ИККИ КАНАЛЛИ МОЛЕКУЛЯР-РЕЗОНАНС МОДЕЛИ ХОС ҚИЙМАТЛАРИНИНГ МАВЖУДЛИГИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИККИ КАНАЛЛИ МОЛЕКУЛЯР-РЕЗОНАНС МОДЕЛИ ХОС КИЙМАТЛАРИНИНГ МАВЖУДЛИГИ

Наргиза Адмедовна Тошева Дилдора Эркиновна Исмоилова

Бухоро давлат университети Бухоро давлат университети

nargiza_n@mail. ru

АННОТАЦИЯ

Мазкур маколада панжарадаги икки каналли молекуляр-резонанс модели чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма 2-тартибли блок операторли матрица сифатида каралади. Бу модель мухим спектрдан чапда 2 та ва мухим спектрдан унгда 1 та хос кийматга эга булиши исботланади.

Калит сузлар: панжара, молекуляр-резонанс модели, блок операторли матрица, хос киймат, мухим спектр, кузгалиш оператори.

EXISTENCE OF THE EIGENVALUES OF A TWO CHANNEL MOLECULAR-

RESONANCE MODEL

Nargiza Ahmedovna Tosheva Dildora Erkinovna Ismoilova

Bukhara State University Bukhara State University

nargiza_n@mail .ru

ABSTRACT

In this paper two channel molecular-resonance model on a lattice is considered as a linear, bounded and self-adjoint operator. We prove that this model has two eigenvalues lying on the left hand side of the essential spectrum and one eigenvalue lying on the right hand side of the essential spectrum.

Keywords: lattice, molecular-resonance model, block operator matrix, eigenvalue, essential spectrum, perturbation operator.

КИРИШ

Квант механикаси, каттик жисмлар физикаси, статистик физика ва панжаравий майдон назариясида сони сакланмайдиган заррачалар системасига мос операторли матрицалар билан боглик масалалар куп учраб туради. Уз навбатида бундай операторли матрицаларнинг спектрал хоссалари икки каналли молекуляр-резонанс модели (куп холларда умумлашган Фридрихс модели деб хам аталади) ёрдамида урганилади. Масалан, икки каналли молекуляр-резонанс модели мухим спектрдан чапда ёки унгда хос кийматга эга булса, у холда мос операторли матрица мухим спектрининг икки ва уч заррачали тармоклари

орасида бушлик хосил булиш имконияти пайдо булади. Бу эса мухим спектр бушлигидаги хос кийматлар сонини урганишда мухим ахамият касб этади. Бундан ташкари, бундай модель бусагавий хос кийматга эга булса, операторли матрица чекли сондаги хос кийматларга эга булиши, виртуал сатхга эга булса операторли матрица чексиз сондаги хос кийматларга эга булиши куплаб ишларда урганилган, масалан [1-2] маколаларга каранг. Шу нуктаи назардан маколада урганилаётган моделнинг хос кийматларини тадкик килиш масаласи замонавий математик физиканинг долзарб масаласи хисобланади.

Укувчига кулай булиши учун дастлаб ушбу маколада фойдаланилган асосий тушунчаларнинг таърифларини эслатиб утамиз.

H Х,ильберт фазосини яна H фазога акслантирувчи A оператор берилган булсин. Агар бирор Ле C сони учун (A - Л1)x = 0 тенглама нолмас x (x ф в) ечимга эга булса, Л сонига A операторнинг хос киймати дейилади, нолмас x ечимга эса Л хос кийматга мос хос вектор ёки хос функция дейилади. Бу ерда I оркали H даги бирлик оператор белгиланган. dim Ker (A -MI) = n сонига Л хос кийматнинг карралиги дейилади. Агар n = 1 булса, Л сони A операторнинг оддий хос киймати, n > 2 булса, Л сони A операторнинг каррали хос киймати, n = да булса, Л сони A операторнинг чексиз каррали хос киймати дейилади. Агар Л хос кийматнинг шундай атрофи топилиб, бу атрофда A операторнинг Л дан бошка хос кийматлари ётмаса, Л сонига A операторнинг яккаланган хос киймати дейилади. A операторнинг барча чекли каррали яккаланган хос кийматлари тупламига унинг дискрет спектри дейилади ва <jdsc (A) каби белгиланади.

Агар Л е C комплекс сони учун A - Л1 га тескари оператор мавжуд булиб, у H нинг хамма ерида аникланган булса, Л сони A операторнинг регуляр нуктаси дейилади,

R(A) = (A-Л)-1 оператор эса A операторнинг Л нуктадаги резольвентаси дейилади. Барча регуляр нукталар туплами A операторнинг резольвента туплами дейилади ва р(A) каби белгиланади.

A операторнинг регуляр булмаган нукталари тупламига унинг спектри дейилади ва <г(A) каби белгиланади, яъни а(A) = C \ р(A) тупламга A операторнинг спектри дейилади.

A операторнинг барча хос кийматлари тупламига унинг нуктали спектри дейилади ва арр(A) каби белгиланади.

Агар Ле<(A) хос киймат булмаса, Im( A - Л1) ф H яъни, A - Л1 операторнинг кийматлар сохаси H нинг хамма ерида зич эмас. Бунда Л лар туплами A операторнинг колдик спектри дейилади ва < (A) билан белгиланади.

Агар Яе С сони хос кийматлар тупламининг лимитик нуктаси булса, ёки Яе С сони операторнинг чексиз каррали хос киймати булса, ёки Л е сг( А) учун

1т(А -Я!) = Н булса, бундай Я лар А операторнинг мухим спектрига карашли дейилади. Оперторнинг мухдм спектри сге^ (А) билан белгиланади.

МАСАЛАНИНГ КУЙИЛИШИ

Тй оркали й улчамли торни, С оркали бир улчамли комплекс фазони ва (Тй) оркали Тй тупламда аникланган квадрати билан интегралланувчи (умуман олганда комплекс киймат кабул килувчи) функцияларнинг Х,ильберт фазосини белгилаймиз.

Фараз килайлик, Н0 := С (биринчи канал), Н := (Тй) (иккинчи канал) ва Н := Щ © Н булсин.

Н ва Н фазоларга Фок фазосининг мос равишда ноль заррачали ва бир заррачали кисм фазолари дейилади. Н фазога эса Фок фазосининг киркилган икки заррачали кисм фазоси дейилади. Чизикли операторлар назариясидан яхши маълумки, Н Х,ильберт фазосида аникланган хар кандай чизикли чегараланган оператор хамиша 2-тартибли операторли матрица куринишида тасвирланади.

Ушбу маколада Н Х,ильберт фазосидаги куйидаги куринишидаги

A00 ^01 ^ juA* A0 -ЛУ

V^ 01 11

иккинчи тартибли блок операторли матрица урганилади. Бунда

А00 /о = а/о, 4)1 /х = { V (* )/1 (*,

(л;1/1)(х )= и(х)/1(х) (V/)(х) = VI (х) |vl(t)/£)Л.

А я операторннг параметрлари булган а, Я, л сонлари, и(-), V (•) ва V (•)

функцияларга куйидаги шартлар куйилади:

а - фиксирланган хакикий сон, ¡,я - фиксирланган хакикий мусбат сонлар

(таъсирлашиш параметрлари), и()^0 (•),V (•) функциялар эса Тй да аникланган хакикий кийматли узлуксиз функциялардир. Кушма оператор таърифи ёрдамида

(^ь/оХх) = V) (x)/о, /о е Но эканлигини хосил килиш мумкин.

Функционал анализ элементларидан фойдаланиб А операторнинг Н

Х,ильберт фазосидаги чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма оператор

эканлигини текшириш мумкин. | ^ 113 |

МУХИМ СПЕКТР

Дастлаб A^ я операторнинг мухим спектрини аниклаш масаласини караймиз. Бунинг учун ^ я операторга мос кузгалмас оператор деб аталувчи ва H Х,ильберт фазосида

0 0 "

A0:=

О A\

V 11 у

каби аникланувчи 2-тартибли блок операторли матрицани караймиз. Куриниб турибдики, A блок операторли матрицанинг мухим спектри u(•) узлуксиз функциянинг кийматлар туплами билан устма уст тушади, яъни

^ (A,) = [m m ]

тенглик уринли булади, бу ерда m ва M сонлари куйидаги тенгликлар ёрдамида аникланади:

m := min u(x) ва M := max u(x)

xsTd xeTd

Aß Ä ва A блок операторли матрицаларнинг аникланишига кура барча /, Л > 0 сонлари учун AßÄ - A0 кузгалиш оператори купи билан 3 улчамли оператор булади. Янада аникрок айтадиган булсак, агар v0 (•) ва v (•) функциялар чизикли богланган функциялар булса, у холда кузгалиш оператори 2 улчамли, акс , ,, улчамли оператор булади. Бу эса уз навбатида чекли улчамли кузгалишларда мухим спектрнинг узгармаслиги хакидаги машхур Г.Вейл теоремасини куллаш имконини беради. Бу теоремага кура AßÄ ва A0

операторларининг мухим спектрлари устма-уст тушади. Демак, Aß Л

операторнинг мухим спектри / ва Л таъсирлашиш параметрларидан боглик булмасдан у учун

^ (A/Л ) = [m; M ]

тенглик уринли экан.

ДИСКРЕТ СПЕКТР

оператор дискрет спектрини аниклашда мухим булган хамда C \[m; M]

сохада

Д/( z ):= а - zJ

2 Г v20(t)dt

u(t) - z

Д(Л) (z) := 1 - Л {"V2""dt ;

^u(t) - z

rv0(t )vi(t )dt J u(t) - z

регуляр функцияларни караймиз.

Одатда A)Ä(z):=A())(z)A(2)(z) - )12(z) тенглик ёрдамида аникданган функцияга Л)Л блок операторли матрицага мос Фредголм детерминанти дейилади.

х блок операторли матрицанинг хос кийматлари ва Aß х (•) функциянинг

ноллари орасидаги муносабатни ифодаловчи тасдикни баён киламиз: хар бир фиксирланган j,A> 0 сонлари учун zе C \[m,M] сони Л) А блок операторли

матрицанинг хос киймати булиши учун A)X( z) = 0 булиши зарур ва етарлидир.

Баён килинган тасдикга кура Л х операторнинг хос кийматларини урганиш

масаласи А)Д(^) функциянинг нолларини урганиш масаласига келтирилди. Бунда

Aßx (•) функциянинг ноллари сони, карралиги ва жойлашув урнини аниклаш

ишнинг асосий максади хисобланади.

Содда хисоблашлар оркали z аргументнинг

,v02(t )dt rvf(t )dt *du(t) - z' *iU(t) - z

функциялари (-да; m) ва (M; + ораликларда монотон усувчи функциялари эканлигини текшириш мумкин. У холда интеграл белгиси остида лимитга утиш хакидаги Лебег теоремасига кура чекли ёки чексиз булган

f v2(t)dt = lim fVo(t)dt

/d u(t) - m z ^m-0 rJd u(t) - z

f v2(t)dt = lim I* Vq (t)dt /d u(t) - M z-+m+° i а u(t) - z

, v2(t)dt = Цт , v,2(/)dt * d u(t) - m z ^m-0 rJd u(t) - z

лимитлар мавжуд булади.

Ушбу маколанинг кейинги кисмларида хар бир фиксирланган z е C \ [m; M ] учун I (z) = 0 шарт бажариладиган ва куйидаги

, V2 (t)dt , v2(t)dt r v2(t)dt rJdu(t) - m ^ du(t) -M du(t)- m интеграллар узоклашувчи буладиган холни караймиз.

Бу шартлар бажариладиган v0 (•), v (•) ва u (•) функцияларга мисол келтирамиз:

Фараз килайлик

d = 1, v0 (x) = cos x, v (x) = sin x, u(x) = (1 - cos x)2

булсин. Мазкур холда каралаётган A^ я операторнинг мухим спектри

<ess(= [ min (1 - cosx)2; max (1 - cosx)2] = [0;4] каби булади. Энди

(cost )2 dt }i (1 - cost)2

интегралнинг узоклашувчи эканлигини курсатамиз.

Шундай c, c2, S мусбат сонлари топилиб, ихтиёрий x е (-S;S) учун

cxx4 < (1 - cos x)2 < c2x4

тенгсизлик уринли булади. Бу куш тенгсизликни исботлаш учун cosx функция Тейлор каторига ёйилади, яъни

л x x x / л \ п x

cos x = 1--+---+ — + (-1)n-+ —

2! 4! 6! (2n)!

ёки

1 - cosx = — - — + — - — + (-1)— + — 2! 4! 6! (2n)!

тасвир уринли булади. Интегралнинг туплам буйича аддитивлик хоссасига ва

юкоридаги куш тенгсизликга кура

J (cost)2 dt _ S (cost)2 dt S (cost)2 dt (cost)2 dt > | (cost)2 dt

¿(1 - cost)2 " ¿(1 - cost)2 + -S(1 - cost)2 + S (1 - cost)2 " -S(1 - cost)2

(cosS)2 S dl_ 2(cosS)2 S dl_ 2(cosS)2 | dt_

> c J 14 " c J 14 " c i^J 14

c2 -S1 c2 01 c2 s 1

2(cos0) lim

3c2

2 ' 1 Y 2(cos^)^m ( 1 P

/3

V t J

3c„

~ Б3 О

2 я '°'V¿ О J

= +œ

Демак, каралаётган интеграл узоклашувчи экан. Худди шу усул билан

г (cost)2 dt г (sint)2 dt /i(1 - cost)2 - 4 /i(1 - cost)2 интегралларнинг хам узоклашувчи эканлигини курсатиш мумкин. Бунда шундай С, С, д мусбат сонлари топилиб, ихтиёрий x е (к - д;к + д) учун

С | x - к |<| sinx |< c | x - к |; | cos x |>| cos(k - д) | уринли булган тенгсизликлардан фойдаланилади.

Юкоридаги фаразимизга кура, яъни I (z) = 0 булса, у холда

А^ z ):=А«( z )А(2) (z).

Б

va А(2) := A" -ÄV

Я ))

Шу сабабли A([[(-) ва A(jP(-) функцияларнинг характеристик хоссаларини тахлил

киламиз. Бу функцияларнинг мухим хоссаларидан бири бу монотонлик

хоссасидир: A([[(-) ва A(jP(-) функциялар (-да; m) ва (M; + да) ораликларда

монотон камаювчи функциялардир.

А^ л операторнинг дискрет спектрини урганиш учун нисбатан содда

куринишга эга булган хамда мос равишда H ва Hx фазоларда

.А к.

тенгликлар ёрдамида аникланувчи операторларни караймиз. Мазкур холда A^Q функция А[ операторга мос Фредгольм детерминанти дейилади, A(]}(-) функцияга эса A(2) операторга мос Фредгольм детерминанти дейилади. Бундан ташкари, z g C \ &ess (А^ А) сони А[ операторнинг хос киймати булиши учун A([[ (z) = 0 булиши зарур ва етарлидир, яъни

°dlsc (А[ ) = {z g C \ [m; M]: A([ (z) = 0} тенглик уринлидир. Худди шу каби, z g C \ aess (А^ А) сони АЯ2 операторнинг хос

киймати булиши учун A(jp (z) = 0 булиши зарур ва етарлидир, яъни

°dlsc (А™) = {z g C \ [m; M]: A(f (z) = 0} тенглик уринлидир. Таъкидлаш жоизки, А(2) оператор Фридрихс модели, А{Х)

оператор эса умумлашган Фридрихс модели номи билан машхур булиб, уларнинг спектрал хоссалари куплаб ишларда урганилган [3-30].

J v02(t)dt J v02(t)dt

-i u(t) - m *d u(t) - M интеграллар узоклашувчи булганлиги боис

ton A^ z) = -да, lim A^z) =+да

z ^m-0 z^M +0 ^

муносабатлар уринли булади. Иккинчи томондан эса

lim A())( z) = +да, lim A())( z) =-да

z ^-да л z ^+да л

тенгликлар бажарилади. У холда A()(-) функция (-да; m) ва (M; + да) ораликларда монотон камаювчи функция булганлиги боис бу функци (-да; m) ва (M; + да) ораликларда биттадан оддий нолларга эга булади, яъни л параметрнинг ихтиёрий кийматида А[[) оператор мазкур ораликларда ётувчи биттадан оддий хос кийматларга, жами иккита оддий хос кийматларга эга булади. Энди

r vf(t)dt * du(t) - m

интеграл узоклашувчи булган холни тахлил киламиз. Бу холда

lim А(2)(z) = —те

z ^m-0

муносабат уринли булиб,

lim А(?( z) = 1

z ^—те г

тенгликга кура А(2)(-) функция (—те; m) ораликда монотон камаювчи функция булганлиги боис бу функци (—те; m) ораликда ягона оддий нолга эга булади, яъни X параметрнинг ихтиёрий кийматида Af } оператор бу ораликда ётувчи ягона оддий хос кийматга эга. Бундан ташкари, исталган z > M учун А(х (z) > 1 тенгсизлик уринли. Шунинг учун Af) оператор (M; + те) ораликда ётувчи хос кийматларга эга эмас. Демак A{2) оператор ягона хос кийматга эга булиб, бу хос киймат мухим спектрдан чапда жойлашган.

ХУЛОСА

Агар хар бир фиксирланган z е C \[m;M] учун I(z) = 0 шарт бажарилса, у

холда

^disc ( A л, X ) ^disc (АЦ>)

^^ ^disc (A'/1)

тенглик уринли булади. Агар кушимча равишда куйидаги

г v02(t)dt г v02(t)dt j. v2(t)dt fdu(t) — m ~,iu(t) — M' * du(t) — m интеграллар узоклашувчи булса, у холда ¡л, X > 0 таъсирлашиш параметрларининг барча кийматларида A^ л оператор учта хос кийматга эга хамда хос кийматларнинг иккитаси m дан чап томонда ва биттаси M дан унг томонда жойлашган булади.

REFERENCES

1. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.

2. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.

3. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.

4. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.

5. Бахронов Б.И., Мансуров Т.З. (2021). Вычисление существенного спектра обобщенной модели Фридрихса в системе MAPLE. НТО, 2-2(77), 35-38.

6. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 39-43.

7. Тошева Н.А., Шарипов И.А. (2021). О ветвях существенного спектра одной 3х3-операторной матрицы. Наука, техника и образование, 2-2(77), 44-47.

8. Хайитова Х., Ибодова С. (2021). Алгоритм исследования собственных значений модели Фридрихса. Наука, техника и образование, 2-2(77), 48-52.

9. Бахронов Б.И. (2020). Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением. ВНО, 16-2(94), 9-13.

10. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.

11. Тошева Н.А. (2020). Уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства 3х3-операторных матриц. Наука, техника и образование, 8(72), 9-12.

12. Бахронов Б.И. (2020). О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 13-16.

13. Бобоева М.Н., Меражов Н.И. (2020). Поля значений одной 2х2 операторной матрицы. Вестник науки и образования, 17(95), 14-18.

14. Dilmurodov E. (2020). Discrete eigenvalues of a 2x2 operator matrix. ArXiv:2011.09650. 1-12.

15. Muminov M., Rasulov T., Tosheva N. (2019). Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices. Comm. in Math. Analysis, 1(11), 17-37.

16. Rasulov T.H., Tosheva N.A. (2019). Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5(10), 511519.

17. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.

18. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.

19. Умарова У.У. (2019). Обычные и квадратичные числовые образы 2х2-матриц. оператора. Учёные XXI века, 6-1(53), 25-26.

20. Умарова У.У. (2018). Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного моднльного оператора. Учёные XXI века, 5-3(40), 13-14.

21. Dilmurodov E.B. (2019). On the virtual levels of one family matrix operators of order 2. Scientific reports of Bukhara State University, 1, 42-46.

22. Исмоилова Д.Э. (2021). О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной модели Фридрихса. НТО, 1(60), 21-24.

23. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретный спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня, 1(60), 17-20.

24. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. (2020). Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation. European science, 2(51), 7-10.

25. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.

26. Дилмуродов Э.Б. (2016). Квадратичный числовой образ одной 2x2 операторной матрицы. Молодой ученый, 8, 7-9.

27. Дилмуродов Э.Б. (2018). Спектр квадратичный числовой образ обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 11, 1-3.

28. Рашидов А.Ш., Халлокова О.О. (2015) Пороговое собственное значение модели Фридрихса. Молодой ученый, 95:15, 1-3.

29. Рашидов А.Ш., Мирзаев Э.Э. (2016). Обобщенная модель Фридрихса и ее собственное пороговое значение. Молодой ученый, 2, 23-25.

30. Хайитова Х.Г., Рахматова Д.С. (2021). Определитель Фредгольма оператора билапласиан с трехмерным возмущением на решетке. Проблемы науки. 63:4, 2932.