin t cos t + x cos t + x sin t ^ max (x,- sin t cos t + x,- cos t , —n ^ t ^ n.

KKfc j j

Подставляя значения t = ±п в эти неравенства, получим: x3 = 0.

После сокращения будем иметь:

x1 sin t + x2 cos t ^ max sin t + x2 cos t) , — n < t < n,

1<j<fc j j j

из чего следует неравенство x1 ^ 0, так что множество M слабо S-выпукло.

Выясним теперь, для каких точек x G R3 имеет место неравенство

sx ^ H(s,M), s G S. (13)

Опорная функция множества M, очевидно, удовлетворяет соотношению:

+то, t = ±n

Н <^М > '0. * = ±п

поэтому неравенство (13) эквивалентно равенству х3 = 0, так что множество М не Б -выпукло.

Покажем, как связаны аффинная и слабо Б-выпуклая оболочки.

Предложение 11. Для выпуклого множества M С E имеет место равенство

aff convSM = aff convSaff M.

Доказательство. Левая часть этого соотношения, очевидно, лежит в правой.

Для доказательства обратного включения достаточно показать, что

aff convSM D convSaff M,

и можно предполагать выполненным условие 0 G ri M.

Пусть точка x принадлежит правой части последней формулы:

sx ^ max sx,, s G S,

для некоторых точек x1,... , x, G aff M.

Множество M является окрестностью нуля в линейном топологическом пространстве aff M, поэтому найдется число t > 0, что tx, G M, j = 1,... , k, и, значит, tx G convSM. Утверждение доказано. □

Приведем теперь результат для частного случая сферических множеств.

Назовем множество S сферически выпуклым, если конус

{ts : t ^ 0, s G S}

является выпуклым.

Предложение 12. Пусть множество M С E выпукло, множество S С S сферически выпукло, и V = convS {0}.

Тогда

convS M = M + V.

Доказательство. Для точки xo G convSM найдутся вектора x1,..., xk G M с условием

sx0 ^ max sx,, s G S.

i<Kfc

Положим K = conv {x1,... ,xk} , C = convS. Из сферической выпуклости множества S вытекает неравенство

0 ^ max s(x — x0), s G C,

xeK

и, применяя теорему минимакса (см. [4], с. 404), получим

0 ^ maxmins(x — x0).

xeK seC

Таким образом, найдется точка y G K, для которой 0 ^ s(y — x0), s G C, следовательно,

x0 — y G V, так что имеет место включение x0 G M + V.

Обратно, пусть вектор x0 G M + V .В таком случае, очевидно, x0 G convs {x1} для

некоторой точки x1 G M, и утверждение доказано. □

Следствие Пусть выполнены условия предложения 12.

Множество M слабо S-выпукло тогда и только тогда, когда имеет место соотношение

M + V = M.

Утверждение 12 допускает обращение и чтобы, это показать, нам понадобится следующий результат.

Лемма 3. Для множества S и шара B имеет место равенство

S \ int convSB = S.

Доказательство. Пусть точка ж принадлежит левой части формулы (14). По следствию

1 леммы 1 это означает, что для некоторого вектора в € Б выполнено неравенство вж ^ 1. Но так как точки в и ж лежат на единичной сфере, имеет место равенство ж = в, поэтому х € Б.

Обратно, предположим, что ж € Б. Очевидно, соотношение вж < 1, в € Б, не выполнено, следовательно, точка ж принадлежит левой части равенства (14).

Лемма доказана. □

Следствие. Шар В является слобо Б-выпуклым тогда и только тогда, когда имеет место равенство Б = §.

Предложение 13. Пусть для множества Б меет место равенство

еопу5 В = В + V,

где V = еопу5 (0}.

Тогда множество Б будет сферически выпуклым.

Доказательство. Обозначим через Б1 множество

§ П еопу (¿в : Ь ^ 0, в € Б} .

Как несложно показать, это множество будет замкнутым, сферически выпуклым и выполняется равенство еопу51 (0} = V, поэтому из предложения 12 следует равенство

еопу 51В = В + V .В таком случае из равенства 14 вытекает равенство Б = Б1, что и

доказывает искомое. □

4. Интегралы от экспонент

В данном параграфе мы покажем, что множества сходимости интегралов от экспонент тесно связаны со слабо Б-выпуклыми множествами.

Пусть Л — произвольное замкнутое подмножество пространства Е. Для комплексной меры Радона р на множестве Л мы будем изучать множество точек ж € Е, в которых определен интеграл

/ еЛх ф(А). (15)

Jл

Как известно, интеграл /Л /(А) ^р(А) от непрерывной функции / определен тогда и только тогда, когда определен интеграл ^ I/(А)| ^|р|(А).

Важным примером интеграла (15) является ряд

^^агаеЛпЖ, ж € Е, ап € С, Ап € Л, п € N (16)

П=1

для которого выполнено условие

УД € К |ап| < то.

|л„кя

Заметим, что интегралы вида (15) участвуют в описании решений дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами.

Предложение 14. Множество М С Е существования интеграла (15) является выпуклым, а сам интеграл сходится равномерно на компактах множества п М к непрерывной функции.

Доказательство. Функция вида

/п(х) = / еЛх ф(Л), п Є Н,

./{ЛЄЛ:|Л|<п}

представляется всюду сходящимся рядом Тейлора

/п(х) = У ( / Л Ф(Л)) ту,

к=0 V ./{ЛЄЛ:|Л|<п} / «!

поэтому она является вещественно-аналитической функцией. Так же как в теореме 3.1.1 монографии [2] показывается, что интеграл

/ еЛх ф|(Л)

Jл

сходится на некотором выпуклом множестве М С Е и, очевидно, определяет выпуклую на нем функцию. В таком случае эта функция непрерывна на множестве гі М (см. [4]), и по теореме Дини

Ііт [ еЛх ф|(Л)= / еЛх ф|(Л)

>У{ЛЄЛ:|Л|^га} ,/л

равномерно на любом компакте множества гі М. □

Следствие Пусть интеграл

[ е<Л’г) ф(Л)

Jл

в пространстве Н сходится на множестве М и множество гі М имеет комплексную структуру. Тогда на этом множестве интеграл голоморфен.

Непустое множество М С Е назовем множеством Л-интегрируемости, если найдется положительная мера Радона р на множестве Л и совокупность точек х Є Е существования интеграла (15) совпадает с множеством М. Как показано выше, множество Л-интегрируемости выпукло.

Ниже будем предполагать, что р — положительная мера Радона на множестве Л. Имеет место простой, но важный результат.

Лемма 4. Пусть для множества Б С § и числа К ^ 0 выполнено условие

Л Є Л, |Л| >К ^ ^ Є Б. (17)

| Л|

Тогда для точек х, х^ ..., хк Є Е, х Є еопу^ (хі,... , хк} имеют место следующие неравенства:

к

/ (х) < ея'*-х>'/(хі) + у; / (х,),

,=2

где

/(ж) = е ^ Ф(А) (18)

Л

Доказательство. Для показателей с условием |А| > Д, очевидно, имеет место неравенство

Аж ^ тах Аж,-

из чего заключаем:

V , ? 1<?<к

для таких показателей.

Оценим теперь функцию f в точке х:

f (х)= / еЛх d^(A) + / еЛх Ф(А) ^

¿{\£Л:1\1^Я} J {Л€Л:|Л|>Я}

к

еЛ(х-х1)еЛх1 d^(A) + еЛх d^(A) ^

J {ЛЕЛ: |Л| s^R} j=2 {Л€Л:|Л|>Й}

к

i eR|x-xl|f(xi) + £ f (Xj).

j=2

□

Для множества Л введем множество предельных направлений P(Л) как совокупность точек s Е S, для которых найдется последовательность элементов {An Е Л, n Е N}, что

lim = s, lim |An| = го.

n—ro | An| n—ro

Очевидно, это множество замкнуто.

Покажем, что условие предыдущей леммы выполняется для вздутия множества предельных направлений множества Л.

Предложение 15. Для любого числа £ > 0 найдется число R = R(£ ^ 0, что множество S = P(Л)£ удовлетворяет соотношению (17).

Доказательство. Предположим, что для некоторого числа £ > 0 такого R не существует, следовательно, найдется последовательность {An : n Е N} элементов Л, со свойством:

|A„| > n, ^ Е S. (19)

1 An|

Из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность {Ank : k Е N}, что для некоторой точки s Е S

lim = s

k-ro |Anfc | '

В силу соотношения (19) точка s, очевидно, не принадлежит множеству P(Л), что противоречит определению этого множества, и искомое доказано. □

Предложение 16. Пусть интеграл (15) определен на множестве M С E и S равно

P (Л).

Тогда этот интеграл будет определен и на множестве int convSM, причем для любого его компакта K существует число с > 0 и точки х1... , хк Е M, зависящие только от множества Л, что для функции (18) выполнено неравенство

maxf (х) ^ сmax {f (xi),... ,f (хк)} .

Доказательство. Обозначим через D множество точек существования интеграла (15). Из предложения 15, леммы 4 и следствия 1 леммы 1 вытекает, что множество int D является слабо S-выпуклым.

Как показано выше, множество D также будет слабо S-выпуклым, поэтому convsM С D, и, следовательно, int convsM С int D, и утверждение вытекает из вышеперечисленных ссылок. □

Покажем, что подобный результат для относительной внутренности неверен.

Пример 5 Пусть

E = R2, A2n-1 = (n, n2), A2n = (n, —n2), n Е N, Л = {An} '

Множество M сходимости ряда

ro

у еЛпх, х Е R2,

П=1

очевидно, совпадает с множеством {(х1, 0) : х1 < 0}, а множество S предельных направлений последовательности Л равно {(0,1), (0, —1)}.

Как легко показать, convSM = {(х1,0) : х1 Е R}, так что

ri convS M = convS M = M.

Покажем, что для изучения неполномерных множеств Л-интегрируемости можно ограничиться мерами на подпространствах.

Предложение 17. Пусть постоянные функции интегрируемы по мере ß и L — подпространство пространства E.

Тогда найдется положительная мера Радона ß1 на множестве Л1 = Щ(Л), что для точек х Е L, в которых ß-интегрируема функция exp Ax, A Е Л, будет ß1-интегрируема функция exp A^, A1 Е Л1, и выполняется равенство

t еЛх dß(A) = i еЛ1Х dß1(A1). (20)

А Jл1

Доказательство. Определим функционал F на пространстве Со(Л1) непрерывных функций на множестве Л1 с компактым носителем по формуле

(F, f) = / f (nb(A)) dß(A).

Ja

Из неравенства

(F,f) ^ max |f (A)| ^ dß(A)

заключаем, что этот функционал дает положительную меру Радона ß1 на множестве Л1. Равенство (20) вытекает из элементарных свойсв интеграла. □

Для описания свойств неполномерных множеств Л-интегрируемости нам понадобится следующая конструкция, сопоставляющая линейным подпространствам пространства E замкнутые подмножества единичной сферы.

Пусть L С E линейное пространство. Введем по индукции следующий набор объектов. Положим

So = 0, L1 = E, Л1 = Л, Sj = P(Л,-), Sj = Sj-1 U Sj,

Lj+1 = aff convsjL, Л^ = (Л), j Е N.

Ясно, что множества Sj будут замкнутыми подмножествами единичной сферы, а Lj — линейными пространствами, убывающими по включению, j Е N, поэтому для некоторого числа m Е N получим равенство Lm = Lm+1.

Множество Sm и будем сопоставлять пространству L. Обозначим это множество через

T (L, Л). ^ ____

Заметим, что множества S2,... , Sm-1 не пусты, иначе последовательность стабилизировалась бы раньше.

Этот набор объектов назовем (Л, L)-цепочкой.

Назовем (Л, L)-цепочку точной, если ^A,L^j -цепочка для любого линейного подпространства L С L, L = L, стабилизируется на линейном пространстве, отличном от Lm.

Ясно, что всегда найдется линейное подпространство L С L, что ^Л,Ь^-цепочка будет точной, и ее последнее линейное пространство совпадает с Lm.

Теорема 1. Пусть интеграл (15) определен на множестве M С E, а линейное пространство L С E параллельно пространству aff M.

Тогда этот интеграл будет существовать на множестве D = ri convSM, где

S = T (L, Л).

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что множество M выпуклое и 0 6 ri M.

Множество D, очевидно, лежит в линейном пространстве Lm и, по утверждению 11, открыто в его топологии.

Для точек x 6 Lm интеграл (15), как показано выше, можно записать в виде

I 6 x 6 Lm,

J лт

для некоторой положительной меры Радона на множестве Лт.

Таким образом, это интеграл в евклидовом пространстве Lm, определенный на множестве M С Lm. Утверждение 16 влечет, что интеграл будет определен и на множестве ri conv^ M. Но множество Sm, по построению, содержится во множестве S, и, следовательно, множество существования данного интеграла включает в себя множество D. □

Следствие. Пусть M С E является множеством Л-интегрируемости, линейное пространство L С E параллельно пространству aff M, а множество S равно T(L, Л).

Тогда множество ri M будет слабо S-выпуклым.

Действительно, из только что доказанной теоремы вытекает включение

ri convSM С M,

и искомое вытекает из следствия 2 предложения 5.

Покажем теперь, что в вышеприведенной конструкции возможна любая цепочка пространств.

Предложение 18. Пусть E = Li D • • • D Lm D L — линейные пространства, Lj = Lj+i, j = 1,... ,m - 1.

Тогда найдется последовательность Л = {Ап 6 E : n 6 N}, уходящая на бесконечность, что (Л, L)-цепочка точна, и ее линейные пространства совпадают с последовательностью {L1,..., Lm}.

Доказательство. Построим ортонормированную систему векторов

6i,... , 6fcx,...,6fcm—1 6 E,

для которой вектора e1,... , e^1,... , бд^. образуют базис в пространстве LjL+1, j = 1,... , m — 1, и последовательность {sn 6 L П S : n 6 N}, всюду плотную на множестве L П S.

В качестве последовательности Л возьмем множество

fc1 fc2 fcm-1

U U ••• U {±птбл ± nm-1ej2 ± ...

j1 = 1 j2 =fc1+1 jm_1 = fcm_2-1

±n26jm-1 ± ns„ : n 6 N} .

Как несложно видеть, множество S1 = P(Л) равно {±61,... , ±б^1}. Покажем, что имеет место равенство

convS1 L = L2.

Действительно, для любых векторов x 6 E и x1,..., Xk 6 L условия

sx ^ max sx7-, s 6 S1,

1<j<fc

очевидно, эквивалентны равенствам eix = 0,...,е^1 x = 0, что, в свою очередь, эквивалентно включению X Е L2.

Ортогональная проекция последовательности Л на пространство L2, как легко видеть, совпадает с замкнутым множеством

&2 km_1

U ■■■ U {±nm-1ei2 ±---± n2ejm-1 ± nsn : n Е N} ,

J2 = fcl + 1 jm-1=fcm-2-1

так что имеем равенства S2 = {±e1,... , ±e^1,... , ±e^2} и convs2L = L3.

Наконец, найдем

Sm-1 = {±e1, . . . , ±efc1, . . . , ±efcm_1 } ,

convSm_1 L — Lmo Sm — Sm-1 U (L П S) .

Покажем теперь, что convsmL = Lm.

Левая часть этого соотношения, очевидно, содержится в правой. Для доказательства обратного предположим, что вектор x Е Lm. В таком случае найдутся элементы x1 Е L и у Е Lm П L± с условием x = x1 + у, и, очевидно, будет выполнено соотношение

sx = sx1, s Е Sm,

и искомое включение доказано.

Предположим теперь, что L С L собственное линейное подпространство- Начало цепочки линейных пространств для него совпадает с аналогичной для пространства L.

Существует вектор x Е L с условиями |x| = 1, x^L. Для него, очевидно, будет выполнено соотношение x Е convsm L, что и доказывает утверждение. □

Из вышедоказанного вытекает, что относительно открытые и замкнутые множества Л-интегрируемости, аффинная оболочка которых параллельна линейному пространству L С E, будут слабо S-выпуклыми, где S = T(L,Л).

Для доказательства обратных результатов нам понадобятся несколько свойств рядов экспонент и их показателей.

Лемма 5. Пусть ряд (16) с неотрицательными коэффициентами равномерно сходится на множестве M С E, а на компакте K С E общий член этого ряда неограничен.

Тогда для любых чисел N Е N и с, 0 < с < 1, найдутся номера p, q Е N, N ^ p ^ q, для которых будут выполнены неравенства

q

maxN aneAnX ^ с, min max aneAnX ^ с-1.

жЕМ жЕК p^n^q

n=p

Доказательство. Из равномерной сходимости ряда (16) на множестве M вытекает существование такого номера p Е N, p ^ N, что для любого числа m Е N, m ^ р, будет выполнено неравенство

m

max aneAnX ^ с.

жЕМ

n=p

С другой стороны, для любой точки x Е K имеет место соотношение

ar eArx > с-1

для некоторого числа r Е N, r ^ p. В силу непрерывности это неравенство будет выполнено в окрестности точки x. Принимая во внимание компактность множества K, несложно доказать существование номера q Е N с нужным свойством. □

Лемма 6. Пусть множество Б предельных направлений множества Л не пусто. Тогда найдется последовательность {Лп € Л : п € М}, что ее множество предельных направлений совпадает с Б и

со і

то.

n=1

|А„|

Доказательство. Существует последовательность {зга € Б : п € М}, множество членов которой всюду плотно на множестве Б, и каждый член повторяется бесконечное число раз. Для любого индекса п € М, по условию, можно найти точку Лп € Л, для которой выполнены условия

An

— Sn

| An

Как несложно показать, последовательность {An : n Е N} будет обладать нужными свойствами. □

Докажем теперь результат, показывающий точность теоремы 1.

Предложение 19. Пусть для выпуклого компакта M С E линейное пространство L С E параллельно пространству aff M, и множество S равно T(L,Л).

Тогда найдется ряд (16), который равномерно сходится на множестве M, а его общий член неограничен вне множества convSM.

Доказательство. Очевидно, без ограничения общности можно предполагать, что 0 Е M.

Множества Si,... , Sm-i в (Л, L)-цепочке не пусты, будем считать для определенности, что и множество Sm = 0.

Применяя лемму 6, найдем последовательности Л-7 = {АП Е Л : n Е N} со свойствами

ОО -j

р(Л7) = Sj, V------------— < то,

( ) 7, lnLj (АП)| ,

j = 1,... ,m. У этих последовательностей, вообще говоря, могут быть общие члены.

Из различных элементов последовательностей Л1,... ,Лт образуем подпоследовательность Г = {y„ : n Е N}.

Рассмотрим следующие ряды:

е-н (щ. (лП),м)

/ аПе , аП = —і------------------------------------i—, j = 1,..., m, n E N. (21)

^ n , n Іщ.(АП)| , j , , , ^

^ пі ¿Xх пз — е

Так как, очевидно, Н(П^.(А^),М) = Н(АП, М), то все эти ряды равномерно сходятся на множестве М.

Сумма рядов (21) после приведения подобных членов запишется в виде

о n=1

b„eYnX. (22)

Предположим, что члены ряда (22) ограничены в точке х € Е. Так как члены рядов (21) положительны, то и они будут ограничены некоторым числом с > 0 в этой точке:

аПеЛпЖ ^ с, ] = 1,..., т, п € N.

Для любой точки 5 € Б найдется последовательность {Л^ : к € М}, что

1

lim |АП, | = то, lim —^ = s,

| nk | |АПк |

поэтому

- ln |ЛПк |- H(ЛПк,М) + ЛПкx ^ lnc, k Е N

из чего, очевидно, получим неравенство

sx ^ H(s, M).

Из предложения (9) получаем включение х Е еопу^М, и, значит, х Е Ь2. Ясно, что в таком случае АПх = Щ2(АП)х, п Е М, и, кроме того, очевидно, Н(АП, к) = Н(Щ2 (А^),К).

Займемся теперь вторым основным результатом данной статьи.

Теорема 2. Пусть множество M С E выпукло, линейное пространство L С E параллельно пространству aff M, и множество S равно T(L, Л). Пусть, далее, множество M слабо S-выпукло и либо замкнуто, либо относительно открыто.

Тогда найдется ряд (16), у которого множества абсолютной сходимости и ограниченности общего члена совпадают с множеством M.

Доказательство. Как обычно, можно считать, что 0 Е ri M.

Предположим вначале, что множество M замкнуто.

Компакты Kr = {x Е M : |x| ^ r} , r Е N, исчерпывают множество M, и их аффинная оболочка, очевидно, совпадает с линейным пространством L. С другой стороны, компакты

исчерпывают дополнение множества М.

Множество Мг = еопу^Кг, очевидно, лежит во множестве М, и поэтому, не пересекается с множеством Д., г Е N. В таком случае, применяя утверждение 19 и лемму 5, последовательно найдем натуральные числа р, 91,Р2, 92,..., с условием рг ^ 9. < рг+1, и аРг,..., а9г ^ 0, г Е М, для которых выполнены неравенства

Полагая ага = 0 для индексов п = 1,... ,р1 — 1 и 9. < п < рг+1, г Е М, получим ряд (16) с нужными свойствами.

Рассмотрим теперь случай относительно открытого множества М.

Множество дМ = М \ М замкнуто, ибо оно является границей множества М в пространстве Ь, поэтому если добавить к множеству Д. множество {х Е дМ : |х| ^ г} , г Е М, то получатся компакты, исчерпывающие дополнение множества М.

Компакты

очевидно, исчерпывают множество М.

Принимая во внимание утверждение 1, можно, как и выше, построить нужную функцию.

Следствие 1. Пусть выпуклое множества M С E замкнуто или относительно открыто и не является множеством Л-интегрируемости.

Тогда найдется точка x Е E \ M, в которой определены все интегралы вида (15), определенные на множестве M.

Действительно, пусть линейное пространство L С E параллельно пространству aff M, и множество S равно T(L, Л).

Повторяя эти рассуждения несколько раз, в конце получим искомое.

□

Fr = {x Е E \ M : |x| ^ r, p(x,M) ^ 1/r} , r Е N,

П=Рг

Теорема доказана.

□

По теореме 1, любой интеграл вида (15), определенный на множестве M, будет определен на множестве ri convsM. Если утверждение не верно, то должно выполняться включение ri convsM С M. В таком случае из следствия 2 предложения 5 вытекает, что множество ri M, а следовательно, и M будут слабо Л-выпуклыми. Но это противоречит теореме, и искомое доказано.

Следствие 2. Пусть M подмножество E и S = P(Л).

Для того чтобы любое множество Л-интегрируемости, содержащее множество M, имело непустую внутренность, необходимо и достаточно условие int convsM = 0.

Необходимость. Пусть линейное пространство L С E параллельно пространству aff M, и множество S равно T(L, Л). Применяя следствие теоремы 1 и теорему 2, получим, что множество D = convgM будет множеством Л-интегрируемости, очевидно, содержащим множество M. В таком случае множество D будет полномерным, а из определения множества T(L, Л) несложно вывести, что тогда выполняется равенство T(L, Л) = S. По известным свойствам выпуклых множеств интересующее нас множество непусто.

Достаточность вытекает из предложения 16.

Докажем теперь усиление теоремы 2 для относительно открытых выпуклых множеств комплексного пространства.

Пусть H — конечномерное гильбертово пространство со скалярным произведением zw, z,w Е H. Как указывалось выше, это пространство можно рассматривать как евклидово со скалярным произведением Re zw, z, w Е H, поэтому для него имеют место все вышеизложенные результаты.

Пусть Л — замкнутое подмножество пространства H. Рассмотрим ряды вида

ГО

У, (24)

где z, Лп Е Л, ага Е C, n Е N.

Теорема 3. Пусть множество U С H выпукло и относительно открыто, вещественное линейное пространство L С H параллельно пространству aff U и множество S равно T(L,Л). Пусть, далее, множество U слабо S-выпукло.

Тогда найдется ряд (24) с неотрицательнами коэффициентами, у которого множества абсолютной сходимости и ограниченности общего члена совпадают с множеством U, а сумма этого ряда f (z) неограничена в точках относительной границы dU множества U :

lim |f (z)| = то, zo Е d U.

Доказательство. Можно считать, что 0 Е ri U.

Пусть Kn, n Е N, последовательность компактов множества U, относительная внутренность которых исчерпывает это множество, а множество точек

{s„ Е S : n Е N}

всюду плотно на множестве {z/|z| : z Е dU}.

Положим V1 = K1, M1 = convsV1. Замкнутое множество M1, как указывалось выше, лежит во множестве U, поэтому найдется число t1 > 0, что точка z1 = t1s1 принадлежит множеству U \ M1. В качестве множества V2 возьмем первое из множеств Kj, j Е N, которое содержит точку z1.

Продолждая подобным образом, найдем последовательность компактов Vj и чисел tj > 0 со свойством

zj Е Vj+1 \ convSVj,

где Zj = tjSj, j G N. Ясно, что эти компакты исчерпывают множество U.

В предыдущей теореме мы построили ряд с неотрицательными коэффициентами

ГО

У a„eAnZ, Л„ G Л, (25)

П=1

у которого множества абсолютной сходимости и ограниченности общего члена совпадают с множеством U. Сумму этого ряда обозначим через h(z).

Применяя утверждение 19 и лемму 5, последовательно найдем числа ßj > 0 и точки ßj G Л, удовлетворяющие неравенствам

max |ßjz | ^ 2-j, |ßj| ^ 2 + 2j +

j G N.

Ряд

ГО

У ßne^nz, (26)

n=1

очевидно, абсолютно сходится на множестве U. Покажем, что ряд, полученный как сумма последнего ряда и ряда (25) после приведения подобных членов, будет удовлетворять нужным условиям.

Действительно, коэффициенты этих рядов неотрицательны, поэтому общий член полученного ряда неограничен вне множества U, а для его суммы f (z) выполнены неравенства |/(Zj)| > 2j, j G N.

Пусть теперь Zo — произвольная точка множества ö U и s = z0 /1 z01. В таком случае

найдется последовательность точек {snk : k G N}, сходящаяся к точке s, и нам осталось

доказать, что будет выполнено соотношение

lim tnfcSnk = zo.

k^ro

Предположим, что это не верно. Тогда найдется число е > 0 и подпоследовательность {up : p G N} последовательности |infc snk : k G N}, для которой имеют место либо неравенства |up| ^ |z01 + е, p G N, либо неравенства |up| ^ |z01 — е, p G N.

Рассмотрим вначале первый случай. Точки

7/

(|zo| + е), p G N,

|up1

очевидно, принадлежат множеству U и сходятся к точке z0 + es. Таким образом, точка z0 лежит на интервале (0,z0 + es), причем точка z0 + es лежит во множестве U, что противоречит соотношению z0 G U (см. [7], с. 9).

Во-втором случае можно считать, что последовательность {|up | : p G N} сходится к некоторому числу t0, и поэтому последовательность {up : p G N} будет сходиться к точке t0s. Эта точка, как указывалось выше, принадлежит множеству U,

и, следовательно, множество {up : p G N} U {t0s} компактно лежит в U. Но любой компакт множества U попадает в некоторый компакт Vj, j G N, содержащий лишь конечное число точек последовательности {7 p : p G N}.

Полученное противоречие и доказывает теорему. □

5. Приложения

В данном параграфе мы приведем некоторые свойства множеств Л-интегрируемости.

Предложение 20. Эквивалентны следующие условия:

1. Множество {0} не является множеством Л-интегрируемости.

j-1

h(zj) + У ßfc, fc=i

2. Множество Л лежит в некотором полупространстве пространства E.

3. Любое множество Л-интегрируемости неограничено.

Доказательство. 1 ^ 2. Из следствия теоремы 2 вытекает, что найдется вектор

x0 G E, x0 = 0, что любой интеграл вида (15), определенный в нуле, будет определен и в точке x0. Докажем, что существует число с G R со свойством

Лх0 ^ с, Л G Л. (27)

Действительно, в противном случае найдется последовательность

{Лп G Л : n G N} ,

что Лпх0 ^ n2, n G N. Ряд

ro eAn x

1 Лп x0

n=1

сходится в нуле, но, очевидно, расходится в точке x0, что и доказывает искомую импликацию.

2 ^ 3. По условию, найдется вектор x0 G E, x0 = 0, и число с G R, для которых выполнено неравенство (27). Если интеграл вида (15) определен в некоторой точке x1 G E, то из неравенства

/ eA(xi+ixo) ф(Л) ^ etc / eAx1 ф(Л), t ^ 0,

А А

вытекает истинность второй импликации.

Последняя импликация очевидна. □

Предложение 21. Любое множество Л-интегрируемости имеет непустую внутренность тогда и только тогда, когда множество Л лежит в некотором выпуклом остром конусе.

Доказательство. Пусть

S = P(Л), = convS£, U£ = {tx : t ^ 0, x G K£} , e > 0.

Ясно, что множество U£ является замкнутым выпуклым конусом с вершиной в нуле.

Предположим, что все множества Л-интегрируемости имеют непустую внутренность. В таком случае из следствия 2 теоремы 2 несложно вывести неравенство int convs {0} = 0. Докажем существование числа е > 0, для которого конус U£ будет острым. Действительно, в противном случае для любого числа е > 0 существуют различные точки а£, ߣ G E, что прямая {ta£ + (1 — t)ߣ : t G R} лежит в конусе U£. В этом случае, как несложно показать, вектора ±s£, где s£ = (а£ — ߣ)/|a£ — ߣ|, будут принадлежать

конусу U£.

Найдутся стремящаяся к нулю последовательность {еп} и вектор s0 G S, для которых s£n ^ s0. Очевидно, что ±s0 G U0.

Как несложно показать, для точек x множества convs {0} выполняются неравенства

sx ^ 0, s G V0,

поэтому s0x = 0, что противоречит непустой внутренности этого множества.

Итак, существует число е > 0 с нужным свойством. Согласно утверждению 15, найдется число R ^ 0, что множество Л содержится во множестве {x G E : |x| < R} U U£. Но конус U£ имеет непустую внутренность, и если x0 G int U£, то для некоторого числа t ^ 0 конус

—tx0 + U£ будет содержать шар {x G E : |x| < R} и конус U£. Первая половина предложения доказана.

Обратно, пусть для выпуклого острого замкнутого конуса V С E с вершиной в нуле и вектора а G E выполняется включение Л С а + V. В таком случае множество S, очевидно, будет лежать в конусе V.

Как легко видеть, нам достаточно доказать, что множество еопу^ {0} имеет непустую внутренность.

Допустим это не верно. В таком случае, очевидно, последнее множество будет лежать в некоторой гиперплоскости, проходящей через начало координат, т. е. найдется вектор а Є 8, что выполняется импликация

Используя теорему Хана-Банаха, несложно вывести включение ±а Є V, и, поэтому конус

V не острый.

Предложение 22. Пусть Ь С Е линейное подпространство, {0} = Ь = Е.

Для того чтобы любое множество Л-интегрируемости, содержащее окрестность нуля пространства Ь, содержало окрестность нуля пространства Е, необходимо и достаточно выполнения соотношения 0 € Пь(Р(Л)).

Доказательство. Необходимость. Положим М = В П Ь, Б = Т(Ь, Л). По теореме 1 множество еопу^М является множеством Л-интегрируемости, следовательно, оно содержит шар 8В для некоторого числа 8 > 0. Из определения множества Т(Ь, Л) заключаем, что имеет место равенство

и, полагая х = 8з, докажем первую половину предложения.

Так как проекция компакта является компактом, то достаточность легко выводится из

Следствие Пусть ^ — неприводимый многочлен п переменных над полем комплексных чисел, и его главная часть не обращается в нуль на вещественной сфере.

Тогда любая функция и € С^({х € : |х| < 1}), удовлетворяющая уравнению

будет вещественно-аналитической.

Если положить Л = {Л € Сп : ^(Л) = 0}, то множество Р(Л) совпадает с множеством нулей главной части многочлена ^ на комплексной единичной сфере, и искомое несложно вывести из результатов статьи [8].

Рассмотрим теперь ряды типа Тейлора в конечномерном гильбертовом пространстве Н. Предложение 23. Для векторов «1,... , а € Н положим

вж ^ 0, в Є Б ^ ах = 0.

Утверждение доказано.

□

вж ^ |Щ(в)|, |ж| ^ £, в Є Б,

предложения 6.

□

V = {г Є Н : И,е а^г ^ 0, і = 1,...,/} , и обозначим через Л занумерованное каким-нибудь образом множество

Тогда ряды вида (24) обладают следующими свойствами.

1. Ряд (24), абсолютно сходящийся в точках ¿і,... , Є Н, будет абсолютно и равномерно сходиться на множестве сопу {гі,... , } + V.

2. Любое множество абсолютной Л-интегрируемости М С Н удовлетворяет равенству М + V = М.

3. Для выпуклого замкнутого множества М С Н, М + V = М найдется ряд вида (24), у которого множества абсолютной сходимости и ограниченности общего члена совпадают с множеством М.

4. Для выпуклого относительно открытого множества О С Н, О + V = О найдется ряд вида (24), абсолютно сходящийся на множестве и, сумма которого неограни-чена в каждой точке относительной границы этого множества.

Доказательство. Обозначим через S множество

§П

Очевидно, это замкнутое множество, удовлетворяющее включению Р(Л) С Б. Покажем, что верно и обратное включение.

Действительно, пусть вектор в = ^2* = 1 а, ^ 0, имеет единичную норму и, для

определенности, ¿1 > 0. Найдутся последовательности натуральных чисел {тп : п €

] = 1,...,/, удовлетворяющие соотношениям

lim m'

т'' Ь оо, lim —- = —, з

' .. . . „~,П 4- ' J

¿1

n^ro m'

,1.

В таком случае

а из равенства

заключаем, что

lim

n—»00

lim

n^-ro

lim

n^-ro

Ej=i тП

E

Ej

-•=i <<—и-

т

і

ti

E

т'а-

,

и, следовательно, в € Р(Л).

Заметим, что множество Б сферически выпуклое и выполнено равенство еопу^ {0} = V, поэтому из предложения 12 следует соотношение еопу^М = М + V для любого выпуклого множества М С Н.

Имеют место очевидные включения

Л'

1 Лп

є S, п є N,

и первый пункт вытекает из леммы 4, который, в свою очередь, влечет пункт второй.

Предположим теперь, что для выпуклого множества M С H выполнено условие M + V = M, а линейное пространство L С H параллельно пространству aff M. Так как T(L, Л) D P(Л) = S, то имеет место соотношение convT(L,a)M С convSM = M, поэтому, очевидно, convy(l,ä)M = M, и оставшиеся пункты вытекают из теорем 2 и 3.

Утверждение доказано. □

2

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Е. Hille Note on Dirichlet’s series with complex exponents // Ann. Of Math, 1924, V. 25. P. 261-278.

2. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976. 536 с.

3. Кривошеева О.А. Ряды экспоненциальных мономов в комплексных областях // Вестник УГА-ТУ. Математика. 2007. Т. 9, № 3(21). C. 96-104.

4. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. 470 с.

5. Болтянский В.Г., Солтан П.С. Комбинаторная геометрия различных классов выпуклых множеств. Кишинев. 1978. 280 с.

6. Красичков-Терновский И.Ф. Спектральный синтез и аналитическое продолжение // УМН. 2003. 58:1(349). C. 33--112.

7. К. Лейхтвейс, Выпуклые множества, М.: Наука. 1985. 335с.

8. S. Hansen On the "fundamental principle "of L. Ehrenpreis // Partial Differential Equations, Banach Center Publ. Vol. 10, PWN. 1983. P. 185-201.

Сергей Георгиевич Мерзляков,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: msg2000@mail .ru