Об интерполирующей функции А. Ф. Леонтьева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 3 (2014). С. 17-27.

УДК 517.9

ОБ ИНТЕРПОЛИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ А.Ф. ЛЕОНТЬЕВА

О.А. ИВАНОВА, С.Н. МЕЛИХОВ

Аннотация. В работе определяется и исследуется абстрактный вариант интерполирующего функционала. Он вводится с помощью оператора Поммье, действующего в счетном индуктивном пределе весовых пространств Фреше целых функций и некоторой целой функции двух комплексных переменных. Изучены свойства соответствующего оператора Поммье. Частными случаями введенного интерполирующего функционала являются интерполирующая функция А.Ф. Леонтьева, широко применяющаяся в теории рядов экспонент и операторов свертки, а также интерполирующий функционал, использованный ранее при решении проблемы о существовании линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в C.

Ключевые слова: интерполирующая функция А.Ф. Леонтьева, интерполирующий функционал, оператор Поммье.

Mathematics Subject Classification: 30B50, 46A13, 47B38

Введение

Пусть G — ограниченная выпуклая область в C; A(G) — пространство ростков всех функций, аналитических на замыкании G области G с естественной топологией индуктивного предела последовательности банаховых пространств. А. Ф. Леонтьев (см. [1, гл. IV, §2, c.237]) ввел интерполирующую функцию шь(р, f), задаваемую некоторой специальной целой функцией L экспоненциального типа, и применил ее к вычислению коэффициентов разложений функций из A(G) в ряды экспонент с показателями — нулями L. Интерполирующая функция вводилась и в отличных от упомянутой выше ситуациях и была использована для вычисления коэффициентов рядов экспонент или обобщенных экспонент для функций из различных пространств; она применялась также и в других вопросах теории рядов экспонент, в теории полиномов из экспонент, операторов свертки, в интерполяционных задачах.

Для решения проблемы существования линейного непрерывного правого обратного (коротко: ЛНПО) к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в G, в [2, §3] введен интерполирующий функционал Qq(p,z,J) — аналог интерполирующей функции шь(р, f), задаваемый некоторой целой функцией Q(p,z) двух комплексных переменных p,z. Функционал Qq и его аналоги были использованы затем при решении проблемы наличия ЛНПО к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в C [3]; к оператору представления рядами экспонент функций, аналитических на ограниченном выпуклом локально замкнутом множестве в C [4]; к оператору представления рядами из функций Миттаг-Леффлера функций, аналитических в р-выпуклой области (р > 0) [5]. Кроме того, вариант функционала Qq был применен при решении задачи о наличии ЛНПО к оператору представления рядами из обобщенных экспонент ультрараспределений типа Бьерлинга на многомерном вещественном кубе [6].

О.А. Ivanova, S.N. Melikhov, On A.F. Leont'ev's interpolating function.

© Иванова О.А., Мелихов С.Н. 2014.

Поступила 22 апреля 2014 г.

В настоящей работе вводится абстрактная версия интерполирующего функционала, в частности, интерполирующей функции А.Ф. Леонтьева. Она определяется с помощью оператора Поммье, действующего в весовом (LF)-пространстве целых в C функций. В связи с этим в §1 изучаются свойства оператора Поммье. Интерполирующий функционал вводится и изучается в §2. В §3 приводятся реализации интерполирующего функционала для конкретных пространств. В данной работе мы ограничились примерами, явившимися побудительным мотивом настоящего исследования. Интерполирующий функционал может быть полезен и во многих других ситуациях, в которых сопряженное к основному пространству реализуется как весовое пространство целых функций. Анализу таких ситуаций, применениям интерполирующего функционала к теории рядов экспонент, операторов свертки предполагается посвятить отдельную статью.

1. ОПЕРАТОРЫ ПОММЬЕ, ИХ СВОЙСТВА

В этом параграфе мы изучим оператор Поммье, действующий в некотором весовом (LF)-пространстве (т.е. в счетном индуктивном пределе пространств Фреше) Е целых функций. Для непрерывной функции v : C ^ R, для функции f : C ^ C положим

m I/(*)!

Pv (f ) := sup-—.

z&c exp v(z)

Пусть непрерывные функции vn,k : C ^ R таковы, что

Vn,k+1 < vn,k < vn+!,k, п,к е N.

Как обычно, A(C) обозначает пространство всех целых (в C) функций. Определим банаховы пространства

Епк := [f е A(c) : pVnik(f) < п,к е N,

весовые пространства Фреше

Еп := [f е A(c) : pVnik (f) < +жУк е N}, п е N.

Отметим, что Еп непрерывно вложено в Еп+1 для любого п е N. Весовое (LF)-пространство Е определим следующим образом:

Е := ind Еп.

Введем следующие условия для функций vn,k:

Уп Зт Ук 3s ЗС > 0 : sup vn,s(t) < inf vm,k(t) + С, z е C, (1)

\t-zl<1 \t-^\<1

и

Уп Зт Ук 3s : lim (vm,k(z) — vn>s(z)) = (2)

Для f : C ^ C, h е c положим rh(f )(z) := f (z + h), z е C.

Замечание 1. 1) Пусть выполняется условие (1). Тогда

(a) Пространство Е инвариантно относительно дифференцирования, т.е. для любой функции f е Е также f' е Е.

(b) Пространство Е инвариантно относительно сдвига, т.е. Th(f) е Е для любых f е Е и h е C.

2) Пусть выполняется условие (2). Тогда для любого п е N существует m е N такое, что всякое ограниченное в Еп множество относительно компактно в Ет.

□ Утверждения 1) очевидны.

2) Пусть множество В ограничено в Еп. Выберем т е N по п по условию (2). Возьмем последовательность fj е В, j е N. Так как она ограничена на каждом компакте в C, то по теореме Монтеля существует подпоследовательность (fjr)r£N, равномерно сходящаяся

на любом компакте в C к некоторой функции f Е A(C). Очевидно, что f Е Еп С Ет. Для к Е N определим s Е N по (2). Так как suppVn s(fjr) < то

->Vn

r€N

Рут,к (/> - I) ^ 0 при г ^ ж.

Следовательно, множество В относительно компактно в Ет. В

Лемма 2. Пусть выполняются условия (1) и (2). Для любых / Е Е, г Е С существует т Е N такое, что в Ет

Иш Т"( 1) - (Л = г,( .Г).

р^т р — г

□ Очевидно, что

lim m) - *(т = f(t + ,) = г.( f-т

V^z U — Z

для любого Ь Е С. Из принципа максимума модуля и условия (1) вытекает, что множество {^^—Т(/) ■ 0 < — г1 < 1} ограничено в некотором пространстве Еп, а значит, относительно компактно в некотором пространстве Ет. Следовательно, в Ет существует Иш Т'ЛЛ-_Тг(/), равный тТ (f'). В

р^т р Т

Будем предполагать, что пространство Е содержит функцию, отличную от тождественного нуля. Тогда существует функция д0 Е Е такая, что до(0) = 1.

Зафиксируем г Е С. Оператор ВТ ■ Е ^ ^(С) вводится следующим образом: для / Е Е

( /(1)-д0(1-т)/(т) ь = г,

Вт (/)('):=\ Г (г) — гд'0 (0) }(г), I = г.

Замечание 3. Ранее оператор ВТ исследовался и применялся в случае д0 = 1 в пространствах аналитических функций без ограничений на их рост (см., например, работы [7]—[12] и библиографию в них). В этом случае он называется оператором Поммье. Мы будем использовать это название и для оператора ВТ, введенного выше.

Докажем далее некоторые свойства оператора ВТ.

Лемма 4. Для любых Е С справедливо равенство

В,(Л — ОТ (Л = (р — г)Вй(Вг (¡)) + ¡(г)Вр(т.т Ы), ¡ЕЕ. (3)

□ Возьмем р, г Е С, . Если , ¿=и, то

¡(1) — до(г — М(р) ¡(1) — до(г — г)!(г)

D,(f)(t) — Bz (f)(t)

и

Поэтому

t — и t — Z

= f(t)(U — z)+ 90(t — z) f(z)(t — и) — go(t — U)f(U)(t — z)

(t — p)(t — Z)

f(t)-go(t~z)f(z) Q (t — и) f(p)-9°(p~z)f(z) B,(Bz (f))(t) =-^--^-=

t — и

: ( f(t)(U — z) — 90(t — z) f(z)(u — z) — 90(t — U)f(U)(t — z) + +9o(t — U)9o(U — z)f(z)(t — z)) /((U — z)(t — z)(t — .

(U — z)Bv(Bz (f))(t) =

-- ( f(t)(u — z)+ 90(t — z)f(z)(t — и) — 90(t — U)f(U)(t — z) —

-9o(t - z)f т - у) - go{t - z)f (z)(у - z)-+9o{t - до- z)f(z)(t - z^j/((t - z)(t - =

= D,(f)(t) -Dz(f)(t) +

-9o(t - z)f(z)(t - z)+ go(t - у)до(у - z)f(z)(t - z) = (t - z)(t -у)

9o(t - у)go(y - z) - go(t - z)

= В,(т -вя№) + № г-

= В»(№) - В*(№) - /(г)В^(ыт.

Ясно, что равенство

(II - Х)о^(ог (лт = Б^т) - вг (т - я^ Т-я ыт

выполняется при Ь = | и Ь = z (ведь функции, стоящие в обеих частях этого равенства, целые по ¿). Поскольку В^(т-Х(да))^) = 0, £ € С, при | = г, то последнее равенство справедливо и при | = г. ■

Замечание 5. Если да = 1, то равенство (3) имеет вид:

В„ -В2 = (I - о Вх.

Лемма 6. Предположим, что выполняется условие (1). Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Для любых п € N ограниченного в С множества М, существует т € N такое, что

для любого г € М оператор Вх линейно и непрерывно отображает Еп в Ет. (И) Для любых п € N ограниченного в Еп множества В, ограниченного в С множества М, существует т € N такое, что множество

[Вг(/): г€М,/ €В}

ограничено в Ет. □ (1): Вследствие (1) найдется п\ € N для которого множество

{т-г (да) : z€М}

ограничено в ЕП1. Выберем т € N по п2 := тах{п, щ} по (1) и для к € N определим ^ € N (тоже по (1)).

Возьмем / € Еп. Зафиксируем г € М. Пусть \Ъ - > 1. Тогда

1В,(/т\ < |¡(1) - да(1 - г)/(г)\ < Ц(1)\ + \да(1 - г)\ (4)

exp vm,k (t) exp vm,k (t) exp vm,k (t) exp vm,k (t)

Если It - zl < 1, то

sup 1 f(w) - 9o(w - z)f(z)l

lDz (f)(t)l < ]w-z]=1_ <

exp vm,k (t) exp vm,k (t)

sup I f(w)l sup Igo(w - z)I

< ]w-z] = 1__+ ^ ]w-z]=1_ <

< exp vm,k (t) exp vm,k (t) <

< [Pv„2,s (Л + 1 1 Pvn2, s (r-z (90)))exp( sup vn2,s(w) - inf vm,k (w)j . Таким образом, для любого к Е N

Pvm,k (Dz (f)) < +Ж,

т.е. Bz (f) Е Ет. Значит, для каждого z Е М оператор Bz (линейно) отображает Еп в Ет.

Поскольку график оператора Bz : Еп ^ Ет замкнут, то по теореме о замкнутом графике

[13, с.615, теорема 6.7.1] операторы Bz : Еп ^ Ет, z Е М, непрерывны.

(ii): Пусть множество В ограничено в Еп, т.е. suppV г(f) < для любого I Е N.

feB

Из условия (1) следует, что множество {т-z(д0) : z Е М} ограничено в некотором пространстве Еп1. Положим П2 := max{n; П\]. Выберем m по n согласно (1) и, зафиксировав

к, определим s по (1). Так как В ограничено в Еп, то sup |f(z)l < Вследствие

zeM, f e в

неравенств (4)-(5), учитывая, что множества В и {r-z(д0) : z Е М} ограничены в Ет, получим:

sup Рт,к(Bz(f)) <

e M, e B

Значит, множество {Bz (f) : z Е М, f Е В} ограничено в Ет. ■

Лемма 7. Пусть выполняются условия (1) и (2). Тогда справедливы следующие утверждения:

(iii) Для любого n Е N, любого ограниченного в Еп множества В существует m Е N такое, что lim B„(f) = Bz (f) в Ет равномерно (по f) на В.

(iv) Для любых f Е Е, z Е C найдется г Е N такое, что в Ег существует lim Dмz(f),

V^z V z

равный Bz (r-z (/')).

(v) Для любых f Е Е, z Е C найдется г Е N

такое, что в Ег

B,(f) — B z (f)

V^z и — Z

□ (iii): Пусть n Е N и множество В ограничено в Еп. По замечанию 1, 2) существует m\ Е N такое, что В относительно компактно в Ет1.

Ясно, что B^(f) ^ Bz (f) при и ^ z поточечно для любой функции f Е Е. По свойству (ii) леммы 6 существует m , для которого множество

{B,( f): 1и — zl< 1, f ЕВ}

ограничено в Ет2, а значит, по замечанию 1, 2) и относительно компактно в некотором пространстве Етз, где m3 > m\. Отсюда следует, что для любого f Е В в Етз существует lim B„(f), равный Bz(f). По свойству (i) леммы 6 найдется m > m3 такое, что

операторы BV, 1и — zl < 1, линейно и непрерывно отображают Ет1 в Ет. По теореме Банаха-Штейнгауза [13, следствие 7.1.4] limBV(f) = Bz(f) в Ет равномерно (по f) на В, т.е.

lim DßU) DzШ = {f) + f{z)Dz{r_z

lim sup pVm^k (Dß(f) -Dz (f)) = 0

feB '

для любого к E N.

1у): Зафиксируем / Е Е и г Е С. При р = г, вследствие Вр(т-р(/)) = 0,

Вр( Т-Т (I)) _ В ( Т-Т (Л — Т-р и) ^ . (6)

р-т

а множество В = |(/р-Г~м(/) ■ 0 < — г1 < 11 относительно компактно в Ет (см.

доказательство леммы 2). По (111) и свойству (1) леммы 6 найдется г Е N для которого ИшВм(д) = ВТ(д) в Ег равномерно (по д) на В, и оператор ВТ линейно и непрерывно

р^т

отображает Ет в Ег. Используя это и равенство (6),

легко показать, что в Ег существует

Иш (г-(/)), равный Вт (Т-Т (Л).

" I

р — z \ р — Z

По лемме 2 найдется m Е N такое, что в Ет существует lim (f"_ß(f), равный т-Л f),

ß^z " Т

_ fr-z ( f )_Т -ß( f) '

(v): Вследствие равенства (3) при у = г

Ш-Ш. = D(D,. u)) + rn .

у z у Z

Поэтому утверждение (v) следует из (iii) и (iv). I

Докажем еще один результат об оценке роста D^(f)(t) по t и у для f Е Е.

Лемма 8. Пусть выполняется условие (1) и д0 = 1. Тогда У f Е Е Зт Ук, I ЗА > 0:

ID^(f)(t)l < Аexp(vm,k(у) + vm,i(t)), t,^ Е C.

□ Заметим, что функция д0 = 1 принадлежит Е тогда и только тогда, когда существует п0 Е N такое, что для любых п > п0 из Е N

inf vn,s(z) > -ж. (7)

(Без ограничения общности можно считать, что п0 = 1.) Пусть f Е Ег. По условию (1) существует т > г такое, что для любого I Е N найдутся s Е N и С > 0, для которых

sup vr,s(w) < vm,i(t) + С, t Е C.

]w-t]<2

Для к, l Е N (используя принцип максимума, если \t- < 1) получим: для любых t, у Е C

ID,(f)(t)\< sup If(w)\ + If(v)l<

]w-t]<2

< Pvr,s (f)exp( Vm,l (t) + C) + Pvrn,k (f)expVm,k(/l) =

= (Pvr,s (f)exp(С - vm,k(у)) + 'pVm k (f)exp(-vm,i(t))j exp(vm,k(у) + vm,i(t)).

Остается отметить, что, вследствие (7),

sup(Pvr,s(f)exp(С - vm,k(у)) + Pvmk (f)exp(-vm,i(t))) < +<x>. t,nec

2. ^-интерполирующий функционал, его свойства

Далее Е — пространство целых функций такое, как в §1, причем задающее его семейство функций (уп,к)п,кеп удовлетворяет условиям (1) и (2). Предположим, что Р — некоторое комплексное локально выпуклое пространство (коротко: ЛВП), обладающее следующими свойствами:

(И) ( Р,Е) — дуальная пара относительно билинейной формы (х, /), х € Р, f € Е. (Е2) Топологии Р и Е мажорируют слабые топологии а(Р, Е) и а(Е, Р) соответственно. (Е3) Существуют элементы е\ € Р, А € С, такие, что

(ех, д) = д(А), д € Е, А € с.

Замечание 9. Естественным примером пространства Р, удовлетворяющего условиям (И)-(Е3), является топологическое сопряженное Е' к Е с топологией, мажорирующей слабую топологию а(Е',Е). В этом случае е\ — дельта-функции:

(ех, Л = ех(Л = !(А), А € с, / € Е.

(По поводу используемых здесь понятий из теории двойственности см., например, [14, гл.2].)

Определение 10. Пусть Q — целая в С2 функция такая, что Q(•, г) € Е для любого г € С. Q-интерполирующим функционалом назовем отображение : С2 х Р ^ С, задаваемое равенством

&((ц,г,х) := (х,В^(^, г))), € с, х € Р.

Докажем некоторые свойства функционала Qq. Положим No := N U {0}. Для ЛВП Н символ Н' обозначает топологическое сопряженное к Н. Теорема 11. (i) Для любых ß,z,X E C

( А - ß)ÜQ(ß, z, ех) = Q(X, z) - go(X - ß)Q(ß, z).

(ii) Q q(h, z, ■) E F' для любых ß,z E C.

(iii) Предположим, что отображение z М- Q(-, z) обладает следующим свойством: для любого компакта М в C существует п E N такое, что для любого s E N

suP Pvn,s (Q(z)) < +<x>.

zeM

Тогда Qq(-, -,x) E A(C2) для любого х E F.

(iv) Если g0 = 1, то Qq(-,z, x) E E для любых z E C их E F.

□ (i): Для ß,z,X E C, ß = X, учитывая свойство (F3), получим:

( X - ß)QQ(ß, z, ex) = (X - ß){ex, Dß(Q(-, z))) = (X - ß)Dß(Q(-, z))(X) =

/л z) - 90(X - ß)Q(ß, z) , . , . , .

= (X - ß)-г-= Q(X, z) - go(X - ß)Q(ß, z).

X - ß

Если ß = X, равенство (i) очевидно. Утверждение (ii) следует из свойства (F2).

(iii): Зафиксируем х E F иг E C. Возьмем ß E C. По свойству (v) леммы 7 найдется r E N такое, что в Er существует ^lim (Q(■,z)),

равный Dß(Q(■, z)) + Q(ß, z)Dß(r-ß(gf0)) =: h. Поэтому, вследствие (F2), существует lim △ , равный (x,h). Таким образом, функция QQ(ß, z,x) является це-

лой по ß.

Зафиксируем х E F и ß E C. Раскладывая (при фиксированном t E C) целую (по z) функцию Q( , ) в степенной ряд, получим:

<х

Q(t, z) = ^ aj(t)zj, t,z E c, (8)

j=o

где üj E A(c). Возьмем z E C. В силу неравенств Коши

sup IQ(t, Ol

|g|<|z| + 1

(lA + i)j

Пусть п E N таково, что для любого E N

k-(t)i < „ . , j e no, te c.

Cs := sup Pvn>s (Q(■, i)) < +Ж. | |<| |+1

Зафиксируем E C. Тогда для любого E No

Cs exp vn,s (t)

laj(t)l <

(N + 1У '

Следовательно, ряд (8) сходится абсолютно в некотором пространстве Еп (п зависит от г) по переменной Ь к Q(t, г). По лемме 6 (1) существует т Е N такое, что Вр линейно и непрерывно отображает Еп в Ет. По свойству (Р2) линейный функционал

д^(х, д), дЕЕ, (9)

непрерывен на Е, а значит, непрерывно его сужение на любое пространство Е1, I Е N в частности, на Ет [14, гл.5, предложение 5]. Поэтому

те

Пд(ц,г,х) = (х, , г))) = (х, (В^

3=0

оо

х,^2В^(аз У / = X] (х,В^(аз

3=0 3=0

причем последний числовой ряд абсолютно сходится. Таким образом, функция П((¡, х,х) является целой по г. По теореме Хартогса [15, гл 1, §2, п.6] П((г,1,х) — целая в С2 функция (по (¡, г)) для любого х Е Р.

(1у): Зафиксируем г € С их Е Р. По (ш) П((ц, г,х) — целая (по ¡) функция. Так как линейный функционал (9) непрерывен на Е = тёрго] Епз, то Уп Е N Зз Е N ЗВ > 0:

1П((1,г,х)1<Вр^ (.Вг))). (10)

По лемме 8 Зт Ук, I ЗА > 0:

г))(1)1<Аехр(ут,к(¡) + Ут,1 &)), ¡,1 Е с. (11)

Из неравенств (10) и (11) (в них п = т, I = в) следует: для любого к Е N

|П((¡,г,х)1 < АВехр Ьт,к(¡1), 1 Е с.

Значит, Пд(^,г,х) Е Е. ■

3. ПРИМЕРЫ

1) Интерполирующая функция шь(ц,х), введенная А. Ф. Леонтьевым (см. [1, гл. IV, §2, с.237]) — частный случай функционала П (.

Пусть С — ограниченная выпуклая область в С; С — замыкание С в С; 0 Е С; А(С) — пространство всех функций, аналитических на С, с естественной топологией индуктивного предела последовательности банаховых пространств. Пусть На — опорная функция С, т.е.

На(г) := вирЯе^), гЕ С. геб

Положим Р := А(С). В качестве Е рассмотрим весовое пространство Фреше:

Е := {/ ЕА(с) Уп Е N \\Дп :=ыр Н 11({*)\11/) <

I ¿ее ехр(Нс(х) + Щ/п) J

т.е. в данном случае

V п, к

(г) = На(г) + И/к, п,к Е N г Е С,

и все ЛВП Еп совпадают между собой. Семейство функций (уп,к)п,кеп удовлетворяет условиям (1) и (2).

Через Т обозначим преобразование Лапласа:

Т((р)(г) := ^(ехр(гг)), г Е с, <р Е А(С)'.

Как известно [16, теорема 4.5.3], Т является топологическим изоморфизмом сильного сопряженного А(С)'Ь к А(С) на Е. Билинейная форма

(х, /) := Т-1(/)(х), х ЕР, / ЕЕ, (12)

задает двойственность между Р и Е, т.е. условие (Р1) выполняется. Вследствие (12) условие (Е2) тоже имеет место. Если ех(г) := ехр( Аг), А, г Е С, то

(е х, /) = /( А), А Е с, / ЕЕ,

а значит, выполнено условие (F3). Пусть L — целая функция экспоненциального типа с сопряженной диаграммой G. Согласно [1, гл. IV, §2, c.237]

t

шь(»,х) = 2- J l(t)(j x(t — 0 e^d^dt,

С 0

где 7 - функция, ассоциированная по Борелю с L, С — контур, охватывающий G и лежащий в области аналитичности х и 7.

Положим Q(p, z) := L(p), p,z E C. Поскольку 0 £ G, то в качестве g0 можно взять д0 = 1. Покажем, что

Qq(/i, z,x) = шь(^,х), p,z E C, х E F. Поскольку для p,z E C линейные функционалы Qq(^,z, •) и uL(p, •) непрерывны на F (теорема 11 (ii) и [1, свойство 5, c.243] соответственно), то, в силу полноты семейства {е х : X E C} вF, достаточно показать, что

Qq(/!,Z, ех) = шь(/1, ех)

для X E C. Так как z) = L(p) для любых p,z E C, то

Q(X, z) — Q(p, z) L(X) — L(p)

^qeх) =-т-=-т-.

X — p X — p

По [1, свойство 3, c.242] также

L(X) — L(p)

uL(/i, ex)

X — p

2) Интерполирующий функционал, введенный в [2, §3] на основе интерполирующей функции А.Ф. Леонтьева, — тоже частный случай изученного в данной работе.

Пусть С, На — такие, как выше в 1); Р ■= А(С) — пространство всех функций, аналитических в С, с топологией равномерной сходимости на компактах С. В качестве Е рассмотрим счетный индуктивный предел весовых банаховых пространств:

Е :={ fE A(c)

I f(z)\

3n E N lfln := sup-м/ ч <

¿ec exp(HG(z) — Izl/n)

т.е. в данном случае

Vп,к(%) = На(г) — \г\/п, п,к Е N г € С, и все ЛВП Еп являются банаховыми пространствами. Семейство функций (уп,к)п,кеп удовлетворяет условиям (1) и (2). Пусть ех(г) ■= ехр( Аг), А, г Е С. Преобразование Лапласа

Т( у)(г) ■= <р(е2), гЕ с, у Е А(С)',

является [16, теорема 4.5.3] топологическим изоморфизмом сильного сопряженного А(С)'Ь к А(С) на Е. Билинейная форма

{х, /) ■= Т -1( /)(х), х ЕР, /еЕ,

устанавливает двойственность между Р и Е. Как и в 1), условия (И)-(Е3) выполняются.

Пусть Q — целая в С2 функция, такая, что Q(•, г) Е Е для любого г Е С. Согласно [2, §3, определение 3.1], Q-интерполирующий функционал определяется так (чтобы все же отличать его от исследованного здесь, обозначим его несколько иначе, чем в [2]):

г

&д(р,г,х) ■= Т-1^, г))ьП х(Ь — )(%), Е с, х Е А(С).

0

В данном случае тоже можно взять д0 = 1. Из непрерывности функционалов Пz, •) и 0>(((ц,г, •) на А(С) = Р ([2, §3, лемма 3.2 (б)] и теорема 11 (11) соответственно), полноты

системы {ел : X Е C} в A(G) и равенства Qq(i,z, ел) = ilq(i,z, ел) для любых ¡,z,X Е C, следует, что 1q = lq на C2 х F. (Заметим, что равенство !q(i,z, ел) = Q(x'zj—Q('V'^ установлено в [2, лемма 3.2 (б)] при 1 = z; очевидно, оно имеет место для любых z Е C.)

3) Пусть теперь G — ограниченное выпуклое множество в C, содержащее 0. Предположим, что G локально замкнуто, т.е. имеет счетную фундаментальную систему компактных подмножеств Gn С G, п Е N. Можно считать, что все компакты Gn выпуклые и Gn С Gn+i, п Е N (см., например, [4], [17], [18]). Пусть F := A(G) := proj A(Gn) — про-

——n

странство ростков всех функций, аналитических на G, с топологией проективного предела

(LВ)-пространств A(Gn), п Е N. Введем весовое (LF)-пространство Е := indproj Ank, где

n^ —к

банахово пространство Ank определено следующим образом:

Ank := {/ Е A(C) : \\i\\nk := sup-(и < +оо\

I ¿ec exp(HGn (z) + Izl/k) J

( Hgti — опорная функция Gn). В данном случае

Vn,k(z) := Hg„(z) + Izl/k, z Е C, n,k Е N;

семейство (vn,k)n,keN удовлетворяет условиям (1) и (2).

Как и ранее, e\(z) := exp( Xz), X, z Е C. Преобразование Лапласа

Т( y)(z) := tp(ez), zE c, у Е A(G)',

устанавливает топологический изоморфизм сильного сопряженного A( G) к A( G) на Е [17, lemma 1.10]. Билинейная форма

<х,/>:= Т~\/)(х), х Е F, /ее,

устанавливает естественную двойственность между F и Е; свойства (F1)-(F3) выполняются.

Пусть L — целая (в C2) функция такая, что L(-, z) Е Е для любого z Е C. L-интерполирующий функционал li в [4, §3] определяется так:

t

li (¡, z,x):= Т ~1(L(-, z))t(^J x(t — C)exp(/i$, )d£ j, ¡,z Е C, х Е F.

0

И в этом случае можно взять д0 = 1. Положим Q := L. Как и в 1) и 2), вследствие непрерывности функционалов li(ц, z, ■) и l q(i, z, ■) на F ([4, lemma 3.3] и теорема 11 (ii) соответственно), полноты системы {е л : X Е C} в F и равенства Qq(i,z, ел) = li(¡¡,z, ел) для любых z Е C, равенство li = 1q выполняется на C2 х F. (Заметим, что равенство

(¡, z, ел) = z) установлено в [4, lemma 3.3] при 1 = z; очевидно, оно имеет место

для любых i,z Е C.)

Авторы выражают благодарность А.В. Абанину за ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

2. Мелихов С.Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Матем. сб. 2000. Т. 191, № 7. C. 105-128.

3. Иванова О.А., Мелихов С.Н. О представлении аналитических функций рядами из квазимономов // Исследования по современному анализу и математическому моделированию. Владикавказ, изд-во ВНЦ РАН и РСО-А. 2008. С. 30-37.

4. S.N. Melikhov, S. Momm On the expansions of analytic functions on convex locally closed sets in exponential series // Владикавк. матем. журн. 2011. Т. 13, № 1. С. 44-58.

5. Иванова О.А., Мелихов С.Н. О формулах для коэффициентов рядов по функциям Миттаг-Леффлера для аналитических функций // Исследования по математическому анализу. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А. 2014. С. 251-260. (Матем. форум. Т.8. Ч.1. Итоги науки. Юг России).

6. S.N. Melikhov Generalized Fourier expansions for distributions and ultradistributions // Rev. Mat. Compl. 1999. V. 12, № 2. P. 349-379.

7. M. Pommies Sur les restes successifs des séries de Taylor // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. 1960. V. 24, № 4. P. 77-165.

8. Коробейник Ю.Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Матем. заметки. 1982. Т. 31, № 5. С. 723-737.

9. Линчук С.С., Нагнибида Н.И. Об эквивалентности операторов Поммье в пространстве аналитических в круге функций // Сибирский матем. журн. 1990. Т. 31, № 3. С. 507—513.

10. I.N. Dimovski, V.Z. Hristov Commutants of the Pommiez operator // Int. J. Math. and Math. Sc. 2005. Issue 8. P. 1239-1251.

11. Шерстюков В.Б. Нетривиальные разложения нуля и представление аналитических функций рядами простых дробей // Сиб. матем. журн. 2007. Т. 48, № 2. С. 458—473.

12. Yu.S. Linchuk Description of the generalized eigenvalues and eigenvectors of some classical operators. (Ukrainian. English summary). // Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr., Mat. Pryr. Tekh. Nauky. 2013. № 2. P. 25-29.

13. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения . М.: Мир, 1969. 1072 c.

14. Робертсон А.П., Робертсон В.Д. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967. 257 с.

15. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть 2. М.: Наука, 1985. 464 с.

16. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968. 279 c.

17. S.N. Melikhov, S. Momm Analytic solutions of convolution equations on convex sets with obstacle in the boundary // Math. Scand. 2000. V. 86. P. 293-319.

18. Мелихов С.Н., Момм З. О свойстве внутрь-продолжаемости представляющих систем экспонент на выпуклых локально замкнутых множествах // Владикавк. матем. журн. 2008. Т. 10, № 2. С. 36—45.

Ольга Александровна Иванова, Южный федеральный университет,

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Ворровича

ул. Мильчакова, 8а,

344090, г. Ростов-на-Дону, Россия

E-mail: [email protected]

Сергей Николаевич Мелихов, Южный федеральный университет,

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Ворровича

ул. Мильчакова, 8а,

344090, г. Ростов-на-Дону, Россия,

Южный математический институт ВНЦ РАН,

ул. Маркуса, 22,

362027, г. Владикавказ, Россия

E-mail: melihûmath.rsu.ru