CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 3, С. 13-30
УДК 517.538+517.547.7
МИНИМАЛЬНЫЕ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ГЛАДКОСТЬЮ1
А. В. Абанин, С. В. Петров
Рассматриваются пространства функций, аналитических в выпуклой области и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, с заданными оценками всех производных. Для пространств, порожденных одним весом, получены необходимые и достаточные условия, при которых минимальные в определенном смысле системы экспонент являются в них абсолютно представляющими. С помощью этих результатов установлено, что абсолютно представляющие системы экспонент в пространствах такого типа не обладают устойчивостью относительно предельного перехода по области.
Ключевые слова: абсолютно представляющие системы, пространства аналитических функций, граничная гладкость.
Введение
Пусть О — ограниченная односвязная область комплексной плоскости С, для которой = в. Через А°°(С) обозначим пространство всех функций, аналитических в С и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы дО.
Весом будем называть произвольную неубывающую выпуклую на [0, то) функцию р, для которой
£ = о(р(£)) при £ ^ то. (1)
Семейство всех весов обозначим символом V. Без ограничения общности будем считать, что р(0) = 0 для любого р £ V.
Для р из V образуем банахово пространство
А^(С) := |/ <Е А°°(С) : ||/||^ = эир аир ^ ^ < то|.
Возьмем произвольную последовательность Ф = {рп}^=1 функций из V, для которой существуют такие Сп ^ 0, что
Рп+1 ^ + 1) + t ^ рп(£) + Сп (£ ^ 0, п £ Н), (2)
и образуем пространство Аф(С) = П^=1 наделенное топологией, задаваемой на-
бором норм (У ■ \\^п)^=г Заметим, что в силу (2) оно является пространством Фреше — Шварца (коротко, (^^-пространством).
© 2012 Абанин А. В., Петров С. В.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., заявки № 2012-1.1-12-000-1003-029 и № 2012-1.2.1-12-000-1001-004.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь выпуклые ограниченные области О комплексной плоскости, что естественно при изучении представления функций рядами из экспонент. В [1] (см. также [2]) было доказано, что в тех случаях, когда сопряженное к Аф(С) пространство допускает так называемое экспоненциальное описание, существуют последовательности экспонент, являющиеся абсолютно представляющими системами (АПС) в Аф(С). Поскольку в пространствах такого типа ни одна АПС экспонент не может составлять базиса (см. [3]; в терминологии монографии [4] такие системы называются свободными), то любая АПС экспонент в Аф(С) заведомо переполнена. В связи с этим традиционно ставится вопрос о минимальных в определенном смысле АПС [5-8]. В настоящей работе этот вопрос изучается для пространств функций с заданной граничной гладкостью, задаваемых с помощью весовых последовательностей, порождаемых одной весовой функцией. Именно, пусть р £ V и последовательность положительных чисел (Рп)™= 1 такова, что рп | р £ (0, оо]. Для пространства Аф(С), образованного по последовательности Ф = (рпр^ / рп))^= 1, будем использовать специальное обозначение АР^(С). Нетрудно видеть, что оно не зависит от выбора последовательности (рп)£=1, лишь бы Рп Т р.
В первой части работы при дополнительных ограничениях на р приводится более простое по сравнению с известным представление сопряженного с Ар^ (О) пространства. Затем из него выводятся новые по форме и более удобные для приложений критерии для АПС экспонент в А^(0) и дается описание всех мультипликаторов и достаточные условия для делителей полученной реализации сопряженного пространства. На их основании и с помощью общих результатов из [8] во второй части доказывается существование АПС минимального типа в Л^(С) при р < оо. Наконец, в заключительной третьей части работы АПС минимального типа используются для того, чтобы показать, что для пространств аналитических функций с заданной граничной гладкостью, в отличие от пространств всех аналитических функций, невозможны теоремы о предельном переходе по области.
1. Пространства, порождаемые одним весом, и их сопряженные
Всюду далее предполагаем без ограничения общности, что выпуклая ограниченная область О содержит начало.
Напомним описание сильного сопряженного с Аф(С) пространства из работы [1, следствие 1].
Свяжем с каждым весом ср £ V выпуклую функцию ф(г) = р{г) +г1п+^, г ^ 0. Очевидно, что ф — вес из V. Через ф* обозначим функцию, сопряженную с ф £ V по Юнгу — Фенхелю, т. е. ф*(в) := 8ир^0(£в — ф(£)), в ^ 0. Ясно, что функция ф* принимает лишь конечные значения. По ф* образуем банахово пространство целых функций
Я,.(С) ^ {' е Й(С) : ^ = ^ехР(Яс(Лт'(.п+|А|)) < °°} •
где Нс(Х) = 8ир_гбС Ке(Аг) — опорная функция компакта О. Для весовой последовательности Ф = |рп}^=1 рассмотрим образованную по вышеуказанному правилу последовательность Ф* = {фп}^1 и соответствующее ей пространство целых функций Еф*(О) := и^=1 Еф*п(О), которое наделим топологией индуктивного предела последовательности пространств (Е^* (О))£= 1. В силу (2) пространство Еф* (О) относится к классу (^^5). В [1] установлена справедливость следующей теоремы.
Теорема Л. Пусть О — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости. Пусть, далее, Ф = (рп)^=1 — последовательность функций из V, для которой выполнено (2), и известно, что рп(£) = 0(£2) при £ ^ то для каждого п £ N. Тогда преобразование Лапласа функционалов Т ^ Т(А) := Т(еЛг), А £ С, устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным к Аф(С) пространством (Аф(С))ь и пространством Еф* (О).
Следствие. Пусть О — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости, а р £ V такова, что р(£) = 0(£2) при £ ^ то. Предположим дополнительно, что для любого д > 1 существует Сд > 0 такое, что
дер ^ </?(£) + Сд (V£ ^ 0). (3)
Определим последовательность Ф*, состоящую из функций, образованных по правилу
Фп(8) '■= йиР 1-рп(р{—) - ^1п+ - 1 , п € N.
^0 I. 'рп ' е)
Тогда преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным к АР^(С) пространством и при
любом р £ (0, то].
< В соответствии с теоремой А нам достаточно проверить, что весовая последовательность рпр(£/рп) удовлетворяет условию (2).
Из выпуклости р и того, что р(£) = 0(£2) при £ ^ то, для произвольного фиксированного г > 0 имеем
г((р(±±1\ ~ ^/г) ^ у(2^/г) ^ М \ \ г ) V// ^ ^!г ^ £/г ^ г
при всех £ ^ 1, где постоянная А зависит только лишь от р. Поэтому найдется такое В = В (г) > 0, что
* (?) 2 V к ■ I - в <4>
где N := [А/г\ + 1.
Далее, положив г := рга+1 и применив Ж + 1 раз условие (3) при д = Г П+1 > 1,
рп
получим
‘)+£±Й_в = !!«.,Ш+Е±Й_д
\рп/ \рпдП +1/ рп рп \рп+^ рп
где ^ — некоторая положительная постоянная, зависящая лишь от п. Поэтому из неравенства (4), примененного к г = рп+1, следует
*±1^ - IV-*-- в'! 4-(дг + 1)(
</? I — 1 ^ ----•(</?( ------ 1 — N--------В ] Н--------------В)
\рп / рп \ \рп+1 / рп+1 / рп
рп \ рп+1 / рп рп
Таким образом, при Сп := Врп+1 + ^рп имеем
Р«+1Р ( 11 ) +£ ^р«р ( — ) +Сп, £ ^ 0,
\рп+1/ \рп/
что доказывает следствие. >
Заметим, что при р = то вместо (3) можно было потребовать выполнения более мягкого условия
(3 д > 1) (3 С > 0) дер ^ </?(£) + С (\/£ ^ 0).
Обозначим через Ш — подкласс тех весов р £ V, для которых преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным к Ар^(0) пространством (Ар^(0)Уь и пространством где Ф* образована по
правилу, указанному в следствии, для любой ограниченной выпуклой области О.
Наша ближайшая цель — выделить подкласс тех р £ Ш, для которых сопряженное можно описать в более простой форме, чем в следствии. В связи с этим рассмотрим те веса р, для которых
т - «кт = +сю >
£ 1п £
Примерами весов, удовлетворяющих (5), являются
1) £“, а > 1;
2) £ 1пв(1 + £), в > 2;
3) £(1п £)1п1п *.
Ясно, что условие (5) влечет выполнение (3). Далее, из (5), очевидно, следует, что
£ 1п£ = о(р(£)) при £ ^ то. (6)
Установим некоторые свойства весов, удовлетворяющие условию (5) или (6), и ассоциированных с ними весовых последовательностей.
Лемма 1. Пусть вес р удовлетворяет условию (6). Тогда
1п р* (в) = о(в) при в ^ то
и существует такая постоянная А > 0, что
р*(1п+(в + 1)) — р*(1п+ в) ^ А, в ^ 0. (7)
< В силу условия (6) на вес р для любого С > 1 найдется такая постоянная О =
О(р, С) > 0, что при всех £ > 0
р(£) ^ С£ 1п+ £ — О.
Поэтому для любого в ^ 0
р*(в) = 8ир(£в — р(£)) ^ 8ир(£в — С£ 1п+ £) + О ^ тах {в, зир(£в — С£ 1п£)[ + О.
*>0 *>о ^ ^1 ■*
Так как
/ ^,14 \т е!>^С ПРИ в ^ С,
8ир(£в — С£1п£) = < е
^1 I в при 0 ^ в < С,
и Се5/с ^ в при любом в ^ 0, то окончательно имеем, что
р*(в) ^ ве5/с + О (V в ^ 0).
Отсюда в силу произвольности С > 1 получаем, что 1п р*(в) = о(в) при в ^ то, и тем более р*(в) = о(е5) при в ^ то.
Таким образом, для р* выполнены все условия леммы 6.1.2 из [9], в соответствии с которой р* удовлетворяет (7). >
Лемма 2. Пусть вес р удовлетворяет условию (5), pn | p £ (0, то], фга(£) := pnp(t/pn) + t ln+(t/e) (n £ N). Тогда весовые последовательности Ф* := ^n(s))£= и Ф* := (pnp*(s))~=1 удовлетворяют при некоторых постоянных Cn > 0 неравенствам
ФП(s) ^ PnP*(s) ^ ФП+i(s) + СП, s ^ 0, n £ N.
< Левая часть неравенства следует без каких-либо ограничений из определения функций фП:
ФП(s) ^ Pn sup((t/pn)s - p(t/pn)) = PnP*(s). t>0
С другой стороны, из условия (5) имеем, что для произвольных q > 1 и A > 0 найдется постоянная С(q, A) > 0 такая, что
p(t) ^ qp(t/q) +1 ln+(At) — С(q, A) (V t ^ 0).
Поэтому для q = pn+1/pn > 1 и A = pn/e > 0 найдется такая постоянная Cn > 0, что
PnP*(s) = p„sup(ts — p(t)) = sup(ts — PnP(t/Pn)) t>0 t>0
^ sup (ts — Pn (qp(t/(qpn)) + (t/pn) ln+(At/pn) — С(q, A)))
t>0
= sup (ts — (pn+ip(t/pn+i) +1 ln+ (t/e))) + Cn = ФП+^s) + Cn (s ^ 0, n £ N). > t>0
Отметим еще один полезный факт, вытекающий из более слабого, чем (5), условия. Лемма 3. Пусть вес р удовлетворяет условию
Шп= +сю (v<!>1) t^-ГО t
Тогда для любого q > 1 существует Cq > 0 такое, что
р* (s + 1) ^ qp* (s) + Cq (V s ^ 0). (8)
< По условию для любого q > 1 найдется постоянная Cq > 0 такая, что qip*{s) = sup (is - gp ( - ) ) ^ sup (t(s + 1) - p(t)) - Cq = p*(s + 1) - Cq. >
t^0 v vq// t^0
Для веса p и последовательности pn | p £ (0, то] определим весовую последовательность Ф* := (pnp*(t))^=1, а по ней весовое пространство целых функций ЕФ*(G), представляющее собой внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств
:=(fe Я(С) : | F\PnV>. = sup------ ^(А)| + < то) .
I лее exp(HG(A) + PnP*(ln+ |А|)) J
Будем использовать для этого пространства специальное обозначение E^)(G). Ясно, что это пространство не зависит от выбора последовательности (pn)^=1, лишь бы pn | p.
Обозначим через W семейство всех весов из W, для которых имеет место условие (5). Из леммы 2 и следствия из теоремы А получаем такой результат
Теорема 1. Для веса р £ W преобразование Лапласа функционалов устанавливает топологический изоморфизм между пространством (A^(G))'b, сильно сопряженным к
А^J ) (G), и Щу*} (G) для любой ограниченной выпуклой области G и любого р £ (0, оо].
< Действительно, в силу леммы 2 для каждого n £ N справедливы вложения
Е^**(G) ^ Epn<p*(G) ^ EC+1 (G) n £ N,
где Фп те же, что и в лемме 2. Отсюда следует топологическое равенство Е(^*) (G) = Еф* (G). Остается применить следствие из теоремы A, чтобы получить нужное. >
В дальнейшем нам потребуется описание всех мультипликаторов пространства Е(^*)(G), которое мы сейчас приведем. Напомним, что целая функция ^ называется мультипликатором множества Е целых функций, если ^ ■ Е С Е. Так как E(^*)(G) является (^Е^)-пространством, то всякий его мультипликатор ^ непрерывен, т. е. соответствующий оператор умножения Лм : / ^ ^/ действует из Е(^* )(G) в Е(^* )(G) непрерывно (см. по этому поводу [10]). Это обстоятельство позволяет нам воспользоваться общими результатами из [11] об описании непрерывных мультипликаторов и установить следующий результат, имеющий самостоятельное значение.
Предложение 1. Пусть вес р удовлетворяет условию (5). Класс M(^*) (G) всех мультипликаторов пространства Е(^*) (G) допускает следующее описание
M(V)(G) = {» £ H(C) : Vе > 0 3Се > 0 : |^(А)| ^ Cee£^*(ln+ |л|), А £ с} при 0 < p < то;
M(~ )(G) = {^ £ H(C) : 3 С > 0 : |^(А)| ^ CeC^*(ln+ |л|), А £ с}.
< Положим
МА) = exp (НС(А) + PnP*(ln+ |А|)) (А £ C, n £ N).
Так как р* не убывает и выпукла на [0,то), то р*(1п+ |А|), а следовательно, и Н^(А) + p^*(ln+ |А|) — субгармоническая в C функция. Далее, для каждого n £ N и любого
Ас
(1 + | А|2)3 sup hn(£) ^ exp |£-л|^1
sup HG(£) + pn sup р*(1п+ |£|) + 3ln(1 + |А|2) Ь|^-л|^1 |£-л|^1
Нс(А) + Ag + PnP* (ln( | А | + 1)) + 6 ln+ | А | + 3 ln 2
где Ag = supz6G |z| — радиус наименьшего круга с центром в начале, содержащего G. Применив лемму 1 и использовав то, что s = о(р*^)) при s ^ то, получим, что
PnP*(ln+(|А| + 1)) + 6ln+ |А| ^ pn+1 р*(ln+ |А|) + An (А £ C),
где An > 0 — некоторые постоянные. Тогда для n £ N и А £ с
(1 + |А|2)3 sup hn(^) < BneHG(л)+Рп+1 ^*(ln+ |л|) = ВпЛп+1(А),
|£-л|^1
где Вп := 8ехр(Дс + Ап). Таким образом, для весовой системы {Дп(А)}^=1 выполнены все условия предложения 5 из работы [11], в соответствии с которым Е(^*)(О) является так называемым густым пространством. А тогда по предложению 3 из той же работы М^*} (О) совпадает с семейством тех целых функций ц, которые удовлетворяют для всех А £ С условию
(УпеМ)(Зте1) (Сп > 0) ИА)| < < Сп е{рт~рп)1р*{ы+.
Дп (А)
Отсюда, очевидно, следует описание пространств мультипликаторов в обоих случаях — р £ (0, то) и р = то. >
Из предложения 1 следует, что класс М(^*) (О) мультипликаторов не зависит от области и одинаков для всех конечных р. Поэтому в дальнейшем, если не возникнет недоразумений, мы будем применять сокращенные обозначения М( ^*) := М(^*)(О), 0 < р < то,
и М(~*) := М(~)(О).
Нетривиальный мультипликатор ц множества Е целых функций называется делителем Е, если справедлива импликация (теорема деления):
(/£Е,£ен(с,) ^ иЕ.
Приведем достаточные условия того, что Ц £ М(^*) является делителем Е(^*)(О), где 0 < р < то.
Предложение 2. Пусть вес р удовлетворяет (4) и функция р : (0, то) ^ (0, то)
такова, что
р(£) = о(р*(1п£)), £ ^ то. (9)
Предположим, что для мультипликатора ц £ М(^*) имеет место условие (Д):
(V£ > 0) (3 йе ^ 1)(V А £ С, |А| >йе)(3 С £ С)
К — А| <р(|А|), |ц(С)| ^ е-£^*(1п+ ^
Тогда ц является делителем пространства Е(^*, (О) для любого р £ (0, то) и любой выпуклой ограниченной области О.
< Пусть / £ Е(^*)(О) такова, что //ц £ Н(С). Из принадлежности / пространству
Ер^*)(О) имеем, что при некоторых постоянных д £ (0,р) и С1
1п |/(£)| < Яс(£) + др*(1п+ |£|) + С1, £ £ С. (10)
Возьмем £ £ (0,1) так, чтобы д + б£ < р. Так как ц £ М(^*), то найдется С2 > 0 такое, что
1п |ц(е)1 < £р*(1п+ |£|) + С2, £ £ С. (11)
Из (7) следует, что
р*(1п+(£ + 4р(£))) ^ р*(1п+ £) + 4А(р(£) + 1), £ ^ 0.
Кроме того,
ЯС(£) < Яс(А) + 4Дср(|А|), |е — А| < 4р(|А|); А,£ £ С.
Тогда, применив в последних двух неравенствах условие (9), получим, что имеется такое R ^ 1, что
р*(1п^ + 4p(t))) ^ (1 + е1)р*(lnt), t ^ R, е1 := min(e,е/q); (12)
HG(0 < НС(А)+ ер*(ln |А|), |£ — А| < 4р(|А|), |А| ^ R. (13)
Из условия (А) найдем соответствующее Re. Без ограничения общности можно считать, что Re ^ R. Рассмотрим произвольное А £ C с |А| ^ Re. Учитывая неравенства (10)—(13), имеем
ь ma,x |f (£)| < нс(А) + ер*(ln |А|) + q(1 + е1 )р*(ln |А|) + С1
|^-л|<4р(|л|)
^ НС(А) + (q + 2е)р* (ln |А|) + С1;
ln max |р(£)| ^ е(1 + е 1) р*(ln |А|) + С2 ^ 2еp*(ln |А|) + С2.
!£-лК4Р(|л|)
С другой стороны, из оценки |p(Z)| снизу, фигурирующей в условии (А), и (12) получаем
h m»x |р(£)| ^ ln ИС)| ^ —ер*(ln К|) ^ —е(1 + е1)р*(ln |А|) ^ —2ер*(ln |А|). |^-л|<р(|л|)
Как известно (см. [12]),
In ^ In max |/(£)| + ln max |u(£)|—21n max \u(£)\-
р(А) К-л|<4р(|л|)' |*-л|<4р(|л|)' |{-л|<р(|л|)'
Использовав в этом неравенстве полученные выше оценки, приходим к следующему неравенству, справедливому при всех |А| ^ Re,
In у ^ Hg{А) + (q + 6е) р*(1п |А|) + С\ + С2.
Так как в соответствии с выбором е у нас q + 6е < p, то отсюда следует, что f/р при-
надлежит пространству Ep^* )(G). >
2. Минимальные АПС экспонент в Ар^(0). Общие результаты
Всюду ниже, если не оговорено дополнительно, р £ (0, то) и р — вес из Ш.
Как уже отмечалось во введении, АПС экспонент в пространстве АР^(С) заведомо переполнены. В таких случаях возникает задача о построении минимальных в определенном смысле АПС экспонент. Мы будем исходить из общего понятия минимальности АПС, введенного в [8] на основании классических результатов А. Ф. Леонтьева о представлении аналитических в выпуклой области комплексной плоскости функций рядами Дирихле, показатели которых являются нулями целых функций минимально возможного роста. План изложения в текущем параграфе заключается в конкретизации и проверке основных определений и результатов из [8] для систем экспонент и пространств ^)(С) и Е(^*)(О). Для удобства читателя мы согласуем некоторые наши обозначения с [8] и при необходимости приведем нужные нам понятия из этой работы.
Положим Н := AP^(G), е(А) := exp Az (А £ С) и Е := Efiot)(G). Для краткости буде
(^*)
м
использовать обозначение У ■ ||д := || ■ ||?¥>(у?), д £ (0, то). В рассматриваемом случае справедливо следующее уточнение леммы 1 из [1].
Лемма 4. Пусть вес р £ V удовлетворяет условию (5). Тогда для любых 0 < г < д < то существует такая постоянная с = с(д, г) > 0, что
ceHGW+r^*(ln+ |л|) ^ lle^ll, < eHcW+^*(ln+ |л|), А £ с.
< Правая часть (14) верна без каких-либо ограничений на р:
|e^| ■ |А|к ||е(А)||д = sup sup -------^ exp
(14)
k_l >_Д- k_l >_Д- , ч
zeGkeZ+ kle4V{^)
HG (А) + sup (t ln+ | A| - q<p(-
t>0 V \q
Hg{A) + sup ( k ln+ |A| — ln k\ — qep (-
fcezA Vq
= exp [НС(А) + qp*(ln+ |А|)] (VА £ C).
Докажем теперь левую часть (14). При |А| ^ 1 имеем
|e(А) ||q ^ sup |e^ | = eHG(4
Пусть теперь |А| > 1. Тогда
I mil |eA"|-|A|fc
|e(A)||g = SUP SUP ----------т-
z&GkeZ+
exp
zeG
Hg{A) + sup ( k ln |A| — ln k\ — qep ( —
fcez+ V \q
k
(15)
HG(X) + sup ( к ln |A| — к ln+ к — qep ( -kez+ V \q
Возьмем £о > 0 так, что г + £о < д. Из условия (5) следует, что при некотором В > 0 (г + во) ер ^ ^ ЯФ ^ 1п+1 — В, £ ^ 0.
Продолжив оценку (^(А)!,, получим отсюда 11 e ( А ) | q ^ exp ^ exp
k
- B
НС(Х) + вир &1п|А| - (г + £о)ер .
^+ V \г + £о
Нс{А) + вир Гпп |А| - (г + е0)ер (—-—^ - 1п |А| - В
Оо V \г + £о//
= ехр [ЯС(А) + (г + £о)р*(1п |А|) — 1п |А| — В].
Учитывая еще, что х = о(р*(х)) при х ^ +то, заключаем, что при некотором С ^ В, не
зависящем от А, [ ]
||е(А)||? ^ ехр [#С(А) + гр*(1п |А|) — С].
Объединив эту оценку с (15) и положив с := е-С, получаем левую часть (14). >
Из леммы 4 следует, что для любого р £ (0, то) и рп | р весовые системы (ехр(Нс(А) + рпр*(1п+ |А|)))^=1 и (||е(А)||Рп)^=1 эквивалентны в том смысле, что для каждого п £ N и
любого А £ С при некоторых положительных постоянных сп и Сп
cneHcW+Pn^*(ln+ |л|) ^ Ц^А)!^ 1 ^ СпeHG(л)+Рп+1 ^*(ln+ |л|).
(16)
Отсюда следует, что во всех определениях, результатах, оценках и т. п. из работы [8], касающихся пространств A^^iG) и Ep^t^(G), мы можем использовать ехр(Я<з(А) + pnp*(ln+ |А|)) вместо ||в(А).
Отметим следующие три момента:
1) Экспоненты e(A) являются собственными функциями оператора дифференцирования D : / ^ /;, причем совокупность всех решений уравнения D/ = А/ образует в H одномерное подпространство, натянутое на элемент e(A). Заметим также, что оператор дифференцирования действует непрерывно из H в H (см. [3, лемма 1]).
2) Так как по предположению вес р входит в класс W, то преобразование Лапласа F : v ^ г>(А) = v(e(A)) устанавливает топологический изоморфизм между Hb и пространством Е, которое в силу (16) совпадает с indEn, где
Еп:= ig £ Н(С) : \д\п := sup < ooj (n € N).
I лее lle(A)llp„ )
3) Из условия (7) имеем, что
sup (Hg(A + £) + pnp*(ln+ |А + £|)) ^ Hg(A) + pnp*(ln+ |А|) + A + Ag, (17)
|«К1
где, как и прежде, Ag = sup{|z| : z £ G}. Отсюда, как известно, следует, что пространство Е инвариантно относительно деления на полиномы. Впрочем, тот же самый вывод можно, очевидно, сделать с помощью предложения 2.
Таким образом, для пространств Н = AP^(G) и Е = E^^G) и системы экспонент E := {e(A) := exp Az, А £ C} выполнены все предварительные условия работы [8].
Пусть Л = (А&)д!=1 — последовательность попарно различных комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности и E(Л) := (exp Afcz)^= 1 — соответствующая ей система экспонент. Из леммы 4 следует, что в рассматриваемом нами случае общее понятие минимальной системы элементов, введенное в [8], интерпретируется следующим образом.
Система (Л) называется минимальной для AP^(G), если существует такая нетривиальная целая функция L, которая удовлетворяет следующим условиям:
(a) (Vе > 0)(3 Re ^ 1) ln |L(A)| < HG(A) + (p + е) р*(ln |А|), |А| ^ Re;
(b) L имеет в точках А& простые нули (она может иметь нули произвольной кратности в других точках).
Совокупность всех функций L, удовлетворяющих условиям (а) и (b), обозначим символом Lp* (G; Л).
Для дальнейшего изложения нам потребуется следующий вспомогательный результат, касающийся, так называемых, правильных пар. Определение таких пар технически громоздко и само по себе в данной статье не используется. Поэтому мы его приводить не будем, отослав читателя за подробностями к работе [8].
Лемма 5. Пусть вес р £ V удовлетворяет условию (5) и E(Л) — минимальная для Apip)(G) система. Тогда пара (S’(A), AP^(G)) является правильной.
< Положим kn(А) := exp (Hg(A) + pnp* (ln+ |A|)), A £ C, n £ N, и отметим, что условие (14) означает, что весовые системы (||e(A)||Pn : n £ N) и (kn(А) : n £ N) эквивалентны между собой. Значит, мы можем использовать в наших рассуждениях одну вместо другой. Положим еще kn,m(A) := km(A)/kn(A), m > n, n £ N, A £ C.
В соответствии с [8, с. 492-493] (см. пп. а), б)) для доказательства правильности пары (<? (Л), А^ (G)) достаточно проверить следующие условия:
(i) функции из Lp* (G) имеют конечный порядок;
(ii) (Vn) (3m) (3С > 0) sup|^|^1 He(A + 01k < CHe(A)||pm, A £ C;
(iii) функции kn,m(A) радиальны, а lnkn,m(A) субгармоничны в C (m > n, n £ N);
(iv) (Vn) (Vs > n) (3m > n) (3а > 1) kn,s(aA) ^ Ak„)TO(A), A £ C.
(i) Из условия (а), участвующего в определении класса Lp (G), и того, что ln p(s) = o(s) при s ^ то (см. лемму 1), следует, что элементы из LP* (G) являются целыми функциями порядка не выше первого (более того, если их порядок равен 1, то они имеют конечный тип и индикатор, не превосходящий HG(e*0)).
(ii) Перепишем (17) в виде
sup kn(A + £) ^ eA+Ackn(А), А £ C, n £ N.
|«К1
Отсюда, в силу отмеченной выше эквивалентности весовых систем (||e(A)||Pn : n £ N) и (kn(A) : n £ N), получаем справедливость (ii).
(iii) Имеем kn,m(A) = e(Pm-pn)p*(ln+ |л|), A £ C, откуда следует, что функции kn,m(A) радиальны в C. Далее, так как р* не убывает и выпукла на [0, то), то функции lnkn,m(A) = (pm — pn)p*(ln+ |A|) субгармоничны в C при всех m > n.
(iv) Возьмем произвольные n, s £ N, s > n. Положим m := s + 1, a := e. Тогда в силу (8) для q := p°+l~pn > 1 имеется A > 0 такое, что при всех А £ С
kns(aA) = e(Ps-Pn)P*(ln+ е|л|) ^ e(Ps -PnV*(ln+ |л|+1) ^ e(Ps + 1 -PnV*(ln+ |л|)+А = eAknm (А).
Таким образом, выполнены все требуемые условия (i)—(iv), что обеспечивает правильность пары (<?(Л), AP^(G)). >
Теорема 2. Пусть р £ (0, то), (р — вес из W, <?(Л) — минимальная для AP^(G)
система и L £ Jzfp* (G; Л). Для того чтобы £}(Л) была АПС в А^ (G), необходимо, чтобы для некоторого нетривиального мультипликатора р из М^* выполнялись условия:
А) Зг„Т+ос: ^ е-^(А)-р„^(1п|А|); |л|=г„, n £ N;
L(A)
Я) limsup /
р* (ln |Afc |)
ln MAfc)
+ HG(Afc )
Ь'(А^)
Эти же условия достаточны для того, чтобы §’(Л) была АПС в А^(Сг), если они выполняются для некоторого делителя пространства (С).
< Из того, что класс (С; Л) состоит из функций экспоненциального типа и леммы 5 следует, что выполнены все условия теоремы 3 работы [8]. Поэтому достаточно проверить эквивалентность приведенных условий А) и В) с соответствующими им из [8]. Напомним их, отметив как условия А7) и В7), так как символы А) и В) уже используются:
А') Зг„Т+оо: ^ < н * Ц , |А| = гп, п £ М;
ь(А) Не(А)Нрп
в') Е/^^Ие^)1и<о° (уп^)-
Эквивалентность условий А) и А7) получаем непосредственно из леммы 4.
Далее, предположим, что для некоторого нетривиального мультипликатора р из Мч>* ряд |Ь((ЛлД Не(А&) IIрп сходится при каждом п £ N. Отсюда следует, что последова-
тельность общих членов ряда ограничена (при каждом п). Учитывая (14), получаем, что тогда для каждого п £ N найдется такая постоянная Сп > 0, что
р* (1п |А, |)
1п
1>(Хк) +На(\к)
Ь7(Ак)
С
< —Рп + ,п Пп ,ч (\/А;£М).
Р*(1п |А,|)
Переходя здесь сначала к верхнему пределу по к, а затем к пределу по п, получаем В). Таким образом, В7) ^ В).
Пусть теперь имеет место условие В). Тогда для каждого п £ N при некоторой положительной постоянной С = С (п) выполняется неравенство
ехр[Нс(Хк)+рп+1ер*(1п\Хк\)]^С (Укеп).
|ЬЧА,)|
Учитывая (16) и то, что х = о(р*(ж)) при х ^ +то, получим
Щ||е(л,)|и^ (У*€Ю.
где постоянная А > 0 не зависит от к. Поскольку Ь является целой функцией экспоненциального типа, то, учитывая связь между порядком целой функции и показателем сходимости последовательности ее нулей, заключаем, что ^: 1/|А,|2 < то, откуда получаем В7). >
Так как р(А) = 1 является делителем пространства Ер^* )(С), то из теоремы 2 получаем такой результат.
Следствие 1. Пусть р £ (0, то), р — вес из \У, (Л) — минимальная для Ар^(0)
система и Ь £ (С; Л). Если выполнены условия
(I) (3 гп т +то) 1п |Ь(А)| ^ ЯС(А)+ р„р*(1п |А|), |А| = г„, п £ N
(Ш 1пПь 1п\Ь'(Хк)\-Нд(\к) _
ШП^оо (1п ||) — Р’
то система §’(Л) является АПС в Ар^(0).
Перейдем к рассмотрению вопроса о существовании функции Ь, удовлетворяющей всем условиям следствия 1. Исследование основывается на работе [13], в которой получены общие результаты о приближении субгармонических функций, и [14], в которой приводится схема, использованная нами при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 3. Пусть р £ (0, то) и вес р £ V удовлетворяет условию (6). Положим и(А) := Я^(А)+рр*(1п+ | А|), А £ С. Тогда существует целая функция экспоненциального типа Ь, обладающая свойствами:
1) все нули Л := (Ак)£= г функции Ь(А) простые;
2) Ь(А) £ Я%* (С; Л);
3) для Ь(А) выполняются условия (I) и (II) следствия 1.
< Обозначим ^(£,г) := {А £ С : |А — £| ^ г}, £ £ С, г > 0. По теореме 4 из [13] для субгармонической в С функции и(А) найдется целая функция Ь(А), все нули (А,),:!=! которой простые и при некотором 6 > 0 круги := ^(А&, 6) попарно не пересекаются,
причем вне множества Е = ивыполняется асимптотическое соотношение
|и(А) — 1п |Ь(А)| | = 0(1п |А|), |А|^то. (18)
Отсюда, с учетом условия (1), следует, что Ь(А) £ ^Р*(С;Л).
1
Положим Вк := Вк, если к ^ 1 /у/5, и Вк := В(Хк,1/к2) — в противном случае. Тогда круги попарно не пересекаются и при этом имееют конечную сумму радиусов. Учитывая (18) и (1), получаем, что для каждого е £ (0,р) при достаточно больших к на границе круга имеет место оценка
ы! Ь(Л)
Далее, функция 1п
А А, Ь(А) |
^ Яс(А) + (р — е) р*(1п+ |А|) — 1п6. (19)
гармонична в некоторой окрестности круга (к £ ^. По-
| А — Ак |
этому из принципа гармонической мажоранты следует, что всюду на \^, выполняется
1п |Ь(А)| ^ Яс(А) + (р — е) р*(1п+ |А|) — 21п к — 1п 6.
Так как Ь(А) — функция экспоненциального типа, то Итзир^,^ < оо. Тогда для достаточно больших к имеем
к < С|Ак| < (С + 1)|А| (VА £ ),
где постоянная С не зависит от к. Учитывая все вышесказанное и то, что £ = о(р(£)) при £ ^ то, заключаем, что для любого е > 0 при всех достаточно больших к имеет место оценка на \^,
1п |Ь(А)| ^ ЯС(А) + (р — 2е) р*(1п+ |А|).
Тогда из последнего неравенства и соотношения (19), учитывая, что круги имеют конечную сумму радиусов, получаем (I).
Для доказательства выполнения (II) снова воспользуемся гармоничностью функции
Ь( А)
в некоторой окрестности круга . С учетом этого свойства из (7) и (19) имеем Ь(А) |
111 Л-Л, для достаточно больших к
1п |Ь7 (Ак )| ^ ш1п 1п
х х ^ тш (Яс(А) + (р-е)р*(1п+|А|))-1п5
А — А, Леао^
^ Яс(А,) + (р — е)р*(1п+ |А,|) — A,
где А — некоторая постоянная, зависящая только от 6, е и С. Таким образом,
. {Ы\Ь'(Хк)\-Не(Хк) ^
1\тт£---------„л |Л IX--^ V-
р*(1п |А, |)
Аналогично с помощью (18) показывается, что
11т
Р* (1п |А, |)
Откуда и следует нужное. >
Объединяя следствие 1 и теорему 3 и используя определение минимальной системы, получаем
Следствие 2. Пусть р £ (0, оо), р — вес из IV. Тогда в пространстве АР^(С) всегда существует минимальная АПС экспонент.
3. Неустойчивость АПС экспонент в л?,, (С) относительно предельного перехода по области
Для систем экспонент в пространствах Я (С) всех функций, аналитических в выпуклой ограниченной области комплексной плоскости, известен следующий результат, принадлежащий А. В. Абанину (см. [6, гл. 2, §3, теорема 9]).
Пусть (Сга)^= ! — произвольная последовательность выпуклых областей, исчерпывающая С изнутри, т. е. Сп С Сп+1 (п ^ 1) и Сп = С. Тогда всякая система
экспонент, являющаяся АПС в Я (Сп) при всех п ^ 1, будет АПС и в Я (С).
Результаты подобного характера называют теоремами об устойчивости АПС относительно предельного перехода по области.
В [3] нами было установлено, что для пространств вида Аф(С) имеют место теоремы об устойчивости АПС экспонент относительно предельного перехода по весовым последовательностям при фиксированной области, и высказано предположение, что АПС экспонент в этих пространствах не обладают устойчивостью относительно предельного перехода по области. В текущем параграфе с помощью теоремы 2 и ее следствия доказывается справедливость этого предположения.
Нам потребуются следующие известные свойства целой функции до (А) := я1п пА (см., например, [15, с. 51-52]):
1) до — целая функция экспоненциального типа с простыми нулями в точках А = к, причем |д0(к)| = п (к £ ^);
2) 1п |до(А)| ^ п|А|| зш(а^ А)|, А £ С;
3) для любого 6 £ (0,1/2) имеется такая постоянная С# > 0, что
В качестве G возьмем квадрат П := {z : | Im z| ^ п, | Re z| ^ п}. Рассмотрим функцию L(A) := sinпА ■ sinгпА. Из свойств до следует, что выполнены следующие условия:
(a) L — целая функция экспоненциального типа с простыми нулями в точках k и ik (k £ Z, k = 0; A = 0 является нулем L второй кратности) и индикатором Нп(А) = п(| Im А| + | Re А|), причем ln |L(A)| ^ Hn(A), А £ C;
(b) Пусть 5 £ (0,1/2) и := {А £ C : |А — Z| < 5} (Z £ C). Имеет место асимптотическое равенство
В частности, это асимптотическое равенство имеет место на системе концентрических окружностей |А| = к + 1/2 (к £ Н);
Из свойств функции Ь следует, что множество ее простых нулей Л := |к,гк : к £ ^, к ф 0} образует последовательность показателей минимальной для Ар^ (П) системы §’(Л)
при любых фиксированных р £ (0, то) и р из Ш. В то же время, по теореме 2 Е(Л) не может быть АПС в (П) ни при каких р £ (0, то) и р из IV, поскольку условие А) этой теоремы не может быть выполнено ни для одного нетривиального мультипликатора р из М^*. В самом деле, если найдется последовательность радиусов гп | +то такая, что
ln |до(А)| ^ п|А|| sin(arg А)| — C, А £ [J {А £ C : |А — k| < 5}.
(c) ln |L'(k)| = Hn(k) + O(1) = п|k| + O(1) при |k| ^ to.
то отсюда немедленно следует, что
|р(А)| ^ ехр(—р1р*(1п |А|)), |А| = гп, п £ N.
Последнее же возможно лишь для р = 0.
Далее, образуем подпоследовательности Лп := (Ага,)к62 вещественных нулей функции Ь, где Апк = 2пк + 2П-1 — 1 (п £ Н). Как нетрудно видеть, любые две^такие подпоследовательности не имеют одинаковых элементов. Заметим также, что Лп является последовательностью всех нулей функции дп{А) := 8Ш7Г^^ + ^ Положим
-2ЦЛ) ■= Пт=1 и П„ := ^1 - (п € М), где
~/ЛЧ ■ А 11
9т(А) := вш7П----------1-------
/ » 2т 2т 2
Тогда из свойств функции Ь следует, что при каждом п £ Н:
(I) Существует такая последовательность (йгат)^=1, | то при т ^ то, что 1п |^ЦА)| = Япп(А) + 0(1), |А| = Ягат, т ^ то;
(II) 1п |^П(А„,)| = Япп (А„,) + 0(1) при к ^то.
Следует отметить, что в последовательность Лп (п £ Н) заведомо не попали точки А8 := 28 — 1 (в £ Н, в ^ п), являющиеся нулями функции Ь.
Для каждого п £ Н образуем целую функцию
^«(Л) := П (1 “ 2^1
8=П '
имеющую нулевой порядок. Положим
Т := {А £ С : ||А| — Ая| < 1}, в £ Н;
ГС
Т :=и Т5; в(А) := [1оё2(|А| + 1)], А £ С,
8=1
и рассмотрим произвольное А, лежащее вне Т. Ясно, что 28(Л) < |А| < 2а(Л)+1 — 2. Тогда при достаточно большом А £ Т (например, при |А| ^ 2”+2 — 1) имеют место следующие оценки
8(Л)
Н^(А)| = ]>> 1-^ + ]Г 1п 1 2,_1
8=П 5 = з(Л) + 1
А
0+ Е Ч1 |л|
8(Л)
28 — 1 / ^ V 28 — 1
8=П Х 7 5 = з(Л)+1 Х
25(Л) \ ГС' / 25(л)+1 _ 2'
28 — 1 / ^ \ 28 — 1 /
8=П \ / 5 = з(Л) + 1 \ /
Отметим, что 1п — 1 ^ ^ (^(А) — в) 1п2 — 1 при в ^ в(А) — 1, и ряд
Ё 111 (1—тлгт) = Х>(1--
I 25~5(л)-2 / ^ \ 25
5 = з(Л)+3 4 7 8 = 1 4
сходится, причем его сумма не зависит от А. Поэтому, учитывая очевидные соотношения 1п |А|/ 1п2 — 1 ^ в(А) ^ 1п |А|/ 1п2 + 1, |А| ^ 1, получаем
5(Л)-1 / 25(л)
в(А)-1 /
1п |^п(А)| ^ Е ((в(А) — в)1п2 — 1)+1п|
5=„ \
25(л) - 1
/ 2"(л)+1 — 2^ . ( 2"(л)+1 — 2 А ^ . / 1
+ 1П 1 “ оз(\)+1 _ 1 + 111 1 - оз(\)+2 _ 1 + Е 111 I1
2^(л)+1 _ 1/ \ 2й(л)+2 — 1 / \ 28-й(л)-2
\ / \ / 8 = 8(л)+3
= ^ 1п2 + ОШ) = ^ + 0(1п |А|).
Кроме того, аналогичные оценки, проведенные для А с |А — А5| = 1, показывают, что
1п 2 | А |
1п |(^°)'(АЯ)| ^ 21п2 +°(1п1Л^) при^^оо.
С другой стороны, для любого достаточно большого А £ С (например, |А| ^ 2”+1 — 1)
з(л)
Ы^(Л)|<Е>”(1+г^т)+ Е ‘"(1 + ^)
5=га ' 7 5=5(л)+1 ' 7
те / 1 \ 5(л)
^1п(1 + 25(л)-5+2)+ 1п М + 2я_я(л)_2 ) < ]Р ((а(Л) - в + 2) 1п 2 + 1) + 0(1)
О п Г,_ 11' ' о—п
«(л) те , х 5(л)
^ V 1п (\ + 25(Л)-5+2^ + V 1п I 1 + ^(Л)_2
5=5(л)+1 х 7 5=га
= в(Л)~П + 4ИЛ) - п + 1) 1п 2 + 0(в(А)) = ^ + 0(1п |А|).
Положим £„(А) := ^„(А) ^°(А) (п £ Н) и обозначим через Л„ простые нули этой
функции — {Атк : к £ 1 ^ т ^ п}и |А5 : в ^ п}.
Из асимптотических оценок, установленных выше, получаем, что
1п2 А
1п \Ьп(Х)\ ^ Япп(А) + 2\п2 1^1)’ А £ С, А —>■ оо,
1п\Ьп(Х)\ ^ Япп(А) + —+ 0(1п |А|) при |А| = 25 +-, в ^ оо,
и
1п2 А
Ы\Ь'п(Х)\=НПп(Х)+ 2}п2 +0(1п|А|) при А е Л„, А ^ оо.
Отсюда следует, что при р0 := 2/ 1п2 и р0(£) := £2 (при этом ясно, что р0 £ ^ и что
Ро(£) = £2/4) Е(Лга) является минимальной для Ар°^(П„) системой, для которой выполнены все условия следствия 1. В соответствии С НИМ <с?(Л„) является АПС В АР°о^(П„) при всех п £ N. Так как Л„ С Л, то Е(Л) также является АПС в Ар°^(П„) при всех п £ N. Заметим, что при этом последовательность квадратов (П„)^=1 исчерпывает П изнутри.
Таким образом, мы построили систему экспонент, которая не обладает свойством устойчивости относительно предельного перехода по области для пространств вида
4,(П).
Литература
1. Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2010.—№ 5.—С. 25-31.
2. Петров С. В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Исследования по математическому анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН, 2009.—С. 190-199.—(Итоги науки. ЮФО. Мат. форум. Т. 3).
3. Абанин А. В., Петров С. В. Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2011.—№ 4.—С. 5-11.
4. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы: теория и приложения.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2009.—336 с.
5. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1980.—Т. 44, № 5.—С. 1066-1114.
6. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, вып. 1.—С. 73126.
7. Абанин А. В. Характеризация минимальных систем показателей представляющих систем обобщенных экспонент // Изв. вузов. Математика.—1991.—№ 2.—С. 3-12.
8. Абанин А. В. Нетривиальные разложения нуля и абсолютно представляющие системы // Мат. заметки.—1995.—Т. 57, № 4.—С. 483-497.
9. Абанин А. В. Ультрадифференцируемые функции и ультрараспределения.—М.: Наука, 2007.— 223 с.
10. Абанин А. В. О мультипликаторах пространства целых функций, задаваемого нерадиальным двучленным весом // Владикавк. мат. журн.—2008.—Т. 10, вып. 4.—С. 10-16.
11. Коробейник Ю. Ф. О мультипликаторах весовых функциональных пространств // Anal. Math.— 1989.—Vol. 15, № 2.—P. 105-114.
12. HOrmander L. On the range of convolution operators // Ann. of Math.—1962.—Vol. 76.—P. 148-170.
13. Юлмухаметов Р. С. Приближение субгармонических функций // Мат. сб.—1984.—Т. 124(166), №3(7).—С. 393-415.
14. Abanin A. V., Le Hai Khoi, Nalbandyan Yu. S. Minimal absolutely representing systems of exponentials for А-ТО(П) // J. Approx. Theory.—2011.—Vol. 163, № 10.—P. 1534-1545.
15. Леонтьев А. Ф. Целые функции. Ряды экспонент.—М.: Наука, 1983.—176 с.
Статья поступила 5 июля 2011 г.
Абанин Александр Васильевич Южный федеральный университет, заведующий кафедрой математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, заведующий отделом математического анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: abanin@math.rsu.ru
Петров Сергей Владимирович Южный федеральный университет, ассистент кафедры математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; E-mail: prostopetrov@inbox.ru
30
A6aHHH A. B., neTpoB C. B.
MINIMAL ABSOLUTELY REPRESENTING SYSTEMS OF EXPONENTIAL FUNCTIONS IN SPACES OF ANALYTIC FUNCTIONS WITH GIVEN BOUNDARY SMOOTHNESS Abanin A. V. and Petrov S. V.
We consider spaces of functions holomorphic in a convex domain which are infinitely differentiable up to the boundary and have certain estimates of all derivatives. Some necessary and sufficient conditions are obtained for a minimal system of exponential functions to be an absolutely representing system in the spaces which are generated by a single weight. Relying on these results, we prove that absolutely representing systems of exponentials do not have the stability property under the passage to the limit over domains.
Key words: absolutely representing systems, spaces of analytic functions, boundary smoothness.
