Квадрат тенгламалар мавзусини ўтишга доир методик тавсиялар Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Тураев X.'

физика-математика фанлари номзоди

КВАДРАТ ТЕНГЛАМАЛАР МАВЗУСИНИ УТИШГА ДОИР МЕТОДИК ТАВСИЯЛАР

ТУРАЕВ X,. КВАДРАТ ТЕНГЛАМАЛАР МАВЗУСИНИ УТИШГА ДОИР МЕТОДИК ТАВСИЯЛАР

Макола квадрат тенгламалар мавзусини утиш методикасига баFишланган булиб, унда квадрат тенгламалар мавзусини утишда асосий урFу бериш лозим булган жих,атлар курсатилган ва квадрат тенгламаларни ечиш учун зарур булган мух,им тавсиялар берилган.

Таянч суз ва тушунчалар: тенглама, илдиз, тезланиш, вакт, оFирлик кучи тезланиши, чала квадрат тенглама, квадрат тенглама, келтирилган квадрат тенглама.

ТУРАЕВ Х. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРЕПОДАВАНИЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Статья посвящена методике преподавания темы «Квадратные уравнения». При этом основное внимание уделяется практическим проблемам в решении квадратных уравнений. В статье приведены важные рекомендации по решению квадратных уравнений.

Ключевые слова и понятия: уравнение, корень, ускорение, время, ускорение силы тяжести, неполное квадратное уравнение, квадратное уравнение, приведённое квадратное уравнение.

TURAEV H. METHODIC RECOMMENDATIONS OF SQUARE EQUATIONS TEACHING

The article is devoted to the methodology of teaching square equation. There is payed attention to specific issues in teaching square equation. There are shown practical ways in solving of square equation and important recommendations are given.

Keywords: equation, root, acceleration of power of weight, incomplete square equation, square equation, powered square equation.

Республикамизда таълим-тарбияни ислоц цилишнинг асосий мацсадларидан бири комил инсонни вояга етказиш, таълим-тарбия мазмунини, миллий истицлол ыясини шакл-лантириб боришдир. Шунинг учун %ам, мустацилликнинг дастлабки йиллариданоц таълим-тарбияга катта эъти-бор берила бошланди. Янги педагогик технологиялар таъ-лим соцасига кириб келди. Натижада %ар бир фаннинг узига хос хусусиятларидан келиб чиццан цолда уцитиш жараёнига интерфаол усуллар цулланила бошланди. Мавзуларни баён цилиш методикаси такомиллашди.

Маълумки, квадрат тенгламалар тушунчаси милоддан 2000 йилча олдин Бобил олимла-ри томонидан ривожлантирилган. Улар мах-сус лой тахтачаларда квадрат тенгламаларни ечишни машк килишган. Уша даврларда хи-тойлик олимлар х,ам квадрат тенгламаларни еча билганлар.

Милоднинг III асрига келиб юнон матема-тиги Диофант х,ам квадрат тенгламалар маса-ласи билан шугулланиб, биринчи булиб ама-лиётга номаълумларни х,арфлар билан белги-лашни киритган.

Хиндистонлик математик олимлар квадрат тенгламаларни ечишнинг бобилликлар-

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5

га маълум булган усулларини тузатганлар ва умумлаштирганлар. Масалан, х,инд ма-тематиги Бхаскара (1141-1225) х2 - 45х = 250 квадрат тенгламанинг х1 = 50, х2 = -5 ечимлардан иборат иккита илдизини беради. х2 = -5 илдиз туFрисида "бу илдизни х,еч ким маъкулламайди" деб айтади.

IX асрга келиб эса буюк узбек математиги Ал-Хоразмий квадрат тенгламани ечиш усулларини тизимлаштирди.

Шуни таъкидлаш жоизки, х,озир биз ишла-ётган квадрат тенгламаларнинг умумий шакли урта аср математикларига маълум эмас эди. Яъни, улар:

х2 + рх = q, х2 = px+q, х2 + q = рх

тенгламаларни учта турли хил тенглама деб тушунганлар.

Ньютон узининг "Универсал арифметика" асарида квадрат тенгламаларнинг х,озирги даврдаги ечимларини берган.

Бизга маълумки, х,ар кандай тушунча уз-узидан келиб чикмайди. Квадрат тенгламалар тушунчаси х,ам худди шундай. Яъни х,аётий за-руриятлардан келиб чиккан. Шундай масала-лардан биттасини караб чикайлик.

Масала. Жисм 19,6 м баландликдан бош-ланFич тезликсиз тушиб келмокда. У канча вактдан сунг ерга тушади (х,авонинг каршилиги х,исобга олинмаган х,олда)?

Эркин тушаётган жисмнинг босиб утган йули

5 = gt2/2

формула билан х,исобланиши физикадан маълум. Бу ерда д - оFирлик кучи тезланиши, t -вакт. Масаланинг шартига асосан, 5 = 19,6 м, д = 9,8 м/сек2 булгани учун 19,6 = 4,9 ^

тенглик х,осил булади. Бундан t2 = 19,6/4,9 = 4, яъни t = 2 сек ечимга эга буламиз. Куриб ту-рибсизки, масала квадрат тенгламани ечишга келтирилди.

Шундан кейин куйидагича чала квадрат тенгламалар 3 турга ажратиб тушунтирилади:

1) ах2 + Ьх = 0;

2) ах2 + с = 0;

3) ах2 = 0.

Кетма-кетликни саклаган х,олда бу тенгламаларни ечиш усуллари курсатилади.

Юкорида келтирилган масаладаги квадрат тенглама 2-турга мансубдир.

Энди эса мавзунинг мантикий давоми си-фатида

ах2 + Ьх + с = 0 (1)

куринишидаги квадрат тенгламага таъ-риф бериш максадга мувофик булади. (1) ифодада а ± 0, Ь, с сонлар тенгламанинг коэффициентлари дейилади. Бу ерда а сони 2-даражали номаълум олдидаги коэффициент; Ь сони 1-даражали номаълум олдидаги коэффициент; с сони эса озод х,ад.

Бундан кейин эса (1) тенгламанинг барча х,адларини а сонга булиб, белгилашлар кири-тамиз:

х2 +Ь/ах + с/а = 0, х2 +рх + ц = 0 (2)

куринишдаги келтирилган квадрат тенглама деб аталмиш ифодага келамиз. Бу ерда р= Ь/а, ц = с/а.

Шундан кейин (1) тенгламанинг илдизлари формуласи

_-Ь±^Ь2-4ас х''2~ 2а

ва (2) тенгламанинг илдизлари формуласи

-р±Ар2-4д

л1.2 - 2

келтириб чикарилади. Шундан кейин квадрат тенгламаларни ечишга доир мисоллар ечи-либ, олинган билим мустах,камланади.

Энди квадрат тенгламаларни ечишга келти-риладиган битта масалани карайлик.

Эйлер масаласи. Иккита дех,кон аёл бо-зорга 100 дона тухум келтиришди, улардан бирининг тухуми иккинчисиникидан ортикрок эди, аммо тухумларни сотиш натижасида ик-каласига бир хил микдорда пул тушди. Улардан бири иккинчисига "Сендаги тухумлар менда булганда 15 крейцерга сотардим", деди. Иккинчиси эса "Сендаги тухумлар мен-

да булганда 6| крейцерга сотар эдим", деди. Хар бир аёлда нечтадан тухум булган?

Ечиш. Биринчи аёлда х дона тухум булган, деб фараз килайлик, у х,олда иккинчи аёлда 100 - х дона тухум булади. Агар биринчи аёлда иккинчисида канча тухум булса, шун-

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5

ча, яъни 100 - х дона тухум булганда эди, у уларни 15 крейцерга сотарди; демак, би-ринчиси х,ар бир тухумни 15/(100-х) крей-

цердан сотган, иккинчи аёл х,ар бир тухум-2

ни 63/х = 20/3х крейцердан сотган. Шундай

килиб, биринчи аёл узининг х дона тухумини х-15/(100 - х) крейцерга; иккинчи аёл эса (100 - х)-20/3х крейцерга сотган.

Масаланинг шартига асосан аёлларда бир хил микдорда пул булган, шунинг учун 15х/(100 - х) = 20(100 - х)/3х. Бу тенгламанинг х,ар иккала томонини 5 со-нига кискартириб,

3х/(100 - х) = 4(100 - х)/3х тенгламага келамиз. Бундан:

9х2 = 4(100 - х) 2; 3х = ±2(100 - х); х1 = 40, х2 = -200.

Буерда х2 = -200 ечим яроксиз, чунки нар-салар манфий сонларда саналмайди.

Демак, биринчи аёлда 40 дона, иккинчиси-да эса 100 - х = 60, яъни 60 дона тухум булган.

Шундай килиб, квадрат тенгламалар мавзусини утишда куйидаги методик тавсияларни инобатга олиш максадга мувофик булади:

1) мавзунинг кириш кисмида квадрат тенгламалар х,акида кискача тарихий маълумот бериш;

2) мавзуни квадрат тенгламага келтирила-диган амалий масалаларни ечишдан бошлаш;

3) мавзуни хусусий х,ол булган чала квадрат тенгламаларни ечиш билан давом этти-риш;

4) келтирилмаган ва келтирилган квадрат тенгламалар ечимларининг тула тах,лилини бериш;

5) квадрат тенгламаларни ечишга кел-тириладиган мураккаб масалаларни ечиш х,амда бундай масалаларни ечишга нисбатан куникма ва малака х,осил килиш.

Адабиётлар:

1. Бородин А.И., Бугай А.С. Выдающиеся математики. - Киев, "Радянська школа", 1987.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М., "Наука", 1986.

3. Худойбергенов А. Математика. - Т.: "Укитувчи", 1973.

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 5