CC BY
10
УРАВНЕНИЯ ВАИНБЕРГА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ СЕМЕЙСТВА 3Х3-ОПЕРАТОРНЫХ МАТРИЦ Тошева Н.А. Email: Tosheva1172@scientifictext.ru
Тошева Наргиза Ахмедовна - преподаватель, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье рассматривается семейство 3х3-операторных матриц А(К), соответствующее системе с несохраняющимся ограниченным числом частиц на «обрезанном трехчастичном» подпространстве Фоковского пространства. Оно является линейным, ограниченным и самосопряженным оператором. Описано местоположение существенного спектра оператора А(К), т.е. выделены двухчастичные и трехчастичные ветви существенного спектра. Построен аналог уравнения Вайнберга для собственных вектор-функций семейства операторных матриц А(К).
Ключевые слова: операторная матрица, пространство Фока, оператор рождения и уничтожения, существенный спектр, уравнения Вайнберга.
WEINBERG EQUATION FOR THE VECTOR-FUNCTIONS OF A FAMILY OF 3X3 OPERATOR MATRICES Tosheva NA.
Tosheva Nargiza Ahmedovna - Teacher, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in the present paper a family of 3x3 operator matrices А(К) corresponding to a system of non-conserved number of particles on the "three-particle cut subspace" of a Fock space is considered. It is a linear, bounded and self-adjoint operator. The location of the essential spectrum of the operator А(К) is described, that is, the two-particle and three-particle branches of the essential spectrum are singled out. An analogue of the Weinberg equation for the vector-functions of a family of operator matrices А(К) is constructed.
Keywords: operator matrix, Fock space, annihilation and creation operators, essential spectrum, Weinberg equation.
УДК 517.984
Пусть Td := (—ж; ж] - d - мерный тор, H0 : = C - одномерное комплексное
пространство, H1: = L2(Td) - гильбертова пространство квадратично-интегрируемых
(комплексно-значных) функций, определенных на Td, а H2 := Щ™ ((Td)2)- гильбертова пространство квадратично-интегрируемых (комплексно-значных) симметричных функций, определенных на (Td)2 и H := H0 Ф H1 Ф H2. Пространство H называется трехчастичное обрезанное подпространство пространство Фока. Рассмотрим семейство 3 х 3 -операторных матриц
(Aoo(K) Ao1 0 ^
A(K) :=
00 V"/ ^01 A01 A11(K) A12 A12 A22(K)
V 12 22
с матричными элементами
: H ^ H
A00(K)f0 =®„(*)fo, Aoifi = Jv(t) fi(t)dt,
rpd
(All(K)fl)(p) = ((K;p)f1(p), (A^Xp) = Jv(t)f2(p,t)dt,
rpd
(A22(K)f2)(p,q) = ((K;p,qf(p,q), f е Ht, i = 0,1,2.
Здесь (0() ; v (•) ; ((•;•) и (2 (•;•,•) вещественно-значные непрерывные функции на Td ;(Td)2 и (T ) , соответственно. Причем, при каждом фиксированном K е T функция (2(K;•,•) есть симметричная функция, т.е. (2(K;p,q) = (2(K;q,p) для любых p, q е Td . В этих предположениях блочно-операторная матрица A(K) является ограниченной и самосопряженной в H .
В математической физике операторов A01, A12 называют операторами уничтожения, а j * . *
операторы A01, A12 называются операторами рождения.
Обозначим через <(•), (Tess (•) и <Jdisc (•), соответствено, спектр, существенный спектр и
дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Спектральные свойства операторных матриц в подпространствах пространства Фока изучены многими авторами, см. например [1-23].
При каждом фиксированном K, p eTd определим регулярную в области C \[eK (p); Ek (p)] функцию
кгъг ч ,-цг ч 1 Г V 2(t) dt
A(K; p, z): = (i(K; p) - z--I w -,
2 Td (2(K; p, t) - z
где числа eK (p) и EK (p) определяются по равенствам
eK (p) : = mill (2 (K; p, q), Ek (p) : = max (2 (K; p, q).
qeTd qeTd
Пусть Л K - множество тех точек z е C, для которых равенство A (K; p, z) = 0 имеет место хотя бы для одной p е Td и
mK : = min (2 (K; p, q), MK : = max (2 (K; p, q).
p,qeTd p,qeTd
Следующая теорема описывает местоположение существенного спектра оператора
A(K).
Теорема 1. Существенный спектр <Jess (A(K)) оператора A(K) совпадает с множеством £K : = ЛK ^[mK;MK ], т.е. имеет место равенство uess (A(K)) = ZK
Теперь введем новые подмножества существенного спектра оператора A(K) множества Л K и [mK;MK ] называются двухчастичными и трехчастичными ветвями существенного спектра оператора A(K) , соответственно.
Пусть оператор W(K; z) при каждом K е Td z е C \<ess (A(K)) действует в пространстве H как 3 х 3 -операторная матрица, и ее матричные элементы Wij (K; z) : Hj ^ Hi, i, j = 0,1,2, при z е C \ <ress (A(K)) определяются равенствами
(Ж00(К; = (®о(К) - 7 +1)/; (Wоl(z)/l)о = | "(0/1(0^;
7) У 0), = -т"У •
А(К; р, 7)
(*,(*;7)У1), = ■ Г "®т л;
V П1 , ллл 2 А(К;р,7) .) ^(К;р;0-7 '
(^к;2)/0),(р;Ч)=г2( * )+2( (;(р)) ) Л(:-(д)) /
^ 2(®2 (К; р; д) - 7) А(К; р; г) 2(®2 (К; р; д) - г) А(К; р; г) ^
(Г21(К;^р;д) = -4( ,■ Т-| / л-
4(®2 (К; р; д) - 7) А(К; р, ^(К; р, t) - 7
"( р) "(д) Г )№)
■Г ^^ Л
1 г, л (Т<Г- Г. Л - т
4(®2(К; р; д) - 7) А(К; р; ^(К; р; t) - г Жа1(К;7) = 0; « = 0,1,2.
Теорема 2. Если / е А (К) - собственная вектор-функция, соответствующая собственному значению 7 операторной матрицы А (К), то / удовлетворяет уравнению Вайнберга Ж(7)/ = / .
Доказательство. Пуст 7 е С \ (А(К)) - собственное значение операторной матрицы А(К) и / = (/,/2) е^ - соответствующая собственная вектор-функция. Тогда /0, / и /2 удовлетворяют системе уравнений
К(К) - 7) /0 + | "(/Л = 0
/Л
у(р)/0 + (®1 (К, р) - г)/ (р) +1 ^ )/2 (р, Г = 0 (1)
/Л
2 ("(р)/ (д)+"(д)/ (р)) + (® 2 (К; р, д) - 7)/2 (р, д) = 0
Так как 7 £ [тК,МК ], то из третьего уравнения системы (1) имеем
/г(р, д) = - *р)- /1)р). (2)
2К(К; p, д) - 7)
Подставляя это выражение во второе уравнение системы (1), учитывая, что 7 е С \ (А(К)) получим
/0 = К( К) - 7 +1)/0 + |"()/(/ :
/Л
/1(р) = 1 "(р) Г "('Ш') Л - "(р)у0 . (3)
2 А(К;р,7) /,^(К;р,0- 7 А(К;р,г)
Подставляя вместо / ее выражение (3) в формулу (2), получим
f2(p;q) = -1 v2(p)___f v(t)f'(t) dt +1 v2(p)___f0__
4 (2(K;p,q) -z A(K;p;z) TJ®2(K;p,t) - z 2 ®2(K;p,q) -z A(K;p;z)
v(p) v(q) 1 r v(t)ft(f) ch +1 v(p) v(q) f,
®2(K; p; q) - z A(K; p; z) TJ (2(K; p; t) - z 2 (2(K; p; q) - z A(K; p; z) Таким образом получим компактное уравнение Вайнберга W(K; z)f = f. Теорема 2
доказана.
Список литературы /References
1. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis, 11:1, 2020. Р . 17-37.
2. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5, 2019. Р . 511-519.
3. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика, 186:2, 2016. C. 293-310.
4. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1, 2016. Pp. 48-61.
5. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2, 2016. Pp. 156-174.
6. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1, 2014. Pp. 1-22.
7. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56, 2015. 053507.
8. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал, 54:4, 2015. C. 878-895.
9. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2, 2014. P . 60.
10. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5, 2014. Pp. 619-625.
11. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.
12. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал, 52:2, 2011. С. 400-415.
13. Muminov M.I, Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol., 17:1, 2011. Pp. 47-57.
14. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3, 2010. Pp. 395-412.
15. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператор // Теоретическая и математическая физика, 164:1, 2010. С. 62-77.
16. Rasulov T.H., Muminov M., Hasanov M. On the spectrum of a model operator in Fock space // Methods Funct. Anal. Topology. 15:4, 2009,P. 369-383.
17. Расулов Т.Х. О структуре существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Математические заметки. 83:1, 2008. С. 78-86.
18. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. 12, 2008. С. 59-69.
19. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics // Journal of Statistical Physics, 127:2, 2007. Pp. 191-220.
20. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles // Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, 2007. Pp. 1-16.
