CC BY
11
О ВЕТВЯХ СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА ОДНОЙ 3Х3-
ОПЕРАТОРНОЙ МАТРИЦЫ 1 2 Тошева Н.А. , Шарипов И.А. Email: [email protected]
1Тошева Наргиза Ахмедовна - преподаватель; 2Шарипов Илхом Азизбой угли - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в трехчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства рассматривается трехдиагональная 3х3-операторная матрица A. Эта матрица является линейным, ограниченным и самосопряженным оператором. Введена вспомогательная 2х2-
операторная матрица Aj и изучен ее спектр. Местоположение существенного спектра оператора A описано через спектр операторной матрицы Aj. Выделены двухчастичные
и трехчастичные ветви существенного спектра оператора A и определено число отрезков этих ветвей существенного спектра.
Ключевые слова: операторная матрица, обрезанная подпространства, пространство Фока, существенный спектр.
ON THE BRANCHES OF THE ESSENTIAL SPECTRUM OF A 3X3
OPERATOR MATRIX
12 Tosheva NA. , Sharipov IA.
1Tosheva Nargiza Ahmedovna - Teacher; 2Sharipov Ilkhom Azizboy ugli - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in the three-particle cut subspace of the Fock space we consider tridiagonal 3x3 operator matrix A . This matrix is linear, bounded and self-adjoint operator. Auxiliary 2x2 operator matrix Aj is introduced and its spectrum is investigated. The location of the essential spectrum of the
operator A is described via the spectrum of the spectrum of a operator matrix Aj. Two-particle
and three-particle branches of the essential spectrum of the operator A are singled out and the number of segments of the branches of essential spectrum are defined. Keywords: operator matrix, cut subspace, Fock space, essential spectrum.
УДК 517.984
Пусть Hn ' = C - одномерное комплексное пространство, H • = L I I— n'n\
0 n 2 V
n e N — гильбертово пространство квадратично-интегрируемых функций, определенных на [— n;n]n. Обозначим через F(L2 [— n;n]) стандартное пространство Фока над L2[—n;n]'
F(L2[— n; n]) •= C 0 L2 [— n; n] 0 L2( [— n; n]2)®...
или
f (l2 [-п;п])=h0 e h1 e h2 e...
Гильбертово пространство H := h0 e h1 e H2 называется обрезанном трехчастичном подпространством пространство Фока.
В настоящей работе в гильбертовом пространстве H рассматривается трехдиагональная
3 х 3 блочно-операторная матрица вида
д)о д)1 0 А = A)i Аи Д2
V 0 А12 А22 J c матричными элементами А- : Hj ^ H i, i, j = 0,1,2:
п
A00f0 =£fо, А1/1 = jsln t ■ f1 (t )dt
-п
п
(А/ Xx) = £ +1 - cos x)f (x), (А^ )(x) = j sin t ■ /2 (x, t)dt,
-п
(А22/2 XX; У) = £ + 2 - COS X - COS У)f2(x, У\
где / e H¡, i = 0,1,2; £ e Л Здесь А* - оператор, сопряженный с А},i < j, а норма элемента / = (f0, /1, /2 )e H задается выражением
п п п
1/1Г =1 /0|2 + jfx(х)Гdx + j j/2(x,y)|2dxdy.
-п -п-п
При этом
(А01/ )¡x) = sin x ■ fо, f0 g H0;
(а1'2/1 )(x, у) = sin У ■ f1(x), f1 g h1.
В данном случае операторная матрица а является линейным, ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве H.
Рассмотрим также оператор а1 действующий в гильбертовом пространстве h0 ф hx и определенный как 2 х 2 блочно-операторная матрица
д _ А00 А01 А1:= А* А .
Очевидно, что в силу известной теоремы Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга следует, что для существенного спектр (Tess (А:) имеет место равенство
(А) = [0;2]
Определим регулярную в C \ [0;2] функцию
w ч п sin2 tdt
Д(z) = £- z - j---.
J £ + 1 - COS t - Z
-п
Функция д(-) называется детерминантом Фредгольма, ассоциированным с оператором
Следующая лемма устанавливает связь между собственными значениями оператора a1 и нулями функции д(-)
Лемма 1. Число z G C \ [0;2] является собственным значением оператора A1 тогда и только тогда, когда Д(z) = 0 . Из леммы 1 вытекает, что
(«*(Ai) = {z G C \ ^(Ai): Д(z) = 0}.
Из определения функции д(-) видно, что это функция монотонно убывает на (—. Поэтому функция д(-) имеет не более одного нуля в интервале (—го;0) (соответственно (2;+го)). В силу леммы 1 эти нули является собственными значениями оператора a1.
Напомним, что для q1, q2 ^ R имеет место равенство Q1 + Q2 = {a1 + a2 : at g Qi, i = 1,2}.
Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора a.
Теорема 1. Существенный спектр (Tess (a) оператора a совпадает с множеством
Е : = [*;* + 4Ы[0;2]+(„ (Л)},
т. е. справедливо равенство j (a) = е Более того, множество е представляет собой объединение не более чем три отрезков.
Введем подмножества существенного спектра оператора a.
Определение. Множества [0;2] + Jdisc(A1) и + 4] называются двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора a соответственно.
Так как оператор a1 имеет не более двух простых собственных значений, по определению множество [0;2] + Jdisc( A1) есть объединение не более чем двух отрезков.
Причём, одно из отрезков расположено левее точки 0, а вторая правее чем 2. Этот факт играет важную роль при исследовании структуры существенного спектра, при исследовании расположении двухчастичной и трехчастичной ветви существенного спектра оператора a . При доказательстве теореме 1 включение е ^ (7ess (A) устанавливается с помощью
критерия Вейля. a обратное включение, т.е. (Jess(A) ^ е осуществляется с
использованием аналитической теоремы Фредгольма.
Существенный и дискретный спектры трехчастичных модельных операторов на решетке и операторных матриц изучены во многих работах, см., например [1-26].
Список литературы /References
1. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Comm Math Anal. 11:1 (2020). С. 17-37.
2. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5 (2019). С. 511-519.
3. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
4. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
5. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
6. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
7. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1 (2014). С. 3741.
8. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
9. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). С. 327-342.
10. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
11. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016). С. 156-174.
12. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
13. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1 (2014). С. 1-22.
14. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
15. MuminovM.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). С. 619-625.
16. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.
17. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал, 52:2 (2011). С. 400-415.
18. Muminov M.I., Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol., 17:1 (2011). С. 47-57.
19. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3 (2010). С. 395-412.
20. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператор // Теоретическая и математическая физика, 164:1 (2010). С. 62-77.
21. Rasulov T.H., Muminov M., Hasanov M. On the spectrum of a model operator in Fock space // Methods Funct. Anal. Topology. 15:4 (2009). С. 369-383.
22. Расулов Т.Х. О структуре существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Математические заметки. 83:1 (2008). С. 78-86.
23.Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics // Journal of Statistical Physics, 127:2 (2007). С. 191-220.
24. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles // Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1 (2007). С. 1-16.
25. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51:2 (2020). С. 7-10.
26. Tosheva N.A., Rasulov T.H. Main property of regularizedFredholm determinant corresponding to a family of 3x3 operator matrices // European science. 51 (2020). № 2 (Part II). С. 11-14.
