Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53

СУЩЕСТВОВАНИЕ АБСОЛЮТНО ПРЕДСТАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ЗАДАННОЙ ГРАНИЧНОЙ ГЛАДКОСТЬЮ

Рассматриваются пространства функций, аналитических в выпуклой области и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы, с заданными оценками всех производных. Доказано существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространствах такого типа.

Ключевые слова: асолютно представляющие системы, преобразование Лапласа, ряды Дирихле.

We consider spaces of functions which are holomorphic in a convex domain and infinitely differentiable up to its boundary and have given estimates of all derivatives. It is proved the existence of absolutely representing systems of exponential functions in spaces of such type.

Keywords: аsolutely representing systems, Laplace transformation, Dirichlet series.

© 2010 г. С.В. Петров

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University,

Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Пусть V - семейство всех неубывающих выпуклых на [0, да) функций р, для которых

г = о(р(г)) при г ^ да. (1)

Возьмем произвольную последовательность Ф = (рп )да=1 функций из V , для которой существуют

такие C n > 0, что

Pn+i(t +1) +1 <Pn(t) + Cn (f > 0; n eN).

(2)

Пусть Ада (Б) - пространство всех функций, аналитических в ограниченной односвязной области Б комплексной плоскости N и бесконечно дифференцируемых вплоть до ее границы дБ. С каждой функцией р из V свяжем банахово пространство

Ap(D) =

f e Ада(D):||

=

геОке/,

f(k)(z)

k!ep(k)

< да

Тогда Ар^ (Б) непрерывно вложено в А( (Б), и

поэтому естественно образовать пространство

_ да _

Аф (Б) = П Ар (Б) и наделить его топологией, зада-

П=1

ваемой набором норм III • II ] . Из условия (2) сле-

V ( )п=1

дует, что Аф (Б) является (Б8)-пространством.

Пространство Аф (Б) занимает промежуточное положение между классическими пространствами А(Б) и А(Б) всех функций, аналитических в Б и на Б : А(Б) Q Аф (Б) Q А(Б), где ^ - символ непрерывного вложения. Как известно [1], в случае, когда Б - выпуклая область, в А(Б) и А(Б) существуют абсолютно

представляющие системы экспонент ЕЛ := {еЯкг }°=1,

где Л = Я }£ - последовательность попарно различных комплексных чисел с единственной предельной точкой на бесконечности. Напомним, что в соответствии с определением Ю.Ф. Коробейника [1] последовательность {Хк }да=1 ненулевых элементов локально

выпуклого пространства Н называется абсолютно представляющей (а.п.с.) в Н, если любой элемент

да

х е Н можно разложить в ряд х = 2скХк С - скаля-

к=1

ры), абсолютно сходящийся в Н.

Основная цель настоящей заметки - доказать существование а.п.с. экспонент в пространстве Аф (Б) для выпуклой области Б . В силу отмеченных выше вложений А(Б) Аф (Б) А(Б) такие системы обладают тем свойством, что можно разлагать по ним функции из более широкого, чем А(Б), пространства по более сильной, чем в А(Б), топологии.

Достижение указанной цели базируется на следующих двух известных результатах Ю.Ф. Коробейника и О.В. Епифанова. В [2, теорема К] установлена

взаимосвязь между а.п.с. вида {/(Я^)}да=1 в пространствах аналитических функций и дискретными слабо достаточными множествами в изоморфной реализации сопряженных пространств. Главным предварительным условием такой взаимосвязи является то, что сопряженное пространство должно допускать f-описание. Далее в [3] было доказано, что в индуктивных пределах весовых банаховых пространств аналитических функций общей природы всегда существуют дискретные слабо достаточные множества.

Таким образом, поставленная задача фактически сводится к проверке того факта, что пространство

(Аф (Б))), сильно сопряженное с Аф (Б), допускает ехр-описание. Другими словами, нам необходимо

дать нужное описание (Аф (Б))' с помощью преобразования Лапласа. Последнее достигается путем использования полученной в [4] за счет преобразования

Коши изоморфной реализации (Аф (Б))' для произвольной звездной относительно начала области без разрезов. В связи с этим отметим, что ранее задача об

описании (Аф (Б))' с помощью преобразования Лапласа функционалов рассматривалась в [5, 6] Б.А. Державцем

для выпуклой области в с дважды гладкой границей. В настоящей работе на гладкость границы никаких ограничений не накладывается. Таким образом, в одномерном случае теорема 1, которая будет нами здесь доказана, усиливает соответствующие результаты из [5, 6].

Пусть р * - функция, сопряженная с р е V по

Юнгу-Фенхелю, т.е. р*^) = 8ир(/5-р(г)), 5 > 0.

г>0

В силу (1) функция р* принимает лишь конечные значения. По р* образуем банахово пространство

> е Ао(еБ):\ М =

Hp*(cD) =

= sup

AecD

F (А)

^ f

exp

p* I ln

1

■ < да

р(Я, дБ))

где Ао (сб) - пространство всех функций, аналитических в дополнении сБ компакта Б до расширенной комплексной плоскости и исчезающих в бесконечности; 1п х := тах {0;1пх}; р(Я, дБ) - расстояние от

точки Яг Б до границы дБ.

Для последовательности весов ф положим

Нф*(сБ) = и Нр *(сБ) и наделим это пространство

п=1

топологией внутреннего индуктивного предела последовательности пространств (Нр * (сб)) . В силу

(2) пространство нф * (сб) относится к классу сильно сопряженных с пространством Фреше-Шварца (БР8).

С каждым весом р е V свяжем выпуклую функцию у(г) = р(г) + — 1п+ —, — > 0.

е

P

да

Очевидно, что у - вес из V . По у * образуем банахово пространство целых функций Еу*( Б) =

= \г е Н (с) :И у* = вир ■ ^^ 1

ir* AeC ехр(нD (A) + ^*(ln+

¡D

где HD (А) = sup Re(Az) - опорная функция компакта

AeD

D . Для последовательности Y = (уn )^=1 положим £^*(D):= U Eу *(D) и наделим это пространство

n=1

топологией внутреннего индуктивного предела последовательности пространств (Eyn *(D))° . В силу

(2) пространство KV*(D) относится к классу (DFS). Справедливы следующие леммы.

Лемма 1. Пусть /A(z) := exp Az . Тогда для любого

p e V имеетместооценка ||/А|| <exp(HD(А)+у*(ln +1|)),

VAe N .

Отсюда, в частности, следует, что /а e Лф (D) для любого A e N и любой весовой последовательности Ф.

Доказательство. Действительно, для любого peV

Ak

-< eHD1 sup---1-

fA\ = sup su^^-^k)-v zeDkeZ. k!ep( )

keZ,

exp| k ln+ k + (p(k) Л

< ехр|НБ (А) + Бир|г 1п+А| - р(г) - г 1п+ -)

= ехр(нБ (А) + у * (1п+А|)) < ^ .

Лемма 2. Пусть Б — выпуклая область в С и 8 — произвольное положительное число. Тогда Б8 = {г е С: р(щ, Б) <8} — выпуклая область и р(Г, дБ) = 8, где Г = дБ8.

Доказательство. Ясно, что Б8 = Б + В(0,8), где В(0,8) = {щ е С: Щ < 8}. Отсюда следует требуемое.

Лемма 3. Пусть р - произвольный вес из V . Тогда для любого А е N справедливо неравенство

^ |р*11П1 )+8А|<у*(1п+А|)+

¿e(0,1]V

)+1 .

Доказательство. Сделав замену ь1 = t, 8 = e *,

S

получим, что inf I p * | ln- I + 8\Al I = inf sup(tx - p(x) + e- A|) =

8e(0,1]i ^ 8) 1 1 ) t >0 V 1 17

x >0

: SUP inf I/

x>0t>0

(tx - p( x) + e"

t A.

Заметим, что при A = 0 inf I p * | ln— | + S\A

, р Se(0,1][P I S) 11

= sup inf (tx - p(x)) = - p(0) = -у(0) < у* (ln+Al).

x>0 *>0

Пусть теперь А Ф 0 . Покажем, что при любом > 0 М(х - р(х) + е-|)< у * (п+||)+1.

Для этого рассмотрим при фиксированном х > 0

функцию fx(t) = tx-p(x) + e'Al, t > 0 .

При х >||| имеем, что /'х (г) > 0 для всех г > 0 . Поэтому для таких х

М/х (г) = /х (0) = | - р(х) = ЦЫЦ - р(х) - ||1пИ .

Используя неубывание р и очевидное неравенст-

1+ х Л х - + х во х 1п--1 < х 1п— < х 1п — , получим

е ее

/х(?) < ЦЬ+Ц - р(|)- ||1п+ И +1 <

< Ц1п+Ц - у(||) +1 < у * (п+|)+1.

При 0 < х < || /'х обращается в нуль в единст-

венной точке

t = ln— e (0,+да) . Поэтому х

( biYI

inf fx (t) = mini fx (0); fx

t >0 I

Al

ln-^—L

x

V /

Учитывая, что для всех — > 1 справедливо равен-

x

Al Al ,u+1 <I_I

ство l^— +1 < — , получаем

x x

( I olA

fx

lnA I = x lnA + x - p(x) < IA - p(x) = fx (0). x x

x

V /

Это значит, что при 0 < x <

= xln|A - xlnx - p(x) <

1пГ /х (?) = /х 1п!

г >0

V /

< х 1п+|| - у(х) < у * ([п+ц).

Лемма доказана.

Лемма 4. Для всякого веса ре V выполняется соотношение у * (г) = о(ег) при г ^ да.

Доказательство. В силу условия (1) на вес р е V для любого С > 0 найдется такая постоянная Б = Б(р,С) > 0, что при всех х > 0 р(х) > Сх - Б. Поэтому для любого г > 0

у *(г) = вир| хг -р(х) - х 1п+ х ) <

x>oV е)

< Бир! хг - Сх + Б - х 1п+ х )< вир| хг - Сх - х 1п х | + Б .

х^ е) х^ е)

Заметим, что Бир| хг - Сх - х 1п— | достигается в

х ^ е )

г—С

точке х = е и, следовательно, у*(г) <

< гег-С - Сег-С - ег-С (г - С-1) + Б = ег-С + Б, VC > 0 . Значит, у * (г) = о(ег) при г ^ да.

x

Лемма 5. Пусть р - произвольный вес из V . Тогда для любого А > 0 справедливо неравенство

sup((* (ln+1)-At )<p* (ln+ 1

t >0 V A

Доказательство. Имеем

sup^ * (ln+t)-At ) = supsup(x ln+1 - ^(x)-At ) =

t>0 t>0 x>0

= sup sup(x ln+1 - ^(x) - At).

x>0 t>0

Значит, достаточно показать, что для всех x > 0

sup1

t >0

(хln+1-((x)-At)<p*^ln+1 ) .

sup gx (t) = max1 gx (0/; g.

t >0

(0) gx (A )}•

При этом gx I — I = xln—— w(x). Таким образом,

при x > Ae

A J Ae

x) „ x ,1

+ x

sup gx (t) = gxl "7 1 = x ln~ + x ln~7 -p(x) - x ln -<

t>0 IA J e A e

,+ 1 „/-„Л ^ „*i 1„+ 1

Рассмотрим при фиксированном х > 0 функцию gx (г) = х 1п+ г -у(х)- Аг, г > 0 . Она непрерывна на [0, да) и при х < А ¿х (г) < 0 для всех г > 0, г ф 1. Поэтому для всех таких х

sup gx(г) = gx(0) = -|Ж> = -р(х)- х 1п+ х <

г >0 е

<х 1п+ 1 — р(х) — х 1п+ х<р*I 1п+ 1 ].

+ (t + 1)ln+ — + Cn.

Положим в = бир] (г + 1)1п+ г+1 - г 1п+ — - г ] и по-г >01 е е )

кажем, что В < 0. Тогда будет выполнено (3). Если

0 < г < е -1, то (г + 1)1п+ -+1 - г 1п+ г - г = -г < 0.

е е

При г > е -1 введем в рассмотрение функцию у(г) = (г + 1)1п -— - г 1п— - г.

е е

Очевидно, что (г + 1)1п+ -— - г 1п+ — - г < у(г) для всех е е

г > е -1. Далее, при таких ( у'(г) = 1п(г +1)- 1пг -1 < 0 .

Поэтому для всех г > е -1 у(г) < у(е -1) = = -(е - 1)1п(е -1) < 0. Объединяя оба случая, получим,

Если х > А, то стандартные рассуждения для нахождения наибольшего значения дифференцируемой на интервале функции приводят к формуле

что В < 0, откуда следует (3).

*

Далее, использовав (3), имеем V„(5) < < 8ир(х5 - уп+1 (х + 1) + Йп ) = у*п+1 (5) - 5 + Йп , > 0 ,

х > 0

и лемма полностью доказана.

Обозначим через Ь преобразование, которое действует по формуле

F е Я,

ф*Cd)^ F(Ä) := — JF(t)e Лdt, Ле N, (4) 2яг

< x ln+- - p(x) < p * ^ ln+-J .

При A < x < Ae sup gx (t) = gx (0)<p* I ln+-1 I.

t >0 V A J

Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть Ф = (pn )"=1 - последовательность функций из V , для которой выполнено (2). Тогда для последовательности функций Т = (^и )^=1, где

Yn (t) = pn (t) +1 ln+ t , найдутся постоянные Cn > 0

e

такие, что для каждого n eN

Wn+\ (t +1) < Wn(t) + Cn для всех t > 0 (3)

* * r\

и yn(s) < Yn+\(s) - s + Cn для всех s > 0.

Доказательство. Из условия (2) следует, что для каждого n e N найдется постоянная Cn > 0 такая, что при всех t > 0

Wn+! (t + 1) = Pn+1 (t + 1) + (t + 1)ln+ — <

e

<pn (t) -1 + Cn + (t + 1)ln+ ^ii = ¥n (t) -1 ln+ - -1 +

где Г^ - ориентированная отрицательно граница области Б5 = {г е С: р(г, Б) < , 8 е (0,1]. Очевидно, что при любом фиксированном Я е N функция М (г)еЯ аналитична в области с Б, а по Я является целой. Поэтому М (Я) - целая функция, значения которой не зависят от выбора 8 > 0 .

Теорема 1. Пусть D - ограниченная выпуклая область комплексной плоскости, а ф = (рп )да=1 - последовательность функций из V , для которой выполнено (2). Тогда отображение Ь устанавливает топологический изоморфизм между пространствами Нф* (сб) и Ер* (Б).

Доказательство. Пусть М е Нф*(сб). Тогда найдется номер ше№ такой, что для всех г е с Б

F(tlFlp* exP

P** l ln

1

pit, dD)

Пусть М(Я) - целая функция, которая определяется формулой (4). При этом всюду в N

■I (Г8)| ' ' ^ ^

lFlp exp

2Ж pm

1

v I ln+prn

Учитывая выпуклость области Б, имеем, что /(Г8)< 1(ц) при всех 8е (0,1]. Применив лемму 2,

получаем,

что

для

любого

|/~(л) < Щ p. expi^ pm Гln11 + Hd (Л) + ^Л

Ле N

где

C = iiü) 2к

e

Y

s

При этом последнее неравенство справедливо для всех 8 е (0,1]. Используя лемму 3, заключаем, что при любом Ае N

ИФ р^^рт | ^ )+нб (а)+8А))<

<Щи\р* exр(у*m(1п+А|)+ Нб(А)),

(5)

\F(t)\ < \f\ * exp (((ln+ г)+ tKd(-■ KD(-ф0) = maxRe(zel*).

где

Определим для каждого A e nD функцию

И (А) := | И(г)е~Аёг, 0

где угол Ф0 будет выбран ниже (он зависит от А). Пусть А - произвольная точка из сБ . Положив р := р(А, дБ),

(6)

рассмотрим

область Dp = {z e C: p(z, D) < p}. В

точка.

При

этом

для

всех

e [0,20

Kdp (-to) = Kd(-ф

l + p.

At

F (t)e

< F » exp

1 Wn

F(relf0 )e

Are ■

( * (ln + r) + rKD (-■)) - r Rel

Учитывая

At

F (t )e

выбор угла +

< |F| * exp W* (ln + r) - rp). W*

Из леммы 6 заключаем, что для всех r > 0

F(rei^° )eAre'1

( / \ Л

< eC* +Cn+1 IF _ x 1

x exp

sup(w*+2(ln + r) - rp)- 2ln+ r

V r >0

Г А-Г I

<eC* +Cn+1 F „exp

1 (n

'p*+2 [ ln+1 )- 2ln+ /

Отсюда следует, что интеграл в правой части (6) сходится при любом А е пБ и выбранном для него Ф0 . При этом для всех таких А справедлива оценка

F(A)|<eNn +n*+i IF „exp

(n

p«+21 ln —

т.е. И~(А) принадлежит Е^* (б) .

Пусть И е Е^* (б) и номер п е N такой, что всюду в N Иг)<|И *ехр(нБ(г)+уП(1п+ |г|)).

уп

Из леммы 4 следует, что И (г) — целая функция экспоненциального типа, которая на любом луче /ф0 = | е С: г = ге1ф(0, г > 0} удовлетворяет оценке

= 2eNn +n*+1

F » exp

1

p*+2|ln

-2ln r

dr =

(7)

силу

леммы 2 область Dp выпуклая и A - ее граничная

Проведем через точку A опорную прямую ¡а к области Dp . Далее зафиксируем угол ■ таким образом, чтобы луч arg z = -ф0 был перпендикулярен выбранной прямой ¡а и лежал в той полуплоскости относительно ¡а , которая не содержит область D . Заметим, что при таком выборе ■ выполняется соотношение

Re(l^ )= max Re(zel'Ä )= KD(-ф0) + p .

zeDp

Оценим подинтегральное выражение в (6) на луче

р(А, дБ),

Из последнего неравенства следует, что функция И (А) принадлежит пространству Нф* (сб) .

Из (5) имеем, что Ь - непрерывное линейное отображение из Нф* (сб) в Е^*(б) . Как известно [7],

обратный оператор Ь"1 действует по формуле (6).

Непрерывность отображения Ь"1 непосредственно следует из неравенства (7). Таким образом, Ь осуществляет топологический изоморфизм между Нф* (сб) и

Теорема полностью доказана. Следствие 1. Пусть D — ограниченная выпуклая область комплексной плоскости. Пусть далее

Ф = (рп )да=1 — последовательность функций из V , для

2

которой выполнено (2), и известно, что рп (г) = 0(г ) при г ^ да для каждого п е N . Тогда преобразование Лапласа функционалов Т ^ Т(А) := Т(еА), А е N, устанавливает топологический изоморфизм между сильно сопряженным к Лф (Б) пространством

(дф (Б))/ и пространством Е^* (б) .

Доказательство. Нетрудно видеть, что выполнены все условия теоремы из работы [4]. По этой теореме

преобразование Коши функционалов т ^ Т(г) := Т^ 1 ^,

г е с Б, устанавливает топологический изоморфизм между пространствами (Лф (Б))/ и Нф* (сб) . В силу теоремы 1 достаточно показать, что суперпозиция отображения Ь и преобразования Коши функционалов из

(лф (Б))/ совпадают с преобразованием Лапласа. Пусть Т е (лф (Б))/. Применим к функционалу Т преобразо-

вание Коши и обозначим F(t) := T (t) = T|

1

z -1,

получим

г е с Б . Далее, применяя к функции И (г) е Нф* (сб) преобразование Ь, положим для каждого А е N

1

F(A) J F(t)eAdt, где г5 - ориентированная от-

2m г rs

рицательно граница области Ds = {z e C: p(z, D) < S},

S e (0,1]. Ясно, что для всех F(A) = — J T

2m г V z -1 .

rs 4

1

\eAtdt.

Так как Т е (лф (Б))' и И (г) = Т(г), Vг е сБ, то из [4] следует, что функционал Т имеет вид

да

1

I

<

<

T(f)= lim Tr(f) = -L lim JF(jz)f(z)dz

r^1+0

2m

Г^1+0 dD

V/ е Аф (Б) , где Ту е (аф (Б))/, V/ > 1. При этом существует постоянная К > 0 такая, что для каждого

Г > 1 Tr (f)| < K, Vf е Aф (D) .

/

Поэтому по теореме Лебега об ограниченной сходимости имеем, что для всех Я е N

Fa) = J

2т г

1

(

1

lim J ^ dz

Л

2m r^1+0 öD z -1

eadt =

„ lim J

2m r^1+0 гг V Учитывая

j fm dz

2m 8D z -1

eЛtdt.

непрерывность

функции

G(z, t) := F(/z) e^ на множестве 8D xTs , получим, z -1

что при каждом Л е N

Fa) =lim J

2т r^1+0 8D

1

Г 1 ea

— J —

2m r z-1

Y л

dt

F(yz)dz =

= lim J F(yz)eAdz =T(eA) . 2Я7 r^1+0 SD

Таким образом, преобразование Лапласа функционалов осуществляет топологический изоморфизм между пространствами (Аф (D))/ и E^*(d) .

Для формулировки основного результата нам потребуются некоторые дополнительные обозначения и сведения.

Пусть H - приведенный проективный предел B-пространств комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве E из C . Топология в H

лес Ii f a)!,

Следствие 2. В условиях следствия 1 пространство (Аф (Б))/, сильно сопряженное с Аф (Б), допускает ехр-описание.

Доказательство. Пусть /(Я) = ехр(Я) , Я е С . Нетрудно видеть, что Т с Б/ . Из леммы 1 следует вложение Б/ с Ер* (Б). Используя следствие 1, получим, что Т = ер* (б) , а значит, Т = Ер*(Б) = Б/ .

В [2, теорема К] установлено, что если Н - приведенный проективный предел ^-пространств, и Н' допускает /-описание, то для того чтобы система

{/(Як7)}да=1 была а. п. с. в Н , необходимо и достаточно, чтобы множество Л = {Як }да=1 было слабо достаточным для Б/ = 1тт<1 Б[ . Напомним определение слабо достаточного множества [3].

Пусть Б - область в N, Н (Б) - пространство функций, аналитических в Б, наделенное топологией равномерной сходимости на компактах в Б. Положительную функцию у(г) назовем весовой, если 1п у(г) ограничена на всяком компакте в Б. Ассоциированное с

1М-, / < да!

задается набором преднорм (М| Г . Допустим, что

II «п'п = 1

имеется функция / е Н (с) такая, что / (Яг) е Н для каждого Я е N. Будем предполагать, что линейная оболочка множества {/ (Яг): Я е С} плотна в пространстве Н . Тогда отображение Q : у е Н' ^ у(/(Яг)) = Qy

устанавливает алгебраический изоморфизм между Н' и некоторым векторным подпространством Т пространства Н (С) всех целых функций. Напомним, что в соответствии с определением Ю.Ф. Коробейника [2] пространство Н' допускает /-описание, если Т = Б/, где

|*(Я)| ^

Б/ := и Б1 и б[ := ] И(Я) е Н (с) |

п=1 [

п е N.

Заметим, что в нашем случае Аф (Б) - приведенный проективный предел ^-пространств. Это следует из того, что пространство А (Б) ростков аналитических на Б

функций плотно в каждом ^-пространстве Ар (Б)

(п е N и является подпространством Аф (Б) [4]. Учтем также, что линейная оболочка системы экспонент

: Л е C ( плотна в пространстве Aф (D) [5].

v пространство E(v) = \ f e H (D): sup

zeD v(z) " " J

банахово и непрерывно вложено в H (D) . Пусть V = {vn - последовательность весов на D , упорядоченных по возрастанию V1<v2< . Введем векторное

да

пространство E(V) = U E(vn) и наделим его топологи-

n=1

ей внутреннего индуктивного предела последовательности нормированных подпространств E(vn ) . Произвольное множество S из D и соответствующая последовательность полунормированных подпространств

E(vn; S) = if e E(V): supM =: |f; S||„ < да! порожда-[ zeSvn(z) J

ет в E(V) другую индуктивную топологию. Если эта

индуктивная топология на E(V ) совпадает с исходной,

то множество S называют слабо достаточным для

E(V) .

В [3, теорема 1] показано, что в E(V) всякое слабо достаточное множество содержит дискретное, замкнутое в D , слабо достаточное подмножество. Отсюда, учитывая следствие 2 и непрерывность

функций Hd (I) + Yn (ln+||) (n e N), получим, что существует дискретное слабо достаточное для E^*(D) множество.

Из описанных выше результатов следует Теорема 2. Пусть Б - ограниченная выпуклая область комплексной плоскости. Пусть далее,

Ф = (pn )да=1 - последовательность функций из V , для

которой выполнено (2), и известно, что pn (t) = O(t ) при t ^ да для каждого n e N. Тогда существует по-

1

следовательность Л = {Як }да=1 точек из С такая, что

каждую функцию / из Аф (Б) можно представить в

да х т. / \ виде ряда 2 с^е к2 С е С), сходящегося абсолютно

к=1

в Аф (Б).

Примером последовательности весов ф = (рп )да=1, удовлетворяющей всем условиям теоремы 2, являют-

ся

Pn (f )= (а~ 1) t ln , а> 1.

Литература

1. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // УМН. 1981. Т. 36, вып. 1. С. 73-126.

2. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточные множества и представляющие систе-

мы // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1986. Т. 50, № 3. С. 539-565.

3. Епифанов О.В. Вариации слабо достаточных множеств в пространствах аналитических функций // Изв. вузов. Математика. 1986. № 7. С. 50-56.

4. Абанин А.В., Петров С.В. Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные // Итоги науки. Южный федеральный округ: мат. форум. Т. 1. Исследования по математическому анализу. Владикавказ, 2008. С. 16-23.

5. Державец Б.А. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1983. 102 с.

6. Державец Б.А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях пространства Сп и имеющих заданное поведение вблизи границы // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1985. № 2. С. 11-14.

7. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., 1989. 176 с.

Поступила в редакцию

30 июня 2009 г