CC BY
9ПАНЖАРАДАГИ УЧ УЛЧАМЛИ КУЗГАЛИШГА ЭГА БИЛАПЛАСИАН
ОПЕРАТОРИГА МОС ФРЕДГОЛЬМ ДЕТЕРМИНАНТИ ХДКВДА
Х,илола Гафуровна Х,айитова Дилдора Савриддин кизи Рахматова
Бухоро давлат университети Бухоро давлат университети
hayitovahilola@mail. ru
АННОТАЦИЯ
Маколада бир улчамли панжарада уч улчамли кузгалишга эга билапласиан оператори импульс куринишида урганилади. Унга мос Фредгольм детерминанти курилади хамда бу детерминантнинг ноллари каралаётган оператор хос кийматлари булиши курсатилади. Нисбатан содда иккита ёрдамчи оператор аникланиб, дастлабки операторнинг дискрет спектри билан богликлиги урнатилади.
Калит сузлар: билапласиан, Фредгольм детерминанти, хос киймат, хос функция, импульс тасвир.
ABOUT THE FREDGOLM DETERMINANT SUITABLE FOR THE
BILAPLASIAN OPERATOR, WHICH HAS THREE DIMENSIONAL
MOVEMENTS ON THE GRILL
Hilola Gafurovna Haitova Dildora Savriddin kizi Rakhmatova
Bukhara State University Bukhara State University
hayitovahilola@mail. ru
ABSTRACT
In the present paper we study the bilaplacian operator with rank three perturbation on the one-dimensional lattice in the momentum representation. The corresponding Fredholm determinant is constructed and it is shown that zeroes of the this determinant are coincide with the eigenvalues of the considered operator. Two more simple auxiliary operators are defined and the connection with the discrete spectrum of the investigated operator is established.
Keywords: bilaplacian, Fredholm determinant, eigenvalue, eigenfunction.
КИРИШ
Rn фазодаги туртинчи тартибли эллиптик операторлар, хусусан бигармоник операторлар физик моделларнинг кенг синфида мухдм ахдмиятга эга [1,2]. Бигармоник операторлар билапласиан номи билан хам машхур булиб V4 = (V2)2 тенглик ёрдамида аникланувчи дифференциал оператордир, бу ерда V2
Лапласиан оператори. [3] маколада d улчамли 2Л панжарада V бир улчамли
/ул. /V /V /V
потенциалга эга ДА дискрет бигармоник операторининг, яъни к = ДА - /
операторнинг спектрал хоссалари урганилган, бу ерда /е Я. Бу модель даги дискрет Шредингер операторини хам уз ичига олиб, бир заррачали система билан боглик ва дисперция муносабати айнимаган куйи чегарага эгадир. Бундан
ташкари, к операторни импулс куринишда Ь2(Тс1) фазодаги Фридрихс модели сифатида хам караш мумкин, бунда Тл оркали d улчамли тор белгиланган.
АДАБИЁТЛАР ТА^ЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Эслатиб утиш жоизки, дискрет Шредингер оператори ва Фридрихс моделининг спектрал хоссалари сунгги йилларда куплаб олимлар томонидан батафсил урганилган (масалан [4-13] ишларга каранг). [14-23] маколаларда эса локал булмаган потенциаллар жуфти ёрдамида таъсирлашувчи d улчамли панжарадаги учта заррачалар системасига мос модель операторларнинг спектрал хоссалари урганилган. Тугри интегралга ёйиш усули ёрдамида каналь операторларнинг спектрал хоссаларини урганиш масаласи Фридрихс моделининг спектрал хоссаларини урганиш масаласига келтирилади.
Даставвал укувчига кулайлик учун маколада ишлатиладиган функционал анализ курсининг баъзи мухим тушунчаларни эслатиб утамиз.
Н Х,ильберт фазоси ва А: Н ^ Н чизикли чегараланган оператор булсин. Агар бирор Л е С сон учун А -Л га тескари оператор мавжуд булиб, у Н нинг хамма ерида аникланган булса, Л сони А операторнинг регуляр нуктаси дейилади,
Ял( А) = (А -И)-1
оператор эса А операторнинг Л нуктадаги резольвентаси дейилади. Барча регуляр нукталар туплами р(А) оркали белгиланади. Бу ерда I оркали Н фазодаги бирлик оператор белгиланган.
А операторнинг регуляр булмаган барча нукталари туплами А операторнинг спектри дейилади ва сг(А) оркали белгиланади. Агар бирор Ле С сон учун Ах = Их тенглама нолмас х ечимга эга булса, Л сони А оператор учун хос киймат дейилади, нолмас х ечимга эса хос вектор дейилади.
А операторнинг барча хос кийматлари тупламига А операторнинг нуктали спектри дейилади ва арр (А) каби белгиланади. А операторнинг барча чекли
каррали яккаланган хос кийматлари тупламига А операторнинг дискрет спектри дейилади ва (А) каби белгиланади.
Агар бирор Л е сг(А) сони учун нолга кучсиз якинлашувчи /п е Н бирлик векторлар кетма-кетлиги мавжуд булиб,
lim|| (A-M)fn\\= 0
булса, у холда Я сон A = A * операторнинг мухим спектрига карашли дейилади. A операторнинг мухим спектри aess (A) билан белгиланади.
T - бир улчамли тор, L2 (T) эса T тупламда аникланган квадрати билан интегралланувчи (умуман олганда комплекс кийматлар кабул килувчи) функцияларнинг Х,ильберт фазоси булсин.
Фиксирланган /,Яе R сонлари учун L2 (T) Х,илберт фазосида куйидагича аникланган Н ¿ операторни караймиз:
НмЛ := Но -ЛУ2, бу ерда Н купайтириш оператори
(Нof)(х) = (1 - cos x)2 f (x), V ва V операторлар эса куйидагича куринишга эга булган интеграл операторлар:
(Vif)(x) = f f (t)dt, (VJ)(x) = fcos(x -1)f (t)dt.
T T
Функционал анализ элементлари ёрдамида НцЛ операторнинг L2 (T)
Х,ильберт фазосидаги чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма оператор эканлигини исботлаш мумкин.
МУХ,ОКАМА
[24] маколада Н ¿ операторга мос Фредгольм детерминанти хакида
кискача маълумотлар келтирилган. Ушбу маколада бу тасдиклар исботлар билан бойитилган ва математик нуктаи назардан асосланган.
Аникланишига кура, V бир улчамли интеграл оператордир. V2 интеграл операторнинг икки улчамли эканлиги
cos(x -1) = cos x cos t + sin x sin t
тенгликдан ва интегралнинг аддитивлик хоссасидан фойдаланиб курсатилади. Шу сабабли нол булмаган / ва Я сонлари учун /V + ÁV2 кузгалиш оператори уч улчамли булади.
Чекли улчамли кузгалишларда мухим спектрнинг узгармаслиги хакидаги Вейл теоремасига кура, Н л операторнинг мухим спектри cess (Н^ л) учун
cess (Н/Я) = [0;4] тенглик уринли булади. Бунда [0;4] кесма (1 - cosx)2 функциянинг кийматлар сохаси булиб, Н0 кузгалмас операторнинг спектри (соф мухдм спектр) айнан шу кесмадан иборат булади.
Энди Н х операторнинг хос кийматларини топиш масаласини караймиз.
Шу максадда урганилаётган операторга мос Фредгольм детерминантини курамиз. . „^„^ ~ 461
Х,ар бир фиксирланган R сонлари учун C \ <7ess(H сохада регуляр
булган
A®( z ):= 1 -M¡ dt
(1 - cos t) - z
д(2) 1 -Л( (eost fdt .
T (1 - cos t) - z
. , N с cos tdt
A( z) := I---;
t (1 - cos t)2 - z
AT( z) := 1 -AÍ (sin t )2 dt A I (1 - cos t)2 - z
ёрдамчи функцияларни аникдаймиз. Одатда
A/A z) := (a(//( z)A(f (z) - /AA2( z ))а(]Ч z)
каби аникланган функцияга H х операторга мос Фредгольм детерминанти
дейилади ва у H д операторнинг хос кийматлари сони хамда жойлашув урнини
аниклашда мухим ахамият касб этади.
Hоператорнинг хос кийматлари ва A/A(-) функция ноллари орасидаги
муносабатни ифодаловчи куйидаги теоремани баён киламиз ва исботлаймиз.
1-теорема. Х,ар бир фиксрланган /, A е R сонлари учун zu,A е C \ aess (H/A)
сони H^А операторнинг хос киймати булиши учун А^А(z А) = 0 тенглик уринли
булиши зарур ва етарлидир.
Исбот. Теоремани исботлаш учун хос кийматга нисбатан ушбу
H/¿Г = zf , z е C \ ^(H/a)
тенгламани караймиз.
Фараз килайлик z е C \ aess (H/ A) сони H/A операторнинг хос киймати,
f е L2 (Т)- эса бу хос кийматга мос хос функция булсин. У холда f е L2 (Т) хос функция
(1 - cosx)2 f (x) - / f (t)dt -A¡cos(x -1) f (t)dt = zf (x) (1)
T T
тенгламани каноатлантиради.
Айтиш жоизки, ихтиёрий z е C \ <jess(H/A) сони учун барча х еТ
нукталарда (1 - cosx)2 - z ф 0 муносабат уринли булади. Шу сабабли (1) тенгликдан f функция учун куйидаги
_ ч ua + Ab cos x + Ac sin x
f (x) =-J,-Гг--(2)
(1 - cosx) - z
ифодага эга буламиз.
Бу ерда
a
:= J f (t)dt, b := J cos tf (t)dt, с := J sin tf (t)dt.
(3)
f(x) функция учун топилган (2) ифодани (3) белгилашларга куйиб
куйидаги тенгламаларни хосил киламиз:
sin t
dt
z )a -ЛЛ( z )b -Л J-
VT (1 - cos t) - z
- M( z )a + Л<Л'(-- )b - лГг sin ' c02t dt"
VT (1 - cos t) - z
с = 0 ;
с = 0 ;
J
V t
sin t
(1 - cos t)2 - z
-dt
/г sin t cos t , л
a - Л I---dt
VT (1 - cos t)2 - z
b + Л(])( z )с = 0
еки
Л«(z)a -ЛЛ(z)b = 0 ;
-M( z )a + Л(Л2)( z )b = 0 ; (4)
Л(?( z )с = 0.
a, b, с номаълумларга нисбатан охирги тенгламалар системасини хосил килишда ток функциядан симметрик оралик буйича олинган интегралнинг киймати 0 га тенг эканлигидан, яъни хар бир фиксирланган z е C \ g ess (H х) сони
учун
J
sin t n Г sin t cos t
dt = 0, J---dt = 0
(1 - cos t) - z
(1 - cos t) - z
тенгликлар уринли эканлигидан фойдаландик.
Бунда (1) тенглама ечимга эга булиши учун (4) тенгламалар системаси нолмас ечимга эга булиши зарур ва етарлидир.
НАТИЖА
Уз навбатида (4) тенгламалар системаси нолмас ечимга эга булиши учун Л„л( z ) := (Л«( z )Л(ЛЧ z ) - ЦЛЛ\ z ) z) = 0
булиши зарур ва етарлидир. 1-теорема тулик исботланди.
1-теорема исботидан куриниб турибдики, агар z е C \ Gess (HцЛ) сони H д
операторнинг хос киймати булса, у холда унга мос хос функция (2) куринишда булади.
1- теоремадан H х операторнинг дискрет спектри учун куйидаги муносабат
уринли эканлиги келиб чикади:
Gdlsc(Нмл) = {z е C \ g^(Нмл) : Л^(z) = 0}.
T
T
T
T
T
Л д(-) функциянинг аникданишига кура барча иЛе R сонлари учун Д^ (z) = 0 уринли булиши учун Л^ z)^2)( z) -иЛ2( z) = 0 ёки z) = 0 тенгликлар уринли булиши зарур ва етарлидир. Шу уринда куйидагича савол пайдо булади: Фредголь детерминантлари Л^Чz)Л(2)(z) -цАД?(z) ва Л(Л)(z)
функциларга тенг булган чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма операторлар мавжудми? Агар мавжуд булса, улар Н д билан кандай богланган булади?
Куйида биз шу саволларга жавоб излаймиз.
L2 (T) Х,ильберт фазосида таъсир килувчи куйидаги операторларни аниклаймиз:
(Hf¿ f)(x) = (1 - cos x)2 f (x) - и J f (t)dt - л cos x J cos t f (t)dt;
T
\2
(H(2) f)(x) = (1 - cos x)2 f (x) - л sin x J sin tf (t)dt.
T
Hоператор каби Н^Л ва Н{2) операторлар хам L2(T) Х,ильберт фазосида
таъсир килувчи чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма операторлар эканлигига ишонч хосил килиш мумкин.
2-теорема. а) Х,ар бир фиксирланган и,Ле R сонлари учун
zиЛе C \ aess(Н л) сони Н{1Х операторнинг хос киймати булиши учун
Л(?( z^2)( z^) -МЛ2( z,,л) = 0
тенглик уринли булиши зарур ва етарлидир.
б) Х,ар бир фиксирланган Ле R сони учун zл е C \ <jess (НиЛ) сони Н
(2)
операторнинг хос киймати булиши учун Л(]) (zx) = 0 тенглик уринли булиши зарур ва етарлидир.
Исбот. а) Фараз килайлик, хар бир фиксирланган и„Ле R сонлари учун
z,иЛ е C \ «ess (НцЛ) сони Нм операторнинг хос киймати, f е L2 (T)- эса бу хос кийматга мос хос функция булсин. У холда f е L2 (T) хос функция
(1 - cos x)2 f (x) - и J f (t )dt - Л cos x J cos t f (t )dt = zf (x) (5)
T T
тенгламани каноатлантиради.
z ле C \ <jess (Н иЛ) булганлиги боис (5) тенгликдан f (x) функция учун
куйидаги
_ N иа + ЛЬ cos x
f (x) = ñ-^- (6)
(1 - cos x) - z
ифодага эга буламиз. Бунда а ва Ь сонлари (3) тенглик оркали аникланган. f (x) функция учун топилган (6) ифодани (3) тенгликга куйиб, (5) тенглама нолмас
T
ечимга эга булиши учун А(^ (z ) А? (z ) - ^ЛА2 (z ) = 0 булиши зарур ва етарли
эканлигини хосил киламиз. Бу эса уз навбатида 2-теорема а) тасдиги исботини якунлайди.
2-теореманинг а) тасдиги хам шунга ухшаш исботланади.
2-теоремага кура ва Hf) операторларнинг дискрет спектрлари учун С* (ИZ) = {z е С \ ^ (ИцЛ): А« (z)АЛ (z) - Л (z) = 0}; С* (И?) = {z е С \ ^ (Ил ): А? (z) = 0};
тенгликлар уринлидир. ХУЛОСА
1- ва 2-теоремаларни инобатга олган холда куйидаги натижага келиш мумкин:
Натижа. Х,ар бир фиксирланган ^,Ле R сонлари учун zx^e С \ aess (ИцЛ) сони операторнинг хос киймати булиши учун zlfl сони ва Иf }
операторларнинг камида биттаси учун хос киймат булиши зарур ва етарлидир. Бу холда
сdisc(И и,л) = с dsc(И ä ) U с duc (Их})
тенглик уринли булади.
И^Л ва И(х) операторлар И д операторга нисбатан содда куринишга эга. Шу боис хулоса чикарилган тенглик И д операторнинг навбатдаги спектрал хоссаларини урганишда мухим хисобланади.
Хусусан, исталган Л > 0 ва z > 4 сонлари учун А(3 (z) > 1 тенгсизлик
бажарилади, яъни ихтиёрий Л > 0 сони учун И f } оператор 4 дан катта хос кийматларга эга эмас. Агар
\2
(sint) dt f1 + cos t
f (sint) , =f^cotdt = T (1 - cos t)2 T 1 - cos t
эканлигини инобатга олсак, у холда исталган Л > 0 сони учун
А<Л>(0) = 1 =
T (1 - cos t)
булади. А(])(-) функциянинг (-да; 0) ораликда монотон камаювчи ва
lim А^( z) = 1
тенглик бажарилгани боис ихтиёрий Л > 0 сони учун И(х ) оператор ягона манфий хос кийматга эга булади. Худди шундай мулохазалардан фойдаланиб, ихтиёрий
X < 0 сони учун Яа2) оператор 4 дан катта ягона оддий хос кийматга эга эканлигини ва манфий хос кийматларга эга эмаслигини исботлаш мумкин.
REFERENCES
1. Mardanov R., Zaripov S. (2016). Solution of Stokes flow problem using biharmonic equation formulation and multiquadratics method. Lobachevskii J. Math., 37, 268-273.
2. McKenna P., Walter W. (1987). Nonlinear oscillations in a suspension bridge. Arch. Rational Mech. Anal., 98, 167-177.
3. Khalkhuzhaev A., Kholmatov Sh., Pardabaev M. (2019). Expansion of eigenvalues of rank-one perturbations of the discrete bilaplacian. arXiv: 1910.01369, 1-22.
4. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. (2004). Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor.,
5. 743-772.
5. Albeverio S., Lakaev S., Makarov K., Muminov Z. (2006). The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices. Comm. Math. Phys., 262, 91-115.
6. Лакаев С., Халхужаев А., Лакаев Ш. (2012). Асимптотика собственного значения двухчастичного оператора Шредингера. ТМФ, 3(171), 438-451.
7. Lakaev S., Kholmatov Sh. (2011). Asymptotics of eigenvalues of two-particle Schroedinger operators on lattices with zero range interaction. J. Phys. A: Math. Theor., 44, 135304.
8. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. (2007). The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbation. J. Math. Anal. Appl., 2(330), 1152-1168.
9. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. (2008). О спектре двухчастичного оператора Шредингера на тешетке. ТМФ, 2(155), 287-300.
10. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. (2009). О числе собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шредингера. ТМФ, 2(158), 263-276.
11. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. (2007). Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке. ТМФ, 3(152), 502517.
12. Абдуллаев Ж., Икромов И., Лакаев С. (1995). О вложенных собственных значе-ниях и резонансах обобщенной модели Фридрихса. ТМФ, 103, 54-62.
13. Muminov M.I., Rasulov T.H. (2015). Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2(6), 280-293.
14. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020). Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science, 2(51), Part II, 19-22.
SCIENTIFIC PROGRESS VOLUME 2 I ISSUE 1 I 2021
ISSN: 2181-1601
15. Умиркулова Г.Х. (2020). Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке. Вестник науки и образования, 16-2 (94), 14-17.
16. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 3(5), 327-342.
17. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2019). Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6(9), 15-17.
18. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. (2020). Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy, 4(55), 8-13.
19. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия, 12, 168-184.
20. Умарова У. (2018). Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трех-частичного модельного оператора. Учёные XXI века, 5-3(40), 14-15.
21. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science, 2(51), 15-18.
22. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.
23. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. Вестник науки и образования, 16-2(94), 913.
24. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки, 4(63), 2932.
