Об операторе сужения на индуктивных пределах весовых пространств целых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ОПЕРАТОРЕ СУЖЕНИЯ НА ИНДУКТИВНЫХ ПРЕДЕЛАХ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

© 2011 г. О.А. Иванова

Южный федеральный университет, Southern Federal University,

ул. Мильчакова, 8, г. Ростов-на-Дону, 344090 Milchakov St., 8, Rostov-on-Don, 344090

Изучается оператор R сужения целых функций не выше нормального типа при уточненном порядке p(r) с индикатором, меньшим h(ff), на последовательность нулей специальной целой функции, действующий в соответствующее пространство числовых последовательностей. Установлены условия существования двух семейств субгармонических функций, удовлетворяющих локальным оценкам снизу и глобальным — сверху. С их помощью доказаны достаточные и (отдельно) необходимые условия того, что оператор R имеет линейный непрерывный левый обратный. Получены приложения к задаче о правом обратном для сопряженного к R оператора представления рядами

экспонент целых функций, рост которых определяется сопряженным уточненным порядком p*(r) + р* = _Р_(при r^x), р>1.

Р-1

Ключевые слова: линейный непрерывный левый обратный, целая функция, субгармоническая функция, оператор сужения.

We consider the restriction operator of entire functions at most normal type with respect to a proximate order p(r) with the indicator less than h()) on the sequence of zeros of a special entire function which acts to corresponding space of numerical sequences. The conditions of existence of two families of subharmonic functions satisfying certain local lower estimates and certain global upper estimates are obtained. With the help of these conditions sufficient and separately necessary conditions under which R has a continuous linear left inverse are proved. The natural applications to the problem on a right inverse for the conjugate to R operator of representation of entire functions whose growth which is determined by conjugate

proximate orderp*(r) + р* = _Р_(при r^x), р>1, are obtained.

Р-1

Keywords: linear continuous left inverse, entire function, subharmonic function, restriction operator.

Для неубывающей последовательности локально ограниченных в N функций Wn : C ^ R, n е N, введем весовое пространство целых (в N ) функций

E := J f е A(C) 13n е N: sup | f (z) | exp(-W (z)) < x

I zeC

наделенное естественной топологией индуктивного предела последовательности банаховых пространств. Для последовательности X j е C , j е N , введем соответствующее пространство числовых последовательностей

Kx := С = (cj) с C | 3n е N: sup | Cj | exp(-Wn (Xj)) < »}

( Кх также наделяется естественной индуктивной топологией). На Е зададим оператор сужения Я(/):= (/(ку)), / е Е , линейно и непрерывно

отображающий Е в Кх.

В работе [1, теорема 1.14] установлены общие условия, при которых оператор Я: Е ^ Кда имеет линейный непрерывный левый обратный (ЛНЛО), т.е. такой оператор Т: Кда ^ Е , что Т о Я(/) = / для любой функции / е Е . В [2] проблема о существовании ЛНЛО к оператору Я исследована для весов

Жп := —у , п е N , где Ж - радиальная субгармоническая функция конечного порядка р > 0, удовлетворяющая стандартным техническим условиям (отметим, что для весов такого типа указанная задача

в [1] решена для случая Ж(г) =| г |р ).

В настоящей работе подробно рассмотрен случай,

когда W (z) =| z |

где р(г) - уточненный порядок

для порядка р > 0 . Как известно [1], наличие ЛНЛО у оператора сужения Я (при некоторых ограничениях) равносильно существованию двух семейств субгармонических функций, удовлетворяющих локальным оценкам снизу и глобальным - сверху. В теореме 1 получено условие существования таких семейств субгармонических функций. В качестве следствия для последовательности (простых) нулей (X^)jеN специальной целой функции доказаны (теорема 2) достаточные и (отдельно) необходимые условия существования ЛНЛО к оператору сужения Я: [р(г), И(9)) ^ Кх (здесь [р(г), И(9)) - пространство целых функций не выше нормального типа при уточненном порядке р(г) с индикатором, меньшим И(9)). Кроме того, получены естественные приложения к задаче о правом обратном для сопряженного к Я оператора представления рядами экспонент целых функций, рост которых определяется сопряженным уточненным порядком

р * (г) ^ р* = P р-1

(при г ^ да), р > 1.

ренцируема, выпукла на [0,+да) и lim

Y ( x)

= .

х^+х х

Из [5, теорема 3.6] и [2, пример 1.6] вытекает следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть Ж удовлетворяет условиям (Ж1) и (Ж2), w = Ж'. Следующие условия равносильны:

1. Существует С > 1 такое, что

2w о Ж_1(0 - Ж_1(0 < w о Ж_1 (С) • Ж_1 (С) для больших t > 0 .

2. Выполняются условия:

(8Ш): существуют субгармонические в С функции u t, t е С, такие, что УпЗкЗС: щ (^ > 0, t е С, и

ut (z) < W(z) - W(t) - W(z)/к + W(t)/n + C, Vt, z e C.

(SHii): существуют субгармонические в C функции vt, t e C, такие, что Vn3k3C : vt (t) > 0, t e C, и vt (z) < W(z) - W(t) + W(z)/n - W(t)/к + C, Vt, z e C.

Пусть р(г) - сильный уточненный порядок для порядка р > 0 , т.е. р(г) - уточненный порядок, функция р(г) дважды непрерывно дифференцируема при г > 0 и lim р''(г)г lnг = 0 [6, с. 29]. Положим

г

W(x) := Хр(х) , x > 0 . Всегда можно переопределить

уточненный порядок р(г) на отрезке [0, ^ ], > 0, так,

что условия (W1) и (W2) будут выполняться [6, с. 29].

Лемма 2. Функция W(x) := хр(x), x > 0, где р(г) -

сильный уточненный порядок для порядка р > 0 ,

удовлетворяет условию 1 леммы 1.

Доказательство. Положим C = 4. По [4, с. 32]

Ит W'(W"1(4t))W-44t) =1

t

4рt

Следовательно, limsup

2W '(W _1(t))W _1(t) _ 1

W ' (W _1(4t))W-1 (4t) 2 Поэтому существует t0 > 0 такое, что для любого

t > tf,

2W ' (W-1(t ))W -1(t)

W ' (W _1(4t))W _1(4t)

< 1. Таким образом, функ-

Используемые в статье понятия из теории целых функций приведены, например, в [3, 4].

Условия существования специальных семейств субгармонических функций

Для функции Ж: [0,+х) ^ [0,+х) положим

Ж(г):= Ж(| г |), г еС ; Жп :=^1 - , п > 1, и далее

будем предполагать, что функция Ж удовлетворяет следующим условиям:

(Ж1) : Ж непрерывная, возрастающая на [0,+х) функция.

(Ж2) : функция У := Ж о exp непрерывно диффе-

ция W(t) действительно удовлетворяет нужному неравенству.

В [2, пример 2.2] результат леммы 2 был только анонсирован, но не доказан.

Пусть И - р -тригонометрически выпуклая ограниченная 2л -периодическая функция. Положим Н(2):= И(э^ z)| г |р(|2|), г еС.

Теорема 1. Пусть р(г) - сильный уточненный порядок для порядка р > 0 , функция И - р -тригонометрически выпуклая ограниченная 2л -периодическая.

1) если существует а> 0 такое, что И(9) -а ,

9 е Я , является р -тригонометрически выпуклой функцией, то существуют субгармонические в С функции щ, , t е С, такие, что щ ^) > 0 , ^) > 0 и

УпЗшЗС > 0:

щ (г) < Н(г) - Н(0-1 г | р(| 2| ) /т+111 р( | 1 | ) /п + С,

^ (г) < Н(г) - Н(!)+1 г |р(|2|) / п-11 |р(|1|) / т + С ,

Уг, t е С ;

2) если функция И имеет хотя бы один интервал р -тригонометричности, то не существует семейств субгармонических в С функций щ , у1 , t е С, таких, что щ (t) > 0 , V, (t) > 0 , t е С , и УпЗтЗС > 0 :

^(г) <Н(г)-Н(t)+1 г |р(|2|) /п-11 |р(|1) /т + С ,

щ (г) < Н(г) - Н(!)-1 г |р(|2 ) /т+11 |р(1 ) /п + С , Уг, t е С .

Доказательство. 1. По [7, теорема 1.2.2] существует функция fh , субгармоническая в C , такая, что

f; (reiQ)

lim Jh ) = h(0)-a, 9eR .

r —^да r

Так как функция Ж (х) = ахр(х), х > 0, удовлетворяет условию 1 леммы 1, то по лемме 1 существуют субгармонические (в С ) функции щ , VI, t е С , со следующими свойствами: щ (^ > 0, vt (t) > 0 , t е С, и

УпЗкЗС:

Щ (г) < а | г | р(И ) -а 111 р( М ) -1 г | р( |г 1 ) /к +111 р( М ) /п + С, Vt (г) < а | г | р( 1 г| ) -а 111 р( М ) - 111 р( М ) / к + | г | р( |г 1 ) / п + С , у/, г е С.

Семейства щ := щ + / - / (t), vt ■= V + .4 - /к (t), t е С, удовлетворяют условиям в (1).

2. При доказательстве этой части утверждения мы применяем метод, использованный в [1, предложение 1.17]. Пусть функция к имеет хотя бы один интервал р -тригонометричности и существуют субгармонические в С функции щ , t е С , такие, что щ (^ > 0 , t е С, и

УпЗтЗС > 0 :

щ(г) < Н(г) - Н(t)-1 г | р( | г | ) /m+| 11 р(| ^ ) /п + С , г, t е С.

Зафиксируем т, п и С в предыдущем неравенстве. Тогда для любого г > 0

иг1 (гг) к^ё г)(г |2 |)р(Ф|) к (ахи /)(Г 11 |)р(г|/|)

rp(r) rp(r)

4p(r|z|) („\f\ 4p(r|i|)

.p(r)

(r|z| )p

kr

p(r)

(r|t | )p(r| 11 ) С + , ,— +

,.p(r)

p(r)'

_ u (rz)

Положим ut (z) := limsup rt , z, t e C . В силу

r—+<ю r

[3, с. 48] для любого y > 0 lim (ry)p(ry) / rp(y) = yp и,

r—+»

значит,

Ut(z)<h(argz)| z|p -h(argt)| t|p -1 z|p /m+11 |p /и , _ *

z, t e C . Пусть wt := (ut) - регуляризация функции ut, t e C. Тогда wt, t e C, - субгармонические функции такие, что wt (t) > 0 и Vn3m :

wt(z) <h(arrg z)| z |p -h(arrg t)| t |p -1 z|p /m+11 |p /и , z, t e C. Пусть (a,ß) - интервал p -тригонометричности

функции h. Тогда функция h(6)rp - гармоническая в угле Г := {z e C: a < arg z < ß}. Из предыдущего неравенства для субгармонической в Г функции

wt (z) := wt (z) - h(arg z) | z |p имеем Vn3m > п :

wt (z) < -h(arg t)| t |p-| z |p/m +11 |p/n, z, t er. (1) Перейдем в (1) к пределу при п — да : wt(z) < -h(arg t) 11 |p, z,t er. С другой стороны,

wt(t) = wt(t) - h(arg t)| t |p>-h(arg t)| t |p , t еГ . По принципу максимума для субгармонических функций Wt = -h(arg t)| t |p, t еГ. (2)

Зафиксируем в (1) какое-либо t0 е Г , положим n = 1 и выберем m(1). Тогда

W% (z) < -h(arg to) | to |p - | z | p/m(1)+1 to |p , z е Г. (3)

Из (2) и (3) следует, что 0 <-1 z m (1)+110 |p , z е Г. Переходя к пределу в последнем неравенстве при | z да , z е Г, получаем противоречие. Значит, не существует субгармонического семейства функций ut, t е С, со свойствами из 2). Несуществование субгармонических в С функций vt, t е С, со свойствами из 2) доказывается аналогично.

Заметим, что для p(r) = 1 критерии существования семейств субгармонических функций ut, vt, t е С, как в теореме 1, были получены в [8, 9] в терминах конформных отображений открытого единичного круга D на G (G - ограниченная выпуклая область в С , опорной функцией которой является h ) и области С \ D на С \ K ( K - выпуклый компакт в С , состоящий более чем из одной точки, с опорной функцией k). Если K совпадает с точкой, то соответствующего семейства субгармонических функций не существует.

Применение к задаче о левом обратном к оператору сужения

Пусть p(r) - уточненный порядок для порядка

p > 0 , функция h - как в теореме 1. Предположим

еще, что min [h(9) + h(9 + ^p)]> 0 . Рассмотрим провей

странство [p(r), h(9)) всех целых (в С ) функций f конечного типа относительно p(r) таких, что

limsup1n | f (Г eXP('9))| < h(9), 9 е [0,2л].

r p(r)

r r

В [p(r), h(9)) вводится топология внутреннего индуктивного предела банаховых пространств

V i

= \f е А(С)^п (f ):= sup-Lf(z)J--- <«l

[ zеС exp[(h(arg z)-8n) | z |p(|z|)] J

с нормой qn , n е N , en i 0 , n ^ да . Наложенные выше ограничения на функцию h , как известно, гарантируют нетривиальность пространства [p(r), h(9)).

В дальнейшем k - p -тригонометрически выпуклая ограниченная 2л -периодическая функция, K(z) := k(arg z)| z |p(|z|), z е С ; L - целая в С функция, обладающая свойствами:

(L1) УпЗС > 0 :| L(z) |< Сexp(H(z) +

+1 z |p(|z|)/n + K(z)), Vz е С;

r

(Ь2) существует неограниченная возрастающая последовательность Я5 > 0, 5 е N, такая, что для любого т е N

^ ^ | Ь(г) | ехр(-Н (г)+ | г |р(|2|) / т - К (г)) > 0 ;

(Ь3) (Xj)jеN - последовательность всех (различных) нулей Ь , причем | X, |<| Xу+1 |, у е N , каждый из нулей X у простой и для любого т е N

^ | Ь'(Х, )|ехр( -Н(Х,)+ | X, |р(|Ху|) / т - К(Х,)) > 0.

jеN -1 -1

По [3, гл. III; 4, гл. I] такая функция Ь существует. Введем ассоциированные с Вп банаховы пространства числовых последовательностей: Кх,п := {с = (с,)у с С:

считаем, что р(г) - сильный уточненный порядок для порядка р >1. Через Ер обозначаем сильное сопряженное пространство к локально выпуклому пространству Е . Положим ex (г) = exp(Xz) , X, г е С .

Сопряженным уточненным порядком [6] называ-

р(,1)

ется функция р * (t) = -

где tj - единственное

и положим

|с| п:= «ир---(IX, )

jеN ехр[( И(ащ X ,) -Вп , |р(| у|)] мой | • |п , п е N , вп ^ 0 , п —^ х , Кх := МКхп.

п—

Определим оператор сужения Я(/):= (/(Xу))у^, / е [р(г), И(9)) , линейно и непрерывно отображающий [р(г), И(9)) в Кх.

По [1, следствие 1.5 (и)] оператор Я : [р(г), И(9)) — Кх инъективен, а значит, выполняется необходимое условие существования левого обратного к Я . Возникает естественный вопрос о существовании ЛНЛО к Я: [р(г), И(9)) — Кх.

Согласно [7, лемма 1.1.1], если р(г) - уточненный порядок для порядка р > 0, то функция р(г), определяемая соотношением р(г) = р + 1п/(г)/1п г , где

р(,1) -1

решение уравнения гр(1)-1 = t, t > 0 . По [6, предложение 9.4] р *(г) является уточненным порядком.

Будем предполагать дополнительно, что И(9)гр - выпуклая функция переменной г = г ехр(/9) е С и И -положительная функция. Согласно [10], преобразование Лапласа Т : Уфе Ер Тф^):=< ex,ф>е , Xе С ,

устанавливает линейный топологический изоморфизм

где

<х} с нор- пространств [р(г), h(9))' р и [p *(r), h *(9)]

h * (9) = sup[Re(t exp(/9))-11 |p h(arg t)].

teC

Пусть L - целая функция, удовлетворяющая условиям (L1)^(L3). Сильное сопряженное к пространству Кх можно отождествить с пространством Фре-

ше A = proj А1;И,

——n

А1, n :=V = (cj ) jeN с C :||c ||n :=

P(!^ jih ! j ] <х^

1 r г ч

l(r) = 1 j tp(t)-рdt

рядком таким, что lim [p(r) - p(r)]ln r = 0 , т.е. функ-

r

ции r

p(r) и rP(r)

= 2 I с у | ехр[( И(а^ X,)-в п ^,

jGN ]

(при помощи отображения ф ^ (ф(ек))к^ [1, лемма 1.3]).

Оператором, сопряженным к Я , является оператор представления

х

П : Л1 — [р * (г), И * (9)], с ^ 2 с ех,

у=1 у у

является отл^ш уточненн^1м по- ( [р *(г), и *(9)] - пространство Фреше всех целых

функций не выше нормального типа при уточненном порядке р * (г) с индикатором, не превосходящим И *(9)). Согласно [11], оператор П сюръективен. По [12, с. 117, 0.4(ф; 13] (р(г), И(9)) и Кх - рефлексивные (ЬВ) - пространства. Из теоремы 2 вытекает

Следствие. Пусть р(г) - сильный уточненный порядок для порядка р > 1 , функция Ь обладает свойствами (Ь1)-(Ь3); к , И - р -тригонометрически выпуклые ограниченные 2л -периодические функции, кроме того, И - положительная функция; И(9)гр -выпуклая функция переменной г = г ехр(/9) е С и шт[И(9) + И(9 + л/р)]> 0 .

эквивалентны при г — +х . При этом пространства [р(г), И(9)) и [р(г), И(9)) совпадают.

Отметим, что последовательность (Н (г) -1 г |р(|2 Уп), п е N, удовлетворяет условию из [1, с. 121, МАХ]. Из теоремы 1 [1, теорема 1.14] вытекает

Теорема 2. Пусть р(г) - уточненный порядок для порядка р > 0 , функция Ь обладает свойствами (Ь1)^(Ь3), функции к , И - как выше.

1) если существует а > 0 такое, что И(9) - а , к(9) - а , 9 е Я , являются р -тригонометрически выпуклыми функциями, то оператор сужения Я : [р(г), И(9)) — Кх имеет ЛНЛО;

2) если функция к (или И ) имеет хотя бы один интервал р -тригонометричности, то Я не имеет ЛНЛО.

Применим теорему 2 к задаче о существовании линейного непрерывного правого обратного (ЛНПО) к оператору представления рядами экспонент. Далее

9еЯ

1) если существует а> 0 такое, что И(9)-а , к(9) - а , 9 е Я , являются р -тригонометрически выпуклыми функциями, то оператор представления П: Л1 — [р * (г), И * (9)] имеет ЛНПО;

2) если функция к (или И ) имеет хотя бы один интервал р -тригонометричности, то П не имеет ЛНПО.

о

Заметим, что задача о существовании ЛНПО к оператору представления рядами экспонент функций, аналитических в ограниченной выпуклой области О с С , была решена ранее в [14] (этот случай соответствует р = 1). Соответствующие критерии в [14] были получены в терминах конформных отображений открытого единичного круга Б на ограниченную выпуклую область О в С с опорной функцией И и дополнения Б на дополнение некоторого выпуклого компакта К в С , состоящего более чем из одной точки, с опорной функцией к . Последнее следствие можно считать аналогом упомянутого результата из [14] для случая сильного уточненного порядка р(г) —р> 1.

Литература

1. Мелихов С.Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, № 1. С. 99-133.

2. Иванова О.А., Мелихов С.Н. Левый обратный к оператору сужения на весовых (ЬВ)-пространствах целых функций // Комплексный анализ. Теория операторов. Математическое моделирование. Владикавказ, 2006. С. 35-47.

3. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М., 1956. 632 с.

4. ЛеонтьевА.Ф. Ряды экспонент. М., 1976. 536 с.

Поступила в редакцию_

5. Langendruch M. The splitting condition for the weighted д -complex // Results in Mathematics. 1992. Vol. 22. P. 560-597.

6. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М., 1989. 348 с.

7. Агранович П.З. Индикаторы голоморфных функций многих переменных: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Харьков, 1978. 112 с.

8. Мелихов С.Н., Момм З. О линейном непрерывном правом обратном для оператора свертки на пространствах ростков аналитических функций на выпуклых компактах в C // Изв. вузов. Мат. 1997. № 5. С. 38-48.

9. Momm S. Convex univalent functions and continuous linear right invers // J. Funct. Anal. 1992. Vol. 103, № 1. P. 85-103.

10. Gruman L. Some precisions on the Fourier-Borel transform and infinite order differential equations // Glasgow Math. J. 1973. Vol. 14, № 2. P. 161-167.

11. Абанин А.В. Распределение показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Мат. заметки. 1991. Т. 49, № 2. С. 3 - 13.

12. Bierstedt K.D., Meise R., Summers W.H. A Projective description of weighted inductive limits // Trans. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 272. P. 107 - 160.

13. Bierstedt K.D., Meise R., Summers W.H. Kothe sets and Kothe sequence spaces // Functional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory / J.A. Barroso ed. Amsterdam-N.Y., 1982. Vol. 71. P. 27-91.

14. Коробейник Ю.Ф., Мелихов С.Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 1. С. 70 - 84.

20 июня 2011 г.