Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах ультраджетов нормального типа и продолжение функций по Уитни Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2005, Том 7, Выпуск 1

УДК 517.51+517.98

АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ С МНИМЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ В ПРОСТРАНСТВАХ УЛЬТРАДЖЕТОВ НОРМАЛЬНОГО ТИПА И ПРОДОЛЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО УИТНИ1

Д. А. Абанина

Установлено, что справедливость аналога теоремы Уитни для пространств ультраджетов нормального типа эквивалентна существованию в этих пространствах абсолютно представляющих систем экспонент с мнимыми показателями.

В работах Ю. Ф. Коробейника [1, 2] была обнаружена и исследована взаимосвязь между вопросами продолжения функций по Уитни и наличием в соответствующих пространствах абсолютно представляющих систем (АПС) экспонент с мнимыми показателями. Применяя методы этих работ, мы рассматриваем аналогичный вопрос для пространств ультрадифференцируемых функций (УДФ) нормального типа, которые изучались ранее в [3, 4]. Отличительной чертой нашего исследования является то, что на компакт, с которого ведется продолжение, не налагается никаких ограничений (в [1] требовалось, чтобы компакт совпадал с замыканием своей внутренности, т. е. был толстым). В качестве вспомогательного результата получено представляющее и самостоятельный интерес необходимое условие справедливости аналога теоремы Уитни для пространств ультраджетов нормального типа, формулируемое в терминах весовой функции.

1. Пространства УДФ нормального типа и соответствующие им пространства ультраджетов

В подходе Бёрлинга — Бьорка неквазианалитические классы УДФ нормального типа [3, 4] вводятся с помощью почти полуаддитивной сверху весовой функции.

1.1. Определение (см. [5]). Весовой функцией называется непрерывная неубывающая функция и : [0, то) ^ [0, то), удовлетворяющая следующим условиям:

а) и(2Ь) = 0(и(Ь)), £ ^ то;

б) 0 г+2 то;

в) 1п£ = о(и(£)), £ ^ то;

г) (х) := и(ех) выпукла на [0, то).

© 2005 Абанина Д. А. 1 Работа выполнен проект №02-01-00372.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,

1.2. Определение (см. [3, 4]). Весовая функция ш называется почти полуаддитивной сверху, если для любого p> 1 найдется C > 0 такое, что w(x + y) ^ p(w(x) + w(y)) + C при всех x, y ^ 0.

Пусть ш — почти полуаддитивная сверху весовая функция. Без ограничения общности можно считать, что ш|[0 1] = 0. Как обычно, (y) := sup{xy — (x) : x ^ 0} — сопряженная по Юнгу к . Для функции f £ C(RN) и чисел s £ (0, то), l £ N положим

|f км := sup sup |f(a)(x)| exp( — s^* (|a|/s)),

o6NN INK'

где a = (ai,..., a^) — мультииндекс, |a| = ai + ... + а» — длина мультииндекса, d|a| f dxl1 ... dxNN

q £ (0, то). Определим следующие пространства:

f(a) := ТЛа-KZOW, ||x|| = max{|xj| : 1 ^ j ^ N} для x = (xb...,xw) € RN. Пусть

(Rn) := {f € C~(Rn) : |f |*>я>г < то},

E(%(RN ):= П П )( = П 1 (RN)),

ген se(o,q) ген,г>1

Eq*}(RN ):= П U (RN).

ген se(q,ro)

Пространства ¿(^(М") и ) называются, соответственно, пространствами УДФ

Бёрлинга и Румье нормального типа д.

Для непустого компакта К в обозначим через рк : / 1—► (/(а) ^^ем^ отображение сужения, действующее из С) в пространство J(К) всех джетов на компакте К (т. е. J(К) — пространство последовательностей д = (да)а6^, непрерывных на компакте К функций). Для в £ (0, то) и / = (/£ J(К) полагаем

к := sup sup |fa(x)| exp( — (|a|/s))

aeNN хек

,-iK KRf )a(y)l(m + 1 — |a|)!

|f|Ks := sup sup sup -—,, x ' . ,- '

meNo H^mx.yeK (N||y — x||)m+1-|a| exp(mt±

где

(Rf )a(y):= fa (y) — E fa+Jx)(y — x)e (здесь в ! = ft! ..^N!).

в!

вбМ^

Если К одноточечно, то считаем |/= 0 для любого / £ J(К). Обозначим || ■ Щ : = | ' |ш , в , к + | ■ 1К « и введем пространства

£ш,«(К):= {/ £ J(К) : ||/Щ«, к < то} ,

Е(1)(К ):= П Еш>в(К), £{%(К):= у (К).

Пространства ¿(^(К) и Е|ш}(К) называются, соответственно, пространствами ультра-джетов Бёрлинга и Румье нормального типа д £ (0, то). Будем в дальнейшем использовать одно обозначение для обоих пространств, если это не вызывает недоразумений.

Используя соотношение

^ в! _ к! '

v- 1 Nk , _ £ в! = ТГ, к G

нетрудно проверить, что рк действует из ) в (К). Кроме того, оно »се позволяет

1п()

доказать, что если g G C~(MN), П = {x G RN : ||x|| < l}, l G N, G = (g(a)|n ) nn, то

|G|n1s ^ |G|^,s,ni для всех s > 0.

Говорят, что для (К) справедлив аналог теоремы Уитни о продолжении, если оператор рк : £* (RN) ^ (К) сюръективен.

В дальнейшем нам понадобятся следующие понятия, введенные в [6] (см. также [7]).

1.3. Определение. Последовательность X = {ж&}£=i элементов локально выпуклого пространства H называется абсолютно представляющей системой (АПС) в H, если любой элемент x G H допускает представление вида x = ^Ckxk, и ряд ^Ckxk сходится абсолютно в H.

1.4. Определение. Пусть H = limind Hn — внутренний индуктивный предел локально выпуклых пространств Hn. Последовательность X = {xk}£=i элементов пространства H называется индуктивно абсолютно представляющей системой (ИАПС), если любой элемент x G H допускает представление вида x = ^Ckxk такое, что Ck xk G Hn при всех к G N и некотором n = n(x) G N, причем ряд ^ Ck xk сходится абсолютно в Hn.

Ясно, что ИАПС в H = limindHn будет также и АПС в H.

Пусть топология в Е*,5(К) задается нормой || ■ ||ш,з,к. При этом, как известно, данное пространство будет банаховым. Далее, наделим Е(*)(К) и £|*}(К) топологиями

proj )= proj E 1 (К) и ind £w,s(K) = md£ +1 (К)

соответственно. ( | )

Для фиксированного p G RN рассмотрим джет A^ := (i|a|paexpi(p, ,

порожденный экспонентой exp i(p, x), x G RN, с мнимым показателем (здесь pa = p^1 • • • PnN, (P, x) = Xj=i Pjxj). Нетрудно проверить, что AM G (К) для любого p G RN. Действительно, возьмем l G N такое, что К С П; = {x G RN : ||x|| ^ l}. Тогда для всех s>0

HAJ^k ^ ||Ам||*,5,п( ^ 2|AM|*;5,пг = 2 sup |pa| exp ( - s^* (H/s))

«6NN

< 2exp [ssup (y In HpH - ЙЩ = ^(|П W)' eanI HI * 1' (1)

y^o [2, если HpH < 1

= 2exp sw(||p||).

Итак, все джеты, порожденные экспонентами с мнимыми показателями, принадлежат пространству (К). Выпишем теперь систему таких джетов специального вида. Пусть

К С Таь := {x G Rn : a < x < b} = {x G RN : aj < xj < bj, 1 < j < N}

(a, b G Rn, a^ < b^, 1 ^ j ^ N) и пусть

г л 2пв / 2пв1 2neN \ ( )

Ла,Ь := I A f , 7- =17-, •••,7- • (*)

' l ъ-а) ee^N b — a \b1 — a1 bN — aN/

В соответствии с введенным выше обозначением, для любого в € ^^

А2пв = ((2т)1а1(" ехр2т(в,-г—) ^ . ь-а \ \Ь - а) \ Ь - а/ к; а&]м

Основным результатом работы является

1.5. Теорема. Пусть ш — почти полуаддитивная сверху весовая функция, К — непустой компакт в , д € (0, то). Следующие утверждения эквивалентны:

(1) для ) (соответственно £{ш}(К)) справедлив аналог теоремы Уитни о про-

должении;

(И) в £(-ш)(К) (соответственно в £{ш}(К)) существует АПС (соответственно ИАПС) из джетов, порождаемых экспонентами с мнимыми показателями;

(ш) если К С Та,ь : = {х € : а < х < Ь}, то система джетов из (*) представляет собой АПС (соответственно ИАПС) в £^ш)(К) (соответственно в (К)).

Заметим, что, как будет видно из доказательства этого результата, если для какого-либо джета / = (/аиз £* (К) можно эффективно построить функцию Р из £% ) такую, что рк(Р) = /, то и коэффициенты хотя бы одного разложения / по системе (*) определяются эффективно. Верно и обратное утверждение.

2. Вспомогательные результаты

Установим сначала необходимое условие сюръективности оператора р^.

2.1. Теорема. Пусть ш — почти полуаддитивная сверху весовая функция, К — непустой компакт в , д € (0, то). Если оператор рк : £* (М^) ^ £* (К) сюръективен, то Иш ш(2Ь)/ш(Ь) = 1, т. е. ш — медленно меняющаяся функция.

По поводу медленно меняющихся функций см. [8], а по поводу медленно меняющихся весовых функций — [3, 4].

Доказательство этого утверждения базируется на построении специального семейства полиномов и ассоциированного с ним семейства линейных непрерывных функционалов на рассматриваемых пространствах. Отметим, что поскольку £55 ) = ) и £5 (К) = (К), то нам достаточно изучить случай д = 1. Будем рассматривать ) как полунормированное пространство с преднормой | • 1Ш,3,1. Возьмем числовые последовательности {дп}О=1 и {гп}О=1 такие, что 0 < дп | 1, то > гп | 1 и наделим пространства £1 ) и £1 г ) топологиями рго] £5 Яп п(Мм) и рго] тё £ш г I) со-

(ш> п I п ""

ответственно. Тогда ) является пространством Фреше, а £{ш}(Мм), как отмечено

в [4, с. 203], — так называемым Ри^-пространством (по поводу этого понятия см. [9, Приложение 1, с. 231]).

Для весовой функции ш определим ее гармоническое продолжение в верхнюю и нижнюю полуплоскости как

Рш (х + 1у) = <

¥/ фХЩу* если у = 0,

—<х

ш(|х|), если у = 0.

Приведем теперь формулировку нужной нам леммы 6.3 из [4].

2.2. Лемма. Пусть ш — почти полуаддитивная сверху весовая функция. Существует семейство полиномов {qr)7(Z) : R € [1, го), 7 € (0,1)} одного переменного ( € C, удовлетворяющее условиям:

(1) (VR £ [1, го)) (V7 £ (0,1)) qr,y(iR) > exp7РШ(iR);

(2) (V7 € (0,1)) (З71 € (7,1)) (3C > 0) такие, что

(VR € [1,го)) (VC € C) |qr>7(Z)| < Cexp (C|ImZ| + 7i"(IZ|)).

Прежде, чем перейти к доказательству предложения 2.1, напомним еще [4, с. 204], [10, теорема 3], что преобразование Фурье — Лапласа функционалов р ^ ((z) := (рж, exp(-i(x, z))) устанавливает топологический изоморфизм между (¿1(RN))ß и A(CN), где

A(.)(CN) = U A^nn(CN), (CN) = U R A,,rn>i(CN),

' n,

пб N «6N пб N

а

Aw,h,i(CN) = {g е H(CN) : = sup - _ , < го k

I zecN exp (i ||Imz|| + MINI)) J

При этом топология в Aw,h,i(CN) задается нормой || ■ ||hw,i, а A(w)(CN) и A{w}(CN) наделяются топологиями ind Aw q n(CN) и indproj Aw r i(CN) соответственно. Понятно, что

n ' ' in ' n'

выполняются равенства

А(ш)(CN) = U U Aw,s ,i(CN), А{ш|(CN) = U П Aw,s ,i(CN). ieN se(o , 1) ieN se(i,

< Доказательство теоремы 2.1. Без ограничения общности можно считать, что

0 е K С {ж е Rn : xi ^ 0}.

1) Заметим, что так как отображение рк сюръективно, то оно открыто. Для пространств Берлинга это следует из теоремы Банаха об открытом отображении, а для пространств Румье — из теоремы Райкова [9, Приложение 1, теорема 3].

2) Предположим, рассуждая от противного, что ш не является медленно меняющейся функцией. Тогда, по лемме 2.7 из [4], найдутся po > 1 и последовательность {Rm}^=i,

1 ^ Rm Т го, для которых

Pw(¿Rm) ^ Pow(Rm), m е N. (2)

Пусть {gR, 7(Z) : R е [1, го), Y е (0,1)} — семейство полиномов, построенное с помощью леммы 2.2. Возьмем Yo е (0,1) так, чтобы YoPo > 1, и положим Qm := gRm,70 (Z) =

nm

E am,kZk, Z е C, m е N. k=o

3) Введем в рассмотрение линейные функционалы

nm

Mf) := £H)kam,kf(k,o,-,o)(0), f = CT)a6NoN е J(K). k=o

Для произвольных s > 0 и f е Ew,s(K) имеем:

Пт ( k \ / — \ Пт )l < I®m)kII/|w,s,K exp-<* i - J < II/ll^.s.Kexp-<* (—J ^ |am>fc

k=0 - k=0

Из этого, как нетрудно видеть, следует, что все рт непрерывны на Е1 (К).

4) Пусть /т — джет, порожденный функцией ехр(—йтЖ1). Взяв замкнутый параллелепипед П : К С П С {ж € : Ж1 ^ 0} и проводя оценки, аналогичные (1), получаем

0 < 11/т\\и,8,К ^ 2|/т|ш,5,П = 2ехр 5 > 0, Ш € N.

С другой стороны, учитывая оценку (1) леммы 2.2 и неравенство (2), имеем:

Рт(/т) = ат,к ("йт)к = ^т(«#т) = 5Ят,7с (¿#т)

к=0

Следовательно,

^ exp7оРш(jRm) ^ exppoTow(Rm), m G N.

MW ^ 1 exp [(poYo - )], m G N.

||/m|| w,s,K 2

Значит, ^т.(/т) ^ то при ш ^ то, если 5 < Р070. Учитывая неравенство Р070 > 1, \\/т\\ш,з,К

заключаем, что множество {рт : ш € N} не является равностепенно непрерывным в

(Е* (К))_

5) Теперь рассмотрим множество {р_Рт : Ш € N}, где р' — сопряженный оператор к рк, а _крт — преобразование Фурье — Лапласа функционала рКрт. Оператор рк действует из (¿^(К))' в (¿^(М^))' по правилу

(р'кР,/) = <^>рк/), Р € ЗЕ1(К))', / €Е*(Жм). Поэтому для всех / € Е¿(М^) и ш € N имеем

д к /

(PK **)(/) = / ^Ik)^) = £Н)" ^ (°).

0 k=0 1

Отсюда следует, что

^__^ nm

PkPm(z) = [pKPm](exp(-i(x,z))) = £(-i)kam,k( izi)k

k=o

= Qm(-Zl) = gRm,70 ( Zi), z G CN.

Используя условие (2) леммы 2.2, находим 71 G (70,1) и C > 0 такие, что для всех z G C и m G N выполняется неравенство

|PKMz)| < Cexp (C|Imzi| + Yi^(|zi|)) < exp (C||Imz|| + .

Значит, для всех s > 71 и для произвольных z G CN и m G N справедлива оценка

_|PK Pm(z)|

N

exp (([C] + 1)||Imz| + sw(||z|

< Cexp(7i - sM||z||) < C.

Это означает, что множество {р'крт : Ш € N содержится и ограничено в 5 )

для всех 5 > 71. Поскольку 71 < 1, отсюда следует, что {р'крт : Ш € N — ограниченное множество в А*(СМ).

6) Как было отмечено выше, преобразование Фурье — Лапласа является топологическим изоморфизмом (¿^(М^))в на ). Поэтому, учитывая пункт 5, заключаем,

что множество [р'крт : т £ Н} ограничено в (¿^(М^))в. А значит, оно и слабо ограничено в (¿(М^))'. Далее, ¿(^(М^) бочечно как пространство Фреше, а ) бочечно как индуктивный предел банаховых (а следовательно, бочечных) пространств. Применяя [9, следствие 1 на с. 100], получаем, что множество {рКрт : т £ Н} равностепенно непрерывно. Так как рк открыто (см. пункт 1), то из [11, следствие 8.6.11] вытекает, что рК инъективно и множество (р^)-1({рКрт : т £ Н}) = : т £ Н} равностепенно непрерывно в (¿^(К))'. Но это противоречит пункту 4. Таким образом, теорема доказана. >

Два следующих вспомогательных результата посвящены построению срезающей функции и умножению в пространстве Е I (Мм).

2.3. Предложение. Пусть ш — весовая функция, К — непустой компакт в Мм, е > 0, Ке := К + {ж £ Мм : ||ж|| ^ е}. Тогда можно конструктивно построить функцию ф £ Сс(Мм), удовлетворяющую условиям:

(!) ф\к = 1,

(2) вирр ф С К3е,

(3) / |ф(4)| ехр вш(р||) < то для всех 5 > 0.

Здесь ф>(4) = J ф(ж) ехр(-ж))йж — преобразование Фурье функции ф.

< Как известно [5, лемма 1.6], можно конструктивно построить весовую функцию а такую, что ш(4) = о(а(4)) при 4 ^ то. Далее, с помощью [5, лемма 2.3] строим (опять же конструктивно) функцию д £ Сс(М) такую, что д = 0, виррд С [0, то) и |д(ж)| ^ ехр(-а(|ж|)) для любого ж £ М. Без ограничения общности можно считать, что 0 £ виррд. Положим ф := (Яе д)2 + (1т д)2. Тогда ф £ Сс(М), ф ^ 0, ф = 0, вирр ф С [0, то) и

со

|ф(ж)| = 2П* д\ = 2П ^(4)д(ж - ^

-с

оо

со

- ж) ^

< -Л/ ехр ( - а(|4|) - а(|ж - 4|)) ^

-с

со

^ -П / ех^ - - а(1*1)) ехр( --(а(|4|) + а(|ж - ¿|))^ &

— со

Используя условие 1.1 (а) для функции а, найдем М > 1 так, чтобы а(24) ^ М(а(4) + 1) для каждого 4 ^ 0. Тогда а(|4|) + а(|ж - 4|) ^ — а(|4| + |ж - 4|) - 1 ^ — а(|ж|) - 1 для всех ж, 4 £ М. Значит,

ММ

|ф(ж)| < С ехр ( - -М а(|ж|)) , ж £ М,

/е °° /1 \ где С := — [ ехш — а(4) ) < то (в силу 1.1 (в), примененного к а).

п о V 2 У

Определим теперь функцию 7(ж) := ^(1 + ж)^(1 — ж), ж € М. Понятно, что 7 ^ 0, 7 = 0, 7 € Сс(М) и эирр7 С [—1,1]. Далее,

|7(ж)| = ^

со

I е^)е-*(х-^(—(ж — < СП Iехр (— ^*(М) — ^а(|ж — ¿|))

оо

~<2

^ ^П / ех^—4Мехр( — 4МЗа(^) + а(|ж — *!))) < С1 ехр (—*(М)) ,

-с

где

С1 := С2 ехр 4м Г ех^ — ^а(4) )

п У V 4М

0

Для произвольного ж = (ж1,..., ж») € М» положим

со

п(ж1,...,ж») := ^»А»т^)... ' А = / 7(ж)(ж >

-с

Очевидно, что п € Сс(М»), п ^ 0, п = 0,1 п(ж) ¿ж = 1 и яиррп С [—е,е]». Кроме того,

1 » С» / 1 \

1Пг(ж)| = |7(еж,-)| < А» ехМ — 4М2*0Ф\\)) , ж € М». (3)

¿=1 4 J

Наконец, пусть

<(ж):=(п . х)(ж) = / х(ж — ж € М»,

где

(4) /1, t € К2£, [0, 4 € К2е

— характеристическая функция компакта К2е. Тогда, как известно, < € Сс(М»), яирр< С К3е, <|к =1 и <7 = 7• Х7 Используя (3) и оценку |7(ж)| ^ ш(К2е) (Уж € М»), получаем для произвольного в > 0:

^ |<7(4)| ехрви(р\\) < А»ш(К2£) ^ ехр (—^а (ер\\) + ви(р\\))

Учитывая условия 1.1 (а, в) для функции а и то, что ш(у) = о(а(у)) при у ^ то, из этого легко получить, что J |<7(4)| ехрвш(\\4\\) < то. >

Замечание. Построенная в предыдущем предложении функция < принадлежит (М»), д € (0, то).

Действительно, для < справедлива формула обращения Фурье, дифференцируя которую, имеем

<(а)(ж) = гЛ» / <7(*)(й)ае*(*,!В> (И, ж € М», а € NN. (2п)»

|<(а)(ж)| / 1Ш expsw(||t||) dt ■ exps<*

Значит, для всех х £ , а £ NN и в > 0

откуда следует нужное.

2.4. Предложение. Пусть ш — медленно меняющаяся весовая функция, д £ (0, го). Тогда Е% ) — алгебра относительно обычной операции умножения функций.

< Пусть / £ ),# £ ), 0 < в!,в2 < го, I £ N. Положим в :=

тш{в1, в2} и возьмем в' £ (0, в).

Как известно, функция не убывает на (0, го). Кроме того, выпукла на [0, го)

и (0) = 0, откуда следует, что полуаддитивна снизу на [0, го). Поэтому для всех а и в из NN таких, что в ^ а справедлива оценка

*( 1в| \ + |а| — |в| А . 1в| \ + |а| - |в| \ . |а|

Значит, для любого

а £ NN

и всех х £ MN с ||х|| ^ I имеем (/5)(а)(х)| = Е /(в)(х)5(а-в)(х) < |/Ц^Ы^ехр (в^ (М) + |а| 1п2^ .

Далее,

s

o^e^a

s<pwf—1 + |а| ln2 = sup (£|а| - s <w(e) + |а| ln2) V s / £^o

< sup ((e + ln 2)|а| - sVw(e + ln 2)) + sup (s'<w(e + ln 2) - s <w(e))

< s' <44) +sup (s'w(2t) - sw(t)). V s J i^i

s

Так как ш медленно меняется, то найдется C = C(s, s') > 0 такое, что w(2t) ^ — w(t) + C для всех t ^ 0. Тогда для всех ж е RN с ||ж|| ^ l и произвольного а е Nn получаем

|(fg)(a)(x)| < es'C|f |w,sbi|g|w,s2,i exp s'<w (,

откуда уже непосредственно следует нужное. >

Перейдем теперь к рассмотрению пространств периодических УДФ нормального типа.

_ Пусть a, b е Rn, а < b (т. е. aj < bj, 1 < j < N), Та,ь := {ж е RN : а < ж < b}, Ttt,b := {ж е Rn : а ^ ж ^ b}. Для функции f е C~(MN) и s > 0 положим

|f |w,s,ab := sup sup |f(a)(ж)| exp ( - s<W(M/s)).

aeNOO X6Ta,b

Введем следующие пространства периодических УДФ:

£^,оь(^) := {/ £ ) : |/Цв>оЬ < то,

/(ж + (к, 6 - а)) = /(ж), Уж £ , Ук £ ,

¿Н,оь(^ ):= П ), ¿{%,оь (^ ):= У ¿-^(^).

«6(0,?)

Пусть топология в Еш,5,оь(Жм) задается нормой |-|ш,5,оь. Наделим пространства Е(^) )

Е? , оЬ(ЖЛ) топологиями рго] Еш,5,оь(МЛ) и шё Еш,5,оь(МЛ) соответственно.

{Ш}'° 56(0,?)

2.5. Предложение. Система экспонент

ехр2пг(в

6 - а' I вбМ^

(4)

образует абсолютный (соответственно абсолютно индуктивный) базис пространства £н,оь(»М) (соответственно ¿¡^(К*)).

< Фиксируем произвольную функцию д £ Е? оь ). Тогда она разлагается в МЛ в ряд Фурье

д(ж) = Е свехр2п^в,^жа),

вбМ^

причем этот ряд можно почленно дифференцировать любое число раз и ряды из производных сходятся равномерно в (или, что то же самое, в То,ь). Коэффициенты с^ вычисляются по формулам:

]=[(6] — а] )св = J ... J д(ж)ехр^—2пг^в, 6"——¿ж1 . ..¿ж^.

(5)

Ьз о° =0 и введем

Оценим сверху |с£| для в = 0. Условимся формально считать N-мерный вектор Ь—о = (,..., . Для определенности будем предполагать,

то для всех ж] таких, что

что

Ь—о

тах

Ь?-о? = Ь1-о1 Так как а <= Р? в = в1 . к как д £ Е*,оЬ

а] ^ ж] ^ 6], ^ = 2,..., N, и всех к £ Н0

д к д джк

(ж) ехр ^—2пг^в, 6"ж—

|| Ь1

Х1=о1

0.

Тогда из (5) с помощью интегрирования по частям для произвольного к £ получаем

П(6]—а] )|св1 = (^У1 ]=1

)X. 0 (ж)Ч—а»

^ж

<

(2п)к

6 — а

в

/ к \ *

|д|ш,«,оь ехР в^ П(6] — а])

и

к

1

Следовательно, для всех в € с ||в|| ^ --- имеем

1|Ь - а|

2п

\ср| ^ \д\ш,8,аЪ ехР ^ ( -к 1п2п кеМо \

в

= 191ш,з,аЪ ехр

/к,

-в 8^1 — 1п 2п

кеМо V в

Ь - а

в

Ьа

I *

+ вРи

в

^ 1д1ш,8,аЪ exp

= 1д1ш,8,аЪ exp

у

-в - 1п2п

у>0\ в

в

—вш[ 2п

Ь-а

в

- в)) +1П2п

в

Ьа

Ьа

+ 1П 2п

в

Ьа

где в > 0 произвольно.

Далее, нетрудно проверить, что для всех в' > 0 и в € справедлива оценка

exp

2т(в,

Ьа

^ exp в'ш \ 2п

ш,8'аЪ

в

Ьа

Возьмем в' : 0 < в' < в < то и из условия 1.1 (в) найдем С = С (в, в') > 0 такое, что вш(Ь) - в'ш(Ь) - 1пЬ ^ (Ж + 2)1пЬ - С при всех Ь ^ 0. Тогда для всех в € NN с

> ||Ь - а||/(2п) выполняется неравенство

\ср I

exp

2т(в,

Ьа

^ е

с

,аЪ

||Ь - а| 2п

N+2

\д\ш,и,аЪ ,|в||N+2 .

Окончательно имеем

Е \св\

exp2пi(в

Ьа

^ С1\д\ш,8,аЪ,

ш,8г ,аЪ

где

С1 := £ \св )

1

ш,8'аЪ

вемО в=0

2п

\N+2

<

зависит только от д, в и в'. Из этого, как нетрудно видеть, следует, что (4) является АПС в £(5) ) (соответственно ИАПС в £|5} aъ(RN)). Единственность разложения

функции д по системе (4) вытекает из равенств (5), что завершает доказательство предложения. >

3. Доказательство основной теоремы

При доказательстве будем придерживаться схемы (ш) ^ (п) ^ (1) ^ (ш). Импликация (ш) ^ (И) очевидна. (п) ^ (1): Пусть система

Ф = Шь=1, = exp•)|к)аем0^, ^ €

к

в

1

а

является АПС в Е(^) (К) (соответственно ИАПС в Е|ш} (К)). Возьмем произвольный джет

/ = (/")«€ NN из Е?л(К) (соответственно Е? , (К)). Тогда / = ^ с^ ^, причем ряд 0 11 к=1 справа сходится абсолютно в Е?ш)(К) (соответственно в некотором ЕШ;5(К), в > д), т. е.

|ск| • < то при всех в € (0, д) (соответственно при некотором в > д). Из

этого следует, что

те

1 эир ^ ехр( - (|а|/в)) < то (6)

к=1

при всех в € (0, д) (соответственно при некотором в > д). Значит, ряды

ехр,ж), а € ,

к=1

те

сходятся равномерно и абсолютно в М7. Поэтому функция д(ж) = ^ ехр, ж) бес-

конечно дифференцируема в М7 и

к=1

N

те

д(а)(ж) = ^с^"1^ехр,ж), ж € М7, а € NN. к=1

Тогда, в силу (6), < то при всех в € (0,д) (соответственно при некотором в > д)

и всех I € N. Это означает, что д € Е(^)(М7) (соответственно д € Е|ш} (М7)). При этом, очевидно, рк(д) = /. Таким образом, оператор рк сюръективен.

(1) ^ (ш): Пусть оператор рк отображает Е? (М7) на Е? (К). Тогда, в силу теоремы 2.1, ш — медленно меняющаяся весовая функция.

Заметим, что, как нетрудно проверить, оператор рк действует из Е?аЬ(М7) в Е?(К) непрерывно. Поэтому, если мы еще докажем, что рк отображает Е?аЬ(М7) на Е?(К), то выполнение (п) будет следовать из предложения 2.5 и того известного факта [7, с. 76-77], что всякий эпиморфизм переводит абсолютный (абсолютно индуктивный) базис в АПС (ИАПС).

Возьмем е > 0 так, чтобы Кзе С Та;ь. Пусть ^ — функция, построенная с помощью предложения 2.3 для данного е > 0 и рассматриваемой весовой функции ш. Зафиксируем произвольный джет / из Е? (К). Так как по предположению рк действует сюръективно из Е? (М7) на Е? (К), то найдется Е € Е? (М7) такая, что рк (Е) = / .В силу предложения 2.4, € Е?(М7). Возьмем сужение функции на Та>ь и продолжим его по периоду на все М7. В результате получим функцию Е € Е?аЬ(М7). При этом, Е(ж) = Е(ж) для

всех ж € Ке. Следовательно, рк(Е) = рк(Е) = /. Тем самым импликация (1) ^ (ш), а вместе с ней и основная теорема, доказана. >

Автор выражает благодарность профессору Ю. Ф. Коробейнику за постановку задачи и помощь в подготовке статьи.

Литература

1. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций и продолжимость по Борелю — Уитни // В сб.: Актуальные проблемы математического анализа.—Ростов-на-Дону: Изд-во ГинГо.—2000.— С. 8-22.

2. Korobeinik Yu. F. On absolutely representing systems in spaces of infinitely differentiable functions // Stud. Math.—2000.—V. 139, № 2.—P. 175-188.

3. Абанина Д. А. Об аналогах теоремы Бореля для пространств ультрадифференцируемых функций нормального типа // Изв. вузов. Математика.—2003.—№ 8.—С. 63-66.

4. Abanina D. A. On Borel's theorem for spaces of ultradifferentiable functions of mean type // Result. Math.—2003.—V. 44, № 3/4.—P. 195-213.

5. Braun R. W., Meise R., Taylor B. A. Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Result. Math.—1990.—V. 17.—P. 206-237.

6. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты. Приложения к пространствам Фреше // Мат. сб.—1975.—Т. 97, № 2.—С. 193-229.

7. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи мат. наук.—1981.—Т. 36, № 1.—С. 73-126.

8. Сенета Е.Правильно меняющиеся функции.—М.: Наука, 1985.—141 с.

9. Робертсон А. П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства.—М.: Мир, 1967.— 257 с.

10. Абанин А. В., Тищенко Е. С. Пространства ультрадифференцируемых функций и обобщение теоремы Пэли — Винера — Шварца // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки.—1997, № 2.— С. 5-8.

11. Эдвардс Р. Функциональный анализ.—М.: Наука, 1969.—1071 с.

Статья поступила 5 мая 2004 г-

Абанина Дарья Александровна

Ростов, Ростовский государственный университет

E-mail: abanina@math.rsu.ru