Алгебраик тенгламаларнинг ечимини топиш муаммоларини ўрганиш орқали ўқувчиларда умуммаданий компетенцияни шакллантириш Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАКТАБ ТАЪЛИМИ / ШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Миргафурова С.,

Термиз шах,ар 7-сонли умумий урта таълим мактаби укитувчиси

АЛГЕБРАИК ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ ЕЧИМИНИ ТОПИШ МУАММОЛАРИНИ УРГАНИШ ОРКАЛИ УКУВЧИЛАРДА УМУММАДАНИЙ КОМПЕТЕНЦИЯНИ ШАКЛЛАНТИРИШ

МИРГАФУРОВА С. АЛГЕБРАИК ТЕНГЛАМАЛАРНИНГ ЕЧИМИНИ ТОПИШ МУАММОЛАРИНИ УРГАНИШ ОРЦАЛИ УЦУВЧИЛАРДА УМУММАДАНИЙ КОМПЕТЕНЦИЯНИ ШАКЛЛАНТИРИШ

Ушбу маколада юртдошимиз Ал-Хоразмий, александриялик математик Диофант, итальян ма-тематиги Жероламо Кардано, француз математиклари Франсуа Виет, Эварист Галуа, норвегия-лик математик Нильс Хенрик Абель каби буюк математикларнинг ишлари х,акида суз юритила-ди. Бу улуF математикларнинг ишлари унли санок системасини киритишга, сонларни ракамлар билан белгилашга, х,арфий ифодалар тузишга, биринчи, иккинчи ва учинчи даражали тенглама-ларни ечишдаги муаммоларни х,ал килишга баFишланган.

Таянч суз ва тушунчалар: тенглама, ечим, унли санок системаси, Ал-Хоразмий, Галуа.

МИРГАФУРОВА С. ФОРМИРОВАНИЕ У УЧАЩИХСЯ ОБЩЕКУЛЬТУРНОЙ КОМПЕТЕНЦИИ ПУТЕМ ИЗУЧЕНИЯ ПРОБЛЕМЫ ПОИСКА РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В настоящей работе приводится обзор работ Аль-Хорезми, александрийского математика Диофанта, итальянского математика Джероламо Кардано, французских математиков Франсуа Виета, Эвереста Галуа, норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Труды этих великих ученых посвящены введению в математику десятичной системы исчисления знаков для обозначения этих чисел. Они дали правила решений уравнений первой, второй и третъей степеней с произвольным коэффициентом.

Ключевые слова и выражения: уравнение, решение, десятичная система исчислений, Аль-Хорезми, Галуа.

MIRGAFUROVA S. DEVELOPMENT OF PUPILS' GENERAL CULTURAL COMPETITION BY STUDYING THE PROBLEM OF THE SEARCH FOR SOLUTIONS OF ALGEBRAIC EQUATIONS

In the article is presented an overview of the work of our fellow al-Kharazmi, the Alexandrian mathematician Diophantus, Italian mathematician Girolamo Cardano, French mathematicians Francois Vieta, Everest Galois, Norwegian mathematician Niels Henrik Abel. The works of these great scholars devoted to an introduction to mathematics decimal radix signs for these numbers. They gave rules of the first, second and third degree equations solutions with an arbitrary coefficient.

Keywords: еquation, solution, decimal, al-Khwarizmi, Galois.

Президентимиз И.А. Каримов узларининг «Урта асрлар Шарц алломалари ва мутафаккирларининг тарихий мероси, унинг замонавий цивилизация ривожидаги роли ва ацамияти» мавзусидаги халцаро конференциянинг очилиш маросимида-ги нутцларида: «Мен ёшларимизга мурожаат цилар эканман, уларга доимо: «Биз буюк аждодларимиз билан фахрлани-шимиз, *урурланишимиз керак», деб айтаман. Айни вацтда «Фацат гурурланишнинг узи етарли эмас, келинглар, узимиз цам, худди улар каби, мана шу бебацо меросга уз циссамизни цушайлик!» деб такрорлайман»1, деган эдилар.

Ушбу маколада ёшларимизда умуммада-ний компетенцияни шакллантириш максадида улуг ватандошимиз Ал-Хоразмий колдирган илмий мерос асосида дунё олимларидан бири Э. Галуагача булган даврда алгебраик тенгла-маларнинг ечимини топиш масалалари баён килинган.

2013 йилда алгебра фанининг асосчиси Абу Абдуллох Мухаммад ибн Мусо ал-Хоразмий таваллуд топганига 1030 йил тулди. Алгебра элементлари Ал-Хоразмийгача хам булган. Арифметик ва элементар алгебраик масала-лар кадимги Бобилда махсус жадваллар ёр-дамида ечилган. Евклид (милоддан аввалги III аср) квадрат тенгламаларни геометрик усул-да ечган. Кадим замондан VIII асргача булган даврдаги хамда Ал-Хоразмий пайтидаги алгебраик тенгламаларни ечиш усуллари шу билан фаркланадики, у даврларда алгебраик тенгламаларни ечишда ягона усул ва назария булмаган.

Инсоният тафаккур кила бошлагандан бери турли хаётий эхтиёжлар асосидаги тенгламаларни (меросни таксимлаш, туFри туртбурчак юзини томонлари ва ярим периметри асосида топиш ва х.к.) тузишга ва уларни ечишга кизиккан. Кадимги мисрликлар тенгламаларни ечишда кулайлик учун номаълумларни махсус сузлар билан аташган, чунки у вактда математик символлар («+» плюс, «-» минус, «=» тенг ишоралари) булмаган ва улар тенгламаларни ёза олишмаган. Тенгламаларни махсус символ-

лар билан ифодалашни биринчи булиб алек-сандриялик математик Диофант (милоднинг III асрида) бошлаган. У узининг «Арифметика» китобида кадимги мисрликлар, бобилликлар, греклар эришган ютуклардан фойдаланган.

Диофант замонида фан тили кадимги юнон тили булган, лекин у даврда греклар хозирги ракамларни билишмаган ва сонларни юнон алфавитидаги х,арфлар билан белгилаш-ган. Сонларни ифодаловчи х,арфлар усти-га чизикча куйишган. Юнон алфавитининг биринчи х,арфидан туккизинчи харфигача келган харфлар устига чизикча куйиб, бир-дан туккизгача булган ракамни белгилашган. Унинчи харфдан ун саккизинчи харфгача келган харфлар устига чизикча куйиб, мос равиш-да 10, 20, 30, ..., 90 сонларини белгилашган. Ун туккизинчи харфдан йигирма еттинчи харфгача келган харфлар устига чизикча куйиб, мос ра-вишда 100, 200, 300, ..., 900 сонларини белгилашган2:

С£(алъфа) 1,

1 Каримов И.А. Буюк аждодларимиз мероси - бутун инсониятнинг маънавий бойлиги. / Узбекистон Респуб-ликаси Президенти Ислом Каримовнинг «Урта асрлар Шарк алломалари ва мутафаккирларининг тарихий мероси, унинг замонавий цивилизация ривожидаги роли ва ахамияти» мавзусидаги халкаро конференциянинг очилиш маросимидаги нутки. // «Маърифат» газетаси, 2014 йил 17 май.

ß (Вета), У (гамма), 8 (дельта), ...

2, 3, 4 5

I (йота), X (каппа), -Я (ламбда), № (мю), V (ню), ...

10, 20, 30, 40 50

Р (ро), CT (сигма), Т (тау), ...

100, 200, 300,

У вактда юнон алфавитида 28 та харф булган ва охирги С, (сигма якунловчи харфи) хеч бир товушни ифодаламаган ва у доимо суз охири-да ёзилган. Мана шу харфни Диофант номаъ-лумнинг биринчи даражаси деб кабул килган, номаълумнинг иккинчи даражасини А"9 билан белгилаган. Айириш белгисини муайян

2 Пичурин А.Ф. За страницами учебника алгебры. - М.:

«Просвещение», 1990. -С. 224.

МАКТАБ ТАЪЛИМИ / ШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

куринишда, тенглик белгиси эса гсг (юнонча «то^» - тенглик сузининг биринчи иккита харфи) билан белгилаган. Масалан:

Зх2 — 13х = 13 тенгликни Диофант

А"9/ л КУ Мгу куринишда ёзган.

Диофант коэффициентни номаълумнинг унг кисмига ёзган, озод хад олдига М белгисини куйган, яъни ун уч бирлик деб ёзган.

Диофант тенгламаларни ечишнинг куйидаги иккита асосий усулини кашф этди: номаълум-ларни бир томонга утказиш ва ухшаш хадларни ихчамлаш.

Диофант Fоялари тез орада таркалди ва та-комиллаштирилди.

VH-VШ асрларда араблар шимолий Аф-рикани, Осиёнинг Эрон, Сурия, Ирок давлат-ларини, Урта Осиё, Шимолий АфFонистон, Шимолий Кавказни босиб олдилар ва у ерда ягона давлат барпо этдилар. 762 йилда хозирги Ирокнинг БоFдод шахри ушбу давлатнинг пойтахти килиб тайинланди. Араблар узлари босиб олган махаллий халкларнинг мадания-ти, илми, хунари, турмуш тарзи уларникидан юкори эканлигини куриб, махаллий халкнинг энг илмли, зиёли кишиларини БоFдодга олиб кетдилар. У ерда «Байт ул-хикма», яъни «До-нишмандлар уйи»га асос олдилар. У ердаги олимларнинг асосий бажарадиган иши бошка тилларда ёзилган китобларни араб тилига тар-жима килишдан иборат эди. Бу ерга келган зиёлилар таржима ишлари билан шуFулланиш билан бирга узлари хам мустакил асарлар яратишган. Шулардан бири Абу Абдуллох Мухаммад ибн Мусо ал-Хоразмий эди (Мусо уFли Абу Абдуллох Мухаммад Хоразмликдир деган маънони англатади; Ал-Хоразмий исм эмас, балки тахаллусдир).

Ал-Хоразмий астрономия ва география буйича бир катор асарлар ёзган. Шулардан энг асосийси - «Ал-жабр вал мукобала». Бу китоб Европада математиканинг ривожлани-шига жуда катта таъсир курсатган. Кейинчалик китоб номининг бир кисми - ал-жабр сузи математиканинг асосий йуналишлардан бири -алгебранинг номига айланди.

Ушбу тенгламани ечайлик:

Зх — А = 6 — 2х. -А ни карама-карши ишора билан тенг-ликнинг унг томонига, —2х ни эса карама-карши ишора билан тенгликнинг чап томонига утказамиз:

Зх + 2х = 6 + 4, яъни -4 чап томонда эди, уни у ердан олиб, унг томонда тикладик (ал-жабр), —2х унг томонда эди, уни у ердан олиб, чап томонда тикладик (ал-жабр).

Энди охирги тенгликларнинг унг ва чап то-монларидаги ухшаш хадларни ихчамлаймиз, яъни, мос равишда, Зх + 2х га рупара килиб (вал мукобала) 5л: ни, 6 + 4 га рупара килиб (вал мукобала) 10 ни ёзамиз: 5х = 10

ва булишни бажариб, х — 2 ечимни топамиз.

«Ал-жабр вал мукобала» китобида ман-фий сонлардан фойдаланилмаган ва бу китоб ракамлардан ташкари, факат сузларда ёзилган, китобда харфлар ва математик символлар иш-латилмаган. Шундай килиб, харфларсиз, факат сузларда ва хотирада бажариладиган алгебра яратилган. Бундай алгебра кейинчалик «рито-рик» алгебра деб юритилди («риторик» юнон-чада «нутк сузлаш» маъносини англатади).

Квадрат тенгламани геометрик усулда Евклид (милоддан аввалги III аср) ечган ва бу усул бобилликлар усулидан осон эмас эди.

Квадрат тенгламани ечишнинг энг кулай усулини Ал-Хоразмий кашф этган ва асосий 6 турдаги тенгламаларни ечишнинг риторик усулини берган1.

1. Квадратлар илдизларга тенг:

ах2=Ъх, (1)

мисол учун, 2х2 = 5х.

2. Квадратлар сонга тенг:

ах2 = с, (2)

мисол учун, Зх2 =12.

3. Илдизлар сонга тенг:

Ъх = с, (3)

мисол учун, Зх2 =27.

4. Квадратлар ва илдизлар сонга тенг:

ах2 +Ьх = с, (4)

мисол учун, Зх2 +4х = 1.

1 Файзуллаев А.Ф. Научное творчество Мухаммада ал-Хоразми. - Т.: «Фан», 1983. -С. 31.

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 8

5. «Квадратлар ва сон илдизларга тенг»

ах +с = Ьх, (5)

мисол учун 4х2 + 2 = 6х.

6. Илдизлар ва сон квадратларга тенг:

Ьх + с = ах2, (6)

мисол учун, 5х + 2-1х2.

Ал-Хоразмий (1)-(6) тенгламаларни ечиш-нинг алгоритмини риторик усулда баён килган ва у хозирги кунда

ах2 + Ъх + с - О тенгликнинг ечимини берувчи

-Ъ ± \1Ь2 - Аас

- (8)

(7)

Х\,2

2 а

формула билан бир хилдир.

Риторик усулда тенглама куйидагича баён килинган: квадрат ва 10 та илдиз 39 дирхамга тенг (дирхам кадимги юнон тангаларининг номи булиб, дастлаб афиналик аскарнинг кун-лик маоши микдорига тенг булган), яъни гап х2+10х = 39 куринишидаги тенглама хакида бормокда.

Бу тенгламанинг ечимини Ал-Хоразмий куйидагича баён килади: «Илдизлар сонини 2 га ажрат, 5 хосил булади, уни узига тенг сон-га купайтир, 25 хосил булади. Уттиз туккизни унга куш 64 булади. Ундан илдиз чикар, 8 булади ва ундан илдизлар сонининг ярмини айир, 3 булади. Шу 3 сони квадрат тенглама илдизи булади». Хакикатан хам, З2+3-10 = 39.

Тенгламанинг иккинчи илдизи - 13 хакида Ал-Хоразмий хеч нарса демаган.

Шундай килиб, ах + Ь = 0 ва ах2+Ьх + с = 0 тенгламаларни хеч кандай формулаларсиз, маълум бир кадамлар кетма-кетлигини куллаб хаёлда ечиш мумкин булган.

Хозирги кунда сонларни ифодалашда биз фойдаланиб келаётган 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ракамлари Хиндистондан кириб келган ва у ерда 0 раками булмаган. «Нол бу хеч нарса, - деб ёзади Ал-Хоразмий, - хеч нарса бушлик эмас». Ал-Хоразмий 0 нинг заруриятини айи-риш амали оркали куйидагича асослайди: «агар айиришда хеч нарса колмаса разряд буш колмаслиги учун доирача куй, агар хеч нарса урнига 0 куймасанг, у ер буш колади ва разрядлар камаяди ва навбатдаги иккинчи разряд биринчи разряд булиб колади ва сен хисобда адашасан» дейди. Демак, нол бир томондан разряд. 0 белгиси биринчи марта

Ал-Хоразмий томонидан киритилган. Кадимги Грецияда, Хиндистонда, Кампучияда хеч нарса маълум бир белги билан белгиланган, маса-лан, нукта билан.

Ал-Хоразмий томонидан 0 белгисининг киритилиши катта сонларни ёзиш имконини берди ва Х-Х1 асрларда араблардан Европага утди хамда математиканинг ривожланишида асосий уринни эгаллади.

Шундай килиб, хозирги кунда куллани-ладиган унлик позицион системасининг асос-чиси Ал-Хоразмий хисобланади. Бу хакда мухтарам Президентимиз узларининг «Юксак маънавият - енгилмас куч» асарларида куйидаги фикрларини билдирганлар: «... Мухаммад Мусо Хоразмийнинг унлик санок системасини, алгоритм ва алгебра тушунчаларини дунёда биринчи булиб илм-фан сохасига жорий этга-ни ва шу асосда аник фанлар ривожи учун уз вактида мустахкам асос яратгани умуминсоний тараккиёт ривожида кандай катта ахамиятга эга булганини барчамиз яхши биламиз»1.

Шуни хам эслатиб утамизки, натурал сонларни ёзишда унта араб ракамлари билан бир каторда, бундан деярли 2500 йил олдин топил-ган рум (Рим) ракамларидан хам фойдалани-лади:

I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, С - 100, D - 500, М - 1000.

Колган натурал сонлар шу ракамлар оркали ёзилади.

Мисол учун, рум ракамлари билан ёзилган XXXVIII ифодаси 38 сонини ифодалайди, чунки 10+10+10+5 +1 + 1+1=38.

Агар киймат жихатидан кичик булган ракам каттасидан олдинда турса, унинг киймати кат-тасининг кийматидан айрилади. Масалан:

IV = 4 (5-1=4); IX = 9 (10-1 = 9);

XL = 40 (50-10=40); XC = 90 (100-10=90).

Бу коидаларга асослансак, MCMLVII ифодаси 1957 сонини ифодалайди, чунки 1000+(1000-100) + 50+5 + 1 + 1 = 1957.

Хозирги кунда рум ракамларидан асосан китобларнинг булим ва бобларини, йил ойла-рини тартиблашда фойдаланилади.

5000 йил аввал Кадимги мисрликлар бирни I, унни П, юзни «9 белгилари билан тасвирлаш-

1 Каримов И. А. Юксак маънавият - енгилмас куч. - Т.: «Маънавият», 2008. -С. 41.

МАКТАБ ТАЪЛИМИ / ШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ган. Масалан, 234 сонини 33 ППП I I I I тарзи-да ёзишган1.

1048-1123 йилларда яшаб утган Умар Хайём учинчи тартибли тенгламаларни геометрик харфий символикаларсиз берган. У мураккаб, шу билан бирга жуда чиройли геометрик ясаш-лар ёрдамида учинчи тартибли тенгламаларни ечиш мумкин эканлигини курсатган. Бу усуллар амалиётда жуда катта нокулайликларга олиб келди. Вакт утиши билан туртинчи, бешинчи ва юкори алгебраик тенгламаларни ечиш за-рурияти туFилди. Бу ерда энди хакикий алгебраик йулдан бориш керак эди.

XVI асрга келиб, номаълумлар х оркали ва алгебраик тенгламалар формулалар ёрдамида ёзила бошланди:

х2 + рх + # = 0 квадрат тенглама илдизлари

2~Н

V

У

я

Ал-Хоразмий формуласи ёрдамида ёзилди.

х3 + рх + # = 0 кубик тенглама илдизлари

х = }

-и

2 V

V2

V

\ ->;

+ }

2

V'

1 Хайдаров Б.К. Математика. Умумий урта таълим мак-

табларининг 5-синф учун дарслик. - Т. «Янгийул поли-

граф сервис», 2011. -240-6.

кашф этган. Виетни «алгебранинг отаси» деб аташади.

Одатда, фанда бир нарса изланади, лекин бошка нарса топилади. Агар Виетгача булган олимлар тенглама илдизларини уларнинг ко-эффициенлари оркали ифодаловчи форму-лаларни излашган булишса, Виет тескари ма-салани, яъни тенглама коэффициентларини унинг илдизлари оркали ифодаловчи форму-лани излаган ва топган, яъни: х2 + рх + д = О

(9)

квадрат тенглама илдизлари х1 ва х1 учун - С[,

кубик х3 +рх2 +дх + г = 0 тенглама илдизлари хь х2, хъ учун

х1+х2+х3= -р

* I * хз I %2 * ^

Х-^ * * ^

туртинчи даражали тенглама

х4 + рх3 + #х2 + гх + 5 = О

илдизлари X), х2, х3, х4 учун х1 + х2 + х3 +х^=-р,

" Х^ Х^ * * " Х3 *

Х^ ' %2 * "I- «Х^ * Х^ ' Х^ * Х^ ' Х^ "I" Х> * * Х^ V у

(10)

(11)

итальян математиги Кардано (1501-1576) формуласи ёрдамида ёзилади.

Математикларни доимо алгебраик тенгламаларни ечиш масаласи кизиктирган ва улар ечимларни тенглама коэффициентлари оркали ифодаловчи формулаларни излашган. Туртинчи тартибли тенгламалар учун ечим-ларни тенглама коэффициентлари оркали ифодаловчи формулаларни биринчи булиб итальян математиги Ферраро топган. Бешинчи ва ундан юкори тартибли тенгламалар ечими-ни топиш жуда куп математикларнинг орзуси булган.

Француз математиги Франсуа Виет (15401603) биринчи булиб тенглама коэффициентларини харфлар билан белгилашни амалиётга киритган ва математиканинг ривожланишига улкан хисса кушган. Бу билан у тенглама ечим-ларини формулалар билан ифолаш усулини

Х-^ " Л^2 ' Х^ ' X^ »У •

(9), (10), (11) формулаларга Виет формула-лари дейилади.

Шундай килиб, агар келтирилган тенгламалар илдизлари бутун булса, улар озод хаднинг булувчиларидан иборат булади.

Энди умумий алгебраик тенгламага утайлик:

апх" + ап_1хп+1 +... + а2х2 + с^х + а0 = 0 (12)

бу ерда аг1 = 0,п - тенглама коэффициентлари булиб, улар бутун ёки каср сонлар булиши мумкин.

Ушбу саволни куяйлик. Ихтиёрий алгебраик тенглама илдизлари учун шундай формула то-пингки, у тенглама коэффициентлари устида чекли сондаги алгебраик амаллар (кушиш, айи-риш, купайтириш, булиш, даражага кутариш, илдиз чикариш)ни бажариш оркали ифода-ланган булсин.

Бу масалани ечишга куплаб ишлар баFиш-ланган ва у хеч кандай натижа бермаган. Норвегиялик математик Нильс Хенрик Абель

ЗАМОНАВИЙ ТАЪЛИМ / СОВРЕМЕННОЕ ОБРАЗОВАНИЕ 2014, 8

(1802-1829) тескари масалани куяди. У бешин-чи ва ундан юкори даражадаги умумий алгеб-раик тенглама илдизларини берувчи формула йуклигини исботлайди.

Лекин х5-а тенглама илдизи учун х = %[а формула бор-ку. Демак, шундай савол туFилади: кандай шартларда 5 ва ундан юкори тартибли тенглама илдизларини берувчи фор-мулаларни топиш мумкин? Бу саволга француз математиги Эварист Галуа (1811-1832) жа-воб берган ва узининг 60 бетлик иши билан хозирги замонавий алгебра фанига асос сол-ган. Абель ва Галуа назариясида гап алгебраик тенглама ечимини тенглама коэффициентлари оркали ифодаловчи формула хакида боради, демак, ечим хакидаги тушунчани биз чегара-лаб куйганмиз.

Ушбу тенгламани урганайлик: х2-4Х-3 = 0.

Бу тенглама ечими ушбу куринишда булади:

х12=2±>/7.

Тенглама ечими радикалларда хосил килинади, лекин унинг унли касрларда чекли киймати йук. Шунинг учун биз ечимни унли касрларда маълум бир аниклик билан топа-миз.

Хозирги замон математикасининг такрибий хисоблаш усуллари ёрдамида алгебраик тенгламалар ихтиёрий аникликда электрон хисоблаш машиналарида ечилмокда.

Ал-Хоразмий, Умар Хайём, Ал-Коши (кубик тенгламалар назарияси) алгебра фанига салмокли хисса кушдилар. Математикага сим-

воликанинг киритилиши катта вокеа булди, Ал-Хоразмий барча амалларни сузда бажарган, XV асрдан бошлаб эса математикага «+», «-» ишо-ралари, харфлар, даража белгиси, илдизлар ва х.к. кириб келди. Виет маълум ва номаълум сонларни харфлар билан белгилашни киритди. Тарталья ва Кардано кубик тенгламани ечиш формуласини топдилар. XVII асрда манфий сонлардан фойдалана бошланди. Алгебраик масалалар геометрик тилга кучирилди. Де-картнинг аналитик геометрияси пайдо булди. Нъютон ва Лейбниц чексиз кичик микдорлар анализига асос солдилар. XVIII асрда алгебра-га мавхум ва иррационал сонлар киритилади. п-тартибли тенгламалар ва купхадлар алгеб-раси пайдо булди.

Хозирги замон алгебрасининг йуналишлари куйидагилардан иборат: купхадлар алгебраси, чизикли алгебра, олий алгебра, майдонлар назарияси, группалар назарияси, инвариант-лар назарияси, алгебраик сонлар назарияси, алгебраик геометрия, мантик алгебраси, то-пологик алгебра, ярим тартибланган алгебра, Жордан алгебраси.

Алгебра фундаментал математик фан си-фатида катта амалий ахамиятга эга. Унинг хисоблаш математикаси, кибернетика, бошкарув назариясидаги ахамияти жуда кат-тадир.

Алгебранинг ривожланишида Узбекистон математикларидан Т.А.Саримсоков, С.Х.Сиро-жиддинов, И.П.Романовский, Т.А.Азларов, А.Ф.Лаврик, М.И.Исроилов, Ш.А.Аюпов ва И.Аллаковларнинг хизматлари хам жуда катта булган.

Адабиётлар:

1. Каримов И.А. Юксак маънавият - енгилмас куч. - Т.: «Маънавият», 2008. -151-б.

2. Пичурин А.Ф. За страницами учебника алгебры. - М.: «Просвещение», 1990. -С. 224.

3. Файзуллаев А.Ф. Научное творчество Мухаммада ал-Хоразми. - Т.: «Фан», 1983. -С. 31.

4. Хайдаров Б.К. Математика. Умумий урта таълим мактабларининг 5-синф учун

дарслик. - Т.: «Янгийул полиграф сервис», 2011. -240-б.