Научная статья на тему 'Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью'

Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
52
15
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
абсолютно представляющие системы / системы экспонент / системы простейших дробей / absolutely representing systems / systems of exponential functions / systems of partial fractions

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Абанин Александр Васильевич, Петров Сергей Владимирович

Рассматриваются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, с заданными оценками всех производных. Исследованы свойства продолжения и устойчивости относительно предельного перехода абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах такого типа. В частности, установлено, что системы экспонент обладают свойством продолжения в выпукло дополнимые подобласти, в то время как системы простейших дробей не обладают этим свойством ни для одной подобласти. Устойчивость относительно предельного перехода имеет место по весовым последовательностям.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Абанин Александр Васильевич, Петров Сергей Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

We consider spaces of functions which are holomorphic in a bounded simply connected domain and infinitely differentiable up to its boundary and have given estimates of all derivatives. We study properties of a continuation and stability of absolutely representing systems of exponential functions and partial fractions in spaces of such a type. In particular, it is shown that systems of exponential functions have a property of continuation into convex-complemented subdomains, while systems of partial fractions have not this property for any subdomain. The property of stability takes place with respect to weighted sequences.

Текст научной работы на тему «Свойства абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью»

УДК 517.53+517.98

СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ И ПРОСТЕЙШИХ ДРОБЕЙ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ГЛАДКОСТЬЮ

© 2011 г. А.В. Абанин1'2, С.В. Петров

„2

1Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, [email protected]

2Южный федеральный университет, ул. Мильчакова 8а, г. Ростов н/Д, 344090

'Southern Mathematical Institute of Vladikavkaz Scientific Centre RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, [email protected]

2Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Рассматриваются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, с заданными оценками всех производных. Исследованы свойства продолжения и устойчивости относительно предельного перехода абсолютно представляющих систем экспонент и простейших дробей в пространствах такого типа. В частности, установлено, что системы экспонент обладают свойством продолжения в выпукло дополнимые подобласти, в то время как системы простейших дробей не обладают этим свойством ни для одной подобласти. Устойчивость относительно предельного перехода имеет место по весовым последовательностям.

Ключевые слова: абсолютно представляющие системы, системы экспонент, системы простейших дробей.

We consider spaces of functions which are holomorphic in a bounded simply connected domain and infinitely differentiable up to its boundary and have given estimates of all derivatives. We study properties of a continuation and stability of absolutely representing systems of exponential functions and partial fractions in spaces of such a type. In particular, it is shown that systems of exponential functions have a property of continuation into convex-complemented subdomains, while systems ofpartial fractions have not this property for any subdomain. The property of stability takes place with respect to weighted sequences.

Keywords: absolutely representing systems, systems of exponential functions, systems ofpartial fractions.

Пусть G - ограниченная односвязная область комплексной плоскости C, для которой int G = G . Через A" (G) обозначим пространство всех функций, аналитических в G и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы dG, через V - семейство всех неубывающих выпуклых на [0,") функций р, для которых

t = o(p(t)) при t . (1)

Без ограничения общности будем считать, что р(0) = 0 . С каждой функцией р из V свяжем банахово пространство

f (k)( z)\

A <G) = if e A"(G):

= sup sup

k!e«(*)

■ < "i

Возьмем произвольную последовательность Ф = )"=1 функций из V , для которой существуют такие С — 0, что

+1) + г <уп (о + Сп (Г — 0; п е N. (2)

Тогда А (О) компактно вложено в А (О) (п е к).

Поэтому АФ (О) = р| А (О), наделенное топологией,

задаваемой набором норм (||• || )»=1, является (РБ)-про-странством (детальное изложение свойств (РБ)- и

двойственных к ним (БР8)-иространств имеется в обзоре В.В. Жаринова [1]).

Целью настоящей работы является исследование некоторых свойств абсолютно представляющих в Аф (О) систем экспонент и простейших дробей. В связи с этим напомним следующее. В соответствии с определением Ю.Ф. Коробейника [2, 3] последовательность {хк }»=1 ненулевых элементов локально выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей (АПС) в Н, если любой элемент х е Н

можно разложить в ряд х :=2Г=1 скхк (ск - скаляры), абсолютно сходящийся в Н. В [4, 5] было доказано, что при некоторых ограничениях на О и Ф в пространстве А (О) существуют АПС экспонент

ЕЛ :={еЯк2}»=, где Л = {Хк}»= и |1к| Т» при к ,

и (или) АПС простейших дробей ^ := {1/(7 - )}»=1,

где Л = {Як }»=1 с сО не имеет предельных точек в

сО . Здесь и далее сО - дополнение компакта О до расширенной комплексной плоскости С . Поскольку тах| / (7)\ <1 /I / е А(О)) для любого веса pеV,

то абсолютная сходимость функционального ряда ХТ=1 / в Аф (О) влечет его абсолютную и равномер-

V

и=1

ную сходимость на О в обычном смысле. Отсюда и из известного факта о том, что область абсолютной сходимости ряда из экспонент скеЛи (ск е С) выпукла [6, с. 194], следует, что в случае систем Ел имеет смысл рассматривать лишь выпуклые области О.

В 1-й части работы доказывается, что АПС экспонент и простейших дробей в Аф (О) свободны в том

смысле, что они остаются АПС в Аф (О) после удаления из них любого конечного числа элементов.

Во 2 и 3-й частях рассматриваются свойства продолжения и устойчивости относительно предельного перехода для АПС из экспонент и простейших дробей в Аф (О). Исследование базируется на использовании двойственных результатов из [7, 8], а также на изоморфных реализациях сопряженного с Аф (О) пространства, установленных в [4, 9].

О свободности систем простейших дробей и экспонент в Аф (О)

Приведем ряд нужных для дальнейшего изложения вспомогательных результатов, касающихся элементарных операторов - дифференцирования, Пом-мье, умножения на экспоненты, мономы и простейшие дроби. Начнем с операторов дифференцирования Б: / ^ /' и Поммье (Р - фиксированная точка в О)

z Ф ß,

< e n sup sup

(k +1)!

Vn+1(k+1)

< eCn I

Поэтому оператор Б действует непрерывно из Аф (О) в Аф (О).

Далее для фиксированного Р е О функция / аналитична в О и бесконечно дифференцируема на О. По правилу Лейбница (Бр/)(к) (г) =

(-1) кк!

(z -

k+i (f(z)-f(ß)) + ies (-1) i(k ,,)! f(s)(z)

s=1 (z -ß) k

\(Dßf)k)(z)\ 1 k |f(,)(z)|

ЧН < dF(f (z)|+l f ß

k!

Г 2 Ak-1

d ß

v ß /

Значит, D

e*m(k) < eCII

< eC

,9n (k)

где постоянная С не

| /(z) - /(Р)

БР : / ^ \ г-р '

[/'(Р), г = р. Лемма 1. Операторы дифференцирования Б и Поммье Бр (при Ре О) действуют непрерывно из

Аф (О) в Аф (О).

Доказательство. Пусть п е N и / е Аф (О) произвольны. Из (2)

I/(к+1)( г)|

11Б(/)|| л = 5иР5иР Т^Г *

™ геО ке_2+ к\вп

\/(к+1) (г)|

при любом к е N . Положим ^ := ттр(Р, дО),1}, где р(г, Р) - расстояние от точки г е С до множества Р с С , и, применив (2) несколько раз, найдем т>п и

2

С = С(п,Р) > 0 так, чтобы <рт (7) <рп (7) - (7 + 1)1п— + С при всех 7 > 0. Тогда для г е дО

IIЩ "" "<Pm

зависит от f е Аф (G). Следовательно, оператор Поммье Dp действует из Аф (G) в Аф (G) и непрерывен.

Теперь рассмотрим операторы умножения на экспоненты Мя : f ^ f (z)eh, мономы L : f ^ f (z)(z -Л), где Л - фиксированная точка из С , и простейшие дроби Nx : f ^ f (z)/(z -Л) (Ле cG).

Лемма 2. При любом Ле С оператор M л - изоморфизм А (G) на себя, обратным к которому является M .

Оператор Lx непрерывен из Аф (G) в Аф (G) при любом Ле С .

При любом Л е cG операторы LA и Nл являются взаимообратными изоморфизмами А (G) на себя.

Доказательство леммы 2 проводится с помощью соображений, аналогичных использованным выше в лемме 1. Поэтому мы его опускаем.

Из лемм 1 и 2 следует такой важный для нас результат.

Лемма 3. Оператор Поммье Dp является эпиморфизмом пространства Аф (G) на себя при любом р е G.

Если область G звездна относительно хотя бы одной своей точки, то оператор дифференцирования D -эпиморфизм Аф (G) на себя.

Доказательство. Пусть р е G . По лемме 1 оператор Dp : Аф (G) ^ Аф (G) непрерывен. Покажем, что он сюръективен. Для фиксированной функции g из Аф (G) рассмотрим функцию f (z) = [Lp g\z) + g (P) . Из леммы 2 следует, что f е Аф (G). При этом Dpf = g , и 1-е утверждение леммы 3 доказано.

Докажем 2-е утверждение. Пусть область G звездна относительно некоторой своей точки z0. Учитывая лемму 1, достаточно показать, что оператор дифференцирования D отображает Аф (G) на Аф (G). Возь-

__ z

мем g из Аф (G) и рассмотрим функцию v(z) = j g(t)dt,

z0

где интегрирование ведется по отрезку, соединяющему z с точкой z0. Ясно, что v е А(0). Кроме того,

v(k) (z) = g(k-1) (z), Vk е N . Поскольку g е С ™ (G) , то

отсюда следует, что и v е С" (G). Далее

sup | v(z) |< Ав sup | g(z) |, где Д G - диаметр области G.

,(к)

Следовательно, для каждого n е N sup sup

(z)|

G keZ+ k!e

Vn (k)

<

<

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+

<

< max<! sup sup

g

(k-1)

(z)|.

G keN k!e<n(k)

Д G supg(z)|U(i + Д G |g|| <

Значит, v е Аф (О). Так как В(у) = g, то лемма полностью доказана.

Из леммы 3 непосредственно следует такой результат для операторов Поммье и дифференцирования конечного порядка. Нулевой степенью любого оператора считаем тождественный оператор Е.

п

Лемма 4. Пусть Р(7) = ^ajzJ - нетривиальный

j=0

полином. Верны следующие утверждения.

Оператор Поммье, порожденный Р, -

п . -

Р(Вр): / ^ ^ а^В^/ - эпиморфизм АФ (О) на себя

j=0

при любом Ре О. В частности, эпиморфизмом Аф (О) на себя является оператор В^ - ЯЕ при любых Ре О и Я е С.

Если область О звездна относительно хотя бы одной своей точки, то оператор дифференцирования конечного порядка, порожденный Р, -

п . -

Р(В): / ^ ^ ар1 / - эпиморфизм Аф (О) на себя.

j=0

В частности, эпиморфизмом А (О) на себя является оператор В - ЯЕ при любом Яе С.

Перед формулировкой основного результата параграфа отметим, что так как в(еЯ )= ЯеЯ и

л ( 1 1 1 -В I-I =-, то экспоненты и простейшие

7-Я) (Я-Р)(7-Я)

дроби являются собственными функциями операторов дифференцирования и Поммье соответственно.

Из леммы 4, подобно [3, теорема 3.13], получаем такой результат.

Предложение 1. В пространстве Аф (О) всякая АПС простейших дробей ЕЛ или экспонент Ел является свободной.

Следствие. Системы простейших дробей Ел или экспонент Ел не могут быть базисами в пространстве Аф (О).

Продолжение АПС простейших дробей и экспонент в Аф (О)

Пусть дана упорядоченная пара пространств (аф1 (О1), Аф2 (О2)). Будем говорить, что она обладает свойством

продолжения АПС относительно простейших дробей (экспонент), если каждая АПС ЕЛ (соответственно Ел) в 1-м пространстве является также АПС и во 2-м. Мы рассмотрим вопрос о наличии свойства продолжения в 2 принципиально разных случаях: при фиксированной весовой последовательности (Ф1=Ф2=Ф) и фиксированной области (01= 02= О).

Нам понадобится следующая очевидная взаимосвязь А (О) с классическими пространствами А(О) и А(О) , где А(О) - пространство Фреше всех аналитических в области О функций с топологией равно-

мерной сходимости на компактах в О; А(О) - пространство ростков аналитических на О функций со своей естественной индуктивной топологией.

Лемма 5. Имеют место непрерывные вложения: А (О) Аф (О) А(О).

Следующая лемма касается необходимых условий геометрического характера того, что система простейших дробей является АПС в А (О) .

Лемма 6. Если система простейших дробей Ел является АПС в пространстве Аф (О), то дО с Л.

Доказательство. Если Ел - АПС в Аф (О), то по лемме 5 каждую функцию / е А(О) можно предста-

вить в виде суммы ряда f (z) = ^

z -Я,

где ak - ска-

ляры, абсолютно сходящегося к / по топологии Аф (О) и, тем более, по более слабой топологии пространства А(О). Остается применить [10, предложение 4], в соответствии с которым дО с Л.

Замечание. Поскольку рассматриваются лишь системы Ел, для которых Л не имеет предельных точек в сО , то условие дО с Л равносильно тому, что дО = Л', где Л' := Л \ Л - множество предельных точек последовательности Л.

Предложение 2. Пусть О - односвязная область с

дО = дО . Свойство продолжения из Аф (О) в Аф (В) относительно простейших дробей не имеет места ни для одной подобласти В с О .

Доказательство. Пусть Л = {Я }»=1 - последовательность точек из сО , не имеющая предельных точек в сО , такая, что система Ел является АПС в А (О) . Предположим, что Ел является АПС в Аф (В), где Б - непустая подобласть О такая, что В Ф О. Возьмем произвольную точку ^ е О \ В. Из леммы 6 и замечания к ней имеем, что дВ с Л' = дО, и поэтому ^ £ дВ . Фиксируем произвольную точку ^ е В и соединим ее с точкой х1 непрерывной кривой Ь, целиком лежащей в О. В силу непрерывности Ь найдется точка ^ е Ь , принадлежащая дВ. Значит, ^ е О П дВ .

С другой стороны, из условия дВ с дО следует, что ни одна точка области О не может лежать на границе дВ . Полученное противоречие доказывает предположение 2.

Контрастным по сравнению с предположением 2 является следующий результат, в котором утверждается, что АПС экспонент в пространствах вида А (О) при определенных дополнительных условиях

могут обладать свойством продолжения по области. В этой части работы мы будем пользоваться взаимосвязью между АПС экспонент в А (О) и слабо достаточными множествами в специальной реализации сопряженного пространства, а также общими резуль-

a

k

k=1

татами о продолжении слабо достаточных множеств из [4, 8]. Напомним необходимые нам результаты. С каждым весом p е V свяжем выпуклую функ-

r

цию \\(r) = (p(r) + r ln+ — , r > 0 .

e

Очевидно, что \ - вес из V . Через \ * обозначим функцию, сопряженную с \ по Юнгу-Фенхелю,

т.е. \ * (s) := sup(ts - \(t)), s > 0 . Определим банахово

во пространство целых функций E^ (G) =

= \F еh(c):|f| .= sup-,-F(-)-—n <да[,

[ W 1 ЛеС exp (Hg (Л) + \*(ln + |Л|)) J

где HG (Л) = supRe(Az) - опорная функция компакта G.

zeG

Для весовой последовательности Ф = (pn )да=1 рассмотрим образованную по вышеуказанному правилу

* / * \да

последовательность Т = )п=у и введем простран-

да

ство ET*(G):= U E\n *(G), наделив его естественной

n=1 n

топологией индуктивного предела. В силу (2) пространство E^, (G) относится к классу (DFS).

Обозначим через fLDW^) семейство всех весовых последовательностей Ф, удовлетворяющих условию (2), для которых преобразование Лапласа функционалов T ^ Т(Л) := T(еЛ), ЛеС, устанавливает топологический изоморфизм между пространством (аф (G)), сильно сопряженным к Аф (G), и E^, (G)

для любой ограниченной выпуклой области G. Отметим, что в [4] установлено, что любая весовая последовательность Ф, для которой выполнено (2) и pn(t) = O(t2) при t ^да (n е N), принадлежит (LDW,).

Далее на основании функционального критерия Ю.Ф. Коробейника [7, теорема К] в [4] был получен следующий результат.

Теорема А. Пусть G - ограниченная выпуклая область комплексной плоскости; Ф - весовая последовательность из (LDW). Для того чтобы система

Ел = \еЛ }ik=1 была АПС в АФ (G), необходимо и достаточно, чтобы множество Л = {Лк было слабо достаточным для ET* (G).

По поводу определения и свойств слабо достаточных множеств мы отсылаем читателя к [7, 8]. Приведем нужный нам для дальнейшего результат о продолжении слабо достаточных множеств из [8] в одномерной ситуации.

Пусть V® (i = 1, 2) - весовые последовательности функций, определенных на C. Рассмотрим пространства целых функций E(i), каждое из которых ассоциировано с соответствующей весовой последовательностью V(i) (i = 1, 2). Множество S, слабо достаточное для E^, называется VV), ^-продолжаемым, если оно слабо достаточно для E®. В случае, когда У(Г), ^2)-про-должаемым является произвольное слабо достаточное для E(1) множество, будем говорить, что имеет место

свойство ^^^-продолжаемости. В [8] установлен следующий результат.

Теорема В. Пусть Q(1) = {exp(hk(Л) + Ь(Л))>^, Q(2) = {exphk(Л)>,"=i, где Нк(Л) < hk+i(X) (к = 1,2,...; Ле C). Если функция b(X) субгармонична в C и Vk е N 3<C < да: h+1 (Л) - h (Л) > В(Л) - Ь(Л) + 3 ln(1 +12)- Ck, Ле C, где В(Л) = supЬ(Л + £), то имеет место свой-

ство Q(1), Q(2) -продолжаемости.

Наконец, пусть G1 и G2 - выпуклые области в C. Говорят, что G2 выпукло дополнима до G1, если найдется выпуклый компакт K такой, что G1= G2+K.

Имеет место следующий результат.

Предложение 3. Пусть Ф = {p >да=1 - весовая последовательность функций из (LDW). Если G1 и G2 -выпуклые области в C, причем G2 выпукло дополнима до G1, то пара пространств (аф (G), Аф (G2)) обладает свойством продолжения АПС относительно экспонент.

Доказательство. Положим h()(X) = Ha.(Л) + (ln+Л), Ле C (i = 1,2). Тогда пространства целых функций E^,. (G) (i = 1,2) порождены весовыми последовательностями {exp h((,)(Л)> да=1.

Пусть К - выпуклый компакт, дополняющий область G2 до G1. Тогда, если Ь(Л) - опорная функция

компакта К , то h() (Л) = h^2) (Л) + Ь(Л), n е N, причем b(X) субгармонична в С. Рассмотрим далее В(Л) = sup Ь(Л + £). Из определения опорной функ-

ции следует, что В(Л) = supRe^^ + ^) < Ь(Л) +АK, где АК = supz| - радиус наименьшего круга с цен-

геК

тром в начале, содержащего К.

Так как весовая последовательность Ф удовлетворяет условию (2), то, использовав [4, лемма 6], получаем, что для каждого n е N и любого Ле C выполняется неравенство

hn+6 (Л) - €\Л) = \n+6 (п+И)- \ (Ш+1Л)>

> В (Л) - Ь(Л) + 3 ln(l + Л2)- ( f Cn+k + 3 ln 2 + А К j

Таким образом, для подпоследовательностей весов Q(,) = {exp ^(')-5(Л)>л™=1, i = 1,2, выполнены все условия теоремы В. Поскольку замена весовой последовательности на ее подпоследовательность не меняет индуктивный предел (ни само пространство, ни топологию в нем) и не влияет на слабую достаточность множества, то из этой теоремы следует, что каждое множество, слабо достаточное для

E^* (G1), является слабо достаточным и для ET*(G2). Использовав теорему A, получаем нужное.

Рассмотрим свойство продолжения АПС при фиксированной области G= G1= G2. При этом в случае систем экспонент, как отмечалось выше, следует рассматривать только ограниченные выпуклые области G. Как и ранее, при исследовании будем использовать

результаты о продолжении слабо достаточных множеств из [8] и взаимосвязь между АПС экспонент в

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А (О) и слабо достаточными множествами в специальной реализации сопряженного пространства из [4]. Докажем следующий результат. Предложение 4. Пусть ограниченная выпуклая область О комплексной плоскости и весовые последовательности Ф1 = {(р^»^, Ф 2 = {^п2}»=1 из (LDW) таковы, что соответствующие последовательности весов Т,

удовлетворяют условию ( (х) = (((1) (х) - а(х)) , х — 0, п е N, где а(х) - неотрицательная неубывающая выпуклая на [0,+») функция. Тогда для пары пространств (аф (О), АФг (О)) имеет место свойство

продолжения АПС относительно экспонент.

Доказательство. Рассмотрим для всех Я е С

функцию Ь(Я) = ®(1п+Ц). В силу непрерывности и

неубывания а и 1п+ функция а о 1п+ непрерывна и не убывает на [0,+»). Так как а(0) =

= ()*(0)-(()*(0) = 0, то а(х) ={а,(х}<х0— не

убывает и выпукла на Я. Учитывая равенство (а о 1п + )(ех)=а(х), х е Я, и применяя [11, теорема 2.1.2], получаем, что Ь(Я) субгармонична в С .

Далее из равенства () (х) = () (х) - а(х), х — 0, и [4, лемма 4] следует, что а(х) = о(ех) при х ^ ». Тогда [12, с. 488] найдется такая постоянная А>0, что для всех Я е С В(Я) - Ь(Я) < а(1п+ Я +1))- а(1п+ Ц)< А.

Так как весовая последовательность Ф удовлетворяет условию (2), то, как и выше, используя [4, лемма 6], получаем, что для каждого п е N выполняется

неравенство (п+б) (1п+И)- (( ) (1п+1я)—

(1+1Я2 )-

Z Cn+k + 3ln2 + AI, VЯ e C.

— В(Я) - Ь(Я) + 31п(1 +

Обозначим через Нк (Я) = НО (Я) + (( ) (1п+ Ц) (Я е С, к = 1,2,...). Из сделанных выше оценок вытекает, что для подпоследовательностей весов ©1 = {ехр[йбп-5 (Я) + Ь(Я)]} »=1, ©2 = {ехр ^(Я)}^ выполнены все условия теоремы В. Чтобы завершить доказательство, остается повторить аргументацию, приведенную в конце доказательства предыдущей теоремы.

Свойство устойчивости АПС экспонент в Аф (О)

В данном параграфе изучается свойство устойчивости относительно предельного перехода АПС экспонент в пространствах вида АФ (О) по весовой последовательности. Как и выше, будем использовать [4, теорема А] о взаимосвязи между АПС экспонент в Аф (О) и слабо достаточными множествами в специальной реализации сопряженного пространства, а также общие результаты об устойчивости относительно предельного перехода для слабо достаточных множеств [8].

Введем необходимые определения. Рассмотрим семейство {ф, = (р' )»=1,' = 1,2,.} весовых последовательностей, удовлетворяющих условию (2) и таких, что рк+1(г) <рк(г) (к,' = 1,2,.; г — 0). (3)

Тогда весовая последовательность Ф = (рР ).=1 удовлетворяет условию (2) и при этом АФ (О) = П АФ (О).

¿=1 '

Будем говорить, что система экспонент обладает свойством Ф-устойчивости, если из того, что данная система является АПС в каждом пространстве

Аф (О) (' = 1,2,...), следует, что она является АПС и

в пространстве Аф (О).

Далее каждой весовой последовательности Ф, Ф; (' = 1,2,.) поставим в соответствие по вышеприведенному правилу весовые последовательности Т, Т (' = 1,2,.). Из условия (3) следует, что

(к )* (г) <((+1 )* (г) (к,' = 1,2,.; г — 0). (4) Нетрудно видеть, что в этом случае

»

и Е^(°) = Ет*О).

¿=1 '

Справедлива следующая

Лемма 7. Пусть О - ограниченная выпуклая область в С и {ф =(р')»1,' = 1,2,.} - семейство весовых последовательностей, удовлетворяющих условиям (2) и (3). Если каждая весовая последовательность Ф,- (/=1, 2,.) принадлежит семейству (LDW), то и

весовая последовательность Ф = (р' ).=1 также принадлежит (LDW).

Доказательство. Обозначим через Ь преобразование Лапласа функционалов. По условию Ь устанавливает топологические изоморфизмы (аф. (О))/ = Е^, (О)

(' = 1,2,.). Далее АФ (О) является (ББ)-пространством. Поэтому [1, с. 117] имеем топологическое равенство

A(G))b = indfAn(G)I .

n—\ pn / b

Используя [13, теорема

6.5.1], получаем, что для каждого п е N оператор Ь действует непрерывно из I А (О) I в некоторое про-

V р л

странство Е , (О) (т = т(п) е N. Из определения ин-

()

дуктивного предела и условия (4) получаем, что справедливы вложения Е „ (О) Е „ (О) Е „ (О)

(т) (п+т) Т

(т = т(п) е К). Отсюда следует, что оператор Ь не-

из A (G))b в Е * (G).

прерывен

Покажем сюръективность оператора Ь из (аф (О)) в Е »(О). Пусть g е Е . (О). Тогда найдется номер п е N такой, что g е Е „ (О), и, значит, g е Е , (О).

Так как

(аФп (G)) lE *(G), то найдется такой функцио-

ностями © / (г = 1,2,...), является слабо достаточным и для пространства, ассоциированного с

нал f и номер т е N, что /е\Л (О) I и L(f=g. Остается

\ Щп )

заметить, что {Лп (О) 1 с{Л (О)! с(лф (О))', в силу

\ Щ., „ / 4 '

©' := <| exp

,(Л) + 1 + Z Ът (Я)

где

2 Ьт (Я):= 0 .

чего / е(Лф(О))'.

Поскольку линейная оболочка экспонент плотна в пространстве Л (О) ростков аналитических на О

функций и АО) плотно в Лф (О) [9], то из леммы 5 следует инъективность оператора L. Непрерывность обратного к нему оператора вытекает из теоремы Гротендика об открытом отображении.

Предложение 5. Пусть G - ограниченная выпуклая

область комплексной плоскости и ф = (Щ)и=1, 7=1,2... -семейство весовых последовательностей из ^БЖ) та-(()*(х) = (( )*(х) + 2Х(х) (х > 0,г = 2,3,...),

ких, что

где соп (х) - неотрицательные неубывающие выпуклые на [0,+») функции и юп (х) = О(х) при х (п е N . Тогда система экспонент обладает свойством Ф7-устойчивости.

Доказательство. Для каждого п е N рассмотрим

функцию Ьп (Л) := ап (¡и+Ц) (Л е С), которая по тем

же соображениям, что и выше, является субгармонической в С. Повторяя рассуждения, проделанные в предложении 4, получим, что для любых п, к е N найдется постоянная Апк > 0 такая, что выполня-

ются неравенства

)* (ln+|A|)-fe )* (ln+|A|)>

Как уже было отмечено, замена весовой последовательности на ее подпоследовательность не меняет индуктивный предел и не влияет на слабую достаточность множества. Далее ©', ©/ - подпоследовательности весовых последовательностей, порождающих пространства (О), (О) (г = 1,2,...), соответственно, где Т * = () ^. Из леммы 7 и теоремы А получаем, что АПС экспонент обладают свойством ф -устойчивости.

Замечание. Как известно [2, 8], для систем экспонент в пространствах всех аналитических в выпуклых областях функций имеются положительные результаты о предельном переходе по области. Например, если последовательность выпуклых ограниченных областей (Оп )»=1 исчерпывает О изнутри и Ои выпукло дополнима до Оп+1 (п е N , то каждая система экспонент £Л, которая является АПС в Н (Оп) при всех п, будет АПС и в Н(О). В нашем случае аналог этого результата вряд ли имеет место. Наши соображения таковы. Принципиальная возможность предельного перехода для пространств вида Н(О) базируется

»

на том, что Н (О) = П Н (Оп) и, кроме того, исходная

п=1

топология в Н(О) совпадает с топологией

> В„ (Я) - Ъ„ (Я) + 3ln(l + ||2)- А„д, Vie С, где Pr°jH (Gn). В нашей отгуадт Аф (G) сП Аф (Gn)

> Вn

Bn (Л) := sup Ьn (Л + С).

С1<1

Далее, используя [4, лемма 6], из условия соп (x) = O(x) при x ^ +да получим, что для каждого

n е N найдется постоянная ап> 0 такая, что

lunk+6 )* (n+n)-fo )* (ln+Л) -

а

6ln +||-[z с

> lim-

a ln+

= — > 0 (к = 1,2...).

a

Полагая Ик (Л) = НО (Л) + ( )* (¡и +1 Л|)-1 (Л е С, к = 1, 2.), получим, что для семейства весовых последовательностей © / = {ехр[Л6£_5 (Л) +1]} »=1,

©; = \ exp

h6k-5 (Я) +1 +2 Ът (Я)

(/ = 2,3,...)

выполнены все условия из [8, теорема 2], в соответствии с которой всякое множество, слабо достаточное для пространств, порожденных последователь-

* п=1

откуда легко выводим, что исходная топология в Аф (О) строго сильнее топологии рго| Аф (Оп). Ясно, что приведенные соображения являются лишь косвенным основанием нашего утверждения, и вопрос о предельном переходе по области для АПС экспонент в пространствах вида Л (О) остается открытым.

Литература

1. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства ГО и Ж? // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4. С. 97 - 131.

2. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т. 36, вып. 1. С. 73 - 126.

3. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы: теория и приложения. Владикавказ, 2009. 336 с.

4. Петров С.В. Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. № 5. С. 25 - 31.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5. Абанин А.В., Петров С.В. Существование абсолютно представляющих систем простейших дробей в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью // Итоги науки. Южный федеральный округ. Математический форум. Т. 5 : Исследования по математическому анализу. Владикавказ, 2010. С. 118 - 130.

/

т=1

k=1

т=1

т=1

k=1

6. ЛеонтьевА.Ф. Ряды экспонент. М., 1976. 538 с.

7. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие системы // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1986. Т. 50, № 3. С. 539 - 565.

8. Абанин А.В. О продолжении и устойчивости слабо достаточных множеств // Изв. вузов. Математика. 1987. № 4. С. 3 - 10.

9. Абанин А.В., Петров С.В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Итоги науки. Южный федеральный округ.

Поступила в редакцию

Математический форум. Т. 1 : Исследования по математическому анализу. Владикавказ, 2008. С. 16 - 23.

10. Коробейник Ю.Ф. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды по рациональным функциям // Мат. заметки. 1982. Т. 31, № 5. С. 723 - 737.

11. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М., 1971. 432 с.

12. Абанин А.В., Филипьев И.А. Аналитическая реализация пространств, сопряженных к пространствам бесконечно дифференцируемых функций // Сибирский мат. журн. 2006. Т. 47, № 3. С. 485 - 500.

13. ЭдвардсР. Функциональный анализ. М., 1969. 1072 с.

16 марта 2011 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.