Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53+517.98

СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ И ПРОСТЕЙШИХ ДРОБЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ГЛАДКОСТЬЮ

© 2011 г. А.В. Абанин1'2, С.В. Петров

„2

1Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, backoffice@smath.ru

2Южный федеральный университет, ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090

'Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Centre RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, backoffice@smath.ru

2Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Рассматриваются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, с заданными оценками всех производных. Исследованы свойства продолжения и устойчивости относительно предельного перехода абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах такого типа. В частности, установлено, что системы экспонент обладают свойством продолжения в выпукло дополнимые подобласти, в то время как системы простейших дробей не обладают этим свойством ни для одной подобласти. Устойчивость относительно предельного перехода имеет место по весовым последовательностям.

Ключевые слова: абсолютно представляющие системы, системы экспонент, системы простейших дробей.

We consider spaces of functions which are holomorphic in a bounded simply connected domain and infinitely differentiable up to its boundary and have given estimates of all derivatives. We study properties of a continuation and stability of absolutely representing systems of exponential functions and partial fractions in spaces of such a type. In particular, it is shown that systems of exponential functions have a property of continuation into convex-complemented subdomains, while systems ofpartial fractions have not this property for any subdomain. The property of stability takes place with respect to weighted sequences.

Keywords: absolutely representing systems, systems of exponential functions, systems ofpartial fractions.

Пусть G - ограниченная односвязная область комплексной плоскости C, для которой int G = G . Через A" (G) обозначим пространство всех функций, аналитических в G и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы dG, через V - семейство всех неубывающих выпуклых на [0,") функций р, для которых

t = o(p(t)) при t . (1)

Без ограничения общности будем считать, что р(0) = 0 . С каждой функцией р из V свяжем банахово пространство

f (k)( z)\

A <G) = if e A"(G):

= sup sup

k!e«(*)

■ < "i

Возьмем произвольную последовательность Ф = )"=1 функций из V , для которой существуют такие С — 0, что

+1) + г <уп (о + Сп (Г — 0; п е N. (2)

Тогда А (О) компактно вложено в А (О) (п е к).

Поэтому АФ (О) = р| А (О), наделенное топологией,

задаваемой набором норм (||• || )»=1, является (РБ)-про-странством (детальное изложение свойств (РБ)- и

двойственных к ним (БР8)-иространств имеется в обзоре В.В. Жаринова [1]).

Целью настоящей работы является исследование некоторых свойств абсолютно представляющих в Аф (О) систем экспонент и простейших дробей. В связи с этим напомним следующее. В соответствии с определением Ю.Ф. Коробейника [2, 3] последовательность {хк }»=1 ненулевых элементов локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей (АПС) в Н, если любой элемент х е Н

можно разложить в ряд х :=2Г=1 скхк (ск - скаляры), абсолютно сходящийся в Н. В [4, 5] было доказано, что при некоторых ограничениях на О и Ф в пространстве А (О) существуют АПС экспонент

ЕЛ :={еЯк2}»=, где Л = {Хк}»= и |1к| Т» при к ,

и (или) АПС простейших дробей ^ := {1/(7 - )}»=1,

где Л = {Як }»=1 с сО не имеет предельных точек в

сО . Здесь и далее сО - дополнение компакта О до расширенной комплексной плоскости С . Поскольку тах| / (7)\ <1 /I / е А(О)) для любого веса pеV,

то абсолютная сходимость функционального ряда ХТ=1 / в Аф (О) влечет его абсолютную и равномер-

V

и=1

ную сходимость на О в обычном смысле. Отсюда и из известного факта о том, что область абсолютной сходимости ряда из экспонент скеЛи (ск е С) выпукла [6, с. 194], следует, что в случае систем Ел имеет смысл рассматривать лишь выпуклые области О.

В 1-й части работы доказывается, что АПС экспонент и простейших дробей в Аф (О) свободны в том

смысле, что они остаются АПС в Аф (О) после удаления из них любого конечного числа элементов.

Во 2 и 3-й частях рассматриваются свойства продолжения и устойчивости относительно предельного перехода для АПС из экспонент и простейших дробей в Аф (О). Исследование базируется на использовании двойственных результатов из [7, 8], а также на изоморфных реализациях сопряженного с Аф (О) пространства, установленных в [4, 9].

О свободности систем простейших дробей и экспонент в Аф (О)

Приведем ряд нужных для дальнейшего изложения вспомогательных результатов, касающихся элементарных операторов - дифференцирования, Пом-мье, умножения на экспоненты, мономы и простейшие дроби. Начнем с операторов дифференцирования Б: / ^ /' и Поммье (Р - фиксированная точка в О)

z Ф ß,

< e n sup sup

(k +1)!

Vn+1(k+1)

< eCn I

Поэтому оператор Б действует непрерывно из Аф (О) в Аф (О).

Далее для фиксированного Р е О функция / аналитична в О и бесконечно дифференцируема на О. По правилу Лейбница (Бр/)(к) (г) =

(-1) кк!

(z -

k+i (f(z)-f(ß)) + ies (-1) i(k ,,)! f(s)(z)

s=1 (z -ß) k

\(Dßf)k)(z)\ 1 k |f(,)(z)|

ЧН < dF(f (z)|+l f ß

k!

Г 2 Ak-1

d ß

v ß /

Значит, D

e*m(k) < eCII

< eC

,9n (k)

где постоянная С не

| /(z) - /(Р)

БР : / ^ \ г-р '

[/'(Р), г = р. Лемма 1. Операторы дифференцирования Б и Поммье Бр (при Ре О) действуют непрерывно из

Аф (О) в Аф (О).

Доказательство. Пусть п е N и / е Аф (О) произвольны. Из (2)

I/(к+1)( г)|

11Б(/)|| л = 5иР5иР Т^Г *

™ геО ке_2+ к\вп

\/(к+1) (г)|

при любом к е N . Положим ^ := ттр(Р, дО),1}, где р(г, Р) - расстояние от точки г е С до множества Р с С , и, применив (2) несколько раз, найдем т>п и

2

С = С(п,Р) > 0 так, чтобы <рт (7) <рп (7) - (7 + 1)1п— + С при всех 7 > 0. Тогда для г е дО

IIЩ "" "<Pm

зависит от f е Аф (G). Следовательно, оператор Поммье Dp действует из Аф (G) в Аф (G) и непрерывен.

Теперь рассмотрим операторы умножения на экспоненты Мя : f ^ f (z)eh, мономы L : f ^ f (z)(z -Л), где Л - фиксированная точка из С , и простейшие дроби Nx : f ^ f (z)/(z -Л) (Ле cG).

Лемма 2. При любом Ле С оператор M л - изоморфизм А (G) на себя, обратным к которому является M .

Оператор Lx непрерывен из Аф (G) в Аф (G) при любом Ле С .

При любом Л е cG операторы LA и Nл являются взаимообратными изоморфизмами А (G) на себя.

Доказательство леммы 2 проводится с помощью соображений, аналогичных использованным выше в лемме 1. Поэтому мы его опускаем.

Из лемм 1 и 2 следует такой важный для нас результат.

Лемма 3. Оператор Поммье Dp является эпиморфизмом пространства Аф (G) на себя при любом р е G.

Если область G звездна относительно хотя бы одной своей точки, то оператор дифференцирования D -эпиморфизм Аф (G) на себя.

Доказательство. Пусть р е G . По лемме 1 оператор Dp : Аф (G) ^ Аф (G) непрерывен. Покажем, что он сюръективен. Для фиксированной функции g из Аф (G) рассмотрим функцию f (z) = [Lp g\z) + g (P) . Из леммы 2 следует, что f е Аф (G). При этом Dpf = g , и 1-е утверждение леммы 3 доказано.

Докажем 2-е утверждение. Пусть область G звездна относительно некоторой своей точки z0. Учитывая лемму 1, достаточно показать, что оператор дифференцирования D отображает Аф (G) на Аф (G). Возь-

__ z

мем g из Аф (G) и рассмотрим функцию v(z) = j g(t)dt,

z0

где интегрирование ведется по отрезку, соединяющему z с точкой z0. Ясно, что v е А(0). Кроме того,

v(k) (z) = g(k-1) (z), Vk е N . Поскольку g е С ™ (G) , то

отсюда следует, что и v е С" (G). Далее

sup | v(z) |< Ав sup | g(z) |, где Д G - диаметр области G.

,(к)

Следовательно, для каждого n е N sup sup

(z)|

G keZ+ k!e

Vn (k)

<

<

+

<

< max<! sup sup

g

(k-1)

(z)|.

G keN k!e<n(k)

Д G supg(z)|U(i + Д G |g|| <

Значит, v е Аф (О). Так как В(у) = g, то лемма полностью доказана.

Из леммы 3 непосредственно следует такой результат для операторов Поммье и дифференцирования конечного порядка. Нулевой степенью любого оператора считаем тождественный оператор Е.

п

Лемма 4. Пусть Р(7) = ^ajzJ - нетривиальный

j=0

полином. Верны следующие утверждения.

Оператор Поммье, порожденный Р, -

п . -

Р(Вр): / ^ ^ а^В^/ - эпиморфизм АФ (О) на себя

j=0

при любом Ре О. В частности, эпиморфизмом Аф (О) на себя является оператор В^ - ЯЕ при любых Ре О и Я е С.

Если область О звездна относительно хотя бы одной своей точки, то оператор дифференцирования конечного порядка, порожденный Р, -

п . -

Р(В): / ^ ^ ар1 / - эпиморфизм Аф (О) на себя.

j=0

В частности, эпиморфизмом А (О) на себя является оператор В - ЯЕ при любом Яе С.

Перед формулировкой основного результата параграфа отметим, что так как в(еЯ )= ЯеЯ и

л ( 1 1 1 -В I-I =-, то экспоненты и простейшие

7-Я) (Я-Р)(7-Я)

дроби являются собственными функциями операторов дифференцирования и Поммье соответственно.

Из леммы 4, подобно [3, теорема 3.13], получаем такой результат.

Предложение 1. В пространстве Аф (О) всякая АПС простейших дробей ЕЛ или экспонент Ел является свободной.

Следствие. Системы простейших дробей Ел или экспонент Ел не могут быть базисами в пространстве Аф (О).

Продолжение АПС простейших дробей и экспонент в Аф (О)

Пусть дана упорядоченная пара пространств (аф1 (О1), Аф2 (О2)). Будем говорить, что она обладает свойством

продолжения АПС относительно простейших дробей (экспонент), если каждая АПС ЕЛ (соответственно Ел) в 1-м пространстве является также АПС и во 2-м. Мы рассмотрим вопрос о наличии свойства продолжения в 2 принципиально разных случаях: при фиксированной весовой последовательности (Ф1=Ф2=Ф) и фиксированной области (01= 02= О).

Нам понадобится следующая очевидная взаимосвязь А (О) с классическими пространствами А(О) и А(О) , где А(О) - пространство Фреше всех аналитических в области О функций с топологией равно-

мерной сходимости на компактах в О; А(О) - пространство ростков аналитических на О функций со своей естественной индуктивной топологией.

Лемма 5. Имеют место непрерывные вложения: А (О) Аф (О) А(О).

Следующая лемма касается необходимых условий геометрического характера того, что система простейших дробей является АПС в А (О) .

Лемма 6. Если система простейших дробей Ел является АПС в пространстве Аф (О), то дО с Л.

Доказательство. Если Ел - АПС в Аф (О), то по лемме 5 каждую функцию / е А(О) можно предста-

вить в виде суммы ряда f (z) = ^

z -Я,

где ak - ска-

ляры, абсолютно сходящегося к / по топологии Аф (О) и, тем более, по более слабой топологии пространства А(О). Остается применить [10, предложение 4], в соответствии с которым дО с Л.

Замечание. Поскольку рассматриваются лишь системы Ел, для которых Л не имеет предельных точек в сО , то условие дО с Л равносильно тому, что дО = Л', где Л' := Л \ Л - множество предельных точек последовательности Л.

Предложение 2. Пусть О - односвязная область с

дО = дО . Свойство продолжения из Аф (О) в Аф (В) относительно простейших дробей не имеет места ни для одной подобласти В с О .

Доказательство. Пусть Л = {Я }»=1 - последовательность точек из сО , не имеющая предельных точек в сО , такая, что система Ел является АПС в А (О) . Предположим, что Ел является АПС в Аф (В), где Б - непустая подобласть О такая, что В Ф О. Возьмем произвольную точку ^ е О \ В. Из леммы 6 и замечания к ней имеем, что дВ с Л' = дО, и поэтому ^ £ дВ . Фиксируем произвольную точку ^ е В и соединим ее с точкой х1 непрерывной кривой Ь, целиком лежащей в О. В силу непрерывности Ь найдется точка ^ е Ь , принадлежащая дВ. Значит, ^ е О П дВ .

С другой стороны, из условия дВ с дО следует, что ни одна точка области О не может лежать на границе дВ . Полученное противоречие доказывает предположение 2.

Контрастным по сравнению с предположением 2 является следующий результат, в котором утверждается, что АПС экспонент в пространствах вида А (О) при определенных дополнительных условиях

могут обладать свойством продолжения по области. В этой части работы мы будем пользоваться взаимосвязью между АПС экспонент в А (О) и слабо достаточными множествами в специальной реализации сопряженного пространства, а также общими резуль-

a

k

k=1

татами о продолжении слабо достаточных множеств из [4, 8]. Напомним необходимые нам результаты. С каждым весом p е V свяжем выпуклую функ-

r

цию \\(r) = (p(r) + r ln+ — , r > 0 .

e

Очевидно, что \ - вес из V . Через \ * обозначим функцию, сопряженную с \ по Юнгу-Фенхелю,

т.е. \ * (s) := sup(ts - \(t)), s > 0 . Определим банахово

во пространство целых функций E^ (G) =

= \F еh(c):|f| .= sup-,-F(-)-—n <да[,

[ W 1 ЛеС exp (Hg (Л) + \*(ln + |Л|)) J

где HG (Л) = supRe(Az) - опорная функция компакта G.

zeG

Для весовой последовательности Ф = (pn )да=1 рассмотрим образованную по вышеуказанному правилу

* / * \да

последовательность Т = )п=у и введем простран-

да

ство ET*(G):= U E\n *(G), наделив его естественной

n=1 n

топологией индуктивного предела. В силу (2) пространство E^, (G) относится к классу (DFS).

Обозначим через fLDW^) семейство всех весовых последовательностей Ф, удовлетворяющих условию (2), для которых преобразование Лапласа функционалов T ^ Т(Л) := T(еЛ), ЛеС, устанавливает топологический изоморфизм между пространством (аф (G)), сильно сопряженным к Аф (G), и E^, (G)

для любой ограниченной выпуклой области G. Отметим, что в [4] установлено, что любая весовая последовательность Ф, для которой выполнено (2) и pn(t) = O(t2) при t ^да (n е N), принадлежит (LDW,).

Далее на основании функционального критерия Ю.Ф. Коробейника [7, теорема К] в [4] был получен следующий результат.

Теорема А. Пусть G - ограниченная выпуклая область комплексной плоскости; Ф - весовая последовательность из (LDW). Для того чтобы система

Ел = \еЛ }ik=1 была АПС в АФ (G), необходимо и достаточно, чтобы множество Л = {Лк было слабо достаточным для ET* (G).

По поводу определения и свойств слабо достаточных множеств мы отсылаем читателя к [7, 8]. Приведем нужный нам для дальнейшего результат о продолжении слабо достаточных множеств из [8] в одномерной ситуации.

Пусть V® (i = 1, 2) - весовые последовательности функций, определенных на C. Рассмотрим пространства целых функций E(i), каждое из которых ассоциировано с соответствующей весовой последовательностью V(i) (i = 1, 2). Множество S, слабо достаточное для E^, называется VV), ^-продолжаемым, если оно слабо достаточно для E®. В случае, когда У(Г), ^2)-про-должаемым является произвольное слабо достаточное для E(1) множество, будем говорить, что имеет место

свойство ^^^-продолжаемости. В [8] установлен следующий результат.

Теорема В. Пусть Q(1) = {exp(hk(Л) + Ь(Л))>^, Q(2) = {exphk(Л)>,"=i, где Нк(Л) < hk+i(X) (к = 1,2,...; Ле C). Если функция b(X) субгармонична в C и Vk е N 3<C < да: h+1 (Л) - h (Л) > В(Л) - Ь(Л) + 3 ln(1 +12)- Ck, Ле C, где В(Л) = supЬ(Л + £), то имеет место свой-

№

ство Q(1), Q(2) -продолжаемости.

Наконец, пусть G1 и G2 - выпуклые области в C. Говорят, что G2 выпукло дополнима до G1, если найдется выпуклый компакт K такой, что G1= G2+K.

Имеет место следующий результат.

Предложение 3. Пусть Ф = {p >да=1 - весовая последовательность функций из (LDW). Если G1 и G2 -выпуклые области в C, причем G2 выпукло дополнима до G1, то пара пространств (аф (G), Аф (G2)) обладает свойством продолжения АПС относительно экспонент.

Доказательство. Положим h()(X) = Ha.(Л) + (ln+Л), Ле C (i = 1,2). Тогда пространства целых функций E^,. (G) (i = 1,2) порождены весовыми последовательностями {exp h((,)(Л)> да=1.

Пусть К - выпуклый компакт, дополняющий область G2 до G1. Тогда, если Ь(Л) - опорная функция

компакта К , то h() (Л) = h^2) (Л) + Ь(Л), n е N, причем b(X) субгармонична в С. Рассмотрим далее В(Л) = sup Ь(Л + £). Из определения опорной функ-

№

ции следует, что В(Л) = supRe^^ + ^) < Ь(Л) +АK, где АК = supz| - радиус наименьшего круга с цен-

геК

тром в начале, содержащего К.

Так как весовая последовательность Ф удовлетворяет условию (2), то, использовав [4, лемма 6], получаем, что для каждого n е N и любого Ле C выполняется неравенство

hn+6 (Л) - €\Л) = \n+6 (п+И)- \ (Ш+1Л)>

> В (Л) - Ь(Л) + 3 ln(l + Л2)- ( f Cn+k + 3 ln 2 + А К j

Таким образом, для подпоследовательностей весов Q(,) = {exp ^(')-5(Л)>л™=1, i = 1,2, выполнены все условия теоремы В. Поскольку замена весовой последовательности на ее подпоследовательность не меняет индуктивный предел (ни само пространство, ни топологию в нем) и не влияет на слабую достаточность множества, то из этой теоремы следует, что каждое множество, слабо достаточное для

E^* (G1), является слабо достаточным и для ET*(G2). Использовав теорему A, получаем нужное.

Рассмотрим свойство продолжения АПС при фиксированной области G= G1= G2. При этом в случае систем экспонент, как отмечалось выше, следует рассматривать только ограниченные выпуклые области G. Как и ранее, при исследовании будем использовать

результаты о продолжении слабо достаточных множеств из [8] и взаимосвязь между АПС экспонент в

А (О) и слабо достаточными множествами в специальной реализации сопряженного пространства из [4]. Докажем следующий результат. Предложение 4. Пусть ограниченная выпуклая область О комплексной плоскости и весовые последовательности Ф1 = {(р^»^, Ф 2 = {^п2}»=1 из (LDW) таковы, что соответствующие последовательности весов Т,

удовлетворяют условию ( (х) = (((1) (х) - а(х)) , х — 0, п е N, где а(х) - неотрицательная неубывающая выпуклая на [0,+») функция. Тогда для пары пространств (аф (О), АФг (О)) имеет место свойство

продолжения АПС относительно экспонент.

Доказательство. Рассмотрим для всех Я е С

функцию Ь(Я) = ®(1п+Ц). В силу непрерывности и

неубывания а и 1п+ функция а о 1п+ непрерывна и не убывает на [0,+»). Так как а(0) =

= ()*(0)-(()*(0) = 0, то а(х) ={а,(х}<х0— не

убывает и выпукла на Я. Учитывая равенство (а о 1п + )(ех)=а(х), х е Я, и применяя [11, теорема 2.1.2], получаем, что Ь(Я) субгармонична в С .

Далее из равенства () (х) = () (х) - а(х), х — 0, и [4, лемма 4] следует, что а(х) = о(ех) при х ^ ». Тогда [12, с. 488] найдется такая постоянная А>0, что для всех Я е С В(Я) - Ь(Я) < а(1п+ Я +1))- а(1п+ Ц)< А.

Так как весовая последовательность Ф удовлетворяет условию (2), то, как и выше, используя [4, лемма 6], получаем, что для каждого п е N выполняется

неравенство (п+б) (1п+И)- (( ) (1п+1я)—

(1+1Я2 )-

Z Cn+k + 3ln2 + AI, VЯ e C.

— В(Я) - Ь(Я) + 31п(1 +

Обозначим через Нк (Я) = НО (Я) + (( ) (1п+ Ц) (Я е С, к = 1,2,...). Из сделанных выше оценок вытекает, что для подпоследовательностей весов ©1 = {ехр[йбп-5 (Я) + Ь(Я)]} »=1, ©2 = {ехр ^(Я)}^ выполнены все условия теоремы В. Чтобы завершить доказательство, остается повторить аргументацию, приведенную в конце доказательства предыдущей теоремы.

Свойство устойчивости АПС экспонент в Аф (О)

В данном параграфе изучается свойство устойчивости относительно предельного перехода АПС экспонент в пространствах вида АФ (О) по весовой последовательности. Как и выше, будем использовать [4, теорема А] о взаимосвязи между АПС экспонент в Аф (О) и слабо достаточными множествами в специальной реализации сопряженного пространства, а также общие результаты об устойчивости относительно предельного перехода для слабо достаточных множеств [8].

Введем необходимые определения. Рассмотрим семейство {ф, = (р' )»=1,' = 1,2,.} весовых последовательностей, удовлетворяющих условию (2) и таких, что рк+1(г) <рк(г) (к,' = 1,2,.; г — 0). (3)

Тогда весовая последовательность Ф = (рР ).=1 удовлетворяет условию (2) и при этом АФ (О) = П АФ (О).

¿=1 '

Будем говорить, что система экспонент обладает свойством Ф-устойчивости, если из того, что данная система является АПС в каждом пространстве

Аф (О) (' = 1,2,...), следует, что она является АПС и

в пространстве Аф (О).

Далее каждой весовой последовательности Ф, Ф; (' = 1,2,.) поставим в соответствие по вышеприведенному правилу весовые последовательности Т, Т (' = 1,2,.). Из условия (3) следует, что

(к )* (г) <((+1 )* (г) (к,' = 1,2,.; г — 0). (4) Нетрудно видеть, что в этом случае

»

и Е^(°) = Ет*О).

¿=1 '

Справедлива следующая

Лемма 7. Пусть О - ограниченная выпуклая область в С и {ф =(р')»1,' = 1,2,.} - семейство весовых последовательностей, удовлетворяющих условиям (2) и (3). Если каждая весовая последовательность Ф,- (/=1, 2,.) принадлежит семейству (LDW), то и

весовая последовательность Ф = (р' ).=1 также принадлежит (LDW).

Доказательство. Обозначим через Ь преобразование Лапласа функционалов. По условию Ь устанавливает топологические изоморфизмы (аф. (О))/ = Е^, (О)

(' = 1,2,.). Далее АФ (О) является (ББ)-пространством. Поэтому [1, с. 117] имеем топологическое равенство

A(G))b = indfAn(G)I .

n—\ pn / b

Используя [13, теорема

6.5.1], получаем, что для каждого п е N оператор Ь действует непрерывно из I А (О) I в некоторое про-

V р л

странство Е , (О) (т = т(п) е N. Из определения ин-

()

дуктивного предела и условия (4) получаем, что справедливы вложения Е „ (О) Е „ (О) Е „ (О)

(т) (п+т) Т

(т = т(п) е К). Отсюда следует, что оператор Ь не-

из A (G))b в Е * (G).

прерывен

Покажем сюръективность оператора Ь из (аф (О)) в Е »(О). Пусть g е Е . (О). Тогда найдется номер п е N такой, что g е Е „ (О), и, значит, g е Е , (О).

Так как

(аФп (G)) lE *(G), то найдется такой функцио-

ностями © / (г = 1,2,...), является слабо достаточным и для пространства, ассоциированного с

нал f и номер т е N, что /е\Л (О) I и L(f=g. Остается

\ Щп )

заметить, что {Лп (О) 1 с{Л (О)! с(лф (О))', в силу

\ Щ., „ / 4 '

©' := <| exp

,(Л) + 1 + Z Ът (Я)

где

2 Ьт (Я):= 0 .

чего / е(Лф(О))'.

Поскольку линейная оболочка экспонент плотна в пространстве Л (О) ростков аналитических на О

функций и АО) плотно в Лф (О) [9], то из леммы 5 следует инъективность оператора L. Непрерывность обратного к нему оператора вытекает из теоремы Гротендика об открытом отображении.

Предложение 5. Пусть G - ограниченная выпуклая

область комплексной плоскости и ф = (Щ)и=1, 7=1,2... -семейство весовых последовательностей из ^БЖ) та-(()*(х) = (( )*(х) + 2Х(х) (х > 0,г = 2,3,...),

ких, что

где соп (х) - неотрицательные неубывающие выпуклые на [0,+») функции и юп (х) = О(х) при х (п е N . Тогда система экспонент обладает свойством Ф7-устойчивости.

Доказательство. Для каждого п е N рассмотрим

функцию Ьп (Л) := ап (¡и+Ц) (Л е С), которая по тем

же соображениям, что и выше, является субгармонической в С. Повторяя рассуждения, проделанные в предложении 4, получим, что для любых п, к е N найдется постоянная Апк > 0 такая, что выполня-

ются неравенства

)* (ln+|A|)-fe )* (ln+|A|)>

Как уже было отмечено, замена весовой последовательности на ее подпоследовательность не меняет индуктивный предел и не влияет на слабую достаточность множества. Далее ©', ©/ - подпоследовательности весовых последовательностей, порождающих пространства (О), (О) (г = 1,2,...), соответственно, где Т * = () ^. Из леммы 7 и теоремы А получаем, что АПС экспонент обладают свойством ф -устойчивости.

Замечание. Как известно [2, 8], для систем экспонент в пространствах всех аналитических в выпуклых областях функций имеются положительные результаты о предельном переходе по области. Например, если последовательность выпуклых ограниченных областей (Оп )»=1 исчерпывает О изнутри и Ои выпукло дополнима до Оп+1 (п е N , то каждая система экспонент £Л, которая является АПС в Н (Оп) при всех п, будет АПС и в Н(О). В нашем случае аналог этого результата вряд ли имеет место. Наши соображения таковы. Принципиальная возможность предельного перехода для пространств вида Н(О) базируется

»

на том, что Н (О) = П Н (Оп) и, кроме того, исходная

п=1

топология в Н(О) совпадает с топологией

> В„ (Я) - Ъ„ (Я) + 3ln(l + ||2)- А„д, Vie С, где Pr°jH (Gn). В нашей отгуадт Аф (G) сП Аф (Gn)

> Вn

Bn (Л) := sup Ьn (Л + С).

С1<1

Далее, используя [4, лемма 6], из условия соп (x) = O(x) при x ^ +да получим, что для каждого

n е N найдется постоянная ап> 0 такая, что

lunk+6 )* (n+n)-fo )* (ln+Л) -

а

6ln +||-[z с

> lim-

a ln+

= — > 0 (к = 1,2...).

a

Полагая Ик (Л) = НО (Л) + ( )* (¡и +1 Л|)-1 (Л е С, к = 1, 2.), получим, что для семейства весовых последовательностей © / = {ехр[Л6£_5 (Л) +1]} »=1,

©; = \ exp

h6k-5 (Я) +1 +2 Ът (Я)

(/ = 2,3,...)

выполнены все условия из [8, теорема 2], в соответствии с которой всякое множество, слабо достаточное для пространств, порожденных последователь-

* п=1

откуда легко выводим, что исходная топология в Аф (О) строго сильнее топологии рго| Аф (Оп). Ясно, что приведенные соображения являются лишь косвенным основанием нашего утверждения, и вопрос о предельном переходе по области для АПС экспонент в пространствах вида Л (О) остается открытым.

Литература

1. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства ГО и Ж? // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4. С. 97 - 131.

2. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т. 36, вып. 1. С. 73 - 126.

3. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы: теория и приложения. Владикавказ, 2009. 336 с.

4. Петров С.В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. № 5. С. 25 - 31.

5. Абанин А.В., Петров С.В. Существование абсолютно представляющих систем простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 5 : Исследования по математическому анализу. Владикавказ, 2010. С. 118 - 130.

/

т=1

k=1

т=1

т=1

k=1

6. ЛеонтьевА.Ф. Ряды экспонент. М., 1976. 538 с.

7. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1986. Т. 50, № 3. С. 539 - 565.

8. Абанин А.В. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. вузов. Математика. 1987. № 4. С. 3 - 10.

9. Абанин А.В., Петров С.В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Итоги науки. Южный федеральный округ.

Поступила в редакцию

Математический форум. Т. 1 : Исследования по математическому анализу. Владикавказ, 2008. С. 16 - 23.

10. Коробейник Ю.Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Мат. заметки. 1982. Т. 31, № 5. С. 723 - 737.

11. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М., 1971. 432 с.

12. Абанин А.В., Филипьев И.А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сибирский мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 485 - 500.

13. ЭдвардсР. Функциональный анализ. М., 1969. 1072 с.

16 марта 2011 г.