CC BY
9
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 4 (2016). С. 127-134.
УДК 517.55+517.98+517.982.3 ВОЗМУЩЕНИЕ СЮРЪЕКТИВНОГО ОПЕРАТОРА СВЕРТКИ
И.Х. МУСИН
Аннотация. Пусть у G Е'(Мга) - обобщенная функция с компактным носителем - выпуклым множеством с непустой внутренностью. Пусть Х2 - выпуклая область в Мга, Х1 = Х2 + supp ц,. Пусть оператор свертки А : Е(Х-\) ^ Е(Х2), действующий по правилу (Af )(х) = (р * f)(х), сюръективен. Получено достаточное условие на линейный непрерывный оператор В : Е(Х1) ^ Е(Х2), обеспечивающее сюръективность оператора А + В.
Ключевые слова: оператор свертки, обобщенная функция, преобразования Фурье-Лапласа, целые функции.
Mathematics Subject Classification: 42B10, 44A35, 46E10
1. Введение
1.1. О проблеме и основной результат. Через Е(X), где X - открытое множество в Rra, обозначаем пространство бесконечно дифференцируемых функций на X с топологией, определяемой системой полунорм
\\/\\KN = sup l(Daf)(x)l, К Ш X,N G Z+.
xeK,lal<N
Сильное сопряженное Е *(Х) для пространства Е (X ) состоит из обобщенных функций с компактным носителем в X.
Если 0 = ^ G Е*(Rra), Х1, Х2 - два непустых открытых множества в R таких, что
Х2 + supp ^ С Х1, (1)
тогда свертка ^ * f распределения ^ и функции f G Е (Х1), определяемая по правилу
* f)(х) = М/ (х + У)), х G Х2,
принадлежит Е (Х2).
Л. Эренпрайс [1] и Б. Мальгранж [2] установили, что для любого ненулевого полинома Р п переменных Р(Б)(Е(Rra)) = Е(Rra). Для обобщенной функции р G Е*(Rn),^ = 0, Л. Эренпрайс [3] доказал, что оператор свертки f ^ ^ * f, действующий из Е(Rra) в Е(Rra), сюръективен тогда и только тогда, когда ^ обратимо, что означает, что его преобразование Фурье-Лапласа /t, определяемое по правилу
(i(z) = ^(е{-г^}), z G Cn,
медленно убывает, то есть найдется число а > 0 такое, что для любого £ G Rra существует точка rq G Rra, для которой \\£ — rj\\ < aln(2+ \\£\\) и |/t(rç)| > (а + \\£\\)-а. Решение проблемы сюръективности операторов свертки в общем случае было дано Л. Хёрмандером [4]-[6]. Он доказал, что уравнение свертки ^ * f = g имеет решение f G Е(Х1 ) для любого g G Е(Х2) тогда и только тогда, когда ^ обратимо и пара (Х1,Х2) - ^-выпуклая для носителей.
I.Kh. Musin, Perturbation of a surjective convolution operator. © Мусин И.Х. 2016.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №15-01-01661) и Программы Президиума РАН (проект «Комплексный анализ и функциональные уравнения».)
Поступила 25 июня 2016 г.
Напомним, что пара (Х1, Х2) открытых множеств Х\, Х2 в Rra, удовлетворяющих условию (1), называется ^-выпуклой для носителей [4, Определение 3.2], [5, Определение 3.2], если для любого v Е £ *(Х2)
dist(supp и, Rra \ Х2) = dist(supp ^ * v, Rra \ Х1). Здесь ^ * v - свертка обобщенных функций ^ и v, определяемая по формуле
(^ * и)(f)= р(и(f (X + у))), f Е £(Х-1),
dist(A,B) = infЦж — у\\ : х Е А,у Е В}, || ■ || - евклидова норма в Rra.
Л. Хёрмандером было доказано [7, Theorem 5.4, Corollary 5.4], что если Е £'(Rra)
имеют непересекающиеся сингулярные носители и медленно убывает, то + ^2 тоже медленно убывает. Позже прямое доказательство этого результпта Л. Хёрмандера было дано В. Абрамчуком [8, Theorem 1]. Таким образом, если Е £'(Rra) имеют непере-
секающиеся сингулярные носители и определяет сюръективный оператор свертки на £(Rra), то оператор свертки, ассоциированный с + ^2, также сюръективен.
Впоследствии было не так много работ, посвященных возмущениям операторов свертки в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. Среди них необходимо упомянуть относительно недавние результаты К. Фернандес (C. Fernandez), А. Гальбиса (A. Galbis) и Д. Жорнэ (D. Jornet) [9], исследовавших поведение возмущений сверточных операторов в пространствах ультрадифференцируемых функций в смысле Брауна, Майзе и Тейлора [10]. При этом существенно использовались результаты работ [11], [12] о сюръек-тивености операторов свертки в этих пространствах.
В данной работе проблема сюръективности возмущенных операторов свертки изучается в пространстве бесконечно дифференцируемых функций на выпуклых областях в Rra. Постановка задачи отличается от рассматривавшихся в [7], [8]. На ее формулировку (а также решение задачи) значительное влияние оказали исследования С.Г. Мерзлякова [13], посвященные возмущениям операторов свертки в пространствах голоморфных функций. А именно, зафиксируем обобщенную функцию ^ Е £'(Rra), носитель которой есть выпуклое множество с непустой внутренностью. Пусть Х2 - выпуклая область в Rra, Х1 = Х2+supp ^. Отметим, что в этом случае пара (Х1,Х2) - ^-выпуклая для носителей. Это следует из теоремы о носителях [6, Теорема 4.3.3] и из того, что для любой выпуклой области П С Rra и для любого компакта К С Q имеем dist(K, Rn \ Q) = dist(chK, Rn \ Q). Здесь chK - выпуклая оболочка компакта К. Предположим, что оператор свертки А : £(Х^ ^ £(Х2), действующий по правилу (Af )(х) = (^ * f )(х), сюръективен (таким образом, ^ обратимо). Рассмотрим линейный оператор В : £(Xi) ^ £(Х2) такой, что для любого выпуклого компакта К2 в Х2 существуют выпуклое компактное подмножество V во внутренности носителя ^ (обозначаемого supp ^) и число N1 Е Z+ такие, что для любого е > 0, меньшего расстояния между К2 и границей Х2, и для каждого N2 Е Z+ найдется число с = с(е, N2) > 0 такое, что
\\Bf \\щ,N2 < c\\f\\K2+ViNi, f Е £(Xi). (2)
Здесь К % - е-вздутие компакта К2.
Основной результат работы - следующая
Теорема. Оператор А + В : £(Х1) ^ £(Х2) сюръективен.
1.2. Структура работы. В разделе 2 приводятся два вспомогательных результата. Первый - результат типа принципа Фрагмена-Линделефа (Предложение 1). Второй - теорема деления Л. Хёрмандера [14, Corollary 2.6.]. Также здесь мы напоминаем определения двух типов локально выпуклых пространств из [15]. Основной результат доказан в разделе 3. В разделе 4 приведен пример оператора В.
1.3. Некоторые обозначения. Для и = (и1,... ,ип) Е Rra (Cra), v = (v1,... ,vn) Е Rra (Cra) (u, v) = u1v1 + ■ ■ ■ + unvn и \\w\\ обозначает Евклидову норму в Rra(Cra).
Для а = (а\,..., ап) G Zra |а| = а\ + ... + ап, Da - соответствующая частная производная.
Если П С Rra, то П, int П, дП, ch П - замыкание, внутренность, граница и выпуклая оболочка П, соответственно. Для е > 0 пусть Пе = {х G Rn : \\ж — у\\ < £ для некоторого у G П}.
Для г > 0 пусть D(r) = {х G Rra : ЦхЦ < г}.
Опорная функция Нк выпуклого компактного множества К С Rra определяется по формуле Нк(у) = max(y,t), у G Rra.
t^K
Н(Cn) - пространство целых функций в Cra.
Сильное сопряженное локально выпуклого пространства Е обозначаем через Е*.
2. Вспомогательные сведения и результаты
2.1. Вспомогательные результаты. При доказательстве Теоремы будут полезны следующие два результата.
Предложение 1. Пусть b - неотрицательная выпуклая позитивно однородная степени 1 функция в Cn и g G Н(Cn). Пусть для любого £ > 0 существует постоянная с£ > 0 такая, что
lg(z)l < се exp(b(z)+ ф||), z g Cn, и для некоторых М > 0 и N G Z+
lg(x)l < М(1 + \lx\l)N, х G Rra
Тогда
lg(z)l < 2f М(1 + \lz\l)2N exp(b(ilm z)), z G Cn.
Приведенное утверждение - легкое следствие нижеприведенной Леммы 1, фактически доказанной в [16]. Чтобы ее сформулировать, определим пространство Va(Тс) следующим образом. Пусть С - открытый выпуклый конус в Rra с вершиной в начале и а - неотрицательная выпуклая позитивно однородная степени 1 функция в Rra + iC. Тогда Va(Tc) -пространство функций f, голоморфных в трубчатой области Тс = Rra + iC и удовлетворяющих условию: для любого е > 0 существует постоянная с = cej > 0 такая, что
Ц(z)l < сexp(a(z)+ еЦгЦ), z G Rra + гС.
Лемма 1. Пусть g G Va(Тс) и для £ G Rra lim lg(z)l < М.
Тогда
lg(x + iy)l < Мexp(a(iy)), х + iy G Тс.
Замечание. В [16, Lemma] предполагалось, что С - острый конус. Анализ доказательства Леммы показывает, что это условие на С излишне.
Следующий результат получен Л. Хёрмандером [14, Corollary 2.6.])
Предложение 2. Для j= 1, 2, 3 пусть щ G £'(Rra), пусть
Hj(rq) = sup{{x,rq), х G supp Uj},
и пусть Uj - преобразование Фурье-Лапласа Uj. Предположим, что U2 = Щ - целая функция. Тогда Н2 = Н3 — Н\ - опорная функция некоторого выпуклого компакта из Rra и для любого £ > 0
IU2(()| < С£exp(H2(Irn()+ ф\\), ( G Cn, где С£ > 0 - постоянная.
2.2. Два определения. Напомним определения (М*)-пространства и (LN*)-пространства из [15].
Определение 1. Пространство, представимое в виде проективного предела последовательности нормированных пространств Sn, п Е N, относительно линейных непрерывных отображений дтп : Sn ^ Sm, т < п, таких, что gn,n+i вполне непрерывны для каждого п, называется пространством (М*).
Определение 2. Локально выпуклое пространство Е, представимое в виде индуктивного предела возрастающей последовательности нормированных пространств Е^ таких, что единичный шар пространства Ek относительно компактен в Е^+1 для каждого к Е N, называется пространством (LN*).
2.3. Еще несколько обозначений и сведений. Если X - открытое множество в R и (Кт)т=1 - последовательность компактных подмножеств X такая, что Кт С int Кт+1 (т = 1, 2,...) и X = и^=1Кт, то обозначим через Ст(Кт) нормированное пространство функций f, гладких до порядка т в Кт, с нормой ||/т. Отметим, что £(X) - проективный предел пространств Ст(Кт). Причем, £(X) плотно в каждом Ст(Кт) и вложения im : Ст+1(Кт+1) ^ Ст(Кт) вполне непрерывны. Следовательно, £(X) -(М *)-пространство. Тогда £ * (X) - (LN *)-пространство и £ *(П) - индуктивный предел пространств (Ст(Кт))* [15, Теорема 5].
3. Доказательство Теоремы
Теорема будет доказана, если покажем, что образ оператора А + В замкнут и плотен в £(Х2).
Вначале покажем, что образ оператора А + В замкнут в £(Х2). Так как £(Х1) и £ (Х2) - пространства Фреше, то замкнутость оператора А + В эквивалентна замкнутости образа сопряженного оператора (А + В)* [17, 8.6.13, Теорема]. Так как £*(Х1) -(LN*)-пространство, то для того, чтобы показать, что образ оператора (А + В)* замкнут, достаточно доказать, что образ оператора (А + В)* секвенциально замкнут [15, Предложение 8]. Поэтому пусть функционалы Sk Е £*(Х2) таковы, что последовательность ((А + B)*Sk)fe=1 сходится к F Е £*(Х1) в £*(Х1). Для каждого т Е N пусть Х2,т - открытое ограниченное выпуклое подмножество Х2 такое, что X2,т С Х2,т+1, Х2 = U^=1X2,т. Положим Х1т = Х2,т + supp ß. Тогда X 1,т С Х1>т+1, Х1 = U^=1X 1,т. По свойствам (LN*)-пространств [15, Теорема 2, Следствие 1] найдется р Е N такое, что функционалы Fk := (А + B)*Sk и F принадлежат (СР(Х 1,р))*, и последовательность (F^)^=1 сходится к F в (СР(Х 1,р))*. Таким образом, носители функционалов F^ и F лежат в X 1,р и порядок распределений F^ и F не превосходит р.
Пусть 2rp := dist(X2,р, dX2,p+1), Х2 := Х2,р + D(rp) и Х1 := Х2 + supp ß. Отметим, что Х1 и Х2 - ограниченные открытые выпуклые множества в R и пара (Х1 ,Х2) - ^-выпуклая для носителей. Обозначим через А оператор свертки f Е £(Х^ ^ ß * f. Очевидно, А действует из £(Х^ в £(Х2) линейно и непрерывно и если f Е £(Х1), то Af = Af. По выше цитированному результату Л. Хёрмандера [5] А(£(Х^) = £(Х2).
Далее, пользуясь неравенством (2), продолжим (единственным образом) оператор В до линейного непрерывного оператора В, действующего из £(Х^ в £(Х2). Отметим, что для любого выпуклого компакта К2 С Х2 существуют компакт V С int(supp ß) и число N1 Е Z+ такие, что для любого е Е (0,dist(K2,dX2)) и для каждого N2 Е Z+ найдется число с = с(е, N2) > 0 такое, что
ЦВf Ищ,N2 < 4fHb+VtNl, f Е £(X1).
Полагая здесь К2 = Х2,р, убеждаемся, что В - компактный оператор из £(Х^ в £(Х2). По теореме 9.6.7 из [17] образ оператора А + В замкнут в £(Х2). Следовательно, образ оператора (А + В)* замкнут в £*(Х^.
Для каждого ] € N пусть Х2^ = Х2,р + И(гр). Тогда Х\ = 2^ + зирр у). Отме-
тим, что при некотором т € N носители функционалов Р, Рк = (А + В)*вк (к = 1, 2,...) лежат в X2,т + зирр
Теперь возьмем произвольный функционал в к и покажем, что выпуклая оболочка Шк его носителя содержится в X2,т+2. Предположим противное. Тогда найдется точка £ из
Шк, не принадлежащая X2,т+2. Существует гиперплоскость в Кп, разделяющая X2,т+2 и £. Поэтому можно найти точку у0 € Кп такую, что
НШк (уо) (у0). (3)
3 2 ,т + 2
Обозначим порядок распределения вк через М2,к. Возьмем ^ > 0 настолько малым, что Ш^1 <£ Х2. Тогда найдется постоянная а¿1,к > 0 такая, что
1(В*Бк)(/)| = 1Бк(В!)| < а&,к\\В/^, I € 8(Хх).
По условию на В существуют выпуклый компакт V С гпЪ(зирр ц) и число N1 € Ъ+ такие, что для выбранного ^ > 0 найдется постоянная с¿1гк > 0 такая, что
1(В*8к)(/)|< с61,к\\1 Ц^+ум, I €8(Х1). Отсюда для всех г € Сп имеем
1(В*Зк)(г)1 < с6ик(1 + М)М1 ехр(Н№к(1т г) + Ну(1т г)). (4)
Принимая во внимание, что при некотором ¿> 0
Ну (ж) < Нзирр р(х) — ¿\\1т ж||, ж € Еп, из (4) получаем, что для всех г € Сп
1(В*Зк)(г)| < сё1,к(1 + ЦгЦ)"1 ен™к(1т Л1т *И. (5)
Далее, так как Рк € 8*(^), зирр Рк С X2,т + зирр ^ и порядок распределения Рк не превосходит р, то для любого 8 > 0 существует постоянная т^кк > 0 такая, что для всех г € Сп
^)1< т$,к(1 + М)р ехр(НЗ (1т г) + Н3иРР ^(1т х) + 5\\1т г\\). (6)
Используя оценки (5) и (6) с 8 = 2(тт+1)(т+2), получим, что для всех г € Сп
1(А*вк)(г)1 < а(1 + \\г\)ьеНл(шки*2,т+1)+-РР ¿1т г)-1¥т (7)
где 7 = шш(^, 8), а = шах(с&1кк) и Ь = шох(р, N1). Возьмем число 71 € (0,7) и найдем выпуклый компакт О к С гпЪ (ск(Шк и X2,т+1)) такой, что
Нси{иЗ.2,т+1)М - Н*к (У) < Ъ \ \ У \ \, У € ^
Тогда из (7) имеем
1(А*Бк)(г)1 < а(1 + \\г1)ьен°к+^ »(1т Отметим, что по теореме Пэйли-Винера-Шварца [6, Теорема 7.3.1] это означает, что носитель А* в к содержится в О, к + зирр Учитывая равенство
(А*!3к)(г) = Бк(г)р,(г), г € Сп,
и Предложение 2, получаем, что Нзирр (А*зк) — Нзирр ^ - опорная функция некоторого выпуклого компакта С к С Кп и для любого е > 0 найдется число С£ > 0 такое, что
0к(г)1 < Се еМНск(1тг) + ф\\ ), г € Сп. (8)
По теореме Пэйли-Винера-Шварца [6, Теорема 7.3.1] при некотором Мк > 0 имеем
0к(ж)|< Мк(1 + \ \ )щ,к, х € Еп
Из этого неравенства и неравенства (8), пользуясь Предложением 1, получаем, что
(*)| < Мк(1 + HzH)2N2'kен°к(Imz), z Е Cn.
Снова пользуясь теоремой Пэйли-Винера-Шварца [6, Теорема 7.3.1], получаем, что носитель Sk содержится в Gk. Следовательно, для всех у Е R имеем, что
HWk(У) < HGk(у) = Hsupp (A*sk)(y) - Hsupp ß(y) < < Hnk+supp ß(y) - Hsupp ß(y) = Hnk(y). Отсюда, принимая во внимание, что С гnt (ch(Wk U X2,m+1)), получим, что
HWk(у) < max(HWk(y),Hj (у)), у Е
Но это невозможно ввиду (3). Таким образом, для каждого к Е N выпуклая оболочка Wk носителя функционала Sk (к = 1, 2,...) содержится в X2,т+2.
Пусть г/ Е £(Rra) - функция с носителем в X2,т+4 такая, что 0 < г/(х) < 1 для всех х Е R и г](х) = 1 для х Е X2,т+3. Для каждого к Е N определим функционал Sk на £(Х2) по правилу: Sk (/) = Sk (vf), f Е £ (X2). Очевидно, Sk Е £ * ВД и Sk (/) = Sk (/), f Е £ (X2). Отметим, что так как для каждого f Е £(Х1) (А + ß)(/) = (А + ß)(/), то функционалы (А + B)*Sk и (А + ß)*5fc (fc = 1, 2,...) совпадают на £(Х1). Теперь, принимая во внимание, что £(Х1) плотно в £(Х1), получаем, что (А + В)*Sk - (единственное) продолжение функционала (А + В)*Sk на £(Х1).
Покажем, что функционалы (А + В)*Sk сходятся в £*(Х1). Сперва отметим, что последовательность ((А + В)*Sk)<к=1 - фундаментальная в £*(Х1). Действительно, пусть В -произвольное ограниченное множество в £ (Х1) и
В° = {F Е £*(Х1) : IF( /)| < 1 V/ Е В}
- ее поляра. Возьмем функцию ш Е £(Rra) с носителем в X2,m+4 + supp ß такую, что 0 < ш(х) < 1 для всех х Е Rra и ш(х) = 1 для х Е X2>т+3 + supp ß. Так как носители функционалов Sk лежат в X2,т+2, то носители функционалов (А + В)*Sk содержатся ^2,m+2 + supp ß. Поэтому для любого f Е £(Х1) и всех к,т Е N имеем, что
((Ä + В)*Sk)(/) - ((Ä + B)*sm)(f) = ((Ä + B)*Sk)(ш/) - ((Ä + В)*sm)(uf).
Мы можем рассматривать uf как элемент £ (Х1) полагая (ш/)(х) = 0 для х Е Х1 \ (X2,rn+4 + swpp Тогда
((i + В)*Sk)(/) - ((i + B)*sm)(f) = ((А + B)*Sk)(ш/) - ((А + В)*Sm)(uf).
Отметим, что множество шВ = {ш/ : f Е В} ограничено в £(Х1). Так как последовательность ((А + B)*Sk)к=1 сходится в £*(Х1), то она - фундаментальная в £*(Х1). Поэтому найдется N Е N такое, что для всех натуральных чисел к,т: к,т > N ид Е шВ имеем |((А + B)*Sk)(g) - ((А + B)*Sm)(g)I < 1. Следовательно, для всех натуральных чисел к,т: к,т > N и f Е В получаем, что
|((i + B)*sk)(/) - ((i + в)*Sm)(/)|< 1.
Это значит, что для всех натуральных чисел к,т: к,т > N и f Е В имеем, что (А + В)*Sk - ((А + В)*Sm Е В°. Таким образом, доказано, что последовательность ((А + В )* Sk )к=1 - фундаментальная в £ *(Х1). Наконец, так как £ * (Х1) - полное, то получаем, что последовательность ((А+В)*Sk)к=1 сходится в £*(Х1) к некоторому Т Е £*(Х1). Но (А + В)*(£*(Х2)) замкнуто в £*(Х1). Следовательно, существует функционал S Е £*(Х2)
такой, что Т = (А + B)*S. Пусть S - сужение S на £(Х2). Тогда для любого f Е £(Х1) имеем, что Т( ) = Т( ) . Действительно,
Т(/) = lim ((Ä + В)*(Sk))(/) = lim 5fc((Ä + ß)/) = lim Sk((А + В)f) =
= lim Sfe((А + ß)/) = lim ((A + ß)*5fe)(/) = Т(/). fe^-k fe^-k
Отсюда и из следующей цепочки равенств
Т(/) = lim ((Ä + ß)*(&))(/) = ((Ä + ß)*(S))(/) = 5((i + В)/) =
fe^k
= + ß)/) = 5 ((A + ß)/) = ((A + B)*S)(/)
следует, что Т = (А + В)*S. Таким образом, образ оператора (А + ß)* замкнут в £*(Х1). Следовательно, образ оператора А + В замкнут в £(Х2).
Теперь докажем, что образ оператора А + В плотен в £(Х2). Это будет сделано, если покажем, что произвольный функционал S Е £*(^2) такой, что S((А + В)/) = 0 для всех f Е £(Х1), - нулевой функционал. Предположим противное. Тогда носитель S не пуст. Пусть N - порядок распределения S и 8 > 0 настолько мало, что (supp S)г Ш Х2. Тогда найдется постоянная > 0 такая, что
№Ш < Сй ||5f|
(supp S)s,N>
д Е £(Х2).
Отсюда и из неравенства (2) следует, что существуют выпуклый компакт V С int(supp ß), число N1 Е Z+ (зависящее от ch(supp S)) и постоянная C > 0 такие, чтодля любого f Е £ (Х1)
KB*s )(/)|<с УМ
ch(supp S)+V,N1.
Следовательно, носитель функционала В*S содержится в ch(supp S) + V. С другой стороны, из равенства В*S = -ß * S и по теореме о носителях [6, Теорема 4.3.3] ch(supp В*S) = ch(supp S) + supp ß. Таким образом, ch(supp S) + supp ß С ch(supp S) + V. Но это включение невозможно так, как выпуклый компакт V содержится во внутренности носителя ß. Следовательно, предположение, что S - ненулевой функционал было неверным. Таким образом, S = 0. Это означает, что образ А + В плотен в £(Х2). Тем самым, теорема полностью доказана.
4. Пример оператора В
Пусть ß G S'(Rra) - обратимое распределение и supp ß = D(1). Распределения с такими свойствами могут быть построены (см., например,, [8, Theorem 1, Theorem 3, Theorem 4]). Пусть X2 = D(1), Xi = D(2). Пусть А : S (X^ ^ S (X2) - оператор свертки, действующий по правилу ( А f )(х) = (ß * f)(x), х G Xi. Возьмем функцию b G S (R2ra ) с носителем в D( 4 ) х D( 1 ). Определим оператор В : S (Xi) ^ S (Х2) по правилу
(Вf )(х)= / Ь(х, О f(x + ||х|| < 4,
./К" 4
(В f)(х) = 0, 4 < ||х||< 1.
Пусть К - выпуклый компакт в X2 и 7 := dist(K,dX2). Покажем, что существует выпуклый компакт V С int(supp ß) такой, что для любых е G (0,7) и N2 G Z+ найдется постоянная с = с(е, N2) > 0 такая, что
||В f ||^2 <c\\nK+Vfl , fGS (Xi).
Очевидно, для любого е G (0,7) и для любого N2 G Z+ найдется постоянная С > 0, зависящая от b и N2 такая, что для каждого f G S(Xi) имеем
||В f h^N? = ||В f ^ПДф,^ < Ci|/|(K-nD(I))+DCl))G. (9)
Если 7 Е (0, 4), то из (9) имеем, что
\ \ Bf\\K£,N2 < С^\f\\К1 +щ-)у0 = С^\f\\к+D{i+ 4-,Q
Следовательно, в этом случае можно положить V = D(j + 1). Если 7 Е [|, 1], то К С D( 1) и из (9) имеем
\\ Bf \\ К£ ,N2 < С1 \\ f \\D(r)i0 < С1 \\ f \\K+D(r)i0.
Итак, при 7 Е [4, 1] можно положить V = D(4).
Таким образом, по Теореме оператор А + В : £(Х1) ^ £(Х2) сюръективен.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. L. Ehrenpreis Solution of some problems of division, Part I. Division by a polynomial of derivation // Amer. J. Math. 1954. V. 76. P. 883-903.
2. B. Malgrange Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1955-56, 6, P. 271-355/
3. L. Ehrenpreis Solutions of some problems of division, Part IV. Invertible and elliptic operators // Amer. J. Math. 1960. V. 82. P. 522-588.
4. L. Hormander On the range of differential and convolution operators. Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey. 1961.
5. L. Hormander On the range of convolution operators // Ann. of Math. 1962. V. 76. P. 148-170.
6. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том 1, 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами М.: Мир, 1986.
7. L. Hormander Supports and singular supports of convolutions // Acta Math. 1963. V. 110. P. 279302.
8. W. Abramczuk A class of surjective convolution operators // Pacific J. Math. 1984. V. 110. P. 1-7.
9. C. Fernandez, A. Galbis, D. Jornet Perturbations of surjective convolution operators // Proc. Amer. Math. Soc. 2002. V. 130. P. 2377-2381.
10. R. Braun, R. Meise, B.A. Taylor Ultradifferentiable functions and Fourier analysis // Results Math. 1990. V. 17. P. 206-237.
11. J. Bonet, A. Galbis, R. Meise On the range of convolution operators on non-quasianalytic ultradifferentiable functions // Studia Math. 1997. V. 126. P. 171-198.
12. R. Braun, R. Meise, D. Vogt Existence of fundamental solutions and surjectivity of convolution operators on classes of ultradifferentiable functions // Proc. London Math. Soc. 1990. V. 61. P. 344-370.
13. Мерзляков С.Г. О возмущении операторов свертки в пространствах голоморфных функций // Матем. сб. 1995. Т. 186, №3. С. 103-130.
14. L. Hormander Convolution Equations in Convex Domains // Inventiones math. 1968. V. 4. P. 306317.
15. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. 1:1. С. 60-77.
16. I.Kh. Musin On the Fourier-Laplace representation of analytic functions in tube domains // Collect. Math. 1994. V. 45. P. 301-308.
17. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.
Ильдар Хамитович Мусин Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: musin_ildar@mail.ru
