Синфдан ташқари машғулотларда ноевклид геометрия элементларини тушунтириш усуллари Текст научной статьи по специальности «Математика»

68 МАКТАБ ТАЪЛИМИ / ШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ ч___/

Бердиева О.Б.,

Сурхондарё вилояти халк таълими ходимларини кайта тайёрлаш ва уларнинг малакасини ошириш институти «Табиий ва аник фанлар таълими» кафедраси доценти, педагогика фанлари номзоди

СИНФДАН ТАШКАРИ МАШГУЛОТЛАРДА НОЕВКЛИД ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТЛАРИНИ ТУШУНТИРИШ УСУЛЛАРИ

БЕРДИЕВА О.Б. СИНФДАН ТАШК.АРИ МАШ¥УЛОТЛАРДА НОЕВКЛИД ГЕОМЕТРИЯ ЭЛЕМЕНТЛАРИНИ ТУШУНТИРИШ УСУЛЛАРИ

Маколада умумий урта таълим мактабларида геометрия укитишда укувчиларнинг фанга кизикишларини орттиришда Евклид ва Галилей геометрияларидаги бошланFич тушунчалар бир хил эканлигини курсатиб бериш, Галилей геометриясидаги асосий узгариш, яъни унинг мактаб геометриясидан фаркли жих,ати, икки нукта орасидаги масофа тушунчаси киритилиши ва уни урганиш х,акида суз юритилган.

Таянч суз ва тушунчалар: нукта, туFри чизик, кесма, икки нукта орасидаги масофа, Евклид текислиги, Галилей текислиги.

БЕРДИЕВА О.Б. МЕТОДЫ ОБЪЯСНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЯХ

В статье излагается мнение о том, что для усиления интереса при изучении геометрии в средней общеобразовательной школе необходимо показывать одинаковость первоначальных понятий геометрии Евклида и геометрии Галилея, её отличия от школьного курса геометрии. Вместе с тем раскрывается вопрос введения понятия «расстояние между двумя точками» и его изучения.

Ключевые слова и понятия: точка, линия, отрезок, расстояние между двумя точками, плоскость Евклида, плоскость Галилея.

BERDIEVA O.B. WAYS OF EXPLAINING NON-EUCLIDEAN GEOMETRY ELEMENTS ON EXTRACLASS STUDIES

In this article explaining position regarding strengthening interests of schools pupil in learning geometry to show similarities of primary, conceptions geometry between Euclid geometnry and Galiley geometry, that is difference of school geometry. As well there is discussed conception of distance between two points and learning about it.

Keywords: point, right line, slice, distance of two points, Euklid's plain, Galiley plain.

«Геометриядан хабарсиз киши остонадан утиши мумкин эмас».

Платон1

Узвийлаштирилган Давлат таълим стан-дарти асосида яратилган укув дастурлар буйича ишлаш ва мактаб математикасининг мазмунини такомиллаштириш шу куннинг талабларидан биридир. Бу ишни умуман математика фанининг, жумладан геометрия фани-нинг жадал ривожланишига сабаб булган ноевклид геометриялар тизими ва уларнинг яратилиши билан танишмасдан амалга оши-риш кийин. Чунки биз мактабда урганадиган геометрия - Евклид геометриясидир. Бугунги кунда укувчиларнинг фанга кизикишлари ортишида хамда уларни таълимнинг кейинги боскичларига тайёрлашимиз учун фаннинг маълум кисми билан чегараланмасдан, балки кушимча маълумот сифатида мавжуд тушун-чаларни дарслар, факультатив ва тугарак машFулотларида бериш лозим.

Куйида биз таклиф этаётган худди шу каби тушунча сифатида Галилей текислиги хакидаги кизикарли маълумотларни укувчиларга кушимча манба сифатида беришни лозим топ-дик.

А.Ортикбоевнинг «Кадимий фанга замона-вий назар» маколасида геометрия фанининг замонавий таърифи келтирилиб, текисликда мавжуд туккиз хил геометриядан бири - Галилей текислиги х,акида айтилган2.

Бунда Галилей текислиги асосий тушунча-лар жих,атидан Евклид текислигидан фарк килмайди. «Нукта», «туFри чизик» иккала гео-метрияда хам бир хил маънода тушунилади. Демак, бунда ушбу асосий тушунчаларга боF-лик киритиладиган, геометрик шакллар хам хеч кандай узгаришсиз кабул килинади. Маса-лан: нур, бурчак, купбурчак, учбурчак тушун-чалари мактаб геометрия курсида кандай баён этилган булса, шундай тушунтирилади.

Маълумки, мактаб укувчилари 7-синфда геометрия фани билан танишишни текислик-даги асосий тушунчалар ва уларнинг хосса-

1 Fайбуллаев Н. Мактабда ноевклид геометриялар эле-ментлари. - Т.: «Укитувчи», 1971. -3-б.

2 Ортикбоев А. Геометрия - кадимий фанга замонавий назар. // «Физика, математика, информатика» журнали, Т., 2004, 3-сон. -3-17-б.

лари билан танишишдан бошлайдилар3. Яъни укувчилар «нур», «бурчак», «купбурчак», «учбурчак» каби геометрик шакллар ва уларнинг хоссалари билан танишадилар. Мантикан шу вактдаёк текисликда Евклид геометрияси билан танишаётганликлари хакида хеч кандай фикр айтилмайди. Бунда биз «геометрия -ердаги улчаш ишларини бажаришдан хосил булган фан» деган акида таъсирида буламиз.

Укувчига шу оддий текисликда бир-бири-дан фаркли туккиз хил геометрия мавжудлиги ^акида ^еч кандай фикр айтилмайди. Бу таби-ийдир, чунки эндигина геометрия фани тушун-чалари билан танишаётган мурFак тасаввурга шунчалик куп янги геометриялар х,акида фикрни айтиш маънавий жих,атдан оFирлик килар. Аммо мавжуд туккиз хил геометриядан бири булган Галилей геометрияси борки, у х,акида 8-9-синфларнинг иктидорли укувчи-ларини х,абардор килса булади. Укувчилар учун бу танишув фаннинг мантикий асоси булган тушунчаларга эътибор каратиш туй-Fусини тарбиялайди, деб ^исоблаймиз.

Галилей геометриясидаги асосий узгариш, яъни унинг мактаб геометриясидан фаркли буладиган жих,ати икки нукта орасидаги масофа тушунчаси киритилишидан бошла-нади. Бунда текисликда координаталар систе-маси киритилган ва каралаётган нукталар А(х1,у1), В(х2,у2) координаталарга эга деб х,исоб-ланади. Демак, математика фанида таништи-риладиган координаталар системаси тушунча-сигача булган маълумотлар узгаришсиз кабул килинади. Маълумки, укувчилар координаталар системаси билан 6-синфнинг 4-чорагида танишадилар4.

8-9-синфларда укувчилар координаталар системасига доир булган масалаларни х,ал килиш усуллари билан танишган булишади. Бу даврда кичкинагина илмий янгилик - Галилей

3 Аъзамов А. ва бошкалар. Геометрия. Умумий урта таълим мактаблари 7-синфи учун дарслик. - Т.: «Янгийул полиграф сервис», 2013 й. -8-17-б.

4 Мирзаахмедов М., Рахимкориев А. Математика 6-синф. Умумий урта таълим мактаблари 6-синфи учун дарслик. -Т.: «Укитувчи», 2011. -209-213-б.

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2017, 4

текислиги тушунчаси билан таништириш илм истагида булган укувчиларда катта к,изик,иш уЙFотади, деб х,исоблаймиз. _

Мисол учун, текисликда а(х1,у1), Ь(х2,у) век-торлар берилган булсин.

1-таъриф: а ва Ь векторларнинг скаляр купайтмаси _

(а•Ь)=х{х2(а Ь)2=у1у2 (х^х2=0 булса) куринишда аник,ланадиган аффин текисликка Галилей текислиги дейилади. Купгина адаби-ётларда1 Галилей текислиги ярим Евклид текислиги х,ам деб аталади. Бунинг сабаби векторларнинг скаляр купайтмаси Евклид текислигидаги векторлар скаляр купайтма-сининг ярми куринишида эканлигидадир.

Евклид текислигидаги каби ярим Евклид текислигининг х,ам х,аракатлари мавжуд.

2-таъриф. Галилей текислигидаги нукталар-нинг координаталарини алмаштирувчи

х=х +а у=ух'+у+Ь

(1)

х=х

у=ух'+у

(2)

х=х

у=у'+Ь

(3)

ух'+у '+Ь=к(х '+а)+Ь1 ух '+у '+Ь=к(х '+а)+Ь2

=>

у'=(к-у)х'+Ь1-Ь+ка у'=(к-у)х'+Ь2-Ь+ка

1 Яглом И. Принцип относительности и геометрия галилея. - Т.: «Наука», 1990. -47-55-б.

Тенгламалар системаси к-у=к-у эканлиги-дан параллел туFри чизик,ларни ифода этади. Теорема исбот булди.

Ушбу теореманинг исботини 1-чизмада куйидагича келтириш мумкин.

1-чизма.

тенгламалар системасига Галилей текислигидаги х,аракат деб аталади. (1) х,аракатни

Демак, (1) х,аракат ярим Евклид текислиги учун буриш ва параллел куринишдан иборат экан.

Таърифдан келиб чик,к,ан х,олда, М(х1; у1) ва Ы(х1; у1) нукталар охиридаги масофани

\МЩ\ = \х2-х\

(4)

куринишидаги Ох ук, йуналишидаги силжиш ва

параллел куринишларга ажратиш мумкин.

1-теорема: (1) х,аракат Галилей текислигидаги х,ар кандай туFри чизик,ни яна туFри чизик,к,а, параллел туFри чизик,ни узга параллел туFри чизик,к,а утказади.

Исбот: у=к1х+Ь1 туFри чизик, берилган булсин, у х,олда

ух'+у'+Ь=к1(х'+а)+Ь1 ёки у'=(к1-у)х+каЬ1-Ь тенглама яна туFри чизик тенгламасини ифода этади.

у=кх+Ь1 ва у=кх+Ь2 узаро параллел туFри чизик,лар берилган булсин, у х,олда

куринишида аник,лаш мумкин.

Агар х1=х2 булса, М ва N нук,талар орасидаги масофа 0 га тенг булади. Бундай х,олларда нукталар орасидаги иккинчи масофа

\МЩ\ = \у2-у1\ (5)

га тенг булади. Шунинг учун ярим Евклид текисликлари «булинган материали» текислик-лар деб аталади. Буларга асосланиб, нук,талар орасидаги масофани куйидаги куринишларда белгилаш мумкин.

Ярим Евклид маъносидаги \МЩ\1 - биринчи, \МЩ\2 - иккинчи масофалар. \МЩ\1 масофа |МЩ| кесманинг Ох ук,идаги проекциясини ифода килса, \МЩ\2 масофа Евклид маъносидаги кесма узунлигини ифодалайди.

Куйида Евклид геометрияси ва Галилей гео-метриясидаги «масофа» тушунчасининг маъ-носи, бир-бирига ухшаш ва бир-биридан фаркли жих,атларини содда усулда тушунтира-миз.

Айтайлик, А ва В нукталар 2-чизмадагидек жойлашган булсин. (x1^x2, y1ïy2) А ва В нукта-лардан координата укларига параллел туFри чизикларни утказамиз ва уларнинг кесишиш нуктасини С билан белгилаймиз. Унда, AC=\x2-x\ хамда BC=\y2-y1\ булади.

2-чизма.

АВС туFри бурчакли учбурчакка Пифагор теоремасини кулласак,

AB2=AC2+BC2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

булади.

Ундан, \AB\=^/ (x2-x1)2+(y2-y1)2ни хосил кила-миз. Бу формуланинг x1=x2 ёки y1=y2 булганда хам туFрилигини курсатиш мумкин.

\AB\=л/ (x2-x1)2+(y2-y1)2формула Евклид гео-метриясида «масофа» тушунчасини ифода-лайди ва у АВ кесма узунлигига тенг булади. Галилей геометриясида эса «масофа» тушун-часи бошкачарок киритилади.

Демак, энди Галилей геометриясидаги «масофа» тушунчасининг маъноси билан танишайлик1.

Таъриф: Икки A(x1, y1) ва B(x2, yj нукта орасидаги масофа dAB деб, dAB=\x2-x1\ тенглик билан аник,ланадиган катталикка айтилади. Агар dAB=0 булиб колса, масофа d'AB=\y2-y1\ тенглик билан аникланади. Бу киритилган «масофа»-нинг асл маъносини тушунтириш унча кийин эмас.

1 Яглом И. Принцип относительности и геометрия

Галилея. - Т.: «Наука». 1990. -С. 47-55.

3-чизма.

Чунки бу масофа, хакикий АВ кесма узун-лигининг ОХ укидаги проекцияси катталигига тенг булади. Агарда dAB=0 булса, нукталарнинг ОХ укидаги проекциялари устма-уст тушиб колади. Нукталар OY укка параллел туFри чизикда ётиб, OY укдаги проекциялари устма-уст тушмаслиги мумкин. Бунда айтилаётган d'AB - иккинчи «масофа» нукталар орасидаги масо-фани беради. Факат кейинги киритилган «масофа» хам нолга тенг булса, бу икки нукта устма-уст тушади.

Демак, Евклид геометриясида «масофа» тушунчаси АВ кесма узунлигини ифодаласа, Галилей геометриясида эса АВ кесма узунли-гининг ОХ укидаги проекциясини, агар бу проекция нолга тенг булса, АВ кесма узунли-гининг ОУ укидаги проекциясини, агар бу проекция хам нолга тенг булса, у холда хакикий 0 сонини ифодалайди. Бу холда кес-манинг узунлиги Евклид геометриясида хам нолга тенг булади.

Юкорида келтирилган таъриф геометрия фанидаги икки нукта орасидаги масофа тушунчасини умумлаштиради, яъни хакикий хаётий масофа тушунчасидан бошка, мавхум илмий масофа тушунчаси хам мавжуд эканлиги хакида тасаввур килиш имконини беради. Келтирилган «масофа» тушунчасини хаётдаги татбики сифатида куйидагича мисолни келти-ришимиз мумкин. Масалан, биз бир турар жойлар жойлашган мавзенинг 1-квартал, 1-уйи олдида турибмиз. Максадимиз 3-квартал 5-уйга бориш. Аввало манзилгача икки квартал масофа бор деб хисоблаймиз. Агар 3-кварталда турган булсак, «масофа» 5-уйгача булган масофага тенг булади.

Укувчиларга киритилган янги Галилейча масофани тушунтиргандан сунг, текисликдаги учбурчакнинг бир томони узунлиги колган икки томони узунлигига тенг эканлиги ёки Галилей текислигида айлана тушунчаси билан танишиш кизикарли булади.

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2017, 4

Бизга АВС учбурчак берилган булсин. Аник,-лик учун учбурчак томонларидан х,еч бири колганларининг ОХ ук,идаги проекцияларига устма-уст тушмайдиган, деб х,исоблаймиз.

4-чизма.

В

Бунда Ь=а+с эканлигини курсатиш унча к,ийин эмас.

Таъриф. Айлана деб, берилган нук,тадан тенг масофада ётган нук,таларнинг геометрик урнига айтилади.

Галилей текислигида бу таърифни к,аноат-лантирадиган нук,таларнинг геометрик урни ОУ укига параллел булган иккита туFри чизик, эка-нини куриш кийин эмас.

5-чизма.

А У

Маркази координаталар бошида, радиуси а га тенг булган айлана тенгламаси х2=а2 ёки х=±а булади.

Уйлаймизки, бу каби тушунчаларни 8-синф укувчиларига тугарак, дарсдан ташк,ари факультатив дарсларда бериш укувчиларнинг фанга нисбатан к,изик,ишини оширади. Колаверса, мак-таб математикасининг мазмунини такомиллаш-тириш бугунги куннинг талабидир. Жумладан, буни геометрия фанининг кейинги жадал ривож-ланишига сабаб булган ноевклид геометриялар тизими ва уларнинг яратилиши билан танишмас-дан амалга ошириш к,ийин. Фан ва техниканинг х,озирги равнакд микродунё ва макродунё сир-ларининг очилиши укувчиларни ноевклид геометриялар тизими билан таништиришни так,озо этади.

Юкоридагиларни назарда тутиб, бугунги кунда олиб бораётган синфдан ташк,ари факультатив машFулотларимиз мазмуни математика фанининг янгидан-янги сох,алари очилаётган бир даврда мактабда фак,ат Евклид геометриясини укитиш билан чекланиб колишни етарли ^ол, деб булмайди. Бу эса укувчиларни турли геометриялар тизими билан таништиришга олиб келади. Тажриба ноевклид геометриялардан факультатив машFулотларда юк,ори синфларда утиш мак,садга мувофик эканлигини курсатмокда, чунки юк,ори синфлар укувчилари ноевклид гео-метрияларни урганиш ва уни Евклид геометрия-сининг мос тушунчалари билан так,к,ослаш учун етарли асосга эга буладилар.

Шундай экан, синфдан ташкари машFулот-ларда ноевклид геометриялар элементларини урганиш учун мавзуларни танлаш ва бу курсни укитиш методикасини ишлаб чик,иш мактаб математикасини замонавий математика билан як,инлаштирадиган асосий масалалардан бири булиб колади.

Адабиётлар руйхати:

1. Аъзамов А. ва бошк,алар. Геометрия. Умумий урта таълим мактаблари 7-синфи учун дарслик. - Т.: «Янгийул полиграф сервис», 2013. -8-17-б.

2. Fайбуллаев Н. Мактабда ноевклид геометриялар элементлари. - Т.: «Ук,итувчи», 1971.

-3-б.

3. Мирзаах,медов М., Ра^им^ориев А. Математика 6-синф. Умумий урта таълим мактаблари 6-синфи учун дарслик. - Т.: «Ук,итувчи», 2011. -209-213-б.

4. Ортик,боев А. Геометрия - кддимий фанга замонавий назар. // «Физика, математика, информатика» журнали, 2004, 3-сон. -3-17-б.

5. Яглом И. Принцип относительности и геометрия Галилея. - Т.: «Наука», 1990. -47-55-б.