О коэффициентах рядов по функциям Миттаг-Леффлера для аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О КОЭФФИЦИЕНТАХ РЯДОВ ПО ФУНКЦИЯМ МИТТАГ-ЛЕФФЛЕРА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ1

© 2012 г. О.А. Иванова, С.Н. Мелихов

Иванова Ольга Александровна - старший лаборант, ка- Ivanova Olga Aleksandrovna - Senior Assistant, Department федра математического анализа, факультет математи- of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, Mecha-

ки, механики и компьютерных наук, Южный федеральный nics and Computer Sciences, Southern Federal University, университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e- Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail:

mail: [email protected]. [email protected].

Мелихов Сергей Николаевич - доктор физико-матема- Melikhov Sergey Nicolaevich - Doctor of Physical and

тических наук, доцент, профессор, кафедра алгебры и Mathematical Science, Associate Professor, Professor, De-дискретной математики, факультет математики, меха- partment of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, ники и компьютерных наук, Южный федеральный универ- Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal Uni-

ситет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д; ведущий науч- versity, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090; Leading

ный сотрудник, Южный математический институт Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics of

Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladi-

г. Владикавказ, 362027, e-mail: [email protected]. kavkaz, 362027, e-mail: [email protected].

Пусть G - ограниченная р-выпуклая область в комплексной плоскости, содержащая 0 (р>0); A(G) - пространство Фреше всех функций, аналитических в G; (Xj) ■ n - последовательность нулей специальной целой функции, рост которой определяется

G и дополнительным р-выпуклым компактом K; Ер (t) - функция Миттаг-Леффлера; А - пространство Фреше всех числовых

СО

последовательностей (с . )таких, что ряд ^ СjE (A.z) абсолютно сходится в A(G). Доказан критерий того, что сюръек-

j=l

тивный оператор представления П : Л ^ A(G), П(с)( z) := ^ С E (A ■ z) , имеет линейный непрерывный правый обратный.

j=i ' Р '

Этот критерий установлен в терминах конформных отображений единичного круга D на G и дополнения замыкания D на дополнение K.

Ключевые слова: р-выпуклое множество, функция Миттаг-Леффлера, линейный непрерывный правый обратный, оператор представления.

Let G be a bounded р-convex domain in C, 0 e G (р>0); A(G) be the space of all analytic functions in G; (A. I be zeros of a spe-

V J/jeN

cial entire function L. The growth ofL is determined by G and a complementary р-convex compact set K; E (t) be the Mittag-Leffler function; А be a Fréchet space of all numerical sequences (Cj )J=1 for which the series ^ с E (A. z) converges absolutely in A(G). We

j=i J P J

prove the criteria for the surjective representing operator П : А ^ A(G), n(c)(z) := ^ С E (A.z) , to have a continuous linear in-

j=i J P J

verse. The conditions of this criteria are given in terms of conformal mapping of the open unit disc D onto G and of the complement of the closure of D onto the complement of K.

Keywords: р-convex domain, Mittag-Leffler function, linear continuous right inverse, operator of representation. ПУсть G - от^шганвад р^ьшуюгая область, ^ (t) := + ру t e C, - функция Миттаг-

0 е G ; K - р-выпуклый компакт, 0 е K ; A(G) - про-

странстю Фреше всех функций, аналитических в G; Леффлера. Ряд ¿ce сходится абсолютно в A(G) hG (-0), hK (-0) - р-опорные функции G и K соот- j=i 1 1

ветственно. Для последовательности (А.)J=1 с C , тогда и только TOr^ когда c е Л. ОпеРатоР представ-

| X , введем пространство Фреше числовых по- ления n(c) := £cjeX линейно и непрерывно отобра-

I j=i 1

следовательностей Л := jc = (c. V с C :|| c |l:= . „ i.\

r v j/jeN 11 "" жает Л в A(G). Если последовательность тако-

:=ZI ^ I exp((hG(arg X )- Уп)l Xj |P)<+^Vn е N|. ва, что оператор П: Л^ A(G) сюръективен (т.е.

„ , ч ^ ч . (e, Г является абсолютно представляющей системой

Положим ex (z) := E (Xz), X, z е C , где VXj/j=i

'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них».

в Л (О)), то возникает естественная задача о существовании линейного непрерывного правого обратного (ЛНПО) к П: Л ^ Л (О). Она решена в статье [1] для р = 1 в случае, когда (^) - нули некоторой специальной (1, + Ик) -интерполирующей функции. В настоящей статье результаты работы [1] переносятся на случай р ф 1. Если внутренность компакта К пуста, то оператор представления не имеет ЛНПО. Для случая, когда внутренность К непуста, доказан критерий существования ЛНПО к П. Как и в [1], он получен в терминах конформных отображений р и у единичного круга В :={г е С :| 71< 1} на О и С \ В (В - замыкание В в С; С - расширенная комплексная плоскость) на С \ К соответственно (при этом при р > 1 делается дополнительное предположение о р-выпук-лости соответствующих множеств уровня р и у).

Вспомогательные сведения

Пусть О - ограниченная р-выпуклая область в С (р> 0), содержащая 0; К - р-выпуклый компакт в С, 0 е К; (-в), (-в) - р-опорные функции О и К соответственно. По поводу определений р-вы-пуклой области, р-выпуклого компакта и р-опорной функции см., например, [2, 3].

Пусть А(О) - пространство Фреше всех функций,

аналитических в О. Положим Ол := (1 - Vп)1 р О и Рп (/):= яир| /(z)|, / е Л(О), п е N. Семейство пред-

норм Р := (рп )леЛГ является фундаментальной последовательностью преднорм в А(О) (см. определение 1).

Далее Ь - целая в С функция конечного типа при порядке р, обладающая следующими свойствами:

(Ь1) Ь - функция вполне регулярного роста с индикатором + Ик (при показателе р).

(Ь2)

^ )/еЫ - все (попарно различные) нули

функции Ь и каждый из них простой.

Введем пространство числовых последовательностей Л :={с = (Cj)j,Nc С :||c ||л:=

(L3) lim

J—OO

| ä, r

- ha (arg Ä,) - hK (arg Äi)

= 0.

{ha (arg Я,)-^/)|2.r)<+oV n е N}.

:=£| сз |exP

j=l

Последовательность преднорм || • | П, п е N, задает в Л естественную топологию пространства Фреше. Всюду далее в Л зафиксирована фундаментальная последовательность преднорм || • ||, п е N . Заметим,

да

что ряд ^ с ,ел сходится абсолютно в Л(О) тогда и

з= 3 3

только тогда, когда с е Л.

Следуя Ю.Ф. Коробейнику, введем оператор пред-

ставления n(c) := 2

j=1

c ,e,

j äj

се Л; П линейно и

По [4, гл. III; 5, гл. I] такая функция L существует. Класс таких функций введен Ю.Ф. Коробейником [6, 7], где они названы (р, hG + hK) -интерполирующими. Положим еЛ (z) := E (Äz), Ä, z е С, где E (t) :=

O ¿к /

:= 2t /тп^ i / л, t е С, - функция Миттаг-Леффлера.

к=0/ г (1 + к р)

Если L - целая функция, удовлетворяющая условиям (L1)-(L3), то по [8, гл. III, теорема 7] (eÄ )JeN - абсолютно представляющая система в A(G+K), т.е. любую функцию f е A(G + K) можно разложить в ряд

O

f (z) = 2c/л-, c, е С, абсолютно сходящийся (к f в

j=i j

A(G+K). По [9, теорема 5] (см. также [8, гл. II, § 2, теорема 4]) (eÄ )JeN - абсолютно представляющая система и

в A(G).

непрерывно отображает Л на A(G). Основная цель данной работы - получить условия, при которых сюръективный оператор П: Л — A(G) имеет ЛНПО.

Из результатов [10, теорема 1.14, следствие 1.18, теорема 2.3] следует, что если внутренность K пуста, то оператор П: Л — A(G) не имеет ЛНПО. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что внутренность K (int K) непуста и 0 е int K . При исследовании будет применяться метод из [1], использующий структурную теорию пространств Фреше.

Определение 1. 1. Последовательность преднорм P = (р )neN на пространстве Фреше E называется фундаментальной, если рл < рл+1 для любого n е N и множества Une := {x е E: рл(f) <s}, n е N , s> 0,

образуют базис окрестностей начала в E. Пространство Фреше E с зафиксированной в нем фундаментальной последовательностью преднорм P = (рп )neN будем обозначать через (E,P) .

2. Пусть E, F и H - пространства Фреше с зафиксированными в них фундаментальными последовательностями предн°рм P = (Рп )nеN , Q = (Чп )пе^ и R = (rn)nejV соответственно [11]. Линейный оператор T: E ^ F называется ручным (соответственно, линейно ручным), если ЗЬ е N (3a,b е N): Vn е N3Cn < O : qn (Tx) < Спрп+Ъ (x) ,

(4n (TX) < CnPan+b (X)). X е E .

Линейный оператор T: E ^ F называется ручным (линейно ручным) изоморфизмом «на», если T биективен, и операторы T и 7"1 ручные (линейно ручные).

Линейное отображение T: E ^ F называется ручным (линейно ручным) изоморфизмом «в», если T: E ^ T(E) - ручной (линейно ручной) изоморфизм E на подпространство T(E) с F.

Короткая точная последовательность

0 ^ E —T—> F —T2—> H ^ 0 называется ручной (линейно ручной), если T - ручной (линейно ручной) изоморфизм «в», а соответствующий оператор T2 : F /ker T — H - ручной (линейно ручной) изоморфизм «на» (при этом в F / ker T фиксируется соответствующая (qn )neN последовательность фактор-преднорм).

Определение 2. Пусть а = (а,) ^ - возрастающая последовательность чисел а}> 0, Цта=да • Про-

у—да

странство числовых последовательностей

Ло(а) := {с = (Cj) JeN с C : жк (с) := := 21 cj | exp(- aj / к) < +»Vk е N|

называется пространством степенных рядов конечного типа.

Всюду далее в пространстве Л0 (а) фиксируется фундаментальная последовательность преднорм щ,

к е N.

Основные вспомогательные результаты

1. Фундаментальную последовательность преднорм в A(G) можно определить с помощью конформного отображения единичного круга Б := {г е С :| 71< 1} на О. Пусть р - конформное отображение Б на О, <р(0) = 0 . Положим для г е (0,+да)

Бг := {г е С :| г |< г}; О„ := рф^„)), п е N.

Лемма 2. Обобщенное преобразование Бореля В - ручной изоморфизм пространства (р,hz],Q) на

(л (С \ к), r).

Для множества M с С, M ф C, через M обозначим замыкание M в C.

Фундаментальную последовательность преднорм в [р, hz ] можно определить и с помощью конформного отображения. Пусть у - конформное отображение C \ D на C \ K такое, что у(ж) =ж. Положим Wn :=у(с \ Dexp(1/и)), и е N. Система R преднорм ~ (/) := sup | /(z) |, / е A0(с \ к), и е N, является

zeWj,

фундаментальной последовательностью преднорм в A0 (C \ к). Положим Q := ^, где ~ (/) := ~ (В/),

/ е [р, hz ], и е N. Q является фундаментальной последовательностью преднорм в [р, hK ].

Пусть S/ (t):= / (1/t), / е Ao (C \ D), |t|< 1 .Из леммы 2 вытекает

Лемма 3. Отображение ¥(/) := ((S (В/ oy))(j)(0)/jl)JeN,

ПУсть Рп (f) := sup 1 f(z)1, f е A(G), п е N . Се- f е[р, hK ], является ручным изоморфизмом

мейство P:=(~„ )nejV является фундаментальной последовательностью преднорм в A(G). Положим N := NY{0}. Из неравенств Коши вытекает

Лемма 1. Отображение Ф(/):=((/ о^)°'(0)/ ji)W(| -ручной изоморфизм пространства (A(G), P) на Л0((Д.еЛГ).

2. Пусть НК (z) := hK (arg z) | z , z eC. Для n e N положим Bn := {/ e A(C)|(/) :=

(p, hK 1 ß) на Л0 ((j)jeN ).

| f (z) | exp(-HK (z) -1 z |p/n)<+»|; - ба- (jp,hK]iß) в Л .

3. Ядро КегП оператора представления П: Л —^А(О) описано в [13, теорема 1]. В [13] установлено, что оператор Т: [р, Ик ] — КегП, / а /£'(Лу)) , является алгебраическим изоморфизмом «на». Более того, справедлива

Лемма 4. Отображение Т(/):=/ (^)/£'(^.)) ,

/ е[р, кк ], является линейно ручным изоморфизмом

:= sup

геС

нахово пространство с нормой qB. Пусть [р,hK ]:= projBn. Семейство Q = (qn )mN является фундаментальной последовательностью преднорм в [р, hK ]. Далее С - расширенная комплексная плоскость. Положим := С \ ((1 +1/ и)1 р к), и е N. В пространстве A0 (с \ к) всех функций, аналитических в

С \ K и обращающихся в 0 в ж, зафиксируем фундаментальную последовательность преднорм

R := (r, Ln , где Ги (/) := sup | /(z) |, / е Ao (С \ к), и е N.

Обобщенное преобразование Бореля В определяется следующим образом [2, с. 323-324]. Пусть

да

/(z) = 2 /kZk - целая функция конечного типа при

k=0

ж / р(1 + k/ р)

порядке р . Положим (B/)(t) := 2 k \ t . Из

k=0 t +

обобщенной теоремы Полиа [2, теорема 6.6] (см. также [12, глава 5, § 2]) следует, что отображение В: [р,hz ] ^ A (с \ к) является алгебраическим изоморфизмом «на». Из интегральных представлений для В и обратного преобразования В 1 вытекает

Пусть HG (z):= ha (arg z) | z ^, z e C. Для п e N положим p :=

:= jf e A(C)|f |n:= sup | f (z) | exp(-HG(z)-1 z |p /n)< ;

[p,hG):= ind(P,,| - in).

Согласно [8, с. 86-87; 12, гл. 5, § 2], обобщенное преобразование Лапласа F(g)(^):= g(e^), g е A(G)', /ле C, является линейным топологическим изоморфизмом сильного сопряженного A(G)^ к A(G) на [p, hG).

Пусть П - отображение фактор-пространства Л / КегП на A(G) такое, что П = П ок, где к : Л —^ Л/КегП - фактор-отображение. Тогда П -линейный топологический изоморфизм Л/ КегП на A(G).

Лемма 5. Отображение П - ручной изоморфизм Л / КегП на (A(G), p) .

При доказательстве леммы 5 существенную роль играют результаты из [14, теоремы 2, 6] о связи слабо достаточных и эффективных множеств (в частности, в пространстве [p, hG)).

п

4. Пространство Л очевидным образом можно реализовать как пространство степенных рядов конечного типа.

Лемма 6. Диагональное преобразование ж: Л ^ Ло ((А,|рЦ ) (Сз )jеN а (Сз ехР Но ЫЦ является линейно ручным изоморфизмом «на».

Замечание 1. Леммы 1-6 для р = 1 доказаны в [1, § 1-3]. Их доказательства при р ф 1 аналогичны доказательствам при р = 1 .

Установим далее одно геометрическое свойство «областей уровня» конформных отображений ф и

Определение 3. Множество М с С называется звездным относительно 0, если для любого 7 е М отрезок [0, г] содержится в М .

Лемма 7. 1. Для любого г е (0,1) р(Бг) - звездная относительно 0 область.

2. Для любого г е (1,+да) С \ у(С \ Вг) - компакт, звездный относительно 0.

Доказательство. Докажем утверждение 1. Отметим, что по [3, предложение 1] всякое р-выпуклое множество звездно. Зафиксируем г е (0,1), щ = р(г0), | г0 |< г . Возьмем г е [0,1]. В силу звездности О

функция /(г):= р~1(гр(г)), г е В, корректно определена, является аналитической в В и отображает В в В . При этом /(0) = 0. По лемме Шварца \/(г)| <| г | для любого г е В . Следовательно, гр(г0 )ер(Вг), а значит, р(Вг) - область, звездная относительно 0. Утверждение 2 доказывается аналогично.

Основные результаты

В предыдущем параграфе было установлено следующее:

1) короткая точная последовательность

0 ^ (р,кк 10)-^Л—П^(Л(О), Р) ^ 0

является линейно ручной;

2) операторы Т: ([р,]б)^Л0((3),

Л^Л0и Ф:(Л(О),Р)^Л,(3)

являются топологическими изоморфизмами «на»;

3) операторы Т-1 : Л0 ((3 )jеN Ик ], 0) и Ф1: Л0 (С30 )^(Л(О),Р) - линейно ручные изоморфизмы «на».

По [11, теорема 2.3] для любых последовательностей а , р всякое линейное непрерывное отображение Л (а) в Л (Р) является линейно ручным. Кроме того, согласно [11, теорема 5.1], короткая точная последовательность 0 ^ Л0 (а) ^ Л (Р) ^ Л (У) ^ 0 расщепляется тогда и только тогда, когда она линейно ручная. Отсюда (см. по этому поводу также [1, с. 80]) вытекает равносильность следующих утверждений:

(1) П имеет ЛНПО;

(И) вложения ([р, Лк ] б)с(р, \ ] 0) и (л (О), р)с(Л(О), Р) линейно ручные.

Утверждение (ii) естественным образом оказывается эквивалентным «линейно ручному чередованию»

областей, определяющих Q , Q и P , P .

Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:

1) оператор представления П: Л^ A(G) имеет ЛНПО;

2) вложения (ao (С \ к) r)c(ao (C \ к), R) и (A(G), p)c (A(G), P) являются линейно ручными;

3) За, b е N: Уп е N Gn с Gm и W„ с Wbn. Доказательство. В силу леммы 2 и определения

Q эквивалентность утверждений 1) и 2) вытекает из равносильности (i) и (ii). Импликация 3) ^ 2) очевидна.

2) ^ 3): пусть

За е N Уп е N ЗС„ < да :

Рп (f) < C„Рп (f), f е A(G) . (1)

Зафиксируем n е N . Предположим, что существует z0 е G \ Gm . По лемме 7 компакт Gm удовлетворяет условию (b) из [15, теорема 1.3.1]. Поэтому (по [15, теорема 1.3.1]) существует функция f е A(G)

такая, что | f (z0) |> sup | f (z) |. Выберем A так, что-

z^an

бы ~an (f) = sup | f (z) |< A <| f (Zo) |. Вследствие (1)

^"an

(для функций (f (z)/ A)m е A(G), m е N)

(f (zo)|/A)m <Cn(ppan(f)/A)m.

Переходя к пределу при m ^ да, получим противоречие. Следовательно, Gn с Gm. Вложения Wn с Wbn доказываются аналогично.

Для v > 0, в е R Lp (в, v) - кривая на плоскости

переменного z = re'^, заданная уравнением

rрcosр(р-в) = v, где | р-в |<

ж, 0 < р< 1/2, р = 1, к Ир, 1/2 < рФ 1.

При

1/2 <рФ 1,

<9е R

положим

Д(р,в) :={г = ге'р е С :| р-в |< п/2р}.

Лемма 8. Пусть р > 1. Для любых V > 0, в е Я кривая Ь (в,v) обладает следующими свойствами:

1) Ь (в,v) является выпуклой;

2) стороны угла Д(р,в) - асимптоты кривой Ьр (в, V);

3) зафиксируем г е Ьр (в^). Обозначим через М (г) угол с вершиной в точке г и сторонами, параллельными сторонам угла Д(р, в). Справедливо следующее: для любых ве Я, v> 0, г е Ьр(в^) угол М (г) содержится во множестве

| е С : г е Д(р,в), Яе(/е'в)р > V}.

Доказательство. Утверждения 1) и 2) очевидны.

3) без ограничения общности можно считать, что в = 0. Фиксируем точку г е Ь (0, V). Покажем,

например, что луч l = j е C: arg(t - z) = -^/2р} содержится во множестве Retp>v (t еА(р,0)). Предположим, что существует точка t0 Ф z, в которой l пересечет кривую L (0, v). В силу выпуклости L (0,v) дуга кривой L (0,v) с концами z и t0 лежит левее отрезка [z,t0 ], а часть кривой L (0,v) с началом t , уходящая вниз, находится правее луча l . Это противоречит тому, что луч arg t = -ж/2р -асимптота кривой L (0, v).

Лемма 9. Пусть р> 1, v0 > 0, R >v0. Тогда

Из неравенства (2) и теоремы Лагранжа следует существование (не зависящего от n) C > 0 такого, что

р(у>,dG) < С( w | р "| Щ | р)<

< С^hG (-ф - -1 ^ (-ф j < С sup h .

По классической теореме о расстоянии для конформного отображения [16, Corollary 1.4]

| ф (z) |< 4р(ф(z), fG) , z е D. Поэтому

1-1 z |2

| ф^) |< 4С р(ф(z),dG) < 4С .suph ,, < 4Саеш^,

1-1 z | и(1 - е-1Каи)) e -1

inf{oos р{у-в):ве R, | <p-e< я/lp, если | z |= е" (an), п е N .

| z |< R, z е Lp(e,v),v>v0}> 0. Для R > 0, v> 0 ,

z |< R, z е

в е R положим Lp (e,v, R) := DRi Lp (e,v).

Лемма 10. Пусть p> 1. Для любого R > 0 существует B > 0 такое, что для любых в е R, V > v2 > 0 Bp(Lp(0,v,R),Lp(e,v2,R)) > v - v2.

Для множеств Mx,M2 с C p(M,M2 ):= := inf {z - z21: z е M1, z2 е M2}; dM обозначает границу множества M с C .

Пусть h (-в) - р-опорная функция

G = (1 -G, п еN . Тогда hn = (1 -1 JhG, n еN .

Теорема 2. Пусть внутренность К непуста и 0 е int К.

(I) Для p е (0,1) следующие утверждения равносильны:

1) П: Л — A(G) имеет ЛНПО;

2) a) sup | p(z) |< «; б) inf | y\z) |> 0 .

|z|<1 |z|>1

(II) Пусть p > 1. Тогда 1) ^ 2). Предположим, что множества уровня GB и C \ Wn, п е N, р-вы-пуклы. Тогда 1) ^ 2).

Доказательство. (I) Покажем, что для любого p>0 (p/1) 1) ^2). Пусть П имеет ЛНПО. По

теореме 1 существуют a,b е N такие, что

Gn С Gm W С Wbn, п е N .

Покажем, что существует C > 0 такое, что

p(w, dG) < C SUp h для любых w е dGm и п е N . п

Зафиксируем w =| w | e'p е 5Gan. Проведем опорную кривую L (p, v) к G. Пусть l - луч с началом в 0, проходящий через точку w ; w и w - точки пересечения l c dGn и L (p,v) соответственно. Тогда

p(w, dG) <| w - w2 |=| w2 | - | w |<| w2 | -1 w |. (2) Поскольку v= hG (-p) и w2 е Lp (p,v), то

hG (-p) = Re(w2e-'p)p =| w2 |p Re(e'p - e~'pY =| w2 |p . Кроме того, Re(w1e-p)p < hn (-p), откуда

| w1 |p Re(e'p - e-'p)p =| w1 |p< (1 -1 (-p).

модуля

По принципу максимума

. ч . „ ae sup h sup | ф (z) |< 4С-< +ж .

|z|<1 e -1

Докажем теперь, что inf | y'(z) |> 0 . Из вложений

|z|>1

W~n с Wbn, и е N, следует, что р(щ, dK) > , dK),

и е N, w е dW~ .

Покажем, что существует такая постоянная С , что р^о^О,dK) > (~(ар-1) для любого ае(1,21/р ) . Зафиксируем а е (1,21/р) . Пусть р(d(aK), dK) = =| v - w |, v еd(aK), w еdK и L (6,vv) - р-опорная кривая к aK в точке v, а L (0,^) - р-опорная кривая к К. Отметим, что v и w лежат по разные стороны от кривой L (0,^) (возможно, что w е Lp(0,^)). По лемме 10 существует постоянная В > 0 такая, что

| v - w |> р(Lр (0, ^v); L р (0, ))>1 (haK (-0) - hK (-0)) =

В

= 1 (ар - ffiK (-0) >1 (ар - 1)inf hK . В В

Поэтому р^(айГ), dK) > С~(ар -1) , а е (1,21/р ),

~ h„ где С := inf .

В

Полагая а = (1 + 1/(йи))1р и учитывая, что W = С \ ((1 +1 / и)1 / р K), получаем, что

р^, dK) > С /(Ъи) для любых w е dWn , и е N.

Возьмем R такое, что K c{z еС :| z |<R}. Из [16, Corollary 1.4] вытекает, что существует С > 0, для

которого | ф(z) |> С р(у(z), dK), 1 <| z |< R. Значит,

| z | -1

С с С |у,( z)|> с' ЪЪШгП) > ЪС-Т),^^ е"и •и е N, и

| ^'(г) |= ты | ^'(г) |; 1ПГ | ^'(7) I \ > 0.

|г|>1 [1<|г|<Д |г|>Д )

Пусть теперь р е (0,1). Покажем, что 2) ^ 1). Пусть выполняются условия 2). Поскольку О - р-вы-пуклая область, то О и выпукла [3, предложение 2]. По [1, теорема 4.3] За,Ъ е N: (1 -1/п)О с Оап и (1 + 1/(Ъп))К с С \ (~п.

Значит, ' с Gan и Wn С Wiri. По теореме 1 П: Л ^ A(G) имеет ЛНПО.

(II) Пусть теперь р > 1, и все множества GB, С \ W р-выпуклы. По принципу соответствия границ р можно продолжить до гомеоморфизма D ^ G . Пусть C2 := sup | р'(z) | < да. Для любых z, z2 е D

|z| <1

|р(ZD -р(z2)\ =

z2

Jp'(t )dt

z1

< C2 | z - Z |. Поэтому для

Пусть inf||'(z)|> 0. Тогда C3 :=

|z|>1

:= sup | )(w) |< да. Пусть р(дК, д Wn) =| z1 - z21,

weC \K

Z e дК, z2 e д(~„ .

Отрезок [z, z2 ] не пересекает int К . В противном случае существует точка z3 e [z, z ] такая, что Z e дК и | z2 - z |<| Z - ^ |, что противоречит тому, что р(дК, д*~и ) =| z1 - z2 |. Поэтому ^(z) -i"1^) =

w e дО,

w = P(zw), | zw |= 1 ,

для

m e N

| щ -р(еч/X) |< С2(1 - е-11 т) < С2 / т. Следовательно, р(щ, дОт) < С /т, щ е дО, т е N . (3)

Оценим снизу расстояние р(м>, дОп), щ едО, п е N . Фиксируем щ е дО. Через щ проведем опорную кривую Ь (в,^) к области О; пусть

Ьр(в,v2) - опорная кривая к области Оп (тогда v1 > v2).

Возьмем Я > 0, для которого О с {г е С :| г |< Я}. По лемме 10 существует В > 0 (В от п не зависит) такое, что р(Ьр (в, v1, Я), Ьр (в, v2Я)) > В- (v1 - V;,).

Пусть V е Ол. Отрезок, соединяющий V с точкой щ, пересекает кривую Ь (в,^). Поскольку Vl = ло (-в) , V2 = к (-в) = (1 -1/п)Ьа (-в) , | щ - V |> р(Ьр (в, Vl, Я), Ьр (в, V2, Я)) > > В- (V - V ) = (Вп )-1Ш" Л0 и

J (!_1)'(t )dt

[ z1,z2]

< C | z - z21. Значит, С3р(дК, д Wn) > >| (z1) -(z2) |. Следовательно,

Ср(дК, д^ ) > е n -1 > 1/n, n e N . Выберем R > 0 так, чтобы 21/рК с

(6)

то

inf hп

p(w, дОл ) >-G, n e N.

Bn

Возьмем a e N такое, что a >

(4)

BC

C \ W с D . Пусть ¡3 > 0 выбрано по лемме 9 (в ней можно положить v := ео). По теореме Лагранжа существует C > 0 такое, что | r - r2 |< C4 | rр - rp | для любых r, Г е [е0, R]. Возьмем b е N так, чтобы b > С3С4 sup йк¡_1. Покажем, что W~n с Wbn для любого n е N . Предположим противное: для некоторого n е N Wn о Wbn. Фиксируем z е Wn \ Wbn. Проведем через z кривую Lp (в, v), не пересекающуюся с С \ W~n. Пусть L (в, V) - опорная кривая к С \ Win ; / е SW4n -

соответствующая опорная точка; l - луч с началом в 0, проходящий через /; u - точка пересечения l с SK; ^ - точка пересечения l с 5Wn. Тогда u - опорная точка некоторой опорной кривой L (в, vu) к K и

Из неравенств (3) и (4) следует, что р(щ, дОап ) < р(щ, дОп ) / 2р), щ е О, п е N. (5)

Покажем теперь, что Ол С Ош для любого п е N . Предположим противное: существует точка г е Ол, г г Ош. Проведем через 2 кривую Ь (в, V), не пересекающую Оп (согласно [3, теорема 2] такая кривая существует). Пусть Ь (в, V) - опорная кривая к О^ ;

щ е дОт - соответствующая опорная точка. Пусть М (г) - угол, как в лемме 8 (3). Он находится по ту сторону от кривой Ь (в, V), которая не содержит Оап. Пусть I - луч { е С: аг§(/ - г) = в}; I пересекает дО в точке щ . Из щ опустим перпендикуляр на одну из сторон М(г). Пусть t - основание этого перпендикуляра. Тогда | щ - г |=| щ - г | 81п(п/2р). Поскольку р(щ1, дОп ) <| щ1 - г | и | щ1 - г |<р(щ1,д(~ап ) ,

то р(щ1, дОап ) > в1п(п / 2р) • р(щ1, дОп ).

Получили противоречие с неравенством (5). Значит, О С ^ для любого п е N .

(inf hG)(sinK/2р) р(дК,<| u - w |<| u -11=| 11 -1 u |< C(| t |р -1 u |р). (7)

Пусть % = arg t. Тогда | ^ - в |< ж/(2р) и

hcWbn (-в) -hK(-в) = t |р Re(e'(i-e))р-1 u |р Re(e'(i-e))р =

= (| t |р -1u |p)cosр(%-в), т.е. (ведь hOWbn =(1 + 1/(bn))hK)

(1/bn)hK (-в) = (| V |р -1 u |p)cos р(% - в). (8)

Из (7)-(8) и леммы 9 следует, что

„т~ C. suph 1 р(дК, oWn) <——— <-, что противоречит неравен-

bn ß Cn

ству (6). Следовательно, Wn с Wbn для любого n e N . Замечание 2. 1) как и в случае р = 1, условия 2)

теоремы 2 выполняются, если дО,дК e C2 (см., например, [16, Theorem 10.2]);

2) пусть р > 1. Множества уровня О и C\Wn р-выпуклы, например, если область О и компакт К выпуклые. Действительно, если О и К выпуклые (и компакт К отличен от точки), то множества уровня О и C \W п , n e N , выпуклые (см. [1, замечание 1.3]), а значит, и р-выпуклые ([3, предложение 2]).

и

Литература

1. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 70 - 84.

2. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., 1966. 672 с.

3. Маергойз Л.С. Плоские р-выпуклые множества и некоторые их приложения / ИФ СО АН СССР. Красноярск, 1972. С. 75 - 91.

4. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М., 1956. 632 с.

5. ЛеонтьевА.Ф. Ряды экспонент. М., 1976. 536 с.

6. Коробейник Ю.Ф. Об одной интерполирующей задаче для целых функций // Изв. вузов. 1985. № 2. С. 37 - 45.

7. Коробейник Ю. Ф. Уравнения свертки в комплексной области // Мат. сб. 1985. Т. 127, вып. 2. С. 173 - 197.

8. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т. 36, вып. 1. С. 73 - 126.

Поступила в редакцию

9. Абанин А.В. Представляющие системы в р-выпуклых областях // Изв. СКНЦ ВШ. 1980. № 4. С. 3 - 5.

10. Мелихов С.Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, вып. 1. C. 99 - 133.

11. Vogt D. Operators between Frechet spaces. Wuppertal, 1990. Preprint. 18 р.

12. Маергойз Л.С. Асимптотические характеристики целых функций и их приложения. Новосибирск, 1991. 272 с.

13. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки // Мат. сб. 1991. Т. 182, вып. 5. С. 661 - 680.

14. Абанин А.В. О некоторых признаках слабой достаточности множеств в индуктивных пределах весовых пространств // Мат. заметки. 1986. Т. 40, вып. 4. C. 442 - 454.

15. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М., 1968. 280 с.

16. Pommerenke C. Univalent functions. Vandenhoek and Ruprecht, Göttingen, 1975. 374 p.

3 сентября 2012 г.