Об операторе решения для дифференциальных уравнений бесконечного порядка на выпуклых множествах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 4, С. 27-40

УДК 517.9

ОБ ОПЕРАТОРЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕСКОНЕЧНОГО ПОРЯДКА НА ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВАХ

У. В. Баркина, С. Н. Мелихов

Пусть ^ — выпуклое (не обязательно ограниченное) множество в С с непустой внутренностью, обладающее счетным базисом окрестностей из выпуклых областей; — пространство ростков всех функций, аналитических на Q, с естественной топологией индуктивного предела. В статье доказан критерий того, что фиксированный ненулевой дифференциальный оператор бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, действующий в А^), имеет линейный непрерывный правый обратный. Этот критерий получен в терминах существования специального семейства субгармонических функций.

Ключевые слова: линейный непрерывный правый обратный, дифференциальный оператор бесконечного порядка, пространство ростков аналитических функций, выпуклое множество.

Введение

Пусть Q — выпуклое множество в С, А(^) — пространство всех ростков функций, аналитических в некоторой открытой окрестности Q, с естественной топологией индуктивного предела. Для целой в С функции а (г) = акгк нулевого типа при порядке 1 дифференциальный оператор бесконечного порядка а(В)($) := ^ак/(к) линейно и непрерывно отображает А^) в А^) [2]. В настоящей работе рассмотрены выпуклые множества Q, обладающие счетным базисом окрестностей, состоящим из выпуклых областей. Класс таких множеств Q содержит все выпуклые области и выпуклые компакты в С. Для множеств Q с указанным свойством всякий ненулевой оператор а(П) : А^) ^ А^) сюръективен [2], и возникает естественная задача о существовании линейного непрерывного правого обратного к нему. В данной работе для выпуклого множества Q С С со счетным базисом окрестностей из выпуклых областей (и с непустой внутренностью) доказывается критерий того, что фиксированный ненулевой оператор а(^) : А^) ^ А^) имеет линейный непрерывный правый обратный. Критерий получен в терминах существования специального семейства субгармонических функций. В случае, когда Q ограничено, подобный критерий был доказан в [8]. Для специальных классов выпуклых множеств Q С С аналогичные результаты (в различных терминах) установлены 3. Моммом [21, 22] (для выпуклой области Q), Ю. Ф. Коробейником [5] (для выпуклого многоугольника ^^^ ^^^ [15] (в случае, когда Q — отрезок), С. Н. Мелиховым и 3. Моммом [9, 19] (для выпуклого компакта Q и для выпуклого локально замкнутого множества Q).

Схема изложения в данной работе аналогична схеме изложения в статье [8], в которой рассмотрен случай ограниченного ^^ ^^^^^^^ ^^отраниченность Q влечет ряд

© 2014 Баркина У. В., Мелихов С. Н.

существенных трудностей (описание геометрической структуры выпуклых множеств со счетным базисом окрестностей из выпуклых областей; доказательство ультраборноло-гичпости пространства целых функций, изоморфного сильному сопряженному к и

ассоциированного пространства векторнозначных последовательностей), преодоленных в данной работе. Подробная аналитическая реализация условия существования специальных семейств субгармонических функций, равносильная наличию линейного непрерывного правого обратного к а(П), будет предпринята в следующей статье.

1. Геометрическая структура множества Q

Для множества М С С символами М, дМ, intM, convM обозначим, соответственно, замыкание, границу, внутренность и выпуклую оболочку M в С. Символ [x,y] обозначает (прямолинейный) отрезок с концами x,y £ С.

Пусть Q — выпуклое подмножество С; ш := Q ^ dQ — часть границы Q, содер-QQ

окрестностей, состоящий из выпуклых областей. Характеризация ограниченных выпук-Q

Q

Положпм В(/л,г) := {z £ С : \z — ß\ < г}, В(/л,г) := {z £ С : \z — ß\ ^ г}, ß £ С, r > 0.

Лемма 1.1. (I) Пусть Q — выпуклое подмножество С с непустой внутренностью, ш = 0, Qо := (int Q) U ((öQ)\o>). Следующие утверждения равносильны:

(i) Q имеет счетный базис окрестностей, состоящий из выпуклых областей, iii) Множество ш и пересечение множества Qо с любой прямой, опорной к Q, компактны.

Q С Q

счетный базис окрестностей, состоящий из выпуклых областей, тогда и только тогда, Q

< (i) ^ (ii) : Поскольку Q имеет счетный базис окрестностей, то вследствие [4, теорема 1] множество ш компактно. Предположим, что пересечение Qo с некоторой прямой I, опорной к Q, не является компактным. Тогда существует полуинтервал [z\,z2), содержащийся в (öQ)\w, такой, что его конец Z2 лежит в ш. Пусть P — открытая полуплоскость с границей I, не содержащая Q. Возьмем какую-либо замкнутую полуполосу, поперечная (ограниченная) сторона то которой лежит на интервале (zi, Z2), а граничные

перпендикулярные к то лучи лежат в P U I. Дополнение этой полосы является открытой QQ

противоречие. Значит, пересечение Qо с любой прямой, опорной к Q, компактно.

(И) => (i) : Очевидно, что открытые множества Qn := (int<3) LK^ + и G N,

образуют базис окрестностей Q. Покажем, что выпуклые области Qn := conv((intQ) U (ш + B(0, n £ N, тоже образуют базис окрестностей Q. Предположим противное: существует по такое, что Qm ^ Qno для любого то. Тогда для любого то существуют ym £ intQ, zm £ conv(w + В(0, tm £ [0,1] такие, что

) Ут + <tmzm £ Q \ Q no

Рассмотрим возможные случаи.

1) Пусть последовательность (xm)meN содержит ограниченную подпоследовательность. Тогда существуют возрастающая последовательность то& £ N k £ N, и x, z £ С,

Ь £ [0,1] такие, что при к ^ то

жтк ^ ж> гтк ^ г) Ьтк ^ Ь

Заметим, что г £ еопу ш С Q. Поскольку множество С \ Qraо замкнуто, то ж £ С \ (5П0■ Значит, ж £ ^ ^^^ более, ж £ ш.

Предположим, что ж £ (5(5) \ <5- Поскольку множество (5 выпукло, то [х,г] С Для любого к интервал (жтк , гтк) не пересекается с Q. Действительно, пусть для некоторого к существует Юк £ (жтк , гтк) П Q. Поскольку жтк £ [утк , Ютк] и Q выпукло, то жтк £ Q, что противоречит тому, что жтк £ Q. Отсюда следует, что интервал (ж, г) содержится в дQ. Значит, г £ Поскольку г £ ^^о г £ ш. Это противоречит

условию (гг).

Предположим, что ж £ (3- Существует прямая р такая, что ж и (3 лежат по разные стороны от р. Тогда для больших к (пусть для к ^ ко) точки жтк и гтк тоже лежат по разные стороны от р (там, где х и соответственно). Поскольку утк находится по ту же сторону от р, что и жтк при к ^ ко (ведь жтк £ [утк ,гтк]), то это противоречит тому, что утк £(,).

Пусть теперь хт —> оо. Положим В := сопу(о> + В(0,1)); В — выпуклое компактное множество. Так как жт ^ то, то жт £ В при т ^ то. При этом гт £ В для любого т. Поэтому при т ^ то отрезок [жт,гт] пересекается с дВ в некоторой точке жт £ дВ. Заметим, что хт £ [ут,гт], т. е. хт £ Кроме того, хт £ ш + В(0, Отметим также, что [жт, гт] П Q = 0 (в противном случае жт £ Значит, жт £ ^ и жт £ Щ Q, т. е. жт £ Qm \ С5по ПРИ т ^ то. При этом последовательность (жт)т^т0 ограничена. По части 1) этого не может быть.

Таким образом, последовательность выпуклых областей Qn := еопу(^П Q) П (ш + В(0пёМ, является базисом окрестностей .

Утверждение (II) следует из [4, теорема 1]. >

Замечание 1.2. (а) По доказательству леммы 1.1, если выпуклое множество Q С С с непустой внутренностью удовлетворяет условиям (и) и ш = 0, то выпуклые области

Qn := сопу ^ и (ш + В(0,1/п))^ , п £ Н,

образуют базис окрестностей Q.

(б) Доказательство импликации (г) ^ (гг) в лемме 1.1 аналогично ее доказательству в случае ограниченного ^ ^ ^^^^ ^^^^^^^^^^ство же импликации (гг) ^ (г) существенно отличается от ее доказательства для ограниченного Q в [7].

2. Описание пространства А^) и его сопряженного

Всюду далее Q — выпуклое подмножество С с непустой внутренностью и со счетным базисом окрестностей из выпуклых областей Qn, п £ Н, как в замечании 1.2. Пусть А^га) — пространство всех функций, аналитических в Qn, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах Qn, п £ N В пространстве A(Q) ростков всех функций, аналитических на ^^ ^^^^^^^^^ индуктивного предела: А^) := iпdra^A(Qra).

Эта топология не зависит от выбора последовательности Qn, п £ Н, выпуклых областей, составляющих базис окрестностей Q.

Зафиксируем некоторую фундаментальную последовательность (Km)meN компактных подмножеств int Q такую, что Km С Km+i, m £ N Тогда для каждого n £ N

Кпт := conv (кт U (ш + В ^0, ) ) ) > m £ N,

— фундаментальная система компактных подмножеств Qn.

Для ограниченного множества M С С символ ом Hm обозначим опорную функцию M

Им(z) := supRe(zt), z £ С.

teM

Пусть Hnm := Икпт, n, m £ N. Тогда

(mm \

ЯХт(-г);#^(-г) + n(n + m)N ) > z £ С, n, m £ N.

n, m £ N

A„m := (/ £ A(C) : H/IU := sup ^ < +00 t zee exp Hnm(z)

Положим Aqu := indm^Anm, Aq := proj^nAQ„.

Далее ca(z) := exp(Az), A, z £ С. Для локально выпуклого пространства F символ F' обозначает топологическое сопряженное к F пространство.

Лемма 2.1. (а) Преобразование Лапласа F(^>)(A) := ^>(вд), A £ С, ^ £ A(Q)', устанавливает топологический изоморфизм сильного сопряженного к A(Q) пространства A(Q)e на Aq.

Двойственность между A(Q) и Aq определяется билинейной формой (g, f) = F-1(f)(g), g £ A(Q), f £ Aq. A(Q)

(6) Пространства Aqu , n £ N, и Aq полны.

< Утверждение (а) доказано в [7, лемма 2] в случае, когда Q ограничено. Приведенное в [7] доказательство подходит и для случая необязательно ограниченного множе-Q

Согласно [11, гл. IV, 4] выполняется алгебраическое равенство A(Q)' = proj^nA(Qn)'.

A(Qn)

и в A(Q), то сильная топология в A(Q)' мажорирует топологию проективного предела proj^nA(QnТак как любое ограниченное в A(Q) множество содержится и ограничено

A(Qn)

гия в proj^nA(Qn)^ мажорирует сильную топологию в A(Q)'. Поэтому первая часть

F

странства A(Qn)^ на indm^Anm (см., например, [3, гл. I, §2]).

A(Q) A(Q)

A(Qn) A(Q) A(Q)

является монтелевским пространством.

(6): Пространство Aqu полно, так как оно топологически изоморфно сильному сопряженному к борнологическому пространству A(Qn), n £ N [18, следствие 24.11]. Aq полно как проективный предел полных пространств Aqu, n £ N [11, гл. 2, 5.3]. >

Замечание 2.2. Базис окрестностей множества Q образуют также области Qn := (int Q) U (a> + B (0,1/n)), n £ N Для которых Qn = conv Qn. Для люб ого n £ N найдется

m е N такое, что Qm С Qn и A(Qn) ^ A(Qn) ^ A(Qm) — символ непрерывного вложения).

Для любого n е N компакты

Qnm -=KmU [ш + В (о, m )), raeN,

n(n + m)

образуют фундаментальную систему компактных подмножеств Qn. Топологию пространства A(Qn) задает последовательность преднорм |g|nm := supzgqnm |g(z)|, g е A(Q„), m е N.

Так же, как и для ограниченного Q (см. [8, лемма 1.5]), имеет место Лемма 2.3. Пространство Aq ультраборнологично (т. е. является индуктивным пределом некоторого семейства банаховых пространств [18]).

< Применим функтор Proj1 проективного спектра (ЬВ)-пространств [10, 24, 25]. Пусть Aq — проективный спектр пространств Aqu и отображений вложения i^+i : Aq„+i ^ Aq^. Без ограничения общности можно считать, что внутренность Q содержит нуль. По [23] множество P всех многочленов полно в Aqu для любого n е N. Так как P С Aq, то Aq плотно в Aqu для любо го n е N Следовательно, с пектр Aq — приведенный. Поскольку пространство Aq полно (лемма 2.1 (Ь)), то пространство Aq ультраборнологично тогда и только тогда, когда оно борнологично. По [25, теорема 3.4] Aq борнологично, если Proj1 Aq = 0. По [26] для справедливости равенства Proj1Aq = 0 достаточно выполнения условия

(P?) (V(3 n, k) (Vm, M) (3 N, S) (Vy е aQm) ||y||km < smax(||y||mw; lly|i;«),

где ||y||*j := supyy^i |y(f)|. Вследствие рефлексивности пространств A(Qn) и замечания 2.2 условие (P|) равносильно такому:

(P^) (V(3 n, k) (Vm, M) (3 N, S) (Vg е A(QM)) |g|fcm < Smax(|g|mn; |gU).

Условие (Pj) выполняется, если

(V^)(3 n, k) (Vm,M)(3 N) Qfcm С Qmn U Qm„,

t. e.

m

(V/x) (3n,k) (Vra.M) (ЗЛГ) U w + В 0,

k(k + m)

С I ifjv U I o> + В I 0, A7. ) ) ) U \Kn U (ш + В (0, П

M(M + N)))) \ \ V X^ + n)

Последнее вложение выполняется, если выбирать n := k := 2^, N := m. >

3. Ассоциированное пространство векторнозначных последовательностей

Пусть [1, 0] — векторное пространство всех целых в C функций нулевого типа при порядке 1; функция a G [1, 0] отлична от многочлена и V(a) — множество всех нулей a (множество V(a) бесконечно). Согласно [1, 6] найдется последовательность попарно непересекающихся кругов Bj := B(^j, rj), j G N, пулевой линейной плотности (т. е. таких, что lim = го и lim (^. i<„ r?-)/r = 0), удовлетворяющих следующим условиям:

1) V (а) С U jeN Bj и V (a) П Bj = 0 для любо го j G N;

2) вне Ujen Bj выполняется асимптотическое равенство log |a(z)| = o(|z|), |z| ^ то.

Для каждой функции a G [1, 0], отличной от многочлена, зафиксируем такую последовательность (Bj)jgn- Отметим, что limj^^ rj/|^j| = 0. Можно считать, что l^jI ^ |^j+i|> j G N. Тогда limj^(log j)/|^j| = 0.

Приведем далее конструкцию из [17]. Пусть A^(Bj), j G N, — банахово пространство всех ограниченных аналитических в круге Bj функций; /j := а|в • A^(Bj) — замкнутый идеал в A^(Bj), порожденный функцией a^.; Ej := A^(Bj )//j. В Ej определим топологию фактор-пространства нормой

II/ + /jllj := /f sup |£(z)|.

+/j zeBj

Пространство Ej конечномерно, его размерность kj равна числу нулей функции а (с учетом их кратностей), содержащихся в круге Bj Для n, m G N определим пространства последовательностей

Am(Q„, a,Е) := \ X = (xj)j&4 G TT Ej : |||X|||ram := sup-< то

i -L-L jeN exp )

j Hj

^j • Hl^lllmn auP——T „v-t\t exp H

k jen

Л(фп, a, E) := a, E), Л(ф, a, E) := proj^^(Q„, a, E).

Для последовательности E' := (Ejjen сильных сопряженных Ej к пространствам Ej

с нормами || ■ Hj и n G N определим пространства Фреше

K(Q„,a, E') := i X = (xj)jen G jj Ej : Vm G N ^ ||xj ||j exp ) < то >,

l jen jen )

и положим

K(Q, a, E') := ind„^K(Qra, a, E).

Поскольку lim (log j )/|^j | = 0, то для люб ого n G N пространс тво E) алгеб-

рапческп и топологически совпадает с локально выпуклым пространством

Ai(Qra,a,E) := J X = (Xj)j&] G J] Ej : 3mGN: £-< L

I jen jenexp ) J

наделенным естественной топологией индуктивного предела.

Для бесконечной матрицы B = (bj,n,s)j,n,sen такой, что 0 < 6j,n,s+i ^ ^ bj,n+1)S, n, s G N, введем пространства числовых последовательностей

ЛП(В) := x = (xj)jen С C : 3 s G N : ^ |xj|6j)n>s < то l n G N, ^ jen j

с топологиями индуктивных пределов банаховых пространств и положим

Л(В) :=proj^„(B).

Лемма 3.1. Пусть функция a G [1,0] отлична от многочлена. Пространство Л^^, E) ультраборнологично.

< Определим «растянутую» матрицу В := (&j,n,m)j,n,men следующим образом:

i-i i

:= exp(-Hram(^j)), ^ k < j ^ ^ ki, l G N; ko := 0.

i=0 i=0

Пусть ejk, 1 ^ k ^ kj := dimEj, — базис Ауэрбаха в Ej [14]. Поскольку lim (log j)/|^j =0,

j^^

lim rj/|^j| = 0, то (по доказательству [17, предложение 1.4]) отображение

/ k \ i-i

T I ^ ^ Cjkejk I := d, dj := c№, j = k + ^ ki, 1 ^ k ^ ki, l G N, \jen k=i / i=o

— топологический изоморфизм A(Q,a, E) на Л(В).

Покажем, что пространство Л(В) ультраборнологпчно. По [25, теорема 4.2] ультра-борнологпчность Л(В) равносильна следующему условию:

(Р) (V/x)(3n,fe)(Vm,M)(3AT,S)(Vi)

т. е.

m

k(k + m)

N

M(M + ЛГ)

n

+ n)

max ( Hu(jij) + ,1/Xjl

^ log S1 + max ( max ( HKN(ßj); Яш(^) + дпЫ ) !

max ( HKn (^); Нш {ßj)+ j ¡л j j

Условие (Р) выполняется: как и при доказательстве леммы 2.3, можно взять п := р, к := 2р, N := га (и 5 := 1). >

Следствие 3.2. Пространство Л(ф,а, Е) рефлексивно. Его сильное сопряженное можно отождествить с К(ф, а, Е).

< Для каждого п € N 110 [17) лемма 1.2], К(фп, а, Е'— сильное сопряженное к пространству Фреше — Шварца Ка, Е') — можно отождествить с Л(фп,а, Е). Поэтому Л(ф,а, Е) — приведенный проективный предел последовательности (ВРЗ)-пространств. По [25, теорема 3.5] пространство Л(ф,а, Е)в рефлексивно и может быть отождествлено с Е)^, т. е. с К(ф,а, Е'). >

Лемма 3.3. Пусть функция а € [1, 0] отлична от многочлена. Оператор р : Ад/(а ■ Ад) ^ Л(ф, а, Е), / + а ■ Ад ^ (/|в. + ) ^ ,

— линейный топологический изоморфизм «на».

< Из определения Ад/(а ■ Ад), Л(ф,а, Е) и р вытекает, что оператор р линейно и непрерывно отображает Ад/(а ■ Ад) в Л(ф,а,Е). Если / € Ад р(/ + а ■ Ад) = 0, то / € для любо го ^ € N. Значит, фун кция / делится па а|_в,- для любо го ^ € N

//а а //а € Ад

/ € а ■ Ад Таким образом, отображение р инъективно.

Покажем, что р : Ag/(a■ Aq) ^ A(Q,a, E) сюръективно. Используем гомологический метод доказательства утверждений подобного рода, предложенный в [10], и адаптированный к конкретным проективным спектрам в [24, 25]. Его применение основано на том, что для всех n G N «локальные» отображения ро,п : Aqu ^ A(Qn,a, E), f ^ (f )j eN _ топологические гомоморфизмы с ядром a ■ Aqu.

Пусть Aq — проективный спектр пространств Aqu и отображений вложения i^+i : Aq„+i ^ Aqu, n G N. Согласно [22] (см. доказательство в [22, предложение 6]), для любого n G N короткая последовательность

0 Aq„ Aq„ —^ A(Qn, a, E) 0,

в которой Ma — оператор умножения на функцию a, точна (здесь это означает, что операторы ро,п сюръективны). По доказательству леммы 2.3 Proj1AQ = 0. По [25, теорема 5.1] отображение р0 : Aq ^ A(Q,a,E), p0(f) := (f|Bj + Ij)jeN сюръективно. При этом Kerро = a ■ Aq По лемме 3.1 пространство A(Q,a, E) ультраборнологично. Пространство Aq, как счетный проективный предел (ЬВ)-пространств, имеет сеть (web) [18, лемма 24.28]. По теореме об открытом отображении [18, Теорема 24.30] оператор р — топологический изоморфизм AQ/(a ■ Aq) на A(Q,a, E). >

4. Критерий существования правого обратного к дифференциальному оператору бесконечного порядка

Для функции a(z) = afcZk из [1, 0] дифференциальный оператор бесконечного

a

те

a(D)(f) :=£afcf fc=0

Если функция a отлична от тождественного нуля, то для любого n G N оператор a(D) : A(Qn) ^ A(Qn) сюръективен [2]. Значит, любой ненулевой оператор a(D) : A(Q) ^ A(Q) сюръективен.

Лемма 4.1. Пусть a G [1, 0]\{0}. Следующие утверждения равносильны:

(i) Оператор a(D) : A(Q) ^ A(Q) имеет линейный непрерывный правый обратный.

(ii) Сопряженный к a(D) оператор Ma : Aq ^ Aq f ^ af, имеет линейный непрерывный левый обратный.

(iii) Фактор-отображение q : Aq ^ Aq/^-Aq) имеет линейный непрерывный правый обратный.

< Утверждения (i) и (ii) равносильны вследствие рефлексивности A(Q).

(ii) ^ (iii) Пусть L — линейный непрерывный левый обратный к Ma. Отображение Ma о L является непрерывным проектором Aq па a ■ Aq — ImM^ а R(q(f)) :— f — ◦ L(f) — линейным непрерывным правым обратным к q : Aq ^ AQ/(a ■ Aq).

(iii) ^ (ii): Доказательство аналогично доказательству леммы 1.12 в [20]. Пусть R — правый обратный к q. Тогда I — R о q — непрерывная проекция Aq па Ker(R о q) = Im Ma, а L := M—1 о (/ — R о q) — линейный левый обратный к Ma. График оператора L : Aq ^ Aq замкнут, по лемме 2.3 пространство Aq ультраборнологично. Кроме того, Aq имеет сеть (web) (как проективный предел последовательности (ЬВ)-пространств). По теореме о замкнутом графике [18, теорема 24.34] оператор L непрерывен, а значит, является линейным непрерывным левым обратным к Ma. >

Если функция a G [1, 0] отлична от многочлена, то символ Aa обозначает множество всех предельных точек последовательности (z/|z|)zey(a).

Для множества M С С положим Г(М) := {ЛЬ : Л ^ 0, b G M}. Пусть SH(C) — множество всех субгармонических в С функций.

Теорема 4.2. (I) Пусть a — ненулевой многочлен. Тогда оператор a(D) : A(Q) ^ A(Q) имеет линейный непрерывный правый обратный.

(II) Пусть функция a G [1, 0] отлична от многочлена. Следующие утверждения равносильны:

(i) Оператор a(D) : A(Q) ^ A(Q) имеет линейный непрерывный правый обратный.

(ii) Существуют функции vt G SH(С) (t G T(Aa)) такие, что vt(t) ^ 0 t G r(Aa), и

(Vn) (3 n') (Vm) (3 m') vt(z) < (z) - H„/m(t), z G C, t G T(Aa).

< (I): Ядро Kera(D) оператора a(D) : A(Q) ^ A(Q) конечномерно. Значит, оно топологически дополнимо в A(Q) [11, гл. 1, 3.5]. Так как отображение a(D) : A(Q) ^ A(Q) сюръективно, то по теореме об открытом отображении для (ЬЕ)-иространств оно открыто. Поэтому оператор a(D) : A(Q) ^ A(Q) имеет линейный непрерывный правый обратный. (Если P — непрерывный проектор A(Q) на Ker a(D), то линейным непрерывным правым обратным к a(D) является оператор g = a(D)(f) ^ f — P(f).)

(i) ^ (ii): По лемме 4.1 фактор-отображение Aq ^ Ag/(a ■ Aq) имеет линейный непрерывный правый обратный. Вследствие леммы 3.3 существует линейный непрерывный правый обратный т к оператору ро : Aq ^ Л(^, a, E), f ^ (f + Ij)jen- Если сильные сопряженные пространства к Aq и Л(ф, a, E) отождествить с A(Q) и K(Q, a, E') соответственно, то сопряженный к т оператор т' непрерывно действует из A(Q) в K(Q, a, E').

Зафиксируем n G N. По факторизационной теореме Гротендика [12, теорема 6.5.1] найдется n' G N такое, что т' отображает непрерывно A(Qn) в K(Qn', a, E'). Поэтому оператор т'', сопряженный к т' : A(Qn) ^ K(Qn', a, E'), непрерывен из Л^п', a, E) ~ K(Qn', a, E')в в Aqu ~ A(Qn)e- Вследствие рефлексивности Aq и Л(Q, a, E) выполняется равенство т = т''|A(Q,a,e)- Таким образом, onератор т продолжается (единственным образом) до линейного непрерывного оператора из , a, E) в Aqu. По факторизационной

m G N m' G N т

непрерывно Лт(Qn', a, E) в Anm'. Значит,

(V n) (3 n') (V m) (3 m') (3 C„m > 0)

11т (X )|| nm' ^ Cnm|||X|||n'm, X G Лт(Qn', a, E). (1)

Зафиксируем t G Aa. Существуют последовательно сть нулей ^функции a, возрастающая последовательность js G N такие, что ts G Bjs и ts/|ts| ^ t при s ^ œ. Так как lim rj/|pj| = 0, то lim /|ts| = t Для s G N выберем иоследовательность Xs следующим образом: (Xs)js = 1(mod j) (т. e. (Xs)js — класс эквивалентности, содержащий функцию, тождественно равную 1 на Bjs) и (Xs) = 0(modI), если l = js. Положим fs := т(Xs), s G N. Поскольку |||XS|||n'm ^ exp(—Hn'm(Pjs)), то, вследствие (1),

||fs||nm' ^ Cnm exp( — Hn'm(^js )),

откуда

lfs(z)| <

Cnm exp(Hnm' (z) Hn'm (j)), z G С, s G N.

функции us(z) := log|fz (z)| субгармоничны в C и удовлетворяют неравенствам

log Cnm, + Hram/ (z) Hn,'m, ( j ), Z G C, S G N. (2)

По построению f Ij + Jjs = (XS)js = 1 + Jjs. Значит, существует функция gs G Jjs, для которой f|j = 1 + gs- Следовательно, fs(ts) = 1 + g(ts) = 1 и us(ts) = log|f (ts)| = 0, s G N.

Пусть vt — полунепрерывная сверху регуляризация функции lim sup us(tsz/t)/|ts функция vt субгармонична в C и vt(t) ^ limsupus(ts)/|ts| ^ 0. Из оценок (2), с учетом того, что j /|ts| ^ t, вытекает:

limsupUs(tsz/t)/|ts| ^ (z) - H„/m(t), z G C.

Таким образом,

vt(z) ^

(t), t G Aa, Z G C.

функции v^t(z) := Àvt(z/À) Л > 0 t G Aa, z G C vo = 0 являются искомыми.

(ii) ^ (i): Воспользуемся конструкцией, предложенной в [22]. Пусть ejk, 1 ^ k ^ kj, — базис Ауэрбaxa в Ej (kj := dimEj), a Xjk — последовательности (0,..., 0, ejk, 0,...), в которых единственная ненулевая координата ejk находится на (k + ^j=o kj)-oü позиции (ko := 0). По доказательству [17, предложение 1.4] последовательность (Xjk)i^k^kj,j gn — абсолютный базис в A(Q,a, E).

Выберем последовательность нулей zj G Bj, j G N, функции a. Существуют точки tj G Aa такие, что £j := |zj/|zj| — tj| ^ 0 j ^ œ (без ограничения общности можно считать, что zj = 0, j G N). Положим Rj := 2rj + £j|zjI, j G N, и

Vj(z) := sup vz|tj(z + w), z G C, j G N. N^Rj

функции Vj субгармоничны в C. Поскольку V|Zj. |tj. (|zj |tj) ^ 0, то Vj B ^ 0 j G N. Из оценок сверху для функций vt следует, что

(Vn)(3 n')(Vm)(3 m')(3 C ^ 0) Vj(z) < (z) — ) + C, z G C, j G N. (3)

В [22, предложение 6] показано, что существуют локально ограниченная функция q : C ^ [0, +œ) (зависящая только от a), для которой q(z) = o(|z|), z ^ œ, постоянная Ci > 0, целые функции gjk, 1 ^ k ^ kj, j G N, такие, что

Po(gjk ) = (gjfclß; + Ji)i en = Xjk (4)

и

|gjk(z)| ^ C1 exp ( sup (Vj-(w) + q(z))), z G C, 1 ^ k ^ kj, j G N.

Вследствие (3)

(V n) (3 n') (V m) (3 m') (3 C2 ^ 0)

Igjfe(z)I ^ C2exp(H„m'(z) — )), z G C, 1 ^ k ^ kj, j G N.

Положим

R( cjkXjk ) := cjkgjk. jen jen

Из оценок сверху для | вытекает, что все функции иринадлежат Ад, ряд по функциям в определении К абсолютно сходится в Ад и оператор К линейно и непрерывно отображает А(ф,а, Е) в Ад Вследствие равенств (4) К — линейный непрерывный правый обратный к ро : Ад ^ А(ф,а, Е). По лемме 3.3 фактор-отображение д : Ад ^ Ад/(а ■ Ад) имеет линейный непрерывный правый обратный. В силу леммы 4.1 существует линейный непрерывный правый обратный к а(^) : А(ф) ^ А(ф). >

Замечание 4.3. Пусть функция а е [1,0] отлична от многочлена и оператор а(^) : А(ф) ^ А(ф) имеет линейный непрерывный правый обратный. Тогда

(г) Яд < +то на Аа;

(гг) Для любого Ь е Аа те существует открытой окрестности точки Ь, в которой Яд

< (г): Предположим, что существует Ь е Аа такое, что Яд(Ь) = +то. По теореме 4.2 существует функция v е 5Я(С) такая, что ^(Ь) ^ 0 и

(Vп)(3 п')(У т)(3 т') v(z) < Ягат/(г) - Я„/т(Ь), г е С,

т. е.

v(z) ^ ша^ Як, (г); Яш(г) +

т' Ы

п(п + т')

-тах(я^(Ь);Я^(Ь) + п/(п/т+т)), г € С. (5)

Выберем г0 е С такое, что |го| = 1 и Яд(г0) < +то. Тогда для любого £ > 0, взяв в (5) п' для п = 1 и перейдя к предел у при т ^ то, получим:

г)(Ъ0) ^ шах (Яд(¿го); Яш(^0) + ¿) - шах ^Яд(6); Яш(6) + = -оо.

Получено противоречие, поскольку множество {¿¿о : £ > 0} неполярно.

(гг): Предположим, что найдется точка Ь е Аа, в некоторой окрестности которой функция Яд гармоническая. Тогда Яд гармонически в некотором открытом угле Г с началом в 0, содержащем Ь. По теореме 4.2 существуют функции vr5 е 5Я(С) г > 0,

такие, что vr5 (гЬ) ^ 0 и

(V п) (3 п') (V т) (3 т') (V г е Г) (V г > 0) пг(г) := угь(г) - Яд (г) ^ тах ( НКт, (г)] Нш(г) +

т'| г\

п(п + т')) (6)

(гт \

Якт(гЬ);Я^(гЬ) + п/(п/ + т^ -Яд(^).

При этом функции пг, г > 0, — субгармонические в Г.

В неравенстве (6) зафиксируем п (и п') и перейдем к пределу при т ^ то. Получим

/ Ы

пг(г) ^ тах ( Щ(г)]Нш(г) + —

- тах (гЯд (6) ;гЯш (6) + ^) -Яд (г), г£Г,г>0. (7)

Переходя теперь к пределу при n ^ то, будем иметь

ur (z) ^ max (Hq (z); Яш (z)) - r max (Hq (b); H (b)) - Hq (z) = Hq(z) - Hq(z) - rHQ(b) = -rHQ(b), z G Г.

Кроме того,

nr (rb) ^ -HQ(rb) = -rHQ(b), r > 0.

По принципу максимума для субгармонических функций для любого r > 0

ur = -rHQ(b). (8)

Пусть HQ(b) = Нш (b). Из неравенства (7) следует, что

ur(z) < max (Vq(z); tfw(z) + - HQ(z) -rHQ(b)-^, z G Г, г > 0.

Возьмем r = 1 и n = 1. Тогда для z G Г таких, что |z| достаточно мало, ui (z) < -HQ(b). Получено противоречие с (8).

Пусть HQ(b) > Нш(b). Тогда угол Г можно выбрать так, что существует /о такое, что для любых /, s ^ /о

/|z|

Hjci(z) ^ Hw{z) + гбГ.

Возьмем в (6) n := /о, какое-либо m ^ /о и выберем для него m' ^ т. Тогда

Ur (z) < Якт, (z) - Hq(z) - rHKm (b), z G Г, r > 0.

Зафиксировав в последнем неравенстве r > 0 и перейдя к предел у при z ^ то, получим, что lim ur (z) = —то. Это иротиворечит (8). > z е г'

Приведем теперь некоторые определения из теории граничного поведения конформных отображений. Положим S := {z G C : |z| = 1}.

Пусть О — ограниченная выпуклая область в C, р — конформное отображение единичного круга {z G C : |z| < 1} на О. Для r G (0,1) положим Or := p({z G C : |z| ^ r}). Все компакты Ог выпуклые. Пусть Hr — опорная функция Ог. Согласно [21] существует

Da(z):= lim ~ G (0, +оо], |z| = 1.

rl1-0 1 — r

Пусть теперь О — выпуклый компакт в C, ф — конформное отображение {z G C : |z| > 1} на С\О такое, что ф(то) = то Положим Or := C\^({z G C : |z| > r}), r > 1. Все компакты Ог выпуклые. Пусть Hr — опорная функция Ог. Согласно [9] существует

Da(z):= lim ~ f^ G [0, +оо), |z| = 1.

rl1+0 r — 1

Пусть ш := (dQ)\Q, ш>0 := (dQ)\w. Введем множества опорных направлений S0 := {а G S : Re (wa) = Hg(a) для некоторого w G ш0}, Sw := S\S0.

S0 S

Теорема 4.4. Всякий ненулевой оператор а(Б) : А(ф) ^ А(ф) имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(г) Q ограничено.

(гг) Функция д ограничена на каждом компакте в 50. (ш) Функция 1/-Сд ограничена на некоторой окрестности множества в й1. < Пусть всякий ненулевой оператор а(Б) : A(Q) ^ А^) имеет линейный непрерывный правый обратный. Так как для любого £ е S существует ненулевая функция а е [1,0], для которой Аа = {¿}, то по замечанию 4.3 Яд(£) < +то. Следовательно, Q ограничено. Согласно же [8, следствие 2.5] для ограниченного множества ^ ^^давия (гг) и (ггг) равносильны существованию линейного непрерывного правого обратного у любого ненулевого оператора а(Б) : А^) ^ А^). >

Литература

1. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: Гостехиздат, 1956.

2. Коробейник К). Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Мат. сб.—1968.—Т. 75(117), №2.—С. 225-234.

3. Коробейник К). Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, вып. 1.—С. 73126.

4. Коробейник К). Ф. О счетной определимости множеств // Мат. заметки.—1996.—Т. 59, вып. 3.— С. 383-395.

5. Коробейник Ю. Ф. О правом обратном для оператора свертки в пространствах ростков на связных множествах в C // Мат. сб.^1996.^Т. 187, № 1,—С. 55-86.

6. Красичков-Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Мат. заметки.—1978.—Т. 24, В. 4.—С. 531-546.

7. Мелихов С. Н. Выпуклые конформные отображения и правые обратные к оператору представления рядами экспонент // Тр. Математического центра имени Н. И. Лобачевского. Т. 14. Материалы междунар. науч. конф. (Казань, 18-24 марта 2002 г.).—Казань: Казанское мат. общество, 2002.^С. 213-227.

8. Мелихов С. Н. Аналитические решения дифференциальных уравенний бесконечного порядка на выпуклых множествах с препятствием, открытым на границе // Исследования по комплексному анализу, теории операторов и мат. моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004.— С. 141-162.

9. Мелихов С. Н., Момм 3. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в C // Изв. вузов. Математика.—1997.—№ 5.—С. 38-48.

10. Паламодов В. П. Функтор проективного предела в категории линейных топологических пространств // Мат. сб. 1968. "Г. 75.^С. 3-66.

11. Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.—360 с.

12. Эдварде Р. Функциональный У НУЛЮ. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.

13. Boaet J., Meise R., Melikhov S. N. The Dual of the Space of Holomorphic Functions on Locally Closed Sets // Publ. Mat.—2005.—Vol. 49.-P. 487-509.

14. Jarchow H. Locally Convex Spaces.^Stuttgart: Teubner, 1981.

15. Langenbruch M. Continuous linear right inverses for convolution operators in spaces of real analytic functions // Studia M;nh. 1991. Vol. 110.-P. 65-82.

16. Martineau A. Sur la topologie des espaces de fonctions holomorphes // Math. Annal.—1966.—Vol. 163.— P. 62-88.

17. Meise R. Sequence space representations for (DFN)-algebras of entire functions modulo closed ideals // J. Reine und Angew. Math.-1985.-Vol. ЗбЗ.^Р. 59-95.

18. Meise R., Vogt D. Einführung in die Punktionalanalysis.—Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, 1992.^ 418 s.

19. Melikhov S. N., Momm S. Solutions operators for convoluion equations on the germs of analytic functions on compact convex sets of CN Ц Stud. Math.—1995.—Vol. 117.-P. 79-99.

20. Melikhov S. N., Momm S. Analytic solutions of convolution equations on convex sets with obstacle in the boundary I I Math. Scand.-2000.-Vol. 86.^P. 293-319.

21. Momm S. Convex univalent functions and continuous linear right inverses // J. Functional Analysis. 1992,—Vol. 103.—P. 85-103.

22. Momm S. Convolution equations on the analytic functions on convex domains in the plane // Bull. Sei. Math.—1994,—Vol. 118.-P. 259-270.

23. Taylor B. A. On weighted polynomial approximation of entire functions // Pac. J. Math.—1971.— Vol 29.^P. 523-539.

24. Vogt D. Lectures on projective spectra of (DF)-spaces. Seminar lectures. AG Funktionalanalysis.^ Düsseldorf: Wuppertal, 1987.^36 p.

25. Vogt D. Topics on projective spectra of (LB)-spaces // Advances in the theory of Fröchet spaces / T. Terzioglu (ed.). Istambul, 1987, NATO ASI Series C.-Dordrecht: Kluwer, 1989 -Vol. 287.^P. 1127.

26. Wengenroth J. Acyclic inductive spectra of Fröchet spaces // Stud. Math.—1996.—Vol. 120.—P. 247-258.

Статья поступила 11 августа 2014 г.

Баркина Ульяна Витальевна Южный федеральный университет, аспирант кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: barkinauvOrambler. ru

Мелихов Сергей Николаевич Южный федеральный университет,

профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а Южный математический институт, ведущий научный сотрудник отдела мат: анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: meliMmath.rsu.ru

ON A SOLUTION OPERATOR FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF INFINITY ORDER ON CONVEX SETS

Barkina U. V., Melikhov S. N.

Let Q be a convex (not necessarily bounded) set in C with the nonempty interior which has a countable neighborhood base of convex domains; A(Q) be the space of germs of all analytic functions on Q with its natural inductive limit topology. Necessary and sufficient conditions under which a fixed nonzero differential operator of infinite order with constant coefficients which acts in A(Q) has a continuous linear right inverse are established. This criterion is obtained in terms of the existence of a special family of subharmonic functions.

Key words: continuous linear right inverse, differential operator of infinite order, space of germs of analytic functions, convex set.