Научная статья на тему 'О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста'

О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
60
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
РЯДЫ ЭКСПОНЕНТ / АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА / ОПЕРАТОР ПРЕДСТАВЛЕНИЯ / ЛИНЕЙНЫЙ НЕПРЕРЫВНЫЙ ПРАВЫЙ ОБРАТНЫЙ. / EXPONENTIAL SERIES / ANALYTIC FUNCTIONS OF POLYNOMIAL GROWTH / REPRESENTATION OPERATOR / CONTINUOUS LINEAR RIGHT INVERSE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Варзиев Владислав Аликович, Мелихов Сергей Николаевич

В работе доказан критерий того, что оператор представления рядами экспонент аналитических в выпуклой ограниченной области~$G$ функций полиномиального роста вблизи границы $G$ имеет линейный непрерывный правый обратный. Показателями рассматриваемых рядов экспонент являются нули специальной целой функции.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Варзиев Владислав Аликович, Мелихов Сергей Николаевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On coefficients of exponential series for analytic functions of polynomial growth

In this article a criterion is obtained that the operator of the representation of analytic functions on a bounded convex domain $G$ of polynomial growth near the boundary of $G$ by exponential series, exponents of which are zeroes of a special entire function, has a continuous linear right inverse.

Текст научной работы на тему «О коэффициентах рядов экспонент для аналитических функций полиномиального роста»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 4, С. 18-27

УДК 517.9

О КОЭФФИЦИЕНТАХ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА

В. А. Варзиев, С. Н. Мелихов

В работе доказан критерий того, что оператор представления рядами экспонент аналитических в выпуклой ограниченной области С функций полиномиального роста вблизи границы С имеет линейный непрерывный правый обратный. Показателями рассматриваемых рядов экспонент являются нули специальной целой функции.

Ключевые слова: ряды экспонент, аналитические функции полиномиального роста, оператор представления, линейный непрерывный правый обратный.

В настоящей работе идет речь о линейной непрерывной зависимости коэффициентов разложений в ряды экспонент функций /, аналитических в ограниченной выпуклой (плоской) области О и полиномиального роста вблизи ее границы, от /. Показателями рассматриваемых рядов экспонент являются нули специальной целой функции, рост которой определяется опорными функциями области О и некоторого выпуклого компакта К. В терминах теории операторов решаемая задача является проблемой существования линейного непрерывного правого обратного (коротко: правого обратного) к соответствующему оператору представления рядами экспонент. Для функций, аналитических в выпуклой ограниченной области С (без ограничений на их рост) эта «проблема коэффициентов» решена в статьях [2, 7]. В статье [9] эта задача решена для функций, аналитических в некоторой окрестности ограниченного выпуклого множества с непустой внутренностью, обладающего счетным базисом окрестностей, состоящим из выпуклых областей, а в [19] — для функций, аналитических в окрестности ограниченного выпуклого локального замкнутого множества. В упомянутых выше работах [2, 7, 9, 19] критерии существования правого обратного к оператору представления получены в терминах комформных отображений, и существование правого обратного к оператору представления существенно зависит от геометрических свойств границ соответствующих множеств. Постановка решаемой здесь задачи аналогична той, которая дана в [2, 7, 9, 19]. Для выпуклого компакта К в С мы фиксируем минимальную (в смысле работы [14]) абсолютно представляющую систему (АПС) экспонент в пространстве + К) функций, ана-

литических в О + К и полиномиального роста вблизи границы О + К, и выясняем, как эта «добавка» влияет на существование правого обратного к оператору представления функций из А-те(О). Показано (теорема 3), что оператор представления имеет правый обратный тогда и только тогда, когда компакт К отличен от точки. Таким образом, для минимальной АПС экспонент в А-те(О), т. е. когда К — точка, оператор представления не имеет правого обратного, а любая «экспоненциальная добавка» к ней (с помощью отличного от точки выпуклого компакта К) приводит к его существованию.

© 2011 Варзиев В. А., Мелихов С. Н.

Пусть О — ограниченная выпуклая область в С, ^с(-г) := И^с\о — ¿\, £ € О. Для каждого п € N введем банахово пространство

А-п(О):={ / € А(О) : ||/1|„ := зпр \/(г)\(ёс(г))п < ж} ^ гео )

и положим А те(О) := тёп^А П(С). Для ограниченного множества М С С через Нм обозначим опорную функцию М:

Нм(г) := вир И,е(2^), £ € С. Í6 м

Пусть

:= {/ е ^(С) : Рп(Л = 8ПР (1 + 1у Я*)1 < оо (Уп £ М) I гб€ ехР Н0(£)

Естественная топология, в которой Ао^ является пространством Фреше, задается системой преднорм рп, п € N.

Положим вл (г) := ехр(Аг), А, £ € С. Для локально выпуклого пространства Е символ Е' обозначает топологическое сопряженное к Е. Согласно [18, теорема 4] преобразование Лапласа &(^>)(А) := </?(А) := ^>(вл), А € С, ^ € А-те(О)', является линейным топологическим изоморфизмом сильного сопряженного А-те(О)в к пространству А-те(О) на А^ ■ Пусть М — ограниченная выпуклая область в С. Для последовательности Аj € С, ] € N, для каждого п € N определим банахово пространство числовых последовательностей

Л-(М) := {с = с С : |с|„ = £ < с»},

и положим А-те(М) := шёп^Л-п(М).

Поскольку А-те(М) — (БРВ)-пространство [18, замечание 1], то согласно [11] А-те(М) является регулярным индуктивным пределом. По [5, теорема 5] ряд ^- Cjв\j сходится абсолютно в А-те(М) тогда и только тогда, когда существует п € N такое, что ряд £1 Cjвл^. абсолютно сходится в А-П(М). Согласно [18, лемма 2] для любого п € N найдется С < ж, для которого

ехрЯм(А) ехрЯм(А)

С(1 + |Л|)» <Ы»<С (1 + |л|)п , А ЕС.

Поэтому Л-те(М) является пространством всех тех и только тех последовательностей с = (с/ ^'ем, для которых ряд ^Cjв\. абсолютно сходится в А-те(М). Оператор представления П(с) := ^1 Cjвл^. линейно и непрерывно отображает Л-те(М) в А-те(М).

Система (вл3. называется абсолютно представляющей системой (АПС) в А-те(М), если оператор представления П : Л-те(М) ^ А-те(М) сюръективен, т. е. если каждая функция / € А-те(М) [1] может быть разложена в ряд экспонент / = ^°=1 с/вл.,-, который абсолютно сходится (к /) в А-те(М).

Для ограниченного выпуклого множества М С С положим

: (ЗпеМ) |7|„ := йпр -——¡М!-—- < ос I гес (1 + ИГ ехр Нм (г)

В А^ вводится естественная топология (ЬБ)-пространства.

Пусть K — выпуклый компакт в C, ß — аналитический функционал на C (т. е. ß £ A(C)') такой, что ß £ A^. Оператор свертки Tß определяется следующим образом [13]:

ТД/)(z):= ßt(f (t + z)), z £ G, / £ A-~(G + K).

Оператор Tß линейно и непрерывно отображает A-(^(G + K) в A-(^(G) [13]. Кроме того, Тм(ед) = ß(A)eA для любого А £ C.

Из [1, теорема 3.1], с учетом того, что по [13] существует сюръективный оператор свертки Tß : A-~(G + K) ^ A-~(G), вытекает

Лемма 1. Пусть K — выпуклый компакт в C. Если (ед. )j6N — АПС в A-^ (G + K), то (ед.) j 6N — АПС ив A-~ (G).

Всюду далее K — выпуклый компакт в C, а функция L £ A£?+k удовлетворяет следующим условиям, введенным в [14]:

(L1) Существуют p0 £ N и последовательность Rk > 0, k £ N, Rk T такие, что

log |L(А)| ^ ЯС(А) + Hk(А) - po log(1 + |А|), |А| = Rk, k £ N.

(L2) (А^ )jgN — последовательность всех (попарно различных) нулей L, каждый нуль Аj простой и

liminf ^'(Xk)\- HG(X3) -HK{X3) j— log(1 + |Аj |)

Замечание 1. (a) Согласно [14, теорема 1.2] (eAj jN — АПС в A-^(G + K). (б) Пусть A°°(G + К) — пространство Фреше всех аналитических в G + К функций, бесконечно дифференцируемых на G + К (G + К — замыкание G+K в С). Согласно [10] (см. также [20, замечание 3.10]) F — линейный топологический изоморфизм сильного сопряженного A°°(G + KYß к A°°(G + К) на А<£+к. Пусть функционалы щ £ A°°(G + K)'

таковы, что 0j(z) = V{X^){L разлагается в ряд экспонент

таковы, что 0j{z) = L/^L)(z-\ ■)' 3 е Согласно [6] каждая функция / £ A°°{G + K)

3 = 1

абсолютно сходящийся в ). Отсюда и из [18, теорема 5] следует, что (вл^ —

АПС в + К), а значит, по лемме 1 и в

Определим пространство последовательностей

■■= {с = (c)ieN £ С : (Vn G N) qn{c) := sup + |Ajl)

ieN exP HG (Аj)

n

и снабдим его естественной топологией пространства Фреше. Согласно [15, теорема 4.7] и — монтелевские, а значит, и рефлексивные локально выпуклые про-

странства. В силу [15, следствие 2.8] сильное сопряженное к Л-1^^) пространство посредством отображения ф ^ (Ф(в(з)))3'ем, где в(3-) := )&6м, ] £ Н, а — символ Кронекера, можно отождествить с При таком отождествлении двойственность

между и задается билинейной формой (с, й) := сз, с £

й £ Если сопряженное к отождествить таким образом с а со-

пряженное к (посредством преобразования Лапласа) — с то оператор

Д(/) := (/(Аз ))зем, / £ является сопряженным к оператору представления П и

линейно и непрерывно отображает пространство в

Замечание 2. Поскольку и А-те(С) — (БРВ)-пространства, то оператор

П : Л-<х(0) ^ А-<Х(С) имеет линейный непрерывный правый обратный тогда и только тогда, когда оператор К : А'—х ^ К^^ имеет линейный непрерывный левый обратный.

Следующая лемма доказывается стандартным образом (см., например, [3, Гл. IV, §4], [4, Гл. IV, §6], [8, лемма 1.4]).

Лемма 2. Для любой функции / £ А—+к справедливо разложение

ад

где ряд равномерно сходится на компактах в C.

Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:

(i) Оператор П : Л-™(С) ^ A-™(G) имеет линейный непрерывный правый обратный.

(ii) Существует функция Q £ A(C2) такая, что Q(z, z) = L(z), z £ C, и для любого n существуют m и C > 0 такие, что

|Q(z,^)| ^ Cexp (HG(z) + HkЫ - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + H)), z, ^ £ C.

< Мы воспользуемся методом, примененным в [8] при доказательстве теоремы 1.8. В [8] он использован в случае, когда оператор R определен на индуктивном пределе последовательности весовых банаховых пространств целых функций.

(ii) (i): Стандартным образом, применяя принцип максимума модуля к целым функциям Qj(z) := ■) и учитывая оценки сверху для |<3| в (И) и оценки сни-

зу (L2) для |L'(Aj)|, существуют s, C2 > 0, для которых для любого n найдутся m и Ci > 0 такие, что

< С\ exp(HG(z) + HK(\j) -nlog(l + \z\) + mlog(l + |A3-|)) ' ' C*2 exp(^G(Aj) + Hx{\j) — slog(l + |Aj|))

_ Ci(l + expHg(z)

C2(l + N)™exptfG(A,) ' *€<L"

Из неравенства (1) следует, что Qj £ A—™, j £ N.

Покажем, что для любого c £ Kряд XjeN cjQj абсолютно сходится в Ag . Зафиксируем n £ N и выберем s, m, C1, C2, как в (1). Тогда

PniQi) = sup < T- еХР + ^ + lAi I) - Hg■

z6c exp Hg(z) C2

Поэтому для любого c £ KG™

E i Фп{Яо) < Щ- E icii exp +log(! + i<M) - HG(\j))

jeN 2 jeN

Ci | | // , , „ч ! /-, , | Л ,ч /-, , |Л ,ч тт /л ч\ , Ci C3

< Е ехР ((га + 5 + 2)+ I'M) - 2 + 1^-1) - )) <

2 jeN 2

где С3 := Ei6N (I+p^ < 00•

Таким образом, ряд XjgN cjQj сходится в A—(X для любой последовательности c £

и линейный оператор к(с) := jgN CjQj непрерывно отображает К-1^ в Покажем, что к — левый обратный к R. Отметим, что Q(z, ■)/ £ A—для всякой функции / £ и произвольного z £ C. Поэтому по лемме 2 для любых / £

z £ C

= £ 77—ТТРТТТ^^' = Q& ММ = LMfi*) j^N(z - Aj)L (Aj)

Отсюда следует, что k(R(/)) = /, / £ A^.

(i) (ii): По замечанию 2 существует линейный непрерывный левый обратный к к оператору R. Положим / := к(е^)), где ej := (j)fceN, j £ N. Поскольку оператор к : ^ непрерывен, для любого n £ N существуют k £ N, B < то такие, что

Рп(к(с)) ^ Bqk(c), c £ При c := ej) получим

(1±итм<

sup-тт , ,- ^ -D--, j € л.

z6c exp HG(z) exp HG(Aj)

Следовательно,

l/i(*)l < l'> ((1+ - ^C, j£N. (2)

Так как для всякой последовательности c £ Kряд ^jgN Cje(j) сходится абсолютно в (к c), то для любой функции / £ A-^

/ = к(Д(/)) = к( £ / (Л, )е0-Л = £ / (Л; )к(еу) ) = £ / (Л;)/, (3)

причем последний ряд сходится абсолютно в Зафиксируем г £ С и положим

Т*(/)(^):= £(г)(г - Л;)/(Л;), / £ ^ £ С,

где := . В силу того, что ряд, стоящий в правой части последнего равен-

ства, равномерно сходится на компактах в С (по оператор Тг линейно и (по теореме Банаха — Штейнгауза) непрерывно отображает в А(С). Пусть М — оператор умножения на независимую переменную: М(/)(Ь) := Ь/(Ь), Ь £ С, / £ Покажем, что М о Тг = Тг о М. Учитывая равенство (3), получим

^Т*(/- Тг(М(/))(^) = £ (г)(г - Л;)/(Л;)

- £ (г)(г - Л;)Л;/(Л;) = ад £ /;(г)(г - Л;)/(Л;)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

= £ /; (г)/(Л;) - £ /; (г)Л;/(Л;)] = ¿(^)(г/(г) - г/(г)) = 0.

По [8, лемма 1.7] для любого г £ С существует целая функция а, такая, что для любых

/ £ и и £ С

а,

ы/(и) = Т*(/)(и) = £ Ь3(г)(г - Л,)/(Л,). (4)

Положим := а,(и), г, и £ С. Так как ряд (4) сходится в А(по г), то для

всякого и £ С функция целая в С (по г), и, следовательно, £ А(С2).

Покажем, что |ф| удовлетворяет оценкам сверху в (И). Зафиксируем п £ N. Найдутся то £ N и постоянная Б\ такие, что

(и)| < В ехр(Яс(и) + ЯкЫ + то log(1 + И)), 3 £ N и £ С. (5)

Из равенства (4) следует, что для любых г, и £ С

д(г,и)ем = ^(г)(г - Лд)ел3., (6)

дем

причем последний ряд сходится в По [18, лемма 2] существует В < то такое,

что

ехрЯс(А) ехрЯс(А)

52(1 + |Л|)^ <||еА||^<В2(1 + |Л|)^' А€С' (7)

где к выбрано по п, как в неравенстве (2). Тогда, с учетом (2), (5)-(7),

|д(г,^)| ||ем||к+з < ^ (и)| |/(г)|(|г| + |Лд|)||ел,- ||к+з < ВДВ ^ехр(Яс(^)

дем дем

+ Як(и) + то log(1 + И) + к log(1 + |Лд|) - пlog(1 + |г|) + Яс(г) - Яс(Лд) + Яс(Лд) - (к + 3) log(1 + |Лд|) + log(1 + |г|) + + |Лд |)) = ВВ1В2В3 ехр(Яс(^) + Як (и) + то log(1 + |и|) - (п - 1) log(1 + |г|) + Яс(г)),

где В3 := + |Лд|)-2 < то. Вследствие (7) для любых г, и £ С

|д(г,и)| < ВВ1В|Вз ехр(Яс(г) + Як (и) -(п - 1) log(1 + |г|) + (то + к + 3) log(1 + |и|)).

Значит, функция д удовлетворяет оценкам сверху в (И). Отсюда следует, что ■)/ £ А^^к для любой функции / £ и произвольного г £ С.

Покажем, что г) = Ь(г), г £ С. Возьмем функцию / £ такую, что /(Лд) = 1. Из (4) следует, что Лд) = ¿'(Лд)(г - Лд)/ (г), 3 £ N г £ С. По лемме 2 для / £

ВДДг) = ^ГОД/^ДА,) = =

дем дем Ь (Лд )(г - Л)

Поэтому д(г,г) = Ь(г), г £ С. Таким образом, функция д удовлетворят условиям в (И).

При доказательстве леммы 3 мы будем использовать приводимое ниже следствие (доказательства) теоремы [12, теорема 4.4.3].

Теорема 2. Пусть V — плюрисубгармоническая функция в С2, £ — комплексная одномерная плоскость в С2. Для любой аналитической функции / на £, для которой

fs |f |2 exp(-v)da < ж (da обозначаем меру Лебега на £), существует целая в C2 функция F такая, что F = f на £ и

J |F|2(1 + |z|)-3 exp(-vi)dA < C^ |f |2 exp(-v) da,

с2 s

где v1(z) := sup^ v(z +t), z G C2, dA — мера Лебега в C2, |t| := (|t112 + |t2|2)1/2, t G C2, константа C не зависит от f.

Лемма 3. Следующие условия равносильны:

(I) Существует функция Q, такая как в (ii) теоремы 5.

(II) Существует плюрисубгармоническая в C2 функция P такая, что P(z, z) ^ Hg(z) + Hk (z), z G C, и для любого n существуют m и C < ж такие, что

P(z, < Hg(z) + Hk(u) - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + H) + C, z, ^ G C.

(III) Существуют субгармонические в C функции ut, vt, t G C, такие, что ut (t) ^ 0, vt(t) ^ 0, t G C, и для любого n существуют m и C < ж такие, что

(a) ut(z) ^ HG(z) - HG(t) - n log(1 + |z|) + m log(1 + |t|) + C, z,t G C;

(b) vt(u) < HkЫ - Hk(t) - nlog(1 + |t|) + mlog(1 + H) + C, t G C. < (II) ^ (III): Положим

ut(z) := P(z,t) - P(t,t), vt(^) := P(t,^) - P(t,t), z,^,t G C.

(III) ^ (II): Пусть

Po(z,^) :=sup(ut(z) + vt(^) + Hk(t) + Hk(t)), z,^ G C.

tec

Поскольку ut(t) ^ 0, vt(t) ^ 0, выполняется неравенство P0(z,z) ^ HG(z) + HK(z), z G C. Зафиксируем n G N. Существуют k = k(n), m = m(k), C1 = C1(n) < ж, C2 = C2(k) < ж такие, что

ut(z) < HG(z) - HG(t) - nlog(1 + |z|) + k log(1 + |t|) + C1, z, t G C,

и

vtM < Hk(u) - Hk(t) - k log(1 + |t|) + mlog(1 + H) + C2, t G C.

Поэтому

Po(z, < Hg(z) + Hk(u) - nlog(1 + |z|) + mlog(1 + H) + C1 + C2, z, ^ G C.

В качестве P можно взять полунепрерывную сверху регуляризацию P0 функции Po.

(I) ^ (II): Пусть функция Q G A(C2) удовлетворяет условиям в (ii) теоремы 1. Тогда плюрисубгармоническая в C2 функция log |Q| удовлетворяет оценкам сверху в (ii). В силу [13, замечание 1.3] существуют p0 G N и последовательность (попарно непересекающихся) кругов Bk := {z G C : |z - < ru}, — ж, rk < ж, такие, что

те

log |L(z)| ^ HG(z) + Hk(z) - po log(1 + |z|), z G B := [J Bk.

k=1

Заметим, что существует A > 0 такое, что

Hg(z) + Hk(z) < inf (Hg(z + t) + Hk(z + t)) + A, z G C.

Положим

Pi(z,^) := sup log |Q(z + hi+ )| + po log(1 + |z|), z,jU G C.

Функция Pi плюрисубгармоническая в C2 и удовлетворяет оценкам сверху из (ii).

Поскольку £~i rk < ж, то существует число R > 0 со следующим свойством: если |z| ^ R, то найдется wz G C такое, что |wz — z| < 1 и wz G B, а значит,

log |L(wz)| ^ HG(wz) + Hk(wz) — po log(1 + |wz|).

Поэтому, если |z| ^ R, то

Pi(z,z) ^ sup (log |L(z +t)| + po log(1 + |z + t|)) |t|<i

^ log |L(wz )| + Po log(1 + |wz |) ^ Hg(wz ) + Hk (wz ) ^ Hg(z) + Hk (z) — A.

Заметим, что B := inf |z|^R Pi(z, z) > —ж и C := sup|z|^R(HG(z) + HK(z)) < ж. Поэтому плюрисубгармоническая в

C2 функция P := Pi + A + |C — B| удовлетворяет

условиям в (II).

(II) ^ (I): Пусть S := {(z,z) : z G C}; m0 G N и M < ж таковы, что |L(z)| ^ Mexp(Hg(z) + HK(z) + m0log(1 + |z|)), z G C. По теореме 2, примененной к функциям f = L, v(z, = 2P(z, ^) + (2m0+3)log(1 + |z|), z, ^ G C, существует целая в C2 функция Q со свойствами, как в (II). (При этом используется стандартная процедура перехода от интегральных оценок к равномерным.) >

Лемма 4. Для любой ограниченной выпуклой области G С C существуют субгармонические в C функции щ, t G C, такие, как в (III) леммы 3.

< Без ограничения общности можно считать, что 0 G G. Тогда существуют а, в > 0 такие, что a|z| ^ HG(z) ^ в|z|, z G C. Пусть |t| ^ 1. Положим

ut(z) ■= (l ~ l0g(^| ) (HG(z) - Hq(t)), z G C.

Функции ut субгармонические в C и ut(t) = 0. Возьмем n G N. Имеем

Ut(z) = ЯG(Z) - Hait) - + ^^tfG(i)

M rr (Л log(l + |t|) , log(l + Kl) ^ HG(z) - HG(t)--щ-a\z\ H--щ-f3\t\

= HG(z) - HG(t) - l0g(^| Щ) a\z\ + /3 log(l + |i|)

= Hg(z) — HG(t) — nlog(1 + |z|) + (n + в) log(1 + |t|) + g(z, t),

N 1*1

где g(z,t) =nlog(l + |z|) - nlog(l + |i|) - al4 log(l + |i|), z G C.

Для любых t G C, |t| ^ 1, z G C

1 + |z| |z|

ТТЩ^ +w

z i z \ z

g(z,t) =nlog(l + |z|)-nlog(l + |i|)-a^log(l + |i|) ^nlog ( 1 + ^ ) ~a\f\l°S2'

и

Поэтому существует постоянная О такая, что д(г,Ь) ^ О для любых Ь £ С, |Ь| ^ 1, и г £ С. Если |Ь| < 1, то положим и* = 0. Возьмем т £ N так, чтобы т ^ п + в. Тогда найдется постоянная О1 , для которой

и*(г) < Яс(г) - ЯС(Ь) - пlog(1 + |Ь|) + тlog(1 + |Ь|) + О1

для любых Ь, г £ С. >

Лемма 5. Следующие утверждения эквивалентны:

(I) Существуют субгармонические функции V*, Ь £ С, такие, что V* (Ь) ^ 0 и для любого п существуют к и О < то такие, что

V* (г) < Як (г) - Як (Ь) + ^(1 + |г|) - nlog(1 + |Ь|) + О, г, Ь £ С.

(II) Компакт К отличен от точки.

< (I) ^ (II): Пусть существует семейство субгармонических функций V*, Ь £ С, как в (I). Предположим, что компакт К совпадает с точкой адо. Функция Як (г) = Яе(гадо), г £ С, является гармонической в С. Тогда субгармонические в С функции ^(г) := ш(г) - Як(г) + Як(Ь), г £ С, удовлетворяют следующим условиям: г>*(Ь) ^ 0, Ь £ С, и для любого п существуют к и О < то такие, что

г5*(Ь) < к log(1 + |г|) - п log(1 + |Ь|) + О, г £ С.

Согласно доказательству теоремы 2.6 из [17, с. 374] такого семейства функций г*, Ь £ С, не существует. Получено противоречие.

(II) ^ (I): Пусть компакт К отличен от точки. Если Щ К = 0, то семейство функций V*, Ь £ С, как в (I), существует ввиду [16, лемма 4.10, см. также ее доказательство]. Если же Ш К = 0, то семейство V*£ С, как в (I), существует согласно [20, с. 21, доказательство замечания 3.10]. >

Из теоремы 1 и лемм 3-5 вытекает основной результат работы.

Теорема 3. Оператор представления П : — имеет линейный непре-

рывный правый обратный тогда и только тогда, когда выпуклый компакт К отличен от точки.

Авторы выражают признательность проф. А. В. Абанину за ценные замечания.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Литература

1. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: теория и приложения.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.—336 с.—(Итоги науки. ЮФО. Мат. монография. Вып. 1).

2. Коробейник Ю. Ф, Мелихов С. Н. Линейный непрерывный правый обратный для оператора представления и приложения к операторам свертки // Сиб. мат. журн.—1993.—Т. 34.—С. 70-84.

3. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций.—М.: Гостехиздат, 1956.—632 с.

4. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1976.—536 с.

5. Мелихов С. Н. Об абсолютно сходящихся рядах в канонических индуктивных пределах // Мат. заметки.—1986.—Т. 39, № 6.—С. 877-886.

6. Мелихов С. Н. Нетривиальные разложения нуля и представительные подпространства // Изв. вузов. Математика.—1990.—№ 8.—С. 53-65.

7. Мелихов С. Н. Продолжение целых функций вполне регулярного роста и правый обратный для оператора представления аналитических функций рядами квазиполиномов // Мат. сб.—2000.— Т. 191, № 7.—С. 105-128.

8. Мелихов С. Н. О левом обратном к оператору сужения на весовых пространствах целых функций // Алгебра и анализ.—2002.—Т. 14, вып. 1.—С. 99-133.

9. Мелихов С. Н. Выпуклые конформные отображения и правые обратные к оператору представления рядами экспонент // Тр. Мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 14.: материалы междунар. науч. конф. (Казань, 18-24 марта 2002 г.).—Казань: Казанское математическое общество.—2002.— С. 213-227.

10. Муллаев М. Ю. Ряды Дирихле для пространства HTO(D) // Проблемы аппроксимации функций комплексного и действительного переменного.—Уфа, 1983.—С. 120-129.

11. Райков Д. А. О двух классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // Тр. семинара по функц. анализу.—Воронеж, 1957.—№ 5.—С. 22-34.

12. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных.—М.: Мир, 1968.—280 с.

13. Abanin A. V., Ishimura R., Le Hai Khoi. Surjectivity criteria for convolution operators in // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I.—2010.—Vol. 348.—P. 253-256.

14. Abanin A. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for // J. Approx. Theory.—2011.—Vol. 163, № 10.—P. 1534-1545.

15. Bierstedt K.-D., Meise R., Summers W. H. Kothe sets and Kothe sequence spaces // Funcional Analysis, Holomorphy and Approximation Theory (Rio de Janeiro, 1980).—Amsterdam: North-Holland Math. Stud., 1982.—Vol. 71.-P. 27-91.

16. Langenbruch M. The splitting conditions for the weghted Э-complex // Results Math.—1992.—Vol. 22.— P. 560-597.

17. Melikhov S. N. Generalized Fourier expansions for distribution and ultradistribution // Revista Math. Compl.—1999.—Vol. 12, № 2.—P. 349-379.

18. Melikhov S. N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation // Math. Anal. Appl.—2004.—Vol. 297.—P. 577-586.

19. Melikhov S. N., Momm S. On the expansions of analytic functions on convex locally closed sets in exponential series // Владикавк. мат. журн.—2011.—Т. 13, вып. 1.—С. 44-58.

20. Momm S. An extremal plurisubharmonic funcion associated Green function with pole at infinity // J. Reine Angew. Math.—1996.—Vol. 471.—P. 139-163.

Статья поступила 19 июля 2011 г. Варзиев Владислав Аликович

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, младший научный сотрудник лаб. комплексного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: varzi@yandex.ru

Мелихов Сергей Николаевич

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, заведующий лаб. комплексного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Южный федеральный университет,

профессор кафедры теории функций и функц. анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: melih@math.rsu.ru

ON COEFFICIENTS OF EXPONENTIAL SERIES FOR ANALYTIC FUNCTIONS OF POLYNOMIAL GROWTH

Varziev V. A., Melikhov S. N.

In this article a criterion is obtained that the operator of the representation of analytic functions on a bounded convex domain G of polynomial growth near the boundary of G by exponential series, exponents of which are zeroes of a special entire function, has a continuous linear right inverse.

Key words: exponential series, analytic functions of polynomial growth, representation operator, continuous linear right inverse.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.