CC BY
12ПАНЖАРАДАГИ ИККИ УЛЧАМЛИ КУЗГАЛИШГА ЭГА БИЛАПЛАСИАН ОПЕРАТОРИНИНГ СПЕКТРИ ВА РЕЗОЛЬВЕНТАСИ
Х,илола Гафуровна Х,айитова Шохида Шомухаммад кизи
Бухоро давлат университети Рамазанова
hayitovahilola@mail. ru Бухоро давлат университети
АННОТАЦИЯ
Ушбу маколада бир улчамли панжарадаги икки улчамли кузгалишга эга булган H , jue R, билапласиан оператори импульс куринишида урганилади. H
операторнинг мухдм ва дискрет спектрлари тавсифланади. H операторга мос
резольвента операторининг аник куриниши топилади.
Калит сузлар: панжара, билапласиан, мухим спектр, дискрет спектр, Фридрихс модели, резольвента оператори.
SPECTRUM AND RESOLUTION OF BILAPLASIAN OPERATOR WITH
TWO-DIMENSIONAL MOVEMENT
Hilola Gafurovna Haitova Shokhida Shomukhammad kizi
Bukhara State University Ramazanova
hayitovahilola@mail. ru Bukhara State University
ABSTRACT
In this paper we study the bilaplacian operator H^, ¡Lie R, in momentum
representation with the rank two perturbation on a one-dimensional lattice. We describe the essential and discrete spectrum of H^. Exact form of the resolvent operator of H
is find.
Keywords: lattice, bilaplacian, essential spectrum, discrete spectrum, Friedrichs model, resolvent operator.
КИРИШ
Каттик жисмлар физикаси ва панжаравий майдонлар назариясида узлуксиз фазодаги одатдаги Шредингер операторларининг панжаравий аналоги булган ва дискрет Шредингер оператори [1] деб аталувчи операторлар пайдо булади. Дискрет Шредингер оператори чегараланган оператор булсада, узлуксиз холда Шредингер операторига Караганда кийинрок характеристикага эга. Уч заррачали одатдаги Шредингер операторининг мухим спектри ярим укдан иборат. Уч заррачали дискрет Шредингер оператори чегараланган ва уз-узига кушма
булганлиги боис унинг мухим спектри чекли сондаги кесмалар бирлашмасидан иборат. Бу кесмаларга одатда мухим спектрнинг икки ва уч заррачали тармоклари дейилади хамда улар кесишиши ёки кесишмаслиги мумкин. Икки ва уч заррачали тармоклар кесишмаган холда мухдм спектр бушлигида жойлашган хос кийматларни тадкик килиш имконияти пайдо булади. Шу нуктаи назардан дискрет Шредингер операторлари ва улар билан боглик модел операторларнинг спектрал хоссаларини урганиш масаласи долзарб муаммо саналади.
АДАБИЁТЛАР ТА^ЛИЛИ ВА МЕТОДОЛОГИЯ
Ушбу маколада бир улчамли панжарадаги икки улчамли кузгалишга эга булган импульс куринишидаги Н, л е Я, билапласиан операторининг мухим ва
дискрет спектрлари топилади ва резольвента оператори курилади. Бизга яхши маълумки, бигармоник операторлар математик физикада билапласиан оператори номи билан хам маълум булиб, V4 = (V2)2 формула оркали аникланган дифференциал оператордир, бу ерда V2 Лапласиан оператори.
[2] маколада d улчамли 1d панжарада V бир улчамли потенциалга эга ДД
/V /V /V
дискрет бигармоник операторининг, яъни Н = ДД - ¡V операторнинг баъзи
спектрал хоссалари урганилган, бу ерда ¡еЯ. Бу модель 2Л даги дискрет Шредингер операторини хам уз ичига олиб, бир заррачали система билан боглик ва дисперция муносабати айнимаган куйи чегарага эгадир. Бундан ташкари, Н
операторни импульс куринишда Ь2(Тс1) фазодаги Фридрихс модели сифатида хам
караш мумкин, бунда Тс1 оркали d улчамли тор белгиланган.
Эслатиб утиш жоизки, дискрет Шредингер оператори ва Фридрихс моделининг спектрал хоссалари сунгги йилларда куплаб ишларда батафсил урганилган (масалан [1-11] ишларга каранг). [12-23] маколаларда эса локал булмаган потенциаллар жуфти ёрдамида таъсирлашувчи d улчамли панжарадаги учта заррачалар системасига мос модель операторларнинг спектрал хоссалари урганилган. Тугри интегралга ёйиш усули ёрдамида каналь операторларнинг спектрал хоссаларини урганиш масаласи Фридрихс моделининг спектрал хоссаларини урганиш масаласига келтирилади. [24] маколада бир улчамли панжарада уч улчамли кузгалишга эга импульс куринишидаги билапласиан операторининг хос кийматлари урганилган.
Операторлар назариясида спектр тушунчаси энг мухим тушунчалардан биридир. Чизикли оператор спектрини урганиш математик физикад мухим саналади. Масалан, квант механикасида система Гамильтониани - бу Х,ильберт фазосидаги уз-узига кушма оператордир, унинг спектрини урганиш система физик хусусиятларини урганишда мухим ахамият касб этади. Функционал анализ
курсидан бизга яхши маълумки, уз-узига кушма операторнинг спектри хакикий сонлар укида ётиб, турли хос кийматларга мос келувчи хос векторлар (функциялар) узаро ортогонал булади.
МУ^ОКАМА ВА НАТИЖАЛАР
T бир улчамли торда аниклангаан квадрати билан интегралланувчи (умуман олганда комплекс кийматни кабул килувчи) функцияларнинг Х,ильберт фазосини L2 (T) оркали белгилаймиз.
Х,ар бир фиксирланган це R сони учун L2 (T) Х,ильберт фазосида аникланган Иоператор куйидагича берилган булсин:
Иц := Hо-цУ, бу ерда H купайтириш оператори
(И of)(х) = (1 - cos х)2 f (х), У интеграл оператори эса куйидагича аникланган
(Vf)(х) = J sin( х +1) f (t )dt.
T
Бундай куринишда таъсир килувчи Иоператор учун куйидаги тасдиклар уринлидир:
1) И оператор чизиклидир яъни, ихтиёрий а,РеC сонлари ва ихтийрий f, g е L2 (T) функциялар учун куйидаги тенглик уринли:
И¿af + Pg) = аИMf + РИм ;
2) И оператор чегараланган оператор, яъни шундай C > 0 сони топилиб, ихтиёрий f е L (T) функциялар учун куйидаги тенгсизлик уринли:
1|Иf|< C^ || f ||;
3) Иоператор уз-узига кушма оператор, яъни ихтиёрий f, g е L2 (T)
функциялар учун куйидаги тенгсизлик уринли:
(И f, g) = (f, И Mg).
Энди У кузгалиш оператори икки улчамли эканлигини курсатамиз. У операторнинг кийматлар сохасини топиш максадида
sin( х +1) = sin х cos t + cos x sin t
фойдаланиб
(Vf)(х) = sin х J cos t f (t)dt + cos х J sin t f (t)dt
T T
тасвирни хосил киламиз. Куриниб турибдики
Im У = {f (х) = a sin х + b cos х: a, b е C}.
f (x) = sin x ва f (x) = cosx функциялар Im V кисм фазога тегишли чизикли богланмаган элементлар ва исталган f е Im V функция f (x) ва f (x) функцияларнинг чизикли комбинацияси куринишида тасвирланади. Шу сабабли dim Im V = 2, яъни V икки улчамли оператор экан. Шундай килиб, оператора Н0 операторнинг juV кузгалиш оператори уз-узига кушма икки улчамли оператор экан. Чекли улчамли кузгалишларда мухим спектрнинг узгармаслиги хакидаги машхур Вейл теоремасига кура Нва Н0 операторларнинг мухим спектрлари
устма-уст тушади. Н0 оператор (1 - cos x)2 функцияга купайтириш оператор булганлиги боис бу оператор соф мухим спектрга эга ва
<*Н0) = *es (Но) = [0;4].
Шундай килиб, Н операторнинг aess (Нц) мухим спектри jue R таъсирлашиш параметридан боглик эмас ва [0;4] кесма билан устма-уст тушади, яъни ^(Ни) = [0;4].
Энди Н оператор дискрет спектрини тадкик киламиз. Фараз килайлик, C -комплекс сонлар туплами булсин. Х,ар бир фиксирланган ju> 0 сони учун C \ [0;4] сохада регуляр булган
г
АДz) := 1
cos2 tdt
(• cos Idl <■
vT (1 - cost)2 - z J^T
2
sin tdt
(1 - cost) - z
функцияни караймиз. Одатда Л (•) функцияга Ноператорга мос Фредгольм
детерминанти дейилади.
Куйидаги теорема Hоператорнинг хос кийматлари ва Л (•) функция
ноллари орасидаги богланишни ифодалайди.
1-Теорема. Х,ар бир фиксирланган jueR сони учун z е C \ <7ess(Нц) сони
H операторнинг хос киймати булиши учун Л (z ) = 0 тенглик уринли булиши
зарур ва етарлидир.
Исбот. Фараз килайлик, хар бир фиксирланган jue R сони учун z е C \ <7ess (Нц) сони Ноператорнинг хос киймати, f е L2 (T) эса бу хос
кийматга мос хос функция булсин. У холда f е L2 (T) функция хос кийматга мос Н f = z f тенгламани каноатлантиради. Охирги тенгламани
(1 - cosx)2 f (x) - jjsin( x +1)f (t)dt = z^f (x)
T
ёки
(1 - cosx)2 f (x) -jsin xjcost f (t)dt -jcosxjsin t f (t)dt = z^f (x) (1)
T T
куринишда ёзиш мумкин.
KyHugaruna öenrunamnap KupnraMro:
a := J cos t f (t)dt;
b := J sin t f (t)dt.
(2) (3)
z e C \[0;4] SynraHnuru öouc öapna x e T HyKTanapga (1 - cos x) - z ^ 0
MyHocaöaT Sa^apunagu. ffly caöaönu (1) TeHraaMagaH f (x) ynyH
f (x)
aßsin x + bßcos x (1 - cos x)2 - z
(4)
H^ogaHH TonaMH3. f (x) ynyH TonunraH (4) u^ogaHu (2) Ba (3)
öenrunarnnapra Ky^Mro x,aMga
1 -ßJ
sin t cos t
\
(1 - cost)2 - z
-dt
ß
i
sin21
(1 - cos t) - z
ß
\
dt
a - ß
r
f
Ii;
cos2 t
dt
vt (1 - cos t) - zß j
b = 0;
a +
ß J
1 -ßi
sint cos t
v
(1 - cos t) - z
dt
b = 0
ß J
TeHraaManap cucTeMacuHu xpcun KunaMro.
tok ^yH^uagaH cuMMeTpuK opanHK öyfiHHa onuHraH HHTerpanHHHr KuÖMara 0 ra TeHr экaнпнгнgaн, atHH x,ap öup ^uKcupnaHraH z e C \ aess (HßA) cohh ynyH
sin t n c sin t cos t
dt = 0, J---dt = 0
(1 - cos t) - z
T
(1 - cos t) - z
TeHraHKnap ypuHnu экaнпнгнgaн oxupru TeHraaManap cucTeMacHHH
r o A
a - ß
cos21
-dt
vT(1 - cos t) - j
b = 0:
ß
i:
sin21
dt
vT (1 - cost) - zß J
a + b = 0
(5)
KaÖH e3um MyMKHH. KypuHuö TypuögHKH, (1) TeHraaMa HonMac enuMra эгa Synumu ynyH a Ba b HoMatnyMnapra HucöaraH (5) TeHraaManap cucTeMacH HonMac enuMra эгa SynurnH 3apyp Ba eTapnugup. Y3 HaBÖaruga (5) TeHraaManap cucreMacu HonMac enuMra эгa Synumu ynyH yHHHr acocufi geTepMHHaHTH
Aß( z, ):= 1 -ß
i
cos2 tdt
(1 - cost)2 - z
i
sin2 tdt
ß J
(1 - cos t)2 - z
ßJ
Honra TeHr Synumu, atHH A (z ) = 0 Synumu 3apyp Ba eTapnugup. 1-TeopeMa Tynu^ ucöoTnaHgu.
1-TeopeMagaH HoneparopHuHr gucKpeT cneKTpu ynyH Kyfiugaru TacguK ypuHnu экaнпнгн Kenuö nuKagu:
T
T
T
T
T
2
T
( H J) = {z e C \ ^ ( H M): AM( z ) = 0}. fflyHgafi khhhô, H^ oneparopHuHr xoc KuHMaraapuHu ypraHum Macanacu 6y onepaTopra moc KenyBnu A (z) OpegrontM geTepMuHarnuHuHr HonnapuHu ypraHHm Macanacura Kernupungu.
XY.TOCA
Xynoca KHHHÔ afiTraHga HonepaTopHHHr cneKTpu
<(HM) = [0;4]u{zeC\[0;4]: A,(z) = 0}
Ka6u aHH^naHagu.
HmHHHr HaBÔargaru acocufi Hara^acuHu 6aëH KunaMro.
2-TeopeMa. HM onepaTopHHHr Rz(HM), z e C \ <(HM) pe3ontBeHTa oneparopu
L2 (T) $a3oga Kyfiugaruna Tatcup KunyBHH
g( x)
( Rz ( H J g )(x)
(1 - cos x)2 - z
M
AM(z)[(1 - cosx)2 - z] M
r cos2 tdt cos x + MSin x J
I
Am(z)[(1 - cosx)2 - z]
sin x + Mcos x I
(sin t ) g (t )dt (1 - cost)2 - z
• (cos t )g (t )dt (1 - cos t)2 - z
(1 - cost) - z _
sin2 tdt T (1 - cost)2 - z oneparopgup.
hcsot. HM oneparopHuHr pe3ontBeHTa oneparopuHu aHu^nam Ma^caguga
H f - zf = g
TeHrnaMaHu KapaËMro Ba yHu
(1 - cos x)2 f (x) -jsin x | cos t f (t )dt -mcos x J sin t f (t )dt - zf ( x) = g ( x) (6)
T T
KypuHumga ë3u6 onaMro.
z e C \ [0;4] Tacgu^ra Kypa uxT^pun x e T ynyH (1 - cosx)2 - z ^ 0 TeHrcronuK ôa^apunagu. ffly ôouc (6) TeHraaMagaH f ( x) ^yH^ua ynyH
f( \-g(x) + aMsinx + bjcosx
J(x) = y, 72 (7)
(1 - cos x) - z
u^ogaHu TonaMro. EyHga a Ba b coHnapu moc paBumga (2) Ba (3) TeHrauKnap ëpgaMuga aHu^naHraH coHnapgup. f ( x) ynyH TonunraH (7) u^ogaHu (2) Ba
(3) ôenrunamnapra Ky^Mro x,aMga
r sin t cos t ^
i 2 j \
cos2t
1 r sin t cos t 7 r cos t 7 , r (cos t)g(t ) ,
1 -jJ---dt a - m J---dt b = J^-J-^—dt ;
T (1 - cos t)2 - z J 1 T (1 - cost)2 - z J T (1 - cost)2 - z
ß
\
V t
sin21
(1 - cos t)2 - z
-dt
a +
r sin t cos t
1 - ß I-—;-dt
T (1 - cost)2 - z
b = J
(sin t) g (t)
(1 - cos t)2 - z
dt
eKu
a - ß
i V T
cos21
(1 - cos t) - z
-dt
b = J (cos')g(t) dt;
(1 - cos t) - z
ß
J
V T
sin21
(1 - cost)2 - z
-dt
a + b = J
(sin t) g (t)
(1 - cost)2 - z
dt
(8)
TeHraaManap cucreMacuHu xocun KunaMro.
(8) TeHraaManap cucTeMacugaH a Ba b HoMatnyMnapHu TonaMu3. By TeHrnaManap cucTeMacuHuHr ukkuhhu TeHraaMacuHu
cos21
-dt
ß
1T (1 - cost)2 - z u^ogara KynafiTupuS, SupuHnu TeHraaMara KymaMro x,aMga
Aß(z)a =f (cost>g2(t) dt + M
(1 - cost) - z
cos2 t
V T
(1 - cos t)2 - z
dt
J
(sin t) g (t)
(1 - cost)2 - z
dt
TeHrauKHu xpcun KunaMro. 1-TeopeMa Hara^acura Kypa z e C \ <jdlsc(Hß) ynyH A (z) ^ 0 TeHrcu3nuK ypunnu öynagu. ffly caöaönu a hu Kyfiugaruna TonaMu3:
1
a ■
■J;
(cos t) g (t)
-dt +
ß
J;
cos21
dt
A„(z) T (1 - cost) - z A„(z) 1 T (1 - cost) - z JT (1 - cost) - z
f:
(sin t) g (t)
dt
Xyggu my KaSu (8) TeHraaManap cucTeMacuHuHr SupuHnu TeHraaMacuHu
i;
sin21
-dt
ß
1T (1 - cos t)2 - z u^ogara KynafiTupuS, ukkuhhu TeHraaMara KymaMro x,aMga
Aß( z)b = J
(sin t) g (t) (1 - cos t)2 - z
dt + ß
J
V T
sin21
dt
(cost)g(t)
f-
(1 - cos t)2 - z )T (1 - cos t)2 - z
dt
tehrnukhu xpcun kunamro. haru^aga b hu kynugaruna tonamro:
b
= -L- J
a i-\ j
(sin t) g (t)
-dt +
ß
Aß(z) T (1 - cos t)2 - z Aß(z)
i
V T
sin21
(1 - cost)2 - z
dt
i
(cost)g(t)
JT
(1 - cost)2 - z
-dt.
a Ba b HoMatnyMnap ynyH TonunraH MKppugaru u^oganapHu (7) u^ogara KyfiuS f = R (H )g TeHrnuKHu xpcun KunaMro. 2-TeopeMa TynuK ucöoraaHgu.
T
T
T
T
T
T
REFERENCES
1. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. (2004). Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor. 5, 743-772.
2. Khalkhuzhaev A., Kholmatov Sh., Pardabaev M. (2019). Expansion of eigenvalues of rank-one perturbations of the discrete bilaplacian. arXiv: 1910.01369, 1-22.
3. Albeverio S., Lakaev S., Makarov K., Muminov Z. (2006). The threshold effects for the two-particle Hamiltonians on lattices. Comm. Math. Phys., 262, 91-115.
4. Лакаев С., Халхужаев А., Лакаев Ш. (2012). Асимптотика собственного значения двухчастичного оператора Шредингера. ТМФ, 3(171), 438-451.
5. Lakaev S., Kholmatov Sh. (2011). Asymptotics of eigenvalues of two-particle Schroedinger operators on lattices with zero range interaction. J. Phys. A: Math. Theor., 44. 135304.
6. Albeverio S., Lakaev S., Muminov Z. (2007). The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbation . J. Math. Anal. Appl., 2(330), 11521168.
7. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. (2008). О спектре двухчастичного оператора Шредингера на тешетке. ТМФ, 2(155), 287-300.
8. Лакаев С.Н., Халхужаев А.М. (2009). О числе собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шредингера. ТМФ, 2(158), 263-276.
9. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. (2007). Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке. ТМФ, 3(152), 502517.
10. Абдуллаев Ж., Икромов И., Лакаев С. (1995). О вложенных собственных значе-ниях и резонансах обобщенной модели Фридрихса. ТМФ, 103, 54-62.
11. Muminov M.I., Rasulov T.H. (2015). Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 2(6), 280-293.
12. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020). Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science, 2(51), Part II, 19-22.
13. Умиркулова Г.Х. (2020). Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке. Вестник науки и образования, 16-2 (94), 14-17.
14. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Phys. Chem. Math., 3(5), 327-342.
15. Rasulov T.H., Bahronov B.I. (2019). Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation. Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6(9), 15-17.
16. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. (2020). Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy, 4(55), 8-13.
17. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия, 12, 168-184.
18. Умарова У. (2018). Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трех-частичного модельного оператора. Учёные XXI века, 5-3(40), 14-15.
19. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science, 2(51), 15-18.
20. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.
21. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. Вестник науки и образования, 16-2(94), 913.
22. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с дву-мерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
23. Рашидов А.Ш. (2018). Резольвента модели Фридрихса с одномерным возмущением. Ученый XXI века, 4-1(39), 6-7.
24. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки, 4(63), 2932.
