CC BY
9ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
существенный и дискретныи спектры оператора
БИЛАПЛАСИАН С ДВУМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ НА
РЕШЕТКЕ
1 2 Хайитова Х.Г. , Рамазонова Ш.Ш.
1Хайитова Хилола Гафуровна - преподаватель; 2Рамазонова Шохида Шомухаммад кизи - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: данная работа посвящена исследованию существенного и дискретного
спектра оператора билапласиан Н , ¡1 £ К, в импульсном представлении с
двумерным возмущением на одномерной решетке. Этот оператор также является моделью Фридрихса и действует в гильбертовом пространстве квадратично
интегрируемых функций, определенной на одномерном торе. Оператор Н.. есть
Л
линейный, ограниченный и самосопряженный оператор. Найден существенный спектр оператора Н . Дискретный спектр оператора Н определяется как нули определителя Фредгольма.
Ключевые слова: билапласиан, существенный спектр, дискретный спектр, модель Фридрихса, определитель Фредгольма.
УДК 517.984
В моделях физики твердого тела и решетчатой теории поля возникают дискретные операторы Шредингера, являющиеся решетчатым аналогом обычного трехчастичного оператора Шредингера в непрерывном пространстве. Хотя дискретный оператор Шредингера системы трех решетчатых частиц ограничен и возмущение в парное задаче - компактный оператор, спектр оператора Шредингера для системы трех квантовых частиц имеет более сложный характер по сравнению с непрерывном случаем.
Эллиптические операторы четвертого порядка в К, в частности бигармонический оператор, играют центральную роль в широком классе физических моделей [1,2]. Известно, что бигармонический оператор, также известный как билапласиан, является дифференциальным оператором, определяемым формулой
V4 = (V2)2
, где V есть Лапласиан. В работе [3] изучена спектральные свойства дискретного бигармонического
оператора возмущенный одномерным потенциалом €, т.е. € = ^^ — в
d -мерном решетке ^ d, где ¡Л £ К. Эта модель включает также дискретный
оператор Шредингера на Zd, связанный с системой из одной частицы, у которой дисперсионное соотношение имеет вырожденное дно. Более того, импульсного
представления оператора & также можно рассматривать как модель Фридрихса в L2(T ) с вырожденным дном, где
Td - d
-мерный тор. Напомним, что спектр дискретных операторов Шредингера и модели Фридрихса с невырожденным дном, в
5
частности, с дискретным лапласианом, широко изучаются в последние годы (см. например, [4-23]). В работах [24-34] исследованы спектральные свойства модельных
операторов, ассоциированный с системой трех частиц на d -мерной решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов. Пользуясь разложением в прямой операторный интеграл, изучение спектральных свойств соответствующих канальных операторов сводится к изучению спектральных свойств модели Фридрихса.
При каждом j £ R рассмотрим оператор , действующий в L2 (T) как
Иц := H0 -jdV ,
где оператор И о есть оператор умножения
(Иof )(x) = (1 - cosx)2 f (x),
а оператор V интегральный оператор следующего вида
(Vf)(x) = Jsin(x +1)f (t)dt.
T
Можно легко проверить, что
1) оператор
И.. является линейным, т.е. для любых C,fí£ C и
/л
f, g £ L2 (T) верно равенство Иц (cf + ¡5g) = ОСИ f + ¡ЗИ ;
2) оператор И является ограниченным, т.е. существует число C > 0 такое,
Н- г-
что для любого f £ L2 (T) верно неравенство || Иf ||< Cц || f ||;
3) оператор
И,, является самосопряженным т.е. для любых f, g £ L2 (T) верно равенство (И f,g) = (f,И^g) .
Покажем, что оператор V является двумерным. Найдем область значений
оператора V . С этой целью оператора И запишем в виде
и
(Vf)(x) = sin xJcost f (t)dt + cosxJsin t f (t)dt.
T T
Поэтому
ImV = {f (x) = a sin x + b cos x: a, b £ C}.
Так как функции f1(x) = sin x и /2 (x) = cosx являются линейно независимыми и любой элемент f £ ImV есть линейная комбинация функций fi(x) и f2 (x). Поэтому dim ImV = 2, т.е. V двумерный оператор. Таким образом, оператор возмущения jV оператора
Ип, является самосопряженным
двумерным оператором. Поэтому в силу известной теоремы Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что
существенный спектр CTess (И ) оператора И , совпадает с существенным спектром оператора
Ип. Так как И есть оператор умножения на функцию (1 — cos x)2, этот оператор имеет чисто существенный спектр
и
a(H0 ) = <ress (H0 ) = [0;4]. Следовательно, существенный спектр cress (H )
оператора H не зависят от параметры взаимодействии Ц £ R и совпадает с отрезком [0;4], т.е. имеет место равенство < (н ) = [0;4].
Теперь переходим к исследованию дискретного спектра оператора H . Пусть C
- комплексная плоскость. При каждом фиксированном Ц > 0 определим регулярную в с \ [0;4] функцию
, , „ „ 2(г cos2tdt |(r sin2tdt Ац( z).= 1 -ц2 I J J
У (1 - cos?)2 - z (1 - cos?)2 - z
(детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором H ).
Следующая теорема установить связь между собственными значениями оператора H и нулями функции Д (.) .
Теорема 1. При каждом фиксированном j £ R оператор
H.. имеет
собственное значение z £ C \ <7ess (H^ ) тогда и только тогда, когда Д (z) = 0. Из теоремы 1 вытекает следующее утверждение
7disc(Hj) = {z £C \ 7eSS(Hj): Д^) = 0}.
Список литературы
1. Mardanov R., Zaripov S. Solution of Stokes flow problem using biharmonic equation formulation and multiquadratics method // Lobachevskii J. Math. 37 (2016). Pp. 268273.
2. McKenna P., Walter W. Nonlinear oscillations in a suspension bridge // Arch. Rational Mech. Anal. 98 (1987). 167-177.
3. Khalkhuzhaev A., Kholmatov Sh., Pardabaev M. Expansion of eigenvalues of rank-one perturbations of the discrete bilaplacian // arXiv: 1910.01369, Pp. 1-22.
4. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 5 (2004), Pp. 743-772.
5. Albeverio S., Lakaev S., Makarov K., Muminov Z. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices // Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91-115.
6. Лакаев С., Халхужаев А., Лакаев Ш. Асимптотика собственного значения двухчастичного оператора Шредингера // ТМФ. 171:3 (2012). С. 438-451.
7. Lakaev S., Kholmatov Sh. Asymptotics of eigenvalues of two-particle Schroedinger operators on lattices with zero range interaction // J. Phys. A: Math. Theor. 44 (2011).
8. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbation // J. Math. Anal. Appl. 330:2 (2007), Pp. 1152-1168.
9. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О спектре двухчастичного оператора Шредингера на решетке // ТМФ. 155:2 (2008), 287-300.
10. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. О числе собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шредингера // ТМФ. 158:2 (2009), С. 263-276.
11. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // ТМФ. 152:3 (2007), С. 502-517.
12.Абдуллаев Ж., Икромов И., Лакаев С. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса //ТМФ 103(1995). С.54-62.
13. Muminov M.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 6:2 (2015). Pp. 280-293.
14. Бахронов Б.И. О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). С. 13-16.
15. Бахронов Б.И. Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением // ВНО. 94:16 (2020). С. 9-13.
16. Bahronov B.I., Rasulov T.H. Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation // European science. 51:2 (2020). Pp. 15-18.
17. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 9:6
(2019). Pp. 15-17.
18. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным параметром // Наука, техника и образование. 77:2 (2021). С. 31-34.
19. Бахронов Б.И., Мансуров Т.З. Вычисление существенного спектра обобщенной модели Фридрихса в системе MAPLE // Наука, техника и образование. 77:2 (2021). С. 35-38.
20.ХайитоваХ.Г., РахматоваД.С. Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке // Проблемы науки, 63:4 (2021). С. 29-32.
21. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса // Наука, техника и образование. 77:2-2 (2021), С. 39-43.
22. Хайитова Х., Ибодова С. Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса // Наука, техника и образование. 77:2-2 (2021), С. 48-52.
23. Хайитова Х.Г. О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование. 72:8 (2020), С. 5-8.
24. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2
(2020). Part II. Pp. 19-22.
25. Умиркулова Г.Х. Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке // ВНО. 16-2 (94), 2020. С. 14-17.
26. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 5:3 (2014). Pp. 327-342.
27. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибир. электронные матем. известия. 12 (2015). С. 168-184.
28. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 26:2 (2012). С. 24-32.
29. Расулов Т. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // ТМФ. 166:1 (2011). С. 95-109.
30. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form // Academy. 55:4 (2020). Pp. 8-13.
31. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // ТМФ. 163:1 (2010). С. 34-44.
32. Умарова У. Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3 (2018). С. 14-15.
33. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contem. Analysis and Appl. Math. 2:2 (2014). Pp. 179-198.
34. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Phys. Chem. Math. 5:3 (2014). Pp. 327-342.
