CC BY
16
ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА ОДНОЙ 3Х3-ОПЕРАТОРНОИ МАТРИЦЫ
С ДИСКРЕТНЫМ ПАРАМЕТРОМ 1 2 Бахронов Б.И. , Холмуродов Б.Б. Email: [email protected]
1Бахронов Бекзод Ислом угли - преподаватель; 2Холмуродов Бехзод Ботир угли - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье исследуется спектр одной 3х3-операторной матрицы
A с дискретным параметром. Эта операторная матрица действует в прямой сумме
ноль-частичного, одночастичного и двухчастичного подпространств фермионного пространства Фока и является линейным, ограниченным и самосопряженным оператором.
Введены две вспомогательные 3х3-операторные матрицы A^), S = i и спектр операторной матрицы A2 изучен с помощью существенных и дискретных спектров операторных матриц A, S = i. Установлено, что часть дискретного спектра
оператора AS) может лежать в существенном спектре оператора A s ).
Ключевые слова: операторная матрица, фермионное пространство Фока, существенный и дискретный спектры.
INVESTIGATION OF THE SPECTRUM OF A 3X3 OPERATOR MATRIX
WITH DISCRETE VARIABLE 12 Bahronov B.I. , Kholmurodov B^.
1Bahronov Bekzod Islom ugli - Teacher; 2Kholmurodov Behzod Botir ugli - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in this paper the spectrum of 3х3 operator matrix A2 with discrete variable is
investigated. This operator matrix is acting in the direct sum of zero-particle, one-particle and two-particle subspaces of the fermionic Fock space and it is a linear, bounded and self-adjoint
operator. Two auxiliary 3х3 operator matrices As), s = i are introduced and the spectrum of A is studied via the essential and discrete spectrum of the operator matrices As ), s = i. It is established that the part of the discrete spectrum of As) might be located in the essential spectrum of A s ).
Keywords: operator matrix, fermionic Fock space, essential and discrete spectrum.
УДК 517.984
Пусть С — одномерное комплексное пространство, L2[—n;n] - гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций, определенных на [—п;п] и ¿2s([—'-гильбертово пространство антисимметричных функций двух переменных, определенных на [—л; л]2. Обычно эти пространства называются ноль-частичными, одночастичными и двухчастичными подпространствами стандартного фермионного пространства Фока над
31
Ь2 [—7г ; 7г] . Следует отметить, что спектральные свойства решетчатых моделей изучены многими авторами, см., например [1-28]. Пусть
= С®ь2[-л;л];
^2)(Ь2 [—777] ) = СФЬ2 [—77] фЬ2х ( [—я;я] 2 ) .
В гильбертовом пространстве С2 (8))(Ь 2 [—7 ;7] ) рассмотрим блочно-операторную матрицу
(Аоо А01 0 \
•^01 А12 I
О ¿412 А22'
с матричными элементами
Ло/0(х) = ^01А(Х) = а [
"'-7Г
(Лц/^Кх) = (*£ + и(х))/1(5)(х), (Л12/2(5))(х) = а [%(0/2("х)(х,
¿—71
(А2 /2(Х))(х,у) = (5£ + и(х) + и(у))/2(х)(х,у), где {/0(х) ,Д(5),/2(х);5 = ± } 6 С2®/а(2 ) (Ь 2 [—7 ;7] ) . Здесь А^ -оператор, сопряженный к Ау, I < у, а норма элемента
Г = {/о(Х).Л(Х)./2(Х)^ = ±} 6 С2^а(2)(12[-7;7]) задается выражением
1№ = У(|/о(х)Г+ Г|Л(8)(с)Гл+ Г Г|/2(х)(х,у)|2^у
^ \ -'—л: -'—я: -'—л:
В этом статье мы сведем изучение спектра оператора к изучению спектра более простого оператора , , используя оператор перестановки, и затем опишем спектр оператора через спектр оператора , .
В гильбертовом пространстве С28 /¿^(Ь 2 [—7 ;7] ) рассмотрим 2x2— операторную матрицу вида
^__/А0 0 А 0 А
\А01 А11/
С целью изучения спектральных свойств оператора , рассмотрим, также
ограниченные самосопряженные операторы А 5 = ± , действующие в С2®/^1^ 2 [—7 ;7] )
и , соответственно как блочно-операторные матрицы вида
М \
._ I 00 01 \
М
01 11 /
и
01 М 11
с элементами 00
/0 = 5е/о, о 1 А = « Л^17 (0/1 (0 ^ ^ ;
( ГхЛКх) = (-5£ + и(х))/1(х), ( 12/2)(х) = а\ г;(0/2(дг,0Л;
¿—71
( 22/2)(х,у) = (5£ + гг(х) + гг(у))/2(х,у), где .
При этом
( oi/o) (х) = av(x)f0,
( i 2 /1) (х.у) = а (v(у) A (x)-v(х) Л (у) ) , (/0./1)^ (i2 [- л;тг]) . Операторы o 1 и 1 2 называются операторами уничтожения, а А 0 1 и АI 2-операторами рождения. Оператор уничтожения снижает количество частиц в данном состоянии на единицу, а оператор рождения увеличивает число частиц в данном состоянии на единицу и является сопряженным к оператору уничтожения. Такие операторы имеют широкое применение в квантовой механике, в частности при изучении квантовых гармонических осцилляторов в систем многих частиц.
Заметим, что введенное выше определение операторов А т = 1 . 2 позволяет получить более точную информацию о существенной и точечной спектрах А т, т = 1 . 2 . Далее, через и обозначим спектр, существенный спектр и точечный спектр
ограниченного самосопряженного оператора соответственно.
(s)
Установим связь между спектрами операторов А т и А т , s = + . Теорема 1. Пусть т = 1 . 2 . Имеет место равенство
а(Ат) = а{А^) U
Более того,
°essC<4m) = ^essC^mO ^ о?GO = ар{А^) U .
Замечание. Пусть т = 1 . 2 . Так как часть дискретного спектра <rd is с (А ^ ) оператора А ^
( (—s) \ (—s)
может лежать в существенной спектре оператора , имеют место
соотношения
adisc(Am) с adisc(A^) U ааи.с(А^), (1)
is с (А т) = { ^ is с (А £ ) ) U C7d is с (А ) ) } \ С7е ss (А „J ■ (2)
Точнее,
^discC-Am) = U^dise(-^гл) \ aess{Am 0} s=±
(s)
Очевидно, что при и оператор имеет более простую структуру, чем
Ат, и поэтому теорема 1 и соотношения (1), (2) играют важную роль при дальнейших исследованиях спектра оператора .
Список литературы /References
1. Бахронов Б.И. О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование. 72:8 (2020). C. 13-16.
2. Бахронов Б.И. Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением // Вестник науки и образования. 94:16-2 (2020). C. 9-13.
3. Bahronov B.I., Rasulov T.H. Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation // European science, 2020.
4. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 9:6 (2019). С. 15-17.
5. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish Journal of Mathematics. 23:2 (2000). Grp. 257-264.
6. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теорет. матем. физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
7. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
8. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods Func. Anal. Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
9. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016). С. 156-174.
10.Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1 (2014). С. 37-41.
11. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
12. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:3 (2014). С. 327.
13.Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теорет. матем. физика. 103:1 (1995). С. 54.
14. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
15. MuminovM.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. Math. Analysis. 17:1 (2014). С. 1-22.
16. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
17. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). С. 619-625.
18. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009), С. 164-175.
19. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сиб. Мат. журнал, 52:2 (2011). С. 400-415.
20. Muminov M.I., Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol., 17:1 (2011). С. 47-57.
21. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3 (2010), С. 395-412.
22. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51:2 (2020). С. 7-10.
23. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2 (2020). Часть II. С. 19-22.
24. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). С. 273-281.
25. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Матем заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
26. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра // Функц. анализ и его прил., 37:1 (2003). С. 81-84.
27. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics // J. Stat. Phys., 127:2 (2007). С. 191-220.
28. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles // Methods Func. Anal. Topology, 13:1 (2007). С. 1-16.
