CC BY
291
Нажмиддинова
Наманган давлат университети укитувчиси, педагогика фанлари номзоди
ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИЩР ВА СИРТЛАРНИНГ КЛАССИФИКАЦИЯСИНИ УРГАНИШДА АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТЛАРИДАН ФОЙДАЛАНИШ
НАЖМИДДИНОВА Ц. ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ ЧИЗИКЛАР ВА СИРТЛАРНИНГ КЛАССИФИКАЦИЯСИНИ УРГАНИШДА АЛГЕБРА ЭЛЕМЕНТЛАРИДАН ФОЙДАЛАНИШ
Ушбу маколада олий таълим муассасаларида укитиладиган алгебра ва аналитик геометрия фанларини укитишдаги фанлараро алокадорлик, узвийлик иккинчи тартибли чизиклар ва сиртлар х,амда квадратик формалар уртасидаги боFланиш оркали очиб берилган.
Таянч суз ва тушунчалар: алгебраик тенглама, функция, геометрик чизик, геометрик сирт, иккинчи тартибли эгри чизик, координаталарни алмаштириш, тенгламанинг дискриминанти, эллипс, гипербола, парабола, мавх,ум эллипс, квадратик форма.
НАЖМИДДИНОВА Х. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ АЛГЕБРЫ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КЛАССИФИКАЦИИ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В данной статье через взаимосвязь линий и поверхностей второго порядка, с одной стороны, и квадратичных форм, с другой стороны, раскрыты взаимосвязь и неразрывное единство научных дисциплин в процессе преподавания алгебры и аналитической геометрия в ВУЗах.
Ключевые слова и понятия: алгебраические уравнения, функция, геометрическая линия, геометрическая поверхность, кривая линия второго порядка, замена координат, дискриминанта уравнения, эллипс, гипербола, парабола, абстрактный эллипс, квадратная форма.
NAJMIDDINOVA H. IMPLEMENTATION OF ALGEBRA ELEMENTS IN STUDYING THE CLASSIFICATION OF LINE AND SURFACE OF SECOND ORDER
In the article is examined a problem associated with teaching of mathematical disciplines algebra and analytical geometry in higher education instituties, on the example of intercommunication of line and surface the second order and quadratic forms.
Keywords: equilibriums of algebra, functions, geometrical line, second degree curve line, substitution of coordination, equilibrium discriminator, ellipsis, parabola, square form.
Азалдан алгебраик тенгламалар (функциялар) билан геометрик чизиклар (сиртлар) уртасида бомицлик урнатилиб, чизицларнинг хусусиятлари функциялар ёрдамида урга-нилади ва аксинча, фунцияларнинг хоссалари геометрик чизиц (сирт)лар хусусиятлари орцали очиб берилади.
М<0 М>0 М=0
ап ■ А < 0 эллипс гипербола парабола
оп • А > 0 мавхум эллипс
А= 0 иккита бир-бирини кесувчи мавхум TуFрИ чизик, иккита бир-бирини кесувчи хакикий туFри чизик иккита параллел туFри чизик
Масалан, у=х - энг содда бир узгарувчили функциялардан биридир. Бу тенглик х-у=0 куринишда ёзилса, унинг чап томони Кх,у)=х-у икки номаълумли чизикли функциядан иборат булиб, бу функциянинг нолга тенг булиши икки номаълумли чизикли тенгламани ифодалайди. Бу тенглама текисликда I ва III координата чоракларининг биссектрисаси, яъни туFри чизикни ифодалайди.
Функция у= -х куринишида булганда эса у х+у=0 тенглама куринишига эга булиб, х ва у узгарувчилар факат ноль нуктадагина бир хил кийматлар кабул килади. х+у=0 тенглама текисликда II ва IV координата чоракларининг биссектрисасини ифодалайди.
Маълумки, х2+а=0 тенглама хакикий сонлар тупламида ечимга эга эмас, яъни х нинг х,еч бир хакикий киймати бу тенгликни каноатлантирмайди. Бирок, бу тенгликнинг чап томонини у=х2+а функция сифатида карасак, бу функция учи (0,а) нуктада булган параболани ифодалайди.
у2=х2 тенгликни каноатлантирадиган хакикий сонлар |у |=|х| тенгликни хам каноатлантириши керак. Бу тенгликни х2- у2=0 куринишида ёзсак, у (х-у)(х+у)=0 тенгламага тенг кучли булади. Бундан, у=х ва у=-х тенг-ликлар келиб чикади. Бу тенгликлар эса, мос равишда, юкорида келтирилган I ва III хамда II ва IV координата чоракларининг биссектрисасини, яъни узаро тик жойлашган туFри чизикларни ифодалайди.
Бу каби маълумотлар элементар математи-кага оид маълумотлар булиб, улар келгусида абстракт алгебрага оид тушунчаларга геометрик мазмун бериш, чизиклар ва сиртларнинг хусусиятларини урганиш ва шу кабиларда мухим асос булиб хизмат килади.
Хусусан, иккинчи тартибли эгри чизиклар ва сиртларнинг классификацияси аналитик геометрия фани оркали атрофлича тахлил килинади.
Маълумки, иккинчи тартибли эгри чизикнинг умумий тенгламаси куйидаги куринишга эга:
Дх,у) = Оцх2 + 2 аиху + а22у2 +
(1)
+ 2апх+2а1Ъу+аъг = О
(1) тенгламанинг факат узгарувчиларнинг квадратлари катнашган хадлардан иборат куриниши унинг каноник (энг содда) куриниши дейилади. (1) тенгламанинг коор-динаталарини алмаштириш (координата бо-шини кучириш ва буриш) оркали унинг
1 Ц , / '2 Д ОцХ +«22 У =77 М
каноник куриниши топилади, бунда
(2)
А =
<\г
о,2 0,3
а.
а
31
22 ^2
О.
23
а
зз
булиб, уни (1) тенгламанинг дискриминанти деб аталади. М нинг киймати эса
а
12
О,
О
13
о,
12
детерминант кийматига тенг. (1) тенгламанинг каноник куринишидан, яъни коэффициентлар, А ва М детерминантларнинг кийматлари ва ишораларидан фойдаланиб, (1) тенглама ифо-далайдиган иккинчи тартибли чизиклар классификация килинади:
/(х,у,г) = апх2+2апху + 2аихг +
+ а22у2 + 2а23уг + о33г2 + 2а1^х + (3)
+ 2аи у + 2аЪАг + о44 = О
Тенглама иккинчи тартибли сирт тенгла-масидир. Бу тенглама устида хам юкоридаги каби алмаштиришлар ва тахлиллар утказиш натижасида (3) тенглама куйидаги
ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5
А,15 А,2, АЗ ларнинг ишоралари Ац, А,2, А,3 Ф 0 Х3 =0
5*0 5 =0, Д*0 5 =0, А = 0
бир хил А< 0 эллипсоид эллиптик параболоид эллиптик цилиндр (мавхум ёки хак,ик,ий)
А = 0 мавхум конус
А > 0 мавхум эллипсоид
хар хил А< 0 икки ковакли гиперболоид А > 0 гиперболик параболоид А1А,2 <0 гиперболик цилиндр
А = 0 конус ё ^ = 0 ё Х2 =0 параболик цилиндр
А > 0 бир ковакли гиперболоид
к1х'2+Х2у'2+Х3г'2 + ^=0 (4)
каноник куринишга келтирилади, бу ерда ап а13 а14
«22 «23 «24 «32 «33 «34 «42 «43 «44
булиб, уни иккинчи тартибли сирт (3) тенгла-масининг дискриминанти ва унинг а44 элемен-тининг минори булган
«11 «12 «13
6 = «21 «22 «23
«31 «32 «33
детерминант сирт тенгламаси икки улчовли хадларининг дискриминанти дейилади. Юкоридаги каби (3) тенгламанинг каноник куринишидан, яъни А ва 5 детерминантлар-нинг кийматлари хамда ишораларидан фой-даланиб, (3) тенглама ифодалайдиган иккинчи тартибли сиртлар хам классификация килинади (жадвалга к.).
Иккинчи тартибли эгри чизиклар ва сирт-ларнинг тенгламаларини каноник куринишга келтириш масаласи абстракт алгебра тушун-чаларидан бири булган квадратик форма ту-шунчаси билан узвий боFланган.
Агар иккинчи тартибли чизикнинг (1) тенг-ламасида координаталарга нисбатан
чизикли алмаштиришлар бажарилса, эгри чизикнинг (1) тенгламаси куйидаги куринишни олади:
1>Х2>Хз) ~а\\Х\ + 2а12Х1Х2 +
+ 2а23х2х3 + (5) + о33х3 = О
Бу тенглама х1, х2 ва х3 узгарувчиларга нисбатан бир жинсли булиб, яна Декарт коорди-наталарига утиш учун х3 = 1 деб олинса, кифоя.
(3) тенгламанинг чап томони уч узгарув-чининг квадратик формасидир.
Худди шу каби, иккинчи тартибли сиртнинг (3) тенгламасида хам координаталарга нисба-тан
X л Хч
х = —, У = —, * = —
Х^ X4 X4
чизикли алмаштиришлар бажарилса, сиртнинг
(3) тенгламаси куйидаги куринишни олади:
2
+ 2едх2 +:
+ 2 а24х2х4
+ 2 ам
(6) тенгламанинг чап томони туртта узгарувчининг квадратик формасидир.
Умуман, п та хх,х2,...,хп узгарувчи-ларнинг Г сонли майдон устида олинган квадратик формаси деб, а.. коэффициентлари Г майдонга тегишли булган ушбу
ф (х1,х2,...,хп) = аих? +
+ 2^2X^2 + 2апхххг + (7)
+ ...+2 аих,хп + ...+а тх2п куринишдаги купхадга айтилади.
ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5
А =
а
и
а
21
а
31
а
41
Куриниб турибдики, бу купх,ад симметрик купх,аддир. Уни
ф 5 Х2 ' • • ' ' Хп ) = ^11 +
Х2 + Я13Х1Х3 + ... +
+ а21х2хх + а^х^ + ... + (7')
+ ¿i3j.X3.Xj + ... + +
+ ...+аппх2п
куринишда ёзиб, мос коэффициентлардан матрица тузсак, х,осил булган
'«п «12 ••• <0
А =
«21 «22
а
1п
а
у л1 "и2 " ' " —«лу
матрица (7) квадратик форманинг матрица-си дейилади. Л матрицанинг ранги эса (7) квадратик форманинг ранги дейилади ва г билан белгиланади.
Хусусан, уч узгарувчили квадратик форма-
а.
и 2
а
Г«п «12 «13 ^
«21 «22 «23
^«31 «32 «33 )
А =
Факат узгарувчиларнинг квадратларига эга булган х,адлардангина иборат булган квадратик форма каноник шаклдаги квадратик форма дейилади.
Масалан, уч узгарувчили квадратик форманинг каноник шакли куйидаги куринишда булади:
Майдон устидаги х,ар кандай квадратик формани узгарувчилар устида чекли сондаги хосмас чизикли алмаштиришларни кетма-кет бажариш оркали каноник куринишга келти-риш мумкин.
Маълумки, квадратик форманинг каноник куриниши бир кийматли эмас, яъни квадратик форма устида турли хосмас чизикли ал-маштиришлар бажарилса, у турли каноник куринишларга эга булади. Бирок, инерция конунига кура, битта квадратик форма турли усуллар билан каноник куринишларга кел-тирилганда х,ам мусбат х,адларнинг сони бир хил булади. Лекин бу конун факат х,акикий коэффициентли квадратик форма устида хос-
мас алмаштиришлар бажарилган х,олда ва бу алмаштиришнинг коэффициентлари х,ам х,акикий булгандагина уринлидир.
Хакикий квадратик форманинг каноник шаклидаги мусбат х,адларнинг сони бу квадратик форманинг курсатувчиси дейилади ва р билан белгиланади.
Шундай килиб, х,ар кандай х,акикий квадратик форма иккита сон - ранг ва курсатувчи оркали аникланади. Бу сонлар х,акикий хосмас чизикли алмаштиришларга боFлик эмас, яъни улар шундай алмаштиришларга нисба-тан инвариантдир.
Агар х,акикий квадратик форманинг каноник шаклида барча коэффициентлар 1 га тенг булса, у х,олда бу шакл квадратик форманинг нормал шакли дейилади.
Хар кандай х,акикий квадратик формани узгарувчиларнинг хосмас х,акикий чизикли алмаштириши ёрдамида нормал куринишга келтириш мумкин. Аммо нормал куринишдаги х,акикий квадратик формалар куп эмас. Масалан, 3 узгарувчили ранги 3 га тенг булган барча квадратик формалар 4 синфга булинади:
—х1 —х\ —х2 курсатувчиси 0 га тенг,
Х1 ~х2 ~хз курсатувчиси 1 га тенг,
х\ +х2 ~х\ курсатувчиси 2 га тенг,
+х1 + х2 курсатувчиси 3 га тенг.
Биринчи ва туртинчи синфга кирувчи формалар аник, иккинчи ва учинчи синфга кирувчи формалар эса аникмас формалар дейила-ди.
Умуман, агар х,акикий квадратик формада рф О ва р<г булса, бундай форма аникмас, р = 0 ёки р = г булса, у х,олда у аник форма дейилади. Аник форма р = 0 булганда ман-фий аникланган, р-г булган х,олда эса мус-бат аникланган дейилади.
Агар иккинчи тартибли эгри чизикнинг (1) тенгламасини каноник куринишга келтирил-са, бу тенгламага мос (5) квадратик форма х,ам каноник куринишга келади. Бу каноник шаклда Декарт координаталарига утиш учун хъ =1 деб олиб, яна тенгламага кайтилса, каноник куринишдаги
(9)
I С2 X 2 I ^
тенглама х,осил булади. Бу тенгламани
'2 . '2 _
I С2^2 — ^
(10)
куринишида ёзиб, каноник шаклдаги иккинчи тартибли эгри чизик тенгламаси устида олиб борилган юкоридаги каби тахлиллар амал-га оширилса, (1) тенглама оркали ифодалан-ган эгри чизикнинг геометрик маъноси хосил булади. Каноник шаклдаги квадратик фор-мани нормал куринишга келтириш у ифода-лаган геометрик чизик ёки сиртнинг типини узгартирмайди. Нормал куринишга келтириш учун бажариладиган чизикли алмаштириш эгри чизик ёки сиртни координата укларига нисбатан сикади (ёки кенгайтиради), холос.
Шундай килиб, аналитик геометриянинг мухим тушунчалари булмиш иккинчи тартибли эгри чизиклар ва сиртлар абстракт алгеб-ранинг квадратик форма тушунчалари билан
чамбарчас боFлик экан. Агар бу боFликлик аналитик геометрия ва алгебра фанларини укитишда эътиборга олинса, яъни бу фанлар-ни укитишда фанлараро боFланиш яна хам ку-чайтирилса, талабалар онгида чизиклар ва сиртларнинг хусусиятларини уларнинг тен-гламалари ёки улар аниклаган функциялар-нинг хоссалари оркали урганиш, функция-ларга, купхадларга, квадратик формалар-га геометрик мазмун бериш ва натижада аб-стракциядан аниклаштиришга, умумийлик-дан хусусийликка утиш жараёни осон кечади. Бу эса, охир-окибат, талабаларнинг шу фан материалларини узлаштиришларига ижобий таъсир курсатади.
Адабиётлар:
1. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: "Наука", 1968.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: "Наука"- "Физматлит", 1999.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - М.: "Физматлит", 2000.
4. Кирсанов А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Курс лекций. -Псков, ПГПИ, 2003.
