О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 4, С. 18-27

УДК 517.9

О КОЭФФИЦИЕНТАХ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

В. А. Варзиев, С. Н. Мелихов

В работе доказан критерий того, что оператор представления рядами экспонент аналитических в выпуклой ограниченной области С функций полиномиального роста вблизи границы С имеет линейный непрерывный правый обратный. Показателями рассматриваемых рядов экспонент являются нули специальной целой функции.

Ключевые слова: ряды экспонент, аналитические функции полиномиального роста, оператор представления, линейный непрерывный правый обратный.

В настоящей работе идет речь о линейной непрерывной зависимости коэффициентов разложений в ряды экспонент функций /, аналитических в ограниченной выпуклой (плоской) области О и полиномиального роста вблизи ее границы, от /. Показателями рассматриваемых рядов экспонент являются нули специальной целой функции, рост которой определяется опорными функциями области О и некоторого выпуклого компакта К. В терминах теории операторов решаемая задача является проблемой существования линейного непрерывного правого обратного (коротко: правого обратного) к соответствующему оператору представления рядами экспонент. Для функций, аналитических в выпуклой ограниченной области С (без ограничений на их рост) эта «проблема коэффициентов» решена в статьях [2, 7]. В статье [9] эта задача решена для функций, аналитических в некоторой окрестности ограниченного выпуклого множества с непустой внутренностью, обладающего счетным базисом окрестностей, состоящим из выпуклых областей, а в [19] — для функций, аналитических в окрестности ограниченного выпуклого локального замкнутого множества. В упомянутых выше работах [2, 7, 9, 19] критерии существования правого обратного к оператору представления получены в терминах комформных отображений, и существование правого обратного к оператору представления существенно зависит от геометрических свойств границ соответствующих множеств. Постановка решаемой здесь задачи аналогична той, которая дана в [2, 7, 9, 19]. Для выпуклого компакта К в С мы фиксируем минимальную (в смысле работы [14]) абсолютно представляющую систему (АПС) экспонент в пространстве + К) функций, ана-

литических в О + К и полиномиального роста вблизи границы О + К, и выясняем, как эта «добавка» влияет на существование правого обратного к оператору представления функций из А-те(О). Показано (теорема 3), что оператор представления имеет правый обратный тогда и только тогда, когда компакт К отличен от точки. Таким образом, для минимальной АПС экспонент в А-те(О), т. е. когда К — точка, оператор представления не имеет правого обратного, а любая «экспоненциальная добавка» к ней (с помощью отличного от точки выпуклого компакта К) приводит к его существованию.

© 2011 Варзиев В. А., Мелихов С. Н.

Пусть О — ограниченная выпуклая область в С, ^с(-г) := И^с\о — ¿\, £ € О. Для каждого п € N введем банахово пространство

А-п(О):={ / € А(О) : ||/1|„ := зпр \/(г)\(ёс(г))п < ж} ^ гео )

и положим А те(О) := тёп^А П(С). Для ограниченного множества М С С через Нм обозначим опорную функцию М:

Нм(г) := вир И,е(2^), £ € С. Í6 м

Пусть

:= {/ е ^(С) : Рп(Л = 8ПР (1 + 1у Я*)1 < оо (Уп £ М) I гб€ ехР Н0(£)

Естественная топология, в которой Ао^ является пространством Фреше, задается системой преднорм рп, п € N.

Положим вл (г) := ехр(Аг), А, £ € С. Для локально выпуклого пространства Е символ Е' обозначает топологическое сопряженное к Е. Согласно [18, теорема 4] преобразование Лапласа &(^>)(А) := </?(А) := ^>(вл), А € С, ^ € А-те(О)', является линейным топологическим изоморфизмом сильного сопряженного А-те(О)в к пространству А-те(О) на А^ ■ Пусть М — ограниченная выпуклая область в С. Для последовательности Аj € С, ] € N, для каждого п € N определим банахово пространство числовых последовательностей

Л-(М) := {с = с С : |с|„ = £ < с»},

и положим А-те(М) := шёп^Л-п(М).

Поскольку А-те(М) — (БРВ)-пространство [18, замечание 1], то согласно [11] А-те(М) является регулярным индуктивным пределом. По [5, теорема 5] ряд ^- Cjв\j сходится абсолютно в А-те(М) тогда и только тогда, когда существует п € N такое, что ряд £1 Cjвл^. абсолютно сходится в А-П(М). Согласно [18, лемма 2] для любого п € N найдется С < ж, для которого

ехрЯм(А) ехрЯм(А)

С(1 + |Л|)» <Ы»<С (1 + |л|)п , А ЕС.

Поэтому Л-те(М) является пространством всех тех и только тех последовательностей с = (с/ ^'ем, для которых ряд ^Cjв\. абсолютно сходится в А-те(М). Оператор представления П(с) := ^1 Cjвл^. линейно и непрерывно отображает Л-те(М) в А-те(М).

Система (вл3. называется абсолютно представляющей системой (АПС) в А-те(М), если оператор представления П : Л-те(М) ^ А-те(М) сюръективен, т. е. если каждая функция / € А-те(М) [1] может быть разложена в ряд экспонент / = ^°=1 с/вл.,-, который абсолютно сходится (к /) в А-те(М).

Для ограниченного выпуклого множества М С С положим

: (ЗпеМ) |7|„ := йпр -——¡М!-—- < ос I гес (1 + ИГ ехр Нм (г)

В А^ вводится естественная топология (ЬБ)-пространства.

Пусть K — выпуклый компакт в C, ß — аналитический функционал на C (т. е. ß £ A(C)') такой, что ß £ A^. Оператор свертки Tß определяется следующим образом [13]:

ТД/)(z):= ßt(f (t + z)), z £ G, / £ A-~(G + K).

Оператор Tß линейно и непрерывно отображает A-(^(G + K) в A-(^(G) [13]. Кроме того, Тм(ед) = ß(A)eA для любого А £ C.

Из [1, теорема 3.1], с учетом того, что по [13] существует сюръективный оператор свертки Tß : A-~(G + K) ^ A-~(G), вытекает

Лемма 1. Пусть K — выпуклый компакт в C. Если (ед. )j6N — АПС в A-^ (G + K), то (ед.) j 6N — АПС ив A-~ (G).

Всюду далее K — выпуклый компакт в C, а функция L £ A£?+k удовлетворяет следующим условиям, введенным в [14]:

(L1) Существуют p0 £ N и последовательность Rk > 0, k £ N, Rk T такие, что

log |L(А)| ^ ЯС(А) + Hk(А) - po log(1 + |А|), |А| = Rk, k £ N.

(L2) (А^ )jgN — последовательность всех (попарно различных) нулей L, каждый нуль Аj простой и

liminf ^'(Xk)\- HG(X3) -HK{X3) j— log(1 + |Аj |)

Замечание 1. (a) Согласно [14, теорема 1.2] (eAj jN — АПС в A-^(G + K). (б) Пусть A°°(G + К) — пространство Фреше всех аналитических в G + К функций, бесконечно дифференцируемых на G + К (G + К — замыкание G+K в С). Согласно [10] (см. также [20, замечание 3.10]) F — линейный топологический изоморфизм сильного сопряженного A°°(G + KYß к A°°(G + К) на А<£+к. Пусть функционалы щ £ A°°(G + K)'

таковы, что 0j(z) = V{X^){L разлагается в ряд экспонент

таковы, что 0j{z) = L/^L)(z-\ ■)' 3 е Согласно [6] каждая функция / £ A°°{G + K)

3 = 1

абсолютно сходящийся в ). Отсюда и из [18, теорема 5] следует, что (вл^ —

АПС в + К), а значит, по лемме 1 и в

Определим пространство последовательностей

■■= {с = (c)ieN £ С : (Vn G N) qn{c) := sup + |Ajl)

ieN exP HG (Аj)

n

и снабдим его естественной топологией пространства Фреше. Согласно [15, теорема 4.7] и — монтелевские, а значит, и рефлексивные локально выпуклые про-

странства. В силу [15, следствие 2.8] сильное сопряженное к Л-1^^) пространство посредством отображения ф ^ (Ф(в(з)))3'ем, где в(3-) := )&6м, ] £ Н, а — символ Кронекера, можно отождествить с При таком отождествлении двойственность

между и задается билинейной формой (с, й) := сз, с £

й £ Если сопряженное к отождествить таким образом с а со-

пряженное к (посредством преобразования Лапласа) — с то оператор

Д(/) := (/(Аз ))зем, / £ является сопряженным к оператору представления П и

линейно и непрерывно отображает пространство в

Замечание 2. Поскольку и А-те(С) — (БРВ)-пространства, то оператор

П : Л-<х(0) ^ А-<Х(С) имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда оператор К : А'—х ^ К^^ имеет линейный непрерывный левый обратный.

Следующая лемма доказывается стандартным образом (см., например, [3, Гл. IV, §4], [4, Гл. IV, §6], [8, лемма 1.4]).

Лемма 2. Для любой функции / £ А—+к справедливо разложение

ад

где ряд равномерно сходится на компактах в C.

Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:

(i) Оператор П : Л-™(С) ^ A-™(G) имеет линейный непрерывный правый обратный.

(ii) Существует функция Q £ A(C2) такая, что Q(z, z) = L(z), z £ C, и для любого n существуют m и C > 0 такие, что

|Q(z,^)| ^ Cexp (HG(z) + HkЫ - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + H)), z, ^ £ C.

< Мы воспользуемся методом, примененным в [8] при доказательстве теоремы 1.8. В [8] он использован в случае, когда оператор R определен на индуктивном пределе последовательности весовых банаховых пространств целых функций.

(ii) (i): Стандартным образом, применяя принцип максимума модуля к целым функциям Qj(z) := ■) и учитывая оценки сверху для |<3| в (И) и оценки сни-

зу (L2) для |L'(Aj)|, существуют s, C2 > 0, для которых для любого n найдутся m и Ci > 0 такие, что

< С\ exp(HG(z) + HK(\j) -nlog(l + \z\) + mlog(l + |A3-|)) ' ' C*2 exp(^G(Aj) + Hx{\j) — slog(l + |Aj|))

_ Ci(l + expHg(z)

C2(l + N)™exptfG(A,) ' *€<L"

Из неравенства (1) следует, что Qj £ A—™, j £ N.

Покажем, что для любого c £ Kряд XjeN cjQj абсолютно сходится в Ag . Зафиксируем n £ N и выберем s, m, C1, C2, как в (1). Тогда

PniQi) = sup < T- еХР + ^ + lAi I) - Hg■

z6c exp Hg(z) C2

Поэтому для любого c £ KG™

E i Фп{Яо) < Щ- E icii exp +log(! + i<M) - HG(\j))

jeN 2 jeN

Ci | | // , , „ч ! /-, , | Л ,ч /-, , |Л ,ч тт /л ч\ , Ci C3

< Е ехР ((га + 5 + 2)+ I'M) - 2 + 1^-1) - )) <

2 jeN 2

где С3 := Ei6N (I+p^ < 00•

Таким образом, ряд XjgN cjQj сходится в A—(X для любой последовательности c £

и линейный оператор к(с) := jgN CjQj непрерывно отображает К-1^ в Покажем, что к — левый обратный к R. Отметим, что Q(z, ■)/ £ A—для всякой функции / £ и произвольного z £ C. Поэтому по лемме 2 для любых / £

z £ C

= £ 77—ТТРТТТ^^' = Q& ММ = LMfi*) j^N(z - Aj)L (Aj)

Отсюда следует, что k(R(/)) = /, / £ A^.

(i) (ii): По замечанию 2 существует линейный непрерывный левый обратный к к оператору R. Положим / := к(е^)), где ej := (j)fceN, j £ N. Поскольку оператор к : ^ непрерывен, для любого n £ N существуют k £ N, B < то такие, что

Рп(к(с)) ^ Bqk(c), c £ При c := ej) получим

(1±итм<

sup-тт , ,- ^ -D--, j € л.

z6c exp HG(z) exp HG(Aj)

Следовательно,

l/i(*)l < l'> ((1+ - ^C, j£N. (2)

Так как для всякой последовательности c £ Kряд ^jgN Cje(j) сходится абсолютно в (к c), то для любой функции / £ A-^

/ = к(Д(/)) = к( £ / (Л, )е0-Л = £ / (Л; )к(еу) ) = £ / (Л;)/, (3)

причем последний ряд сходится абсолютно в Зафиксируем г £ С и положим

Т*(/)(^):= £(г)(г - Л;)/(Л;), / £ ^ £ С,

где := . В силу того, что ряд, стоящий в правой части последнего равен-

ства, равномерно сходится на компактах в С (по оператор Тг линейно и (по теореме Банаха — Штейнгауза) непрерывно отображает в А(С). Пусть М — оператор умножения на независимую переменную: М(/)(Ь) := Ь/(Ь), Ь £ С, / £ Покажем, что М о Тг = Тг о М. Учитывая равенство (3), получим

^Т*(/- Тг(М(/))(^) = £ (г)(г - Л;)/(Л;)

- £ (г)(г - Л;)Л;/(Л;) = ад £ /;(г)(г - Л;)/(Л;)

= £ /; (г)/(Л;) - £ /; (г)Л;/(Л;)] = ¿(^)(г/(г) - г/(г)) = 0.

По [8, лемма 1.7] для любого г £ С существует целая функция а, такая, что для любых

/ £ и и £ С

а,

ы/(и) = Т*(/)(и) = £ Ь3(г)(г - Л,)/(Л,). (4)

Положим := а,(и), г, и £ С. Так как ряд (4) сходится в А(по г), то для

всякого и £ С функция целая в С (по г), и, следовательно, £ А(С2).

Покажем, что |ф| удовлетворяет оценкам сверху в (И). Зафиксируем п £ N. Найдутся то £ N и постоянная Б\ такие, что

(и)| < В ехр(Яс(и) + ЯкЫ + то log(1 + И)), 3 £ N и £ С. (5)

Из равенства (4) следует, что для любых г, и £ С

д(г,и)ем = ^(г)(г - Лд)ел3., (6)

дем

причем последний ряд сходится в По [18, лемма 2] существует В < то такое,

что

ехрЯс(А) ехрЯс(А)

52(1 + |Л|)^ <||еА||^<В2(1 + |Л|)^' А€С' (7)

где к выбрано по п, как в неравенстве (2). Тогда, с учетом (2), (5)-(7),

|д(г,^)| ||ем||к+з < ^ (и)| |/(г)|(|г| + |Лд|)||ел,- ||к+з < ВДВ ^ехр(Яс(^)

дем дем

+ Як(и) + то log(1 + И) + к log(1 + |Лд|) - пlog(1 + |г|) + Яс(г) - Яс(Лд) + Яс(Лд) - (к + 3) log(1 + |Лд|) + log(1 + |г|) + + |Лд |)) = ВВ1В2В3 ехр(Яс(^) + Як (и) + то log(1 + |и|) - (п - 1) log(1 + |г|) + Яс(г)),

где В3 := + |Лд|)-2 < то. Вследствие (7) для любых г, и £ С

|д(г,и)| < ВВ1В|Вз ехр(Яс(г) + Як (и) -(п - 1) log(1 + |г|) + (то + к + 3) log(1 + |и|)).

Значит, функция д удовлетворяет оценкам сверху в (И). Отсюда следует, что ■)/ £ А^^к для любой функции / £ и произвольного г £ С.

Покажем, что г) = Ь(г), г £ С. Возьмем функцию / £ такую, что /(Лд) = 1. Из (4) следует, что Лд) = ¿'(Лд)(г - Лд)/ (г), 3 £ N г £ С. По лемме 2 для / £

ВДДг) = ^ГОД/^ДА,) = =

дем дем Ь (Лд )(г - Л)

Поэтому д(г,г) = Ь(г), г £ С. Таким образом, функция д удовлетворят условиям в (И).

При доказательстве леммы 3 мы будем использовать приводимое ниже следствие (доказательства) теоремы [12, теорема 4.4.3].

Теорема 2. Пусть V — плюрисубгармоническая функция в С2, £ — комплексная одномерная плоскость в С2. Для любой аналитической функции / на £, для которой

fs |f |2 exp(-v)da < ж (da обозначаем меру Лебега на £), существует целая в C2 функция F такая, что F = f на £ и

J |F|2(1 + |z|)-3 exp(-vi)dA < C^ |f |2 exp(-v) da,

с2 s

где v1(z) := sup^ v(z +t), z G C2, dA — мера Лебега в C2, |t| := (|t112 + |t2|2)1/2, t G C2, константа C не зависит от f.

Лемма 3. Следующие условия равносильны:

(I) Существует функция Q, такая как в (ii) теоремы 5.

(II) Существует плюрисубгармоническая в C2 функция P такая, что P(z, z) ^ Hg(z) + Hk (z), z G C, и для любого n существуют m и C < ж такие, что

P(z, < Hg(z) + Hk(u) - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + H) + C, z, ^ G C.

(III) Существуют субгармонические в C функции ut, vt, t G C, такие, что ut (t) ^ 0, vt(t) ^ 0, t G C, и для любого n существуют m и C < ж такие, что

(a) ut(z) ^ HG(z) - HG(t) - n log(1 + |z|) + m log(1 + |t|) + C, z,t G C;

(b) vt(u) < HkЫ - Hk(t) - nlog(1 + |t|) + mlog(1 + H) + C, t G C. < (II) ^ (III): Положим

ut(z) := P(z,t) - P(t,t), vt(^) := P(t,^) - P(t,t), z,^,t G C.

(III) ^ (II): Пусть

Po(z,^) :=sup(ut(z) + vt(^) + Hk(t) + Hk(t)), z,^ G C.

tec

Поскольку ut(t) ^ 0, vt(t) ^ 0, выполняется неравенство P0(z,z) ^ HG(z) + HK(z), z G C. Зафиксируем n G N. Существуют k = k(n), m = m(k), C1 = C1(n) < ж, C2 = C2(k) < ж такие, что

ut(z) < HG(z) - HG(t) - nlog(1 + |z|) + k log(1 + |t|) + C1, z, t G C,

и

vtM < Hk(u) - Hk(t) - k log(1 + |t|) + mlog(1 + H) + C2, t G C.

Поэтому

Po(z, < Hg(z) + Hk(u) - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + H) + C1 + C2, z, ^ G C.

В качестве P можно взять полунепрерывную сверху регуляризацию P0 функции Po.

(I) ^ (II): Пусть функция Q G A(C2) удовлетворяет условиям в (ii) теоремы 1. Тогда плюрисубгармоническая в C2 функция log |Q| удовлетворяет оценкам сверху в (ii). В силу [13, замечание 1.3] существуют p0 G N и последовательность (попарно непересекающихся) кругов Bk := {z G C : |z - < ru}, — ж, rk < ж, такие, что

те

log |L(z)| ^ HG(z) + Hk(z) - po log(1 + |z|), z G B := [J Bk.

k=1

Заметим, что существует A > 0 такое, что

Hg(z) + Hk(z) < inf (Hg(z + t) + Hk(z + t)) + A, z G C.

Положим

Pi(z,^) := sup log |Q(z + hi+ )| + po log(1 + |z|), z,jU G C.

Функция Pi плюрисубгармоническая в C2 и удовлетворяет оценкам сверху из (ii).

Поскольку £~i rk < ж, то существует число R > 0 со следующим свойством: если |z| ^ R, то найдется wz G C такое, что |wz — z| < 1 и wz G B, а значит,

log |L(wz)| ^ HG(wz) + Hk(wz) — po log(1 + |wz|).

Поэтому, если |z| ^ R, то

Pi(z,z) ^ sup (log |L(z +t)| + po log(1 + |z + t|)) |t|<i

^ log |L(wz )| + Po log(1 + |wz |) ^ Hg(wz ) + Hk (wz ) ^ Hg(z) + Hk (z) — A.

Заметим, что B := inf |z|^R Pi(z, z) > —ж и C := sup|z|^R(HG(z) + HK(z)) < ж. Поэтому плюрисубгармоническая в

C2 функция P := Pi + A + |C — B| удовлетворяет

условиям в (II).

(II) ^ (I): Пусть S := {(z,z) : z G C}; m0 G N и M < ж таковы, что |L(z)| ^ Mexp(Hg(z) + HK(z) + m0log(1 + |z|)), z G C. По теореме 2, примененной к функциям f = L, v(z, = 2P(z, ^) + (2m0+3)log(1 + |z|), z, ^ G C, существует целая в C2 функция Q со свойствами, как в (II). (При этом используется стандартная процедура перехода от интегральных оценок к равномерным.) >

Лемма 4. Для любой ограниченной выпуклой области G С C существуют субгармонические в C функции щ, t G C, такие, как в (III) леммы 3.

< Без ограничения общности можно считать, что 0 G G. Тогда существуют а, в > 0 такие, что a|z| ^ HG(z) ^ в|z|, z G C. Пусть |t| ^ 1. Положим

ut(z) ■= (l ~ l0g(^| ) (HG(z) - Hq(t)), z G C.

Функции ut субгармонические в C и ut(t) = 0. Возьмем n G N. Имеем

Ut(z) = ЯG(Z) - Hait) - + ^^tfG(i)

M rr (Л log(l + |t|) , log(l + Kl) ^ HG(z) - HG(t)--щ-a\z\ H--щ-f3\t\

= HG(z) - HG(t) - l0g(^| Щ) a\z\ + /3 log(l + |i|)

= Hg(z) — HG(t) — nlog(1 + |z|) + (n + в) log(1 + |t|) + g(z, t),

N 1*1

где g(z,t) =nlog(l + |z|) - nlog(l + |i|) - al4 log(l + |i|), z G C.

Для любых t G C, |t| ^ 1, z G C

1 + |z| |z|

ТТЩ^ +w

z i z \ z

g(z,t) =nlog(l + |z|)-nlog(l + |i|)-a^log(l + |i|) ^nlog ( 1 + ^ ) ~a\f\l°S2'

и

Поэтому существует постоянная О такая, что д(г,Ь) ^ О для любых Ь £ С, |Ь| ^ 1, и г £ С. Если |Ь| < 1, то положим и* = 0. Возьмем т £ N так, чтобы т ^ п + в. Тогда найдется постоянная О1 , для которой

и*(г) < Яс(г) - ЯС(Ь) - пlog(1 + |Ь|) + тlog(1 + |Ь|) + О1

для любых Ь, г £ С. >

Лемма 5. Следующие утверждения эквивалентны:

(I) Существуют субгармонические функции V*, Ь £ С, такие, что V* (Ь) ^ 0 и для любого п существуют к и О < то такие, что

V* (г) < Як (г) - Як (Ь) + ^(1 + |г|) - nlog(1 + |Ь|) + О, г, Ь £ С.

(II) Компакт К отличен от точки.

< (I) ^ (II): Пусть существует семейство субгармонических функций V*, Ь £ С, как в (I). Предположим, что компакт К совпадает с точкой адо. Функция Як (г) = Яе(гадо), г £ С, является гармонической в С. Тогда субгармонические в С функции ^(г) := ш(г) - Як(г) + Як(Ь), г £ С, удовлетворяют следующим условиям: г>*(Ь) ^ 0, Ь £ С, и для любого п существуют к и О < то такие, что

г5*(Ь) < к log(1 + |г|) - п log(1 + |Ь|) + О, г £ С.

Согласно доказательству теоремы 2.6 из [17, с. 374] такого семейства функций г*, Ь £ С, не существует. Получено противоречие.

(II) ^ (I): Пусть компакт К отличен от точки. Если Щ К = 0, то семейство функций V*, Ь £ С, как в (I), существует ввиду [16, лемма 4.10, см. также ее доказательство]. Если же Ш К = 0, то семейство V*£ С, как в (I), существует согласно [20, с. 21, доказательство замечания 3.10]. >

Из теоремы 1 и лемм 3-5 вытекает основной результат работы.

Теорема 3. Оператор представления П : — имеет линейный непре-

рывный правый обратный тогда и только тогда, когда выпуклый компакт К отличен от точки.

Авторы выражают признательность проф. А. В. Абанину за ценные замечания.

Литература

1. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: теория и приложения.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.—336 с.—(Итоги науки. ЮФО. Мат. монография. Вып. 1).

2. Коробейник Ю. Ф, Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн.—1993.—Т. 34.—С. 70-84.

3. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: Гостехиздат, 1956.—632 с.

4. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1976.—536 с.

5. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах // Мат. заметки.—1986.—Т. 39, № 6.—С. 877-886.

6. Мелихов С. Н. Нетривиальные разложения нуля и представительные подпространства // Изв. вузов. Математика.—1990.—№ 8.—С. 53-65.

7. Мелихов С. Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Мат. сб.—2000.— Т. 191, № 7.—С. 105-128.

8. Мелихов С. Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ.—2002.—Т. 14, вып. 1.—С. 99-133.

9. Мелихов С. Н. Выпуклые конформные отображения и правые обратные к оператору представления рядами экспонент // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 14.: материалы междунар. науч. конф. (Казань, 18-24 марта 2002 г.).—Казань: Казанское математическое общество.—2002.— С. 213-227.

10. Муллаев М. Ю. Ряды Дирихле для пространства HTO(D) // Проблемы аппроксимации функций комплексного и действительного переменного.—Уфа, 1983.—С. 120-129.

11. Райков Д. А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Тр. семинара по функц. анализу.—Воронеж, 1957.—№ 5.—С. 22-34.

12. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных.—М.: Мир, 1968.—280 с.

13. Abanin A. V., Ishimura R., Le Hai Khoi. Surjectivity criteria for convolution operators in // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I.—2010.—Vol. 348.—P. 253-256.

14. Abanin A. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for // J. Approx. Theory.—2011.—Vol. 163, № 10.—P. 1534-1545.

15. Bierstedt K.-D., Meise R., Summers W. H. Kothe sets and Kothe sequence spaces // Funcional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory (Rio de Janeiro, 1980).—Amsterdam: North-Holland Math. Stud., 1982.—Vol. 71.-P. 27-91.

16. Langenbruch M. The splitting conditions for the weghted Э-complex // Results Math.—1992.—Vol. 22.— P. 560-597.

17. Melikhov S. N. Generalized Fourier expansions for distribution and ultradistribution // Revista Math. Compl.—1999.—Vol. 12, № 2.—P. 349-379.

18. Melikhov S. N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation // Math. Anal. Appl.—2004.—Vol. 297.—P. 577-586.

19. Melikhov S. N., Momm S. On the expansions of analytic functions on convex locally closed sets in exponential series // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, вып. 1.—С. 44-58.

20. Momm S. An extremal plurisubharmonic funcion associated Green function with pole at infinity // J. Reine Angew. Math.—1996.—Vol. 471.—P. 139-163.

Статья поступила 19 июля 2011 г. Варзиев Владислав Аликович

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, младший научный сотрудник лаб. комплексного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]

Мелихов Сергей Николаевич

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, заведующий лаб. комплексного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет,

профессор кафедры теории функций и функц. анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: [email protected]

ON COEFFICIENTS OF EXPONENTIAL SERIES FOR ANALYTIC FUNCTIONS OF POLYNOMIAL GROWTH

Varziev V. A., Melikhov S. N.

In this article a criterion is obtained that the operator of the representation of analytic functions on a bounded convex domain G of polynomial growth near the boundary of G by exponential series, exponents of which are zeroes of a special entire function, has a continuous linear right inverse.

Key words: exponential series, analytic functions of polynomial growth, representation operator, continuous linear right inverse.