ТАЪЛИМИ МУНОСИБАТ ТАМОЮЛИКАСБИДОШТА ДАР ОМУЗИШИ ТАРЗҲОИ ГУНОГУНИ ЗАРБИ ВЕКТОРӢ В. ОМЕХТАИ ВЕКТОРҲ БА МУАЛЛИМОНИ ОЯНДАИ ФИЗИК Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ТДУ 371 ТКБ 74.03(5Т)

ТАЪЛИМИ МУНОСИБАТИ ТАМОЮЛИКАСБИДОШТА ДАР ОМУЗИШИ ТАРЗХОИ ГУНОГУНИ ЗАРБИ ВЕКТОРИ В

ОМЕХТАИ ВЕКТОРХ БА МУАЛЛИМОНИ ОЯНДАИ ФИЗИК

ПРОФЕССИОНАЛЬНО НАПРАВЛЕННЫЙ ПОДХОД К ИЗУЧЕНИЮ ВЕКТОРНОГО И СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ БУДУЩИМИ УЧИТЕЛЯМИ ФИЗИКИ В ПЕДВУЗ

Саидова Фарангис Хуршедовна, омузгори кафедраи физикаи назарияви ва методикаи таълими физикаи МДТ «ДДХ ба номи акад. Б.Гафуров» (Тоцикистон, Хуцанд)

Саидова Фарангис Хуршедовна,

преподаватель кафедры теоретической физики и МПФ ГОУ «ХГУ имени Б.Гафурова» (Таджикистан, Худжанд)

A PROFESSIONALL ORIENTED APPROACH TO TH STUDY OF VECTOR AND MIXED PRODUCT OF VECTORS FOR . FUTURE PHYSICS TEACHER AT, PEDAGOGICAL UNIVERSIT

Saidova Faranghis Khurshedovna, lecturer of the department of theoretical physics and its methods of teaching under the SEI "Khujand State University named after B.Gafurov" (Tajikistan, Khujand), E-mail:@khurshedzade-arangis@mail.ru

Ключевые слова: профессиональная направленность, подготовка учителей физики, векторное произведение, смешанные произведения векторов, задачи с физическим содержанием, самостоятельные работы, образец решения геометрических задач, индукция магнитного поля, сила, работа

В статье рассматривается профессионально направленный подход в деле подготовки будущих учителей в педвузе. Отмечается, что профессиональная подготовка будущих учителей реализуется через решение задач с физическим содержанием в процессе обучения предметов математического цикла. Указывается, что геометрия как один из учебных предметов в педагогических вузах включён в учебный план по физике, а векторная алгебра как составная часть геометрии имеет много возможностей применения в курсе общей физики. Далее дается сокращённое изложение векторного и смешанного произведения векторов. На этой основе приведены образцы решения задач с физическим содержанием на занятиях по геометрии на физическом факультете в педвузе. Предлагается ряд задач с физическим содержанием для самостоятельной работы по данной теме курса.

Вожа^ои калиди: самтгирии касби, омодагии муаллимони физика, уосили векторуо, уосили омехтаи векторуо, супоришуои мундарицаи физики дошта, кори мустацилона, щлли намунавии масъалацои геометри, индуксияи майдони магнити, цувва, кор

Дар мацола дар бораи муносибати касб дошта тамоюли ба тайёр кардани муаллимони ояндаи дар физики донишкадацои олии омузгори сухан меравад. Цайд мешавад, ки тайёрии касбии омузгорони оянда тавассути уалли масъалацои дорои мундарицаи физики дар раванди таълими мавзуи сикли математики амали карда мешавад. Тазаккур меравад, ки геометрия щмчун яке аз фащои таълимиест мебошад, ки ба барномаи таълими физика дар донишкадаи омузгори дохил карда шудааст. Муайян карда мешавад, ки алгебраи вектори цамчун цузъи цудонашавандаи геометрия имкониятуои зиёди татбицро дар курси физикаи умумии дар донишгощо омузгори дорад. Дар ин асос, дар дарсуои геометрияи факултети физикаи донишгощои омузгори намунацои масъалацои цалли мундарицаи физики оварда шудаанд. Х,амчунин аз цониби муаллиф як цатор масъалацо барои кори мустацилона дар ин мавзуи курс пешнщод карда шуда, рощои ощо нишон дода мешавад.

Key words: professional orientation, physics teachers training, cross product, mixed products of vectors, tasks with physical content, self-sufficient work, example of solution of geometric problems, magnetic field induction, force, work

The article dwells on the issue concerned with professionally-oriented approach to future teachers training at a pedagogical university. It is underscored that the professional training of future teachers is realized through solution of tasks beset with physical content in the process of teaching the subject of

mat h em a t ical cy c le . Geo metry as one of the academic subjects included in the curriculum ofphysics at the pedagogical university. A vector algebra as an integral part of geometry is of a large considerable possibilities of application in the course of general physics at the relevant university. Into the bargain, the author adduces an abbreviated presentation in reference to the vector and mixed product of vectors. Proceeding from this consideration, she gives examples of solution of tasks dealing with physical content in the geometry class attached to the faculty of physics under the pedagogical university. In a nutshell, the author proposes a number of tasks with physical content for self-sufficient work on the relevant topic of the course.

Маълум аст, ки фанни физика бо математика вобастагии зич дорад. Математика ба физика воситаву роххои ба таври умумиву да;и; баён намудани вобастагии байни бузургихои физикиро медихад, ки онхо дар натичаи тачриба ва ё тад;и;оти назариявй зохир мегарданд. Махз аз хамин сабаб мундарича ва методикаи таълими физика аз савияи омодагии саводи риёзии мухассилин вобаста аст.

Муаллими физика бояд мазмуну маънои курси математикаи мактабиро ба таври бояду шояду хуб донад, иборахо ва мазмуни мафхумхои математикиро дарк намояд, то ки дар машгулиятхои худ бо "забони математикй" харф зада тавонад. Муаллими физика дар машгулиятхои худ бояд аз донишхои мухдссилин оид ба вобастагии функсионалй, сохтани чадвалхо, оид ба чамъи векторхо васеъ истифода барад[1,с.2-5].

Хонандагон нахустин маротиба бо мафхуми вектор дар синфи хафтум шинос мегарданд. Дар ин чо дар бораи вектор векторро хамчун бузургии физикии гайр аз ;иммати ададй боз сохиби самт доштанашон маълумот дода мешавад. Ин чо муаллим бояд ба он ахамият дихад, ки бузургихои векторй хусусиятхои ба худ хос доранд, ки онхо аз дигар ададхо фар; менамоянд. Масалан чамъу тархи векторхо аз чамъу тархи ададхо фар; менамояд.

Дар ма;олаи мазкур таълими тарзхои гуногуни зарби векторй ба муаллимони ояндаи физика дар муассиса^ои тах,силоти олии омузгорй мавриди тах;и; ;арор дода шудааст. Омодасозии касбии муаллимони оянда тавассути халли масоили физикй дар раванди омузиши фанхои математикй, хоса геометрия амалй гардонида шудааст.

Бояд гуфт, ки баъзе масъалах,ои робитаи байни анализи математикй ва курси физикаи умумй назаррас аст. Аммо робитаи байни геометрия ва курси физикаи умумй то х,ол х,алли пурраи худро наёфтааст. Азбаски татбики зарби векторй дар физика них,оят васеъ истифода мешавад, унсурхои фазои векторй, зарби векторй ва омехтаи векторх,о дар силлабус^ои омузгорони математика ворид намуда шудааст. Акнун баёни мухтасари онро шуруъ менамоем. А) Зарби вектории векторхо

Бигзор дар фазо базиси ортонормиронидашудаи ( j, ],/с) ва вектори ихтиёрии а ва b дода шуда бошад.

Таъриф. Зарби вектории векторх,ои а ва /) гуфта чунин вектори сеюмин [ а в a b]- ро меноманд, ки ба шартх,ои зерин итоат менамояд:.

1) ||а,й|| = |а| • |/с| • sin( а • й), ( а, й) < п

2) вектори [ а в a b] ба х,ар як вектори х,амзарбшаванда му;оисавй аст, яъне [ а • й]а|а • Ьр;

3) сегонаи вектор^ои С,], к ва а •Ь, [ а b] тамоюли якхела доранд.

Агар формулаи масох,ати секунчаро аз геометрияи мактабй ба хотир орем, аз таъриф маълум мегардад, ки киммати мутлаки косили зарби векторй одатан ба масох,ати паралелограмми аз вектор^ои х,амзарбшаванда сохташуда баробар аст[3,4,6].

ро дар намуди муайянкунанда менависанд.

j ] /с

Одатан формулаи х,исобкунии зарби вектори

|а • /с1 =

¿1 а2 а з

ьг ь2 ь3

Ин гуна навишти зарби векторй барои исботи хосиятх,ои вай кулай аст. Хосиятх,ои муаянкунандаро истифода бурда бе мушкили нишон додан мумкин аст, ки зарби векторй дорои хосиятх,ои зерин аст: 1) [ а • й] = — [/ • а] (антикоммутативй)

2) [ а •/с + с] = [ а •/с

3) [% • а2 /с] = [¿^ •/с

+ [а • с] (ассосиативй нисбат ба зарбшавандаи склаярии х,акикй) + [«2 •/с],

[ сА + /с2] = = [ % • /с1] + [% • /с2 ] (дистрибутивй)

201

J /

4 / а с

/

Ло

Î В

Расми 1. Параллелошшеди тегахояшвщтощоиâ b вас

Аз ин до хулоса мебарояд, ки зарби вектории конбинатсияи хаттии векторх,о ба монанди зарби бисёраъзоих,о идро карда мешудааст ва факат ба дои х,ам зарбшавандах,о тагйир дода намешудааст. [ а • а + в • Ь, гс + д • й] = аг|ас| + в г|йс| + ад|сш| + в г|йЯ| Б) Зарби омехтаи векторхо.

Бигзор дар фазо репери ортонормиронидашудаи Т,],к дода шуда бошад.

Таъриф. Зарби омехтаи се векторх,ои а Ь с ишорат мекунанд. Х,амин тавр, (а Ь с) = а [й с] мебошад. Аз таъриф маълум мешавад, ки косили зарби омехтаи се вектор адад (скаляр) будааст. Маънои геометрии зарби омехтаро теоремаи зерин ифода мекунад. Теорема: Агар векторх,ои а Ь с гайриимконпазирй дода шуда бошанд, он гох, зарби омехтаи онх,о аз руи кимати мутлакаш одатан ба хддми параллелепипеди аз векторх,ои а Ь с сохташуда баробар аст:

V = |а| • |й • с|

Исбот. Маълум, ки [ Ь с] = 5ЬЬ) аст, ки ин до 5 масохдти паралелограмми аз векторх,ои Ь в а с

сохташуда буда, % вектори вохидии равиши [й с] мебошад. Параллелепипедеро месозем, ки

тегх,ояш векторх,ои а Ь в а с - анд (расми 1). Аз ин до

а[Ь с ] = 5 • а • щ

лекин

а • ЬЬ) = прПоа = + к аст, ки дар ин до к — дарозии баландии параллелепипед ОН мебошад.

Агар тамоюли сегонах,ои ( Ь с гг)) якхела бошанд аломати назди к «плюс» гирифта шуда дар акси х,ол «минус» гирифта мешавад.

Пас

|ь

= V.

) | Ь) )| ё ки

Теорема пурра исбот шуд.

Акнун зарби омехтаи вектор^оро ба воситаи координата^ои вектор^ои хдмзарбшаванда истифода мекунем.

Бигзор нисбат ба базиси ортонормиронидашудаи (/ ,/, /с) вектор^ои а; Ь; с координата^ои зерин дошта бошанд:

а( а 1 , а2 ,а3 ), Ь (Ь 1 , Ь2 ,Ь 3), с(сх, с2 ,с3)

Маълум, ки

Р

с| =

h с2 Ь3 с3

i +

h с3 h сг

7 +

К Cl b2 с2

/с

Ин векторо бо вектори а = % 2, а2/, а3к скалияри зарб намуда х,осил мекунем:

аг Ьг с1

_, U-л С-1

+ а3

а |/с • <2| = ас

Х,амин тавр,

Ъ2 Ъ2 h сз

+ а2

Ъ3 ъ3 К Сх

К Ci Ьз с2

а2 а3

Ъ2

Ьз

с2

С3

% сг

а ,Ь , с = а2 Ь 2 с2

аз Ь3 с3

Зарби омехтаи векторхо хосият^ои зеринро со^ибанд:

1. Вектор^ои а ,Ь, с компланар мешаванд, танх,о ва танх,о дар х,олате, ки зарби омехтаи онх,о баробари сифр бошад;

2.Тамоюли сегонаи векторх,ои а ,Ь , с ва векторх,ои /,/,Ь якхела (мукобил) мешаванд, танх,о ва танх,о дар х,олате, ки зарби омехтаи вектор^ои а ,Ь , с мусбат (манфй) бошад;

3 . А гар д ар з арби о мехтаи се вектор чои ду вектори хамзарбшаванда иваз карда шавад, хосили зарби омехта аломаташро ба баръаксаш тагйир дода, агар чои хамзарбшавандахо ба таврй даври иваз карда шавад, аломаташро тагйир намедихад; 4. Дар натичаи зарб

яке

аз

кардани векторхои хамзарбшаванда косили зарби омехта низ ба ин адад зарб карда мешавад; ( а а Ь с) = ( а а Ь с) = ( а Ь а с) = а( а Ь с)

5. Зарби омехта ба хосияти дистрибутивй итоат мекунад:

+ ас) = (ас) + % + (а2Ь с) (а + Ь2 с) = (а Ь1 с) + (а Ь2 с) ( а + с2) = ( а 1)с1) + (а Ьс2)

6. Агар дар зарби омехта ду вектори

якхела коллиниар иштирок кунанд, он гох косили зарб баробарии сифр аст.

Исботи ин хосиятхо ба хосиятхои муайянкунандахо асос карда шудаанд ва бе мушкилй

гузаронида мешаванд.

Акнун зарби векторй ва омехтаро дар раванди халли масъалахои мазмуни физикидошта муоина менамоем.

Оид ба зарби вектори

Масъалаи 1. Ч,исми массаш т тахти кувваи вазнинй Рд дар хдмвории моил мелагжад. Баробартаъсиркунандаи Р ба самти моили хамворй равонаро ёбед.

1. ^ал. Базиси ортонормиронидашудаи (/ /) — ро чунон интихоб мекунем, ки вектори I ба моили хдмвории моил якхела бошад. Аз расми 2 бармеояд, ки М^ = М1 + ЬК = • 5 т ц I + со 5 цу аст, дар ин чо / = 5 т ц ин баробартаъсиркунандаи матлуб мебошад.

Масъала 2. Тарозуи пахлудори тарафхояш |0 А| = а ва |0 В| = Ь дода шудааст. Ба нуктаи В кувваи Р чунон гузошта шудааст, ки бо самти уфукй кунчи 6(9 00 < а < 1 80 0) ташкил медихад. кувваи амуди муайян кунед, ки ба нуктаи А гузорем пахлухои тарозу мувозинат шавад (холати мувозинатй ба тири гарзионалй муофик, аст). ^ал. Дар холати мувозинатй Х^осили чамъи моилхои хамаи куввахои ба тарозу таъсиркунанда ба сифр баробар мешавад, яъне Мр + М д = 0.

Масалан, Мр кувваи Р нисбат ба нуктаи ро меноманд, ки шароитхои зеринро каноат мекунад:

1) |М,| = |С^А^Г| • • 5 тОА^ дар ин чо нуктае, ки кувваи гузошта шудааст;

2) вектори Мр ба векторхои Р ва О А мусовй ва чунон равонанд, ки тахти онхо бо

камтарин гардиш аз СМ ба Р тибки равиши мусбат намуддор аст. Чунки дар масъалаи додашуда М^- ба хамвори перпедикулияр равон ба мо, лекин Ма — «аз мо».

Х,амин тарик М^- Т Мд ва барои ичрои баробарии Мр + Мд = 0 кифоя аст, ки |Л/^| = |Мд| яъне

|F| • s i па = b | <C | • s i n9 00 аз ин чо |(?| = ^ • s in а

Моменти кувваи дар масъалаи боло муоина шуда ин вектор аст, ки он дар натичаи амали зарби вектории векторхо хосил шудааст. Бояд гуфт, ки зарби вектории векторхо дар физика ба таври васеъ тадбик мешаванд [9,с. 10].

Масъалаи 3. Дар ду нокили беохир дарозидоштаи дар масофаи 10 см нисбат ба якдигар чойгирбуда, ба хар кадом чараёни 5 А равона шудааст. Индуксияи майдони магнитиии чараёнхо дар нуктаи мобайнии нокилхо ёфта шавад, агар:

1) нокилхо ба хам мусовй (параллел) ва чараёнхо ба як самт равонабошанд (расми 4а)

2) нокилхо ба хам перпендикуляр (расми 4б)

Дода шудааст: 11 = 12 = 1 = БА

й = 10см = ОДм

1 ) ВА-? 2 ) ?

^ал. Индуксияи натичавии майдони магнитй дар нуктаи додашуда ба суммаи вектории индуксияи майдонхо, ки аз тарафи хар як чараёни чудогона ба амал оварда мешаванд, баробар аст.

В = Вг + В2 (1)

Дар ин чо ва индуксияи майдонхое мебошад, ки мутобикан аз тарафи чараёнхои ва ба амал оварда шудааст, агар чараёнхо мувофики самти нокилхои параллел бо самти ягона равона шаванд.

Чи тавре, ки дар расми а) суммаи вектори (1) дида мешавад, самтхо ба хам мухолифанд, бинобар он дар чунин маврид бо суммаи алгебравй иваз мешавад. ВН=1В1-В21 (2)

Индуксияи майдонхо аз тарафи нокилхои беохири дароз бо чунин формула муайян мегардад: Вг =

В2=^Р)

Ин чо ва мутобикан масофаи аз нокилхо то нуктаи муайянкунии индуксияи майдони магнитй мебошад.

Мувофики шарти масъала пас

= о

МрI _ Мо£ 2рг 2рг

Дар мавриде, ки нокилхо ба хам перпендикулияр чойгир шудаанд, индуксияи натичавй дар нуктаи мобайнии байни ду нокил чунин мешавад:

Вх = IВг2 + В22 ё, ки бо баназаргирии формулаи (3):

В1 =

м0/\ | /м0/\ = м0/ ^

2рг/ \2рг/ 204

2рг

^исобкунихо:

Вг =

1 2 ,5 6-1 0 " 7 хн \ м - 5 AV2

= 27,6 • 10 Тл = 27,6мкТл.

2 • 3,14 ■ 5 • 10_2м Чавоб ВА = 0 , В1 = 2 7, 6 м кТ л

Акнун истифодаи зарби вектории векторхоро мувофики координатахояш дар физика тадбик мекунем.

Масъалаи 4. кувваи Р = ( 2 ; — 4; 5 ) ба нуктаи 0(0;2;1) гузошта шудааст. Моменти ин кувваро нисбат ба нуктаи А(-1;2;3) ёбед.

А? = О А • Р координатаи вектори О А — ро ва векторхои матлубро А? меёбем. О А = ( — 1 ; 0 ; 2 )

М =

7

-1 0 2-4

= I

0

-4

"7

-1 2

-1 2

0

-4

= 81-9/ + 4fc

Яъне

А? = ( 8 ; — 9 ; 4)

Бояд гуфт, ки зарби вектории векторхо дар курси физикаи умумй нихоят бисёр вомехуранд. Масалан, куввае, ки ба нокили дараёндори дар майдони магнитй дойгиршуда таъсир менамояд, ба хосили зарби индуксияи магнитй 7? ва кувваи дараён I инчунин дарозии китъаи Д I ба синуси кунди байни векторхои индуксияи магнитй ба дараён баробар аст: яъне ^ = |в| • |1 |Д I б та, ки кувваи амперро ифода мекунад [7,с.8 ].

Масъалахо барои халли мустацилона.

Масъалаи 1. Се кувваи Р, (? в а 7? ба як нуктаи гуногун гузошта шудаанд, ки байни х,ам самтх,ояшон перпендикуляранд.

Масъалаи 2. кувваи F = ( 3 ;4 ;— 2 ) ва нуктае, ки ба он гузошта шудааст А(2;-1;5) дода шудаанд. Моменти кувваро нисбати нукта^ои 0(0;0;0) ва самти моменти кувваро ёбед.

Масъалаи 3. Се кувваи Р1 = ( 2 ; 4; 6), Р2 = ( 1 ; — 2 ; 3 ) ва Р3 = ( 1 ; 1 ; — 7), ки ба нуктаи А (3;-4;8) гузошта шудаанд. ^имати моменти кувваи таъсиркунанда ва косинуси равишдихдндаро ёбед.

Масъалаи 4. ^имати калонтарин Ртах ва камтарин Рт1П б а нокили дарозиаш Д / = Ь 1 .м таъсиркунандаро, ки кувва дараёни он хднгоми дар майдони магнитии якдинсаи индуксияш В = 2 • 1 0 _ 3Тл дар мавкеъх,ои гуногун 5А мебошад, ёбед.

Масъалах,ои мазмуни физикй дошта дар машгулиятх,ои омузгори фанни математика бояд ба талабот^ои зерин давобгу бошанд:

1) истифодаи истилоху маф^ум^ои физикй бо меъёри муайян бошанд;

2) зарур аст, ки масъалахои мазмуни физикй дошта боиси ба низомоварии мафхумхои математикй ва хадафи мустахкамкунии онхо дар шуури донишдуён, ки барномаи таълимй пешбинй карда шудааст, мувофик бошад;

3) халли ин гуна масъалахо бояд дар ташаккули хам тафаккури физикй ва хам риёзй коргар бошад.

Х,амин тавр, дар раванди омодагии муаллимони математика ва физика вектор хамчун унсури фазои векторй бошад. Дар хамин замина мафхуми бузургии векторй ва вектор бо хам омехта намешавад. Аз он думла, вектор хамчун воситаи умумикунии бузургии векторй ифода ёбад. Х,амчунин мавриди мукоисаи бузургихои скалярй ва векторй, бояд хосиятхои умумй ва фарккунандаи онхо мушаххас карда шавад.

ПАЙНАВИШТ:

1. Александров, А.Д. Геометрия / А.Д. Александров, Ю.Ю. Нецветаев.- М.: Наука, 1990-671с.

2.Архангельский, С.И. Учебный процесс в высшей школе, его закономерные основы и методы/С.И.Архангельский.-М.: Высшая школа, 1980.-368с.

3.Гнеденко, Б.В. Математика и математическое образование в современном мире/ Б.В.Гнеденко.- М.: Просвещения, 1985.- 91с.

4. Джигев, Г.А. Реализация внутридисциплинарных и междисциплинарных связей при решении задач на практические занятиях по физике как средство совершенствования профессиональной подготовки учителей физики. Автореферат/ Г.А.Джигев.- М.: 1986.-16с.

5. Межпредметные связи курса физики средней школы под редакцией Ю. И. Дика, И.К. Турынива.- М., Просвещения, 1987.- 190с.

6. Методическая направленность преподавания физико-математических дисциплин в вузах. Под. Общ. ред. В.И. Солдатова. -Киев: Высшая школа, 1989.-117с.

7. Тихонов, А.Н.Вводные лекции по прикладной математике/ А.Н.Тихонов,Д. П.Костомаров. -М.: Наука, 1984.-190с.

8. Уемов, А.И.Аналогия в практике научных исследований (из истории физико-математических работ)/ А.И.Уемо.-М.:Наука,1970.-89с.

9.Усмонов, Н.У.Геометрия. Васоити таълимй барои донишчуёни мактабх,ои олй/Н.У.Усмонов,Г.А.Рачабов.-Душанбе: Маориф, 1993.-384 с.

10. Филатов, Ю.И. Графическая схема для обучения учащихся решению физических и текстовых математических задач. Автореферат дис. канд. пед. Наук/ Ю.И.Филатов.- М.: 1986.- 16 с.

REFERENCES:

1. Alexandrov, A.D. Geometry / A.D. Alexandrov, Yu.Yu. Netsvetayev. - M.: Science, 1990. - 671 p.

2. Arkhangelsky, S.I. The Educational Process at Higher School its Natural Foundations and Methods / S.I. Arkhangelsky. - M.: Higher School, 1980. - 368 p.

3. Gnedenko, B.V. Mathematics and Mathematical Education in the Modern World / B.V. Gnedenko.

- M.: Enlightenment, 1985. - 91 p.

4. Dzhigyev, G.A. Implementation of Intradisciplinary and Interdisciplinary Relations in Solution of Tasks in Practical Classes in Physics as a Means of Improvement of Professional Training of Physics Teachers: synopsis of candidate dissertation in pedagogy / G.A. Dzhigyev. - M.: 1986. - 16 p.

5. Interdisciplinary Connections of the Course of Physics at Secondary School / under the editorship of Yu.I. Dick, I.K. Turyniva. - M.: Enlightenment, 1987. - 190 p.

6. Methodological Orientation of Teaching Physics and Mathematics in Universities / under the general editorship of V.I. Soldatov. - Kiev: Higher School, 1989. - 117 p.

7. Tikhonov, A.N. Introductory Lectures on Applied Mathematics / A.N. Tikhonov, D.P. Kostomarov. - M.: Science, 1984. - 190 p.

8. Uemov, A.I. Analogy in the Practice of Scientific Research (from the history of physical and mathematical work) / A.I. Uemov. - M.: Science, 1970. - 89 p.

9. Usmonov, N.U., Rajabov Gh.A. Geometry: manual for higher educational establishments / N.U.Usmonov, A.A.Rajabov. - Dushanbe: Enlightenment, 1993. - 384 p.

10. Filatov, Yu.I. A Graphical Scheme for Teaching Students to Solve Physical and Textual Mathematical Problems: synopsis of candidate dissertation in pedagogy / Yu.I. Filatov. - M., 1986.

- 16 p.