Теорема Коши-Адамара для рядов экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 1 (2014). С. 75-83.

УДК 517.5

ТЕОРЕМА КОШИ-АДАМАРА ДЛЯ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ

Аннотация. В данной статье изучается связь роста коэффициентов ряда экспонент с его областью сходимости в конечномерных вещественных и комплексных пространствах. К первым результатам данной тематики относится известная формула Коши-Адамара.

Получены точные условия на показатели экспонент и выпуклую область, при которых имеет место обобщение теоремы Коши-Адамара.

С последовательностью коэффициентов рядов экспонент сопоставляется пространство последовательностей, образующее коммутативное кольцо с единицей. Изучение свойств этого кольца позволит получать результаты о разрешимости неоднородных систем уравнений свертки.

Ключевые слова: выпуклые области, ряды экспонент, формула Коши-Адамара. Mathematics Subject Classification: 40B05

В данной статье изучается связь роста коэффициентов ряда экспонент с его областью сходимости.

К первому результату этого направления можно отнести хорошо известную теорему Коши-Адамара после соответствующей замены переменных. Аналог теоремы Коши-Адамара для рядов экспонент с неотрицательными показателями одной переменной был доказан Валироном [1], для рядов экспоненциальных мономов одной комплексной переменной изучен в статье [2], случай ряда экспонент многих переменных с комплексными показателями был рассмотрен в статье [3].

2. Теорема Коши-Адамара

Для дальнейшего нам понадобятся несколько определений.

Пусть Е — это пространство Мт или Ст. Для элементов г, ш € Е будем полагать

j=1

Через B будем обозначать замкнутый единичный шар с центром в нуле пространства E. Опорная функция множества M С E определяется по формуле

H(A, M) = sup Re Xz, X G E.

z£M

Это однородная выпуклая функция. Как известно, если множество M не пусто и ограничено, эта функция будет непрерывной.

S.G. Merlyakoy, Cauchy-Hadamard theorem for exponential series.

© Мерзляков С.Г. 2014.

Работа поддержана РФФИ (грант 08-01-00 779) и Гранта Президента РФ НШ 3081.2008.1.

Поступила 11 апреля 2013 г.

С.Г. МЕРЗЛЯКОВ

1. Введение

m

В данной статье мы приведем точные условия на произвольную выпуклую область и С Е и последовательность Л = {Лп € Е : п € М}, члены которой не обязательно различны, при которых выполняется утверждение Коши-Адамара, а именно, абсолютная сходимость ряда

Если данная эквивалентность выполняется, то будем называть последовательность Л системой Коши-Адамара для области и.

Несложно показать, что всегда найдутся коэффициенты сп > 0, п Є N для которых ряд (1) сходится абсолютно во всем пространстве. В таком случае, очевидно, утверждение Коши-Адамара не будет выполняться, если Н(Ап, и) = то или Ап = 0 для бесконечного числа индексов, поэтому без ограничения общности будем считать, что Н(Ап, и) < то,

ма будет такой системой. Действительно, ряд экспонент с показателями из этой подпоследовательности можно дополнить недостающими членами с нулевыми коэффициентами, что не влияет ни на сходимость ряда, ни на упомянутый верхний предел.

Для дальнейшего нам понадобятся несколько результатов о связи поведения ряда (1) с соотношением (2).

Лемма 1. Пусть для коэффициентов ряда (1) выполнено условие (2), а для компакта К С и и точки г € и имеет место включение г+К С и. Тогда имеет место неравенство

Доказательство. Как несложно показать, найдется число ) > 0, для которого г + 2£(г)В + К С и, поэтому Ке Лг ^ Н(Л, и) — 2£(г)|Л| — Н(Л, К), Л € Е, а из неравенства (2) следует, что для любого е > 0 справедлива формула 1п |сп| ^ —Н(Лп, и) + е|Лп|, п ^ N(е), из чего и вытекает искомое.

Следствие 1. Пусть выполнено неравенство (2) и соотношение

п=1

и левая часть формулы (2) равна — 8, 8 > 0.

Тогда ряд (1) абсолютно сходится в области и + 8В.

Действительно, в таком случае, как легко видеть, будут выполнены неравенство (2) с заменой области и на и + 8В и соотношение (5) для К = {0}.

ГО

(1)

п=1

сп Є С, в области и эквивалентна соотношению

(2)

Лп = 0, п € N.

Заметим, что любая подпоследовательность системы Коши-Адамара для области и са-

Положим

(3)

1п |спеЛ"г| ^ — 8(г)|Ап| — Н(Ап,К), 8(г) > 0, п ^ N(8(г)).

ГО

п=1

Тогда ряд (1) будет сходиться абсолютно в любой точке г Є Е со свойством г + К С и. Следствие 2. Пусть выполнено соотношение

ГО

Следствие 3. Неравенство (2) влечет поточечную ограниченность членов ряда (1) в области и.

Действительно, искомое получится, если положить Я = {0}.

При дополнительных предположениях верно и обратное.

Предложение 1. Если функция Н(в, и) непрерывна на замыкании множества Б, члены ряда (1) поточечно ограничены в области и, и имеет место равенство

Иш |АП| = то, (7)

то будет выполнено соотношение (2).

Доказательство. Область и можно исчерпать возрастающей по включению последовательностью компактов Кр,р Е N при этом, как несложно показать, будет выполнено соотношение

Н(в,Кр) Т Н(в,и). _

По теореме Дини эта сходимость будет равномерной на компакте Б, так что для любого

числа 5 > 0 найдется компакт К С и со свойством Н(в, и) ^ Н(в, К) + 5, в Е Б.

Компакт К содержится в выпуклой оболочке некоторых точек ,...,£& области и

(см. [4], с. 59), поэтому для любого элемента г Е К будет выполнено соотношение

Ке вг ^ шах {Ке вг1,..., Ке вги} , в Е Б, (8)

так что получим

1п |сга| + Н(А„, и) ^ 1п |сга| + Н(А„, К) + 5|АП| ^ шах {1п |сп| + Ке А„^1,..., 1п |сп| + Ке А^} + 5|А„|.

Из условия на члены ряда (1) и произвольности числа 5 > 0 и вытекает искомое.

Следствие. Пусть выполнено равенство

й— 1п п , , ,

11ш ——- ^ ^ < то, (9)

|А„|

и члены ряда (1) поточечно ограничены в некотором шаре и радиуса большего ^. Тогда ряд (1) сходится абсолютно в центре этого ряда.

Действительно, очевидно, что будет выполнено условие (7), и, следовательно, неравенство (2).

Положим Я = ^В. В таком случае Н(А, Я) = ^|А|,А Е Е, и, как легко видеть, будет

выполнено соотношение (5), поэтому искомое вытекает из следствия 1 леммы 1.

Полученный результат обобщает теорему 3.1.2 монографии [5].

Ряды экспонент обладают следующим свойством.

Предложение 2. Абсолютно сходящийся в области и ряд (1) будет сходиться нормально на компактах этой области.

Доказательство. Как отмечалось выше, для любого компакта К области и найдутся точки г1,... , ги этой области, удовлетворяющие соотношению (8) для точек компакта К, так что получим

шах |сгаеЛп2:| ^ |сга|втах{Кел"г1’...,Кек*к} ^ |сп| (|ел"г11 + ••• + |еЛп^ |) ,

хЕК

и, наконец

_^ЛпХ

СПР

V тах |спеЛпХ| < то. (10)

Х(=К

хЄК

П=1

Утверждение доказано.

Приведем пример, показывающий точность следствия утверждения 1.

Пример. Пусть

1п п

и = (г Є Е : |г| < 2} , 1іт у-—г = 1, 1п |сп| = — 2|Лп|.

п^° |ЛП|

Члены ряда (1), очевидно, поточечно ограничены в шаре и, поэтому по следствию утверждения 1 он абсолютно сходится в шаре (г Є Е : |г| < 1}, но не обладает этим свойством в шаре большего радиуса.

Действительно, предположим, что ряд (1) сходится абсолютно в шаре

(г Є Е : |г| < 1 + 8} , 8 > 0.

По только что доказанному результату этот ряд должен сходиться нормально на шаре В, а это эквивалентно сходимости гармонического ряда. Полученное противоречие и доказывает искомое.

Предложение 3. Пусть имеет место равенство и = Я + V для выпуклого компакта Я С Е и выпуклой области V С Е, функция Н(в, и) непрерывна на замыкании множества Б, и для любой последовательности коэффициентов, удовлетворяющей неравенству (2), ряд (1) сходится абсолютно в точках области V. Тогда будет иметь место соотношение (5).

Доказательство. Из представления области и вытекает равенство

н(Л, и) = Н(Л,Я) + Н(Л, V), Л Є Е,

(см.[6], с. 130).

По условию ряд (1) с коэффициентами

Сп = Є-Н(Лп’и\ П Є Н,

сходится абсолютно в области V, и, согласно утверждению (2), эта сходимость нормальная на любом компакте области V. Как показано выше, для произвольного числа є > 0 найдется компакт К С V, что Н(в, V) ^ Н(в, К) + є, в Є Б.

Итак,

оо ГО ГО

^ Є-£|Л„|-Я(Л„,Д) ^ ^ ея(Л„,к)-Я(Л„,и) = ^ тах |спвЛ^

п=1 п=1 п=1

Ує > 0 ^ е-фпЫ^п! < то. (11)

что и требовалось доказать.

В литературе для рядов экспонент общеупотребительно условие (5), поэтому выясним его связь с условием (5) в случае Я = йВ, т. е.

ГО

е-е|лп|-“|лп| < ^

Очевидно, что последнее условие вытекает из соотношения (5). Обратное не верно, точки Ап, как несложно показать, можно так переставить некоторой перестановкой г : N ^ N что

-— 1п п

11т —------ = то,

П^ГО |Аг(п)|

а условие (11) не изменится.

Но при дополнительном предположении эти условия будут эквивалентны.

Предложение 4. Пусть последовательность {|АП| : п € М} монотонно возрастает и удовлетворяет соотношению (11). Тогда имеет место равенство (5).

Доказательство. Для любого числа е > 0 члены ряда (11) монотонно убывают, и, как хорошо известно, это влечет равенство

Иш пв-(й+е)|Лп| = 0,

П^-ГО

из чего получим

Иш 1п п — (а + е)|Ап| = —то,

ГО^-ГО

и, наконец,

Т-;- 1п п ^ ,

11ш —— ^ а + е.

П^ГО |А„|

Утверждение вытекает из произвольности числа е.

Приведем теперь примеры применения полученных результатов.

Пример 1. Пусть задан ряд

^ с*(г — а)к, с* е С, к е , г е С7,

*11=0

и г е К7 — его сопряженные радиусы сходимости (см. [7], с. 46), где через М0 обозначено

7=11Ь; I

множество целых неотрицательных чисел, а ||6|| = ^”= 16^|,6 е Е.

Сделав замену

г — а = (в™1 ,...,еад™),

получим ряд экспонент с показателями {к : к е N7}, члены которого ограничены в области

и = {и> е Е : Ке ад1 < 1п г1,... , Ке и>7 < 1п г7} .

Как несложно видеть, опорная функция этой области задается равенствами Н(А, и) = А 1п г, если А1 ^ 0,... , А7 ^ 0, и Н(А, и) = то в противном случае. Очевидно, функция Н непрерывна на множестве Б, последовательность {к : к е N7} стремится к бесконечности, а для произвольной точки 6 е Е выполняются неравенства

^ |6| ^ ,

/ш

так что

оо СО

У е-ф| ^ V е-е||к||/^ = 7—е ' „ , є > 0.

^ ^ (1 - є/у^)7

П*П=о ||*П=о

В таком случае из утверждения 1 получим

II к

11ш ||к|/|ск|гк ^ 1.

||к|Нго

Левая часть данного соотношения не может быть меньше единицы, иначе по следствию 2 леммы 1 степенной ряд будет абсолютно сходиться на некотором вздутии поликруга {г е Е : |г1 — а1| < г1,... , |г7 — а7| < г7}, что противоречит определению сопряженных радиусов сходимости.

Это доказывает классическую формулу Коши-Адамара.

Пример 2. Пусть Е = С7, множество Д является областью пространства К7, Ке Ап = 0, Н(Ап, Д) = то, п е М, функция Н(Ке 5, Д) непрерывна на замыкании множества

Ке А

| Ке А|

: А Є Л

и

Ує > 0 ^ е £| КеЛп| < то.

П=1

Тогда абсолютная сходимость ряда (1) на множестве Д эквивалентна неравенству

— 1п |сп| + Н(Ке Ага,Р) < 0 | Ке Ап |

Действительно, как легко видеть, это сводится к применению утверждения 1 и следствия 1 леммы 1 для случая Е = К7.

Утверждение 1 и следствие 1 леммы 1 для случая К = {0} усиливают один из результатов статьи [3], а именно

Теорема. Пусть и — ограничення выпуклая область пространства С7, сп е С, Ап е С7, п е N.

Если ряд (1) сходится равномерно на компактах области и, а последовательность {Ап : п е М} удовлетворяет условию (7), то выполняется соотношение (2).

Обратно, если имеет место неравенство (2) и

1п п

11ш ——т = 0, (12)

|Ап|

то ряд (1) сходится нормально на компактах области и.

Заметим, что формула Коши-Адамара для степенных рядов не вытекает из этого результата, потому что после замены переменных всегда получаются неограниченные области.

Приведем теперь основной результат данной статьи.

Теорема 1. Для того чтобы последовательность Л была системой Коши-Адамара для области и, необходимо и достаточно выполнение следующих условий.

1. Сужение функции Н(5, и) на замыкание множества (3) непрерывно.

2. Имеет место соотношение (6).

Доказательство. Достаточность, очевидно, следует из утверждения 1 и следствия 1 леммы 1 для случая К = {0}.

Предположим теперь, что последовательность Л является системой Коши-Адамара для области и, и покажем выполнение условий 1 и 2 теоремы.

Докажем вначале, что имеет место равенство (7).

Действительно, по условию ряд (1), у которого 1п |сп| = —Н(Ап, и),п е М, сходится абсолютно в области и, поэтому ряд

ГО

^ ес„еЛпг

П=1

будет таким же. По предположению это влечет неравенство

11ш ^ 0,

П^го |Ап|

что эквивалентно искомому равенству.

Возьмем теперь произвольную точку 5 е Б и докажем равенство

11ш н(А, и) = Н(5, и). (13)

Л^-5,ЛЕ6

Функция Н(5, и) полунепрерывная снизу как верхняя огибающая семейства непрерывных функций (см. [8], с. 192), поэтому достаточно показать выполнение неравенства

Иш Н(А, и) ^ Н(5, и). (14)

Л^-з,ЛЕ6

Левую часть этой формулы обозначим через 6.

Найдется отображение г : N ^ М, для которого выполнено условие

Иш = 5, Иш Н ^Аг(га);и) = 6.

п^го |АГ(„)| п^го |АГ(„)|

Если функция г ограничена, то, очевидно, 6 = Н(5, и), так что будем предполагать неограниченность указанной функции.

Несложно построить отображение р : N ^ N такое, что суперпозиция I = г о р : N ^ N будет строго возрастающей и, принимая во внимание равенство (7), удовлетворяющей условию

1п п

11ш —------ = 0.

га^го | А1(га)|

Положим = Аг(га), п е N. Итак, {^„ : п е М} является подпоследовательностью последовательности {А„, п е М}, следовательно, системой Коши-Адамара для области и, и для

нее выполнены следующие соотношения

11ш ^ = 5, 11ш Н(^га’и) = 6, 11ш ]пп = 0. (15)

п^го |^„| п^го |^„| п^го |^„|

Покажем, что 6 < то.

Действительно, в противном случае положим 1п |с„| = |^„| — Н(^„, и) и оценим члены ряда

го

П=1

16)

Для любого фиксированного числа г имеем

1п |с„| + Ке= |^„| — Н(и„, и) + Ке^ — |^„|,

если число п е N достаточно велико. Из третьего равенства соотношений (15) заключаем, что ряд (16) сходится абсолютно на всем пространстве Е, а, с другой стороны,

1п |с„| + Н(^га,и) = 1,п е М.

ы , .

Полученное противоречие и доказывает искомое.

Из полунепрерывности снизу функции Н следует оценка Н(5, и) ^ 6, так что

Н(^, и) < то. Покажем теперь сходимость ряда (16) с коэффициентами 1п |с„| = —Н(в, и)|^„| в области и.

Зафиксируем точку г области и. Эта точка лежит в области с некоторой окрестностью, поэтому найдется число е > 0 со свойством

Н(^, и) ^ Ке вг + е.

Из первой формулы равенств (15) следует, что для любого числа 8 > 0 выполняется неравенство

Ке^ |^„| Ке вг + 8|^„|, п ^ N(8).

Таким образом, имеем

1п |с„еМп2:| ^ (8 — е)|^„|, п ^ N(8),

и, взяв 8 < е, получим сходимость ряда (16) в точке г. Из аналога неравенства (2) для последовательности {^„ : п е М} и второго равенства формул (15) вытекает соотношение 6 ^ Н(5, и), и доказательство равенства (13) завершено.

Итак, мы показали, что для любой точки в е Б выполнено равенство (13) и Н(5, и) < то, из чего следует непрерывность функции Н(в, и) на множестве Б (см. [9], с. 70).

Условие 2 теоремы вытекает из утверждения 3.

Теорема доказана.

Приведем пример последовательности, не являющейся системой Коши-Адамара.

Пример. Пусть

и = {г = х + гу е С : 2х + у2 < 0} , А„ = 1 + гп, п е N.

В этом случае для точек А = и + е С имеем

{^2/2и при и > 0,

0 при и = 0, V = 0,

+то в остальных точках.

Как несложно показать, опорная функция области и будет разрывной на множестве Б.

3. Пространства последовательностей Введем пространство последовательностей

А = |с е Сго : Уг е и ^ |с„еЛпг| < то| ,

и пространство Ь, элементы которого удовлетворяют неравенству (2).

В пространстве А определим топологию с помощью семейства полунорм

ГО

c||a,k = ^ |c«|eH(An,K), c G A,

n=1

где K — компакт области U, а для пространства L положим

||c||L,e = sup |cra|eH(An>U)-e|An|, c G L, e > 0.

nGN

Как несложно показать, это будут пространства Фреше.

Пространства А и Ь связаны следующим образом.

Предложение 5. В случае выполнения соотношения (6) имеет место включение Ь С А, причем вложение Ь ^ А непрерывно.

Если же сужение функции Н(в, и) на замыкание множества (3) непрерывно, то непрерывно и вложение А ^ Ь.

Доказательство. Для произвольного компакта К С и, как указывалось выше, верно неравенство Н(А„,К) ^ Н(А„, и) — 2е|А„|,п е М,е > 0, поэтому

е-е|Ли|

„=1

что и доказывает первую часть предложения.

В условиях второй части для любого числа е > 0 найдется компакт К С и, что Н(А„, и) — е|А„| ^ Н(А„,К), и, следовательно,

1Мк,£ ^ ||сА,К||.

Предложение доказано.

С рядами экспонент тесно связано пространство последовательностей

К = (а е Сго : Йш ^ 0) ,

[ „^го )

где {а„ : п е М} некоторая фиксированная последовательность положительных чисел, стремящаяся к бесконечности.

Очевидно, что множество К инвариантно относительно покомпонентного умножения.

Для элементов a, b G K имеют место неравенства

ln |an| ^ ean, ln |bn| ^ ean, e > 0, n ^ N(e),

так что

ln |a„ + bn| ^ ln(|a„| + |bn|) ^ ln2 + ea„, n ^ N(e), поэтому множество K инвариантно и относительно покомпонентного сложения.

Таким образом, множество K, очевидно, является коммутативным кольцом с единицей. Несложно видеть, что операция умножения в данном кольце непосредственно связана с операторами свертки.

Введем теперь топологию в кольце K с помощью семейства полунорм

||a||£ = sup |ara|e-“n£, a G K, e G N.

raGN

Несложно показать, что с этой топологией кольцо K является пространством Фреше, а кольцевые операции будут непрерывными.

При условии (7) пространство последовательностей A, очевидно, топологически изоморфно кольцу K для = |An|, n G N.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. G. Valiron Sur I’abscisse de convergence des series de Diriclet, Bull. Soc. math. de France 52, 1924.

2. Кривошеева О.А. Область сходимости рядов экспоненциальных мономов // Уфимск. матем. журн. 2011. T. 3, № 2. C. 43-56.

3. Le Hai Khoi Holomorphic Dirichlet series in several variables // Math. Scand. 77. 1995. №. 1. P. 85-107.

4. Мерзляков С.Г. Интегралы от экспоненты по мере Радона // Уфимск. матем. журн. T. 3, № 2. 2011. C. 57-80.

5. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976. 536 с.

6. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир. 1973. 470 с.

7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, часть 2. М.: Наука. 1976. 400 с.

8. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства. M. Наука. 1969. 392 с.

9. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М: Мир. 1964. 430 с.

Сергей Георгиевич Мерзляков,

Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия E-mail: msg2000@mail .ru