Об алгебре аналитических функционалов, связанной с оператором Поммье Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 4, С. 34^40

УДК 517.9

ОБ АЛГЕБРЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ, СВЯЗАННОЙ С ОПЕРАТОРОМ ПОММЬЕ

О. А. Иванова, С. Н. Мелихов

Изучены свойства сверточной алгебры, образованной топологическим сопряженным к некоторому (ЬР)-пространству целых функций одного комплексного переменного с введенным на нем умножением-сверткой. Это умножение определено с помощью оператора сдвига для оператора Поммье.

Ключевые слова: весовое пространство целых функций, алгебра аналитических функционалов, оператор Поммье, коммутант.

1. Введение

В работе [2] описаны операторы, линейно и непрерывно действующие в некотором счетном индуктивном пределе Е весовых пространств Фреше целых (в С) функций и перестановочные в нем с оператором Поммье По,до, ассоциированным с некоторой функцией до £ Е. Пусть Е' — топологическое сопряженное к Е. Как показано в [2], коммутант К (По,до) оператора По,до в тальце £ (Е) всех линейных непрерывных операторов в Е изоморфен алгебре Е' с операцией умножения (свертки) определяемой с помощью оператора сдвига для оператора Поммье. Цель настоящей работы — продолжить исследование алгебры (Е',Мы доказываем, что алгебры (Е',®) и К(По,до) также и топологически изоморфны, если Е' снабдить слабой топологией, а К(По,до) —

Е

«топологичность» изоморфизма применяется затем при решении задачи о представлении операторов из К(По,до) в гаде Пдо,0-операторов бесконечного порядка. Кроме того, мы описываем мультипликативные функционалы на этих алгебрах. Отметим, что в общем случае мультипликативный функционал не является единственным. Существенным побудительным мотивом к данной работе послужила статья В. А. Ткаченко [7]. В [7] установлены подобные свойства коммутанта оператора обобщенного интегрирования /р, действующего в сильном сопряженном к весовому (ЬВ)-пространству целых функций, индикатриса роста которых при порядке р > 0 меньше заданной р-тригонометрически выпуклой функции со значениями в (-то, (см. [3]). При этом оператор 1р является сопряженным к оператору Поммье По ер, где Р — некоторый многочлен.

© 2016 Иванова О. А., Мелихов С. Н.

2. Предварительные сведения

Приведем некоторые сведения из [1, 2], необходимые для дальнейшего. Для непрерывной функции V : С ^ М и функции / : С ^ С полагаем

ы/) :=зир- |/(г)|

¿ее ехр V (г)

Далее vn,k : С ^ М, п, к £ N — непрерывные функции такие, что на С

Vn,k+l ^ Vn,k ^ ^+1,к, п, к £ N.

Положим р^к := п, к £ N Как обычно, А(С) обозначает пространство всех целых

(в С) функций. Для п £ N введем весовые пространства

Еп := {/ £ А(С) : рп>к(/) < (Vк £

Каждое пространство Еп — пространство Фреше с фундаментальной последовательностью непрерывных преднорм (рп к)кем; Еп непрерывно вложено в Еп+1 для любого п £ N. В пространстве Е := ип€М Еп введем топологию индуктивного предела пространств Еп относительно отображений вложения Еп в Е, т. е. Е = Еп.

Далее, будем предполагать, что функции vn)k, п, к £ N удовлетворяют следующему условию:

(Vп)(3т)^к)(3 в)(3 С ^ 0) : вир ^>я(4) + 1п(1 + |г|) < ^ vm,k(Ь) + С (г £ С).

Условие (1) обеспечивает инвариантность Е относительно дифференцирования, сдвига и умножения на независимую переменную. По [1, замечание 1] для любого п £ N существует т £ N такое, что всякое ограниченное в Еп множество относительно компактно в Ет.

Считаем далее, что пространство Е содержит функцию, отличную от тождественного нуля. Тогда Е содержит функцию до £ Е такую, что до (0) = 1.

Зафиксируем функцию до £ Е, для которой до(0) = 1. Оператор Поммье ^о>до, г £ С, ассоциированный с до, определим равенствами

Г Л«)-оо(*)/(о)

t + о,

/'(0) - до(0)/(0), Ь = 0,

/ £ Е. Оператор ^о>до линейно и непрерывно отображает Е в Е.

Через ^ (Е) обозначим пространство всех линейных непрерывных операторов в Е, через Е' — топологическое сопряженное к Е пространство.

Оператор сдвига Тг, г £ С Для оператора Поммье Оо,до определяется следующим образом (см. [2, §2]):

Тг(/)(Ь) := |

гдо(г)/'(г) - г/(г)до(г) + /(г)до(г), Ь = г

/ £ Е.

Следуя [2], введем в Е' бинарную операцию Для ф £ Е', / £ Е положим

(р <Х> ф)(/) := р*(ф(Тг(/))).

Из [2, лемма 9 (iii)] следует, что операция ® корректно определена. Она ассоциативна и коммутативна.

Обозначим через K(Do,go) коммутант оператора Do,go в кольце L(E), т. е. множество всех операторов B G L(E) таких, что BDo,go = Do,go B в E. Для р G E' положим

к(р)(/)(z):= p(Tz(/)), / G E, z G C.

Далее Sa, A G C, _ дельта-функции: 5\(f) := /(A), / G E. Ясно, что 5\ G E' для любого A G C.

Отметим, что р = So(к(р)), р G E'. Согласно [2, следствие 18] отображение к : (E', ®) ^ K(Do,go) — изоморфизм алгебр. При этом умножением в K(Do,go) является суперпозиция операторов.

3. Топологический изоморфизм алгебр (E', ®) и K(D0 go)

Покажем далее, что алгебраический изоморфизм к : (E', ®) ^ K(Do,go) является также и топологическим, если E' и K(Do,go) наделить самыми слабыми естественными локально выпуклыми топологиями. Обозначим символом E'a пространство E' со слабой топологией ct(E',E), заданной естественной двойственностью между E и E'. Через (Do,go) обозначим пространство K (Do,go) с топологией поточечной (простой) сходимости, если в E введена слабая топология a(E, E') (см. [9, гл. III, § 3, с. 104, пример 4 (а)]). Такая топология (она называется слабо-операторной) часто используется в теории операторных алгебр, в спектральной теории (см., например, [8, гл. 4, §§1, 6-8]). Отметим,

E L(E)

E

В E'a топология задается семейством преднорм

9д(р) := sup |р(/)|, р G E', f еД

где А — произвольное конечное подмножество E. В Ka (Do,go) локально выпуклая топология задается семейством преднорм

9д,п(В):= sup |р(В(/))|, B G K(Do,go), f еД,^еп

где ^fi — произвольные конечные подмножества E и E' соответственно.

Теорема 1. Отображение к : E^ ^ (Do,go) является топологическим изоморфизмом «на».

< Покажем, что к : E^ ^ (Do,go) непрерывно. Действительно, для любых конечных множеств А С E, fi С E', любого р G E'

9Д,п(к(Р)) = suP |ф(к(р)(/))| f еД,-феп

= sup (р(Тг(/)))| = sup |(ф ® р)(/)| = sup |(р ® ф)(/)| fед,феп fед,феп fед,феп

= sup |рz (^(Tz (/)))| = sup ^fcf)| = 9д (р), fед,феп fед,феп

где А := {hf := ф(Т(/)) : ф G fi} — конечное подмножество E.

Поскольку То — тождественный оператор, то для любого конечного множества А С Е, для любого ^ £ Е', вследствие ^ = ¿о(к(^>)),

= йир )| = яир |^о(кМ(/))| = дд,По(к(^)), /еД /еД

где := {¿о} С Е'. Следовательно, обратное к к отображение к-1 : Жа(До,до) ^ Е'а непрерывно. >

Применим полученный топологический результат к задаче о характере аппроксимации операторов из К(До,до) многочленами от До,до- В [2, следствие 20] показано, что множество К (До,до) совпадает с замыканием множества многочленов от оператора До,до в £(Е) с топологией простой (поточечной) сходимости, если Е наделено своей естественной топологией (ЬЕ)-пространства. Ниже пойдет речь о представлении операторов из К (До , до) в виде рядов по опер аторам Д« до, п ^ 0, с постоянными коэффициентами, т. е. в виде До ,до-операторов бесконечного порядка (с постоянными коэффициентами). Существенным при этом является следующий результат.

Лемма 2 [2, лемма 7]. Дляп £ N существуют числа Ск,« £ С 0 ^ к ^ п — 1, такие, что для функционалов ^>о := (/) := /(п)(0)/п! + ^«-о Ck,n/(к)(0), / £ Е, выполняются

равенства Д«до = к(^«), п ^ 0.

Замечание 3. (а) Если до = 1, то ^>«(/) = /(п)(0)/п!, / £ Е, п ^ 0.

(b) Нетрудно видеть, что ядром оператора Д« до, п ^ 1, в Е является множество

Кег(Д« до) = {Рдо : Р ~ миогочлен и deg(P) ^ п — 1}.

Введем функции Л«(г) := г«до(г), г £ С п ^ 0. Тогда Нп £ Е и Д« до= до Для любого целого п ^ 0 и Д« до (^к) = 0, если 0 ^ к < п.

(c) Из (Ь) вытекает следующее свойство единственности сходящихся в Жа (До ,до) рядов по системе {Д« до : п ^ 0}:

Если ряд йпДП,до (я« £ С) сходится в ,Жа (До,до) к нулю, то я« — 0 для любого

п ^ 0.

Таким образом, проблема представления операторов из К(До,(о) в виде До,до-опера-торов бесконечного порядка — это проблема базисности системы (Д«до) п>о в К (До,до) (с некоторой локально выпуклой топологией).

Далее будем последовательность (ж«)«ем элементов локально выпуклого пространства Е называть абсолютным базисом в Е, если для любого ж £ Е существует единственная числовая последовательность (а«)«ем такая, что ж = ^^=1 а«ж«, причем ряд абсолютно сходится к ж в Е. Абсолютная сходимость в Е ряда йпжп означает, что

|йп|9(жп) < для любой непрерывной на преднормы д. Заметим, что это определение абсолютного базиса отличается от приведенного в книге А. Пича [6, § 10.1].

Из теоремы 1 и леммы 2 вытекает

Следствие 4. Следующие утверждения равносильны:

(¡) (^«)«>о является абсолютным базисом в Е'а;

(и) (Д«до )«>о является абсолютным базисом в ,Жа (До,до )•

Замечание 5. Результаты о представлении в виде До,до-операторов бесконечного порядка операторов, перестановочных с обычным оператором Поммье (т. е. для до = 1) в пространстве Фреше функций, аналитических в открытом круге, ранее были получены Н. И. Нагнибидой [5], Н. Е. Линчук [4].

Пусть выполняется условие (ii). Тогда для любого р G E' существует последовательность (an)n^o комплексных чисел такая, что к(р) = ^anDn go, где ряд сходится к к(р) в следующем смысле: для любых / G E, ф G E' числовой ряд an^(Dn go (/))

сходится абсолютно к ф(к(р))(/), т. е. для любого / G E ряд anDn, go (/) слабо

сходится в E к к(р)(/). В большом числе случаев отмеченная сходимость влечет более сильную естественную.

E

§10], [12, гл. 3, §28]).

E

Лемма 6. Предположим, что выполняется следующее условие:

(Vn)(V k)(3 s)(3 C ^ 0) : sup vn,s(i) + ln(1 + |z|) < inf Vn,fc(i) + C (z G C). (2)

E

< Отметим, что из условия (2) вытекает условие (1). Вследствие [11, предложение 2.1]

En

пространств — тоже ядерное пространство [6, 5.2.4], то E ядерно. >

Символом Kp(Do,go) обозначим пространство K(Do,go) с топологией поточечной схо-E

E

(i) (рп)n^o является абсолютным базисом в E'a;

(ii) (Dn,go)n^o является абсолютным базисом в Kp(Do,go).

В частности, условия (i) и (ii) равносильны, если выполняется условие (2).

< Это утверждение вытекает из следствия 4 и того, что для ядерного E слабо аб-

E

предложение 4.2.2]. >

4. Мультипликативные функционалы на (E', ®)

Хорошо известно, какую важную роль в теории коммутативных банаховых алгебр играют мультипликативные функционалы на этих алгебрах. Ниже мы опишем мультипликативные функционалы на алгебре (E', задаваемые элементами из E. В отличие от банахова случая множество таких функционалов оказывается «бедным»: его мощность зависит от «числа» нулей функции go, и если go не имеет нулей, то ненулевой мультипликативный функционал единственен. Ранее единственность мультипликативного функционала на алгебре линейных непрерывных операторов, перестановочных с обобщенным интегрированием в некотором пространстве аналитических функционалов, была установлена В. А. Ткаченко [7, §4, ж)]. Для любого g G E функционал

С(р) := р(д), р G E',

линеен и непрерывен на E^. Функционал G g G E, называется мультипликативным на (E', если С(р ® ф) = С(р)С(ф) для любых р, ф G E'.

Теорема 8. Следующие утверждения равносильны:

Функционал О (д £ Е) — ненулевой мультипликативный функционал на (Е', ®). (И) д = до или существует нуль А £ С функции до такой, что д(г)(1 — г/А) = до (г), г £ С.

до

функционалом является О при д = до.

< (1 Пусть О — ненулевой мультипликативный функционал на (Е', Тогда

для любых ф £ Е'

смет = шт = (*, . <«

С другой стороны,

ОДОД = ® ф) = Ш9) = <Р* ) . (4)

Зафиксируем г,Ь £ С г = ¿.Для ^ := ¿г, ф := вследствие равенств (3), (4),

¿А(%о<» ~ гд(г)до(Ь) = ¿д(%(г) - гд(г)д(Ь) Ь — г Ь — г '

откуда

Ьд(Ь)до (г) — гд(г)до (Ь) = ¿д(Ь)д(г) — гд(г)д(Ь)

и

¿д(Ь)(до(г) — д(г)) = гд(г)(до(Ь) — д(Ь)).

Отсюда следует, что мероморфная функция 90 ^^^, зависящая от г, является тожде-

с £ С

до(г) = д(г)(1 — сг), г £ С.

Если с = 0, то до = д. Если же с = 0, то А := 1/с — нуль функции до и

до (г) = д(г)(1 — г/А), г £ С.

Если д £ Е и для некоторого с £ С выполняется равенство д(г)(1 — сг) = до (г) г £ С, то для любых ф £ Е'

ъ*) = чн (тдт-сг^шт-*)^ = >

Следствие 9. Каждое гиперподпространство

Н := {^ £ Е' : <^(до) = 0} и Ял := {^ £ Е' : р(д) = 0},

где д(г) = до(г)/(1 — г/А), А — нуль до, является а(Е',Е)-замкнутым максимальным идеалом в алгебре (Е',

Литература

1. Иванова О. А., Мелихов С. И. Об интерполирующей функции А. Ф. Леонтьева // Уфимск. мат. журн.—2014.—Т. 6, № З.-С. 17-27.

2. Иванова О. А., Мелихов С. И. Об операторах, перестановочных с оператором типа Поммье в весовых пространствах целых функций // Алгебра и йнйлю. —2016.—Т. 28, № 2.-С. 114-137.

3. Левин В. Я. Распределение корней целых функций.—М.: ГИТТЛ, 1956.—632 с.

4. Линчук Н. Е. Представление коммутантов оператора Поммье и их приложения // Мат. заметки.— 1988.—Т. 44, № 6.-С. 794-802.

5. Нагнибида Н. И. О линейных непрерывных операторах в аналитическом пространстве, перестановочных с оператором дифференцирования // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: Респ. науч. сб. Харьковского гос. ун-та им. А. М. Горького.—Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1966.—№ 2.—С." 160-164.

6. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.—М.: Мир, 1967.—271 с.

7. Ткаченко В. А. Об операторах, коммутирующих с обобщенным интегрированием в пространствах аналитических функционалов // Мат. заметки.—1979.—Т. 29, № 2.—С. 271—282.

8. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу.—М.: МЦНМО, 2004.—552 с.

9. Шефер X. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1971.—360 с.

10. Эдварде Р. Функциональный а нал из. Теория и приложения.—М.: Мир, 1969.—1072 с.

11. Haslinger F. Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J.—1986.—Vol. 35, № 1,— P. 193-208.

12. Meise R., Vogt D. Introduction to Functional Analysis.—N. Y.: Oxford Univ. Press, 1997.—437 p.

Статья поступила 12 августа 2016 г.

Иванова Ольга Александровна Южный федеральный университет, ассистент кафедры математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: neo_ivolga@mail.ru

Мелихов Сергей Николаевич Южный федеральный университет,

профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, ведущий научный сотрудник отдела мат. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: meliMmath.rsu.ru

ON AN ALGEBRA OF ANALYTIC FUNCTIONALS CONNECTED WITH A POMMIEZ OPERATOR

Ivanova O. A., Melikhov S. N.

We study properties of a convolution algebra formed by the dual E' of a countable inductive limit E of weighted FrSchet spaces of entire funtions of one complex variable with the multiplication-convolution ® which is defined with the help of the shift operator for a Pommiez operator. The algebra (E', is

E

E'

commutant is endowed with the weakly operator topology. This result we use for powers of a Pommiez operator series expansions for all continuous linear operators commuting with this Pommiez operator on E. We describe also all nonzero multiplicative functionals on the algebra (E',

Key words: weighted space of entire functions, algebra of analytic functionals, Pommiez operator, commutant.