CC BY
12
явный вид резольвенты обобщенной модели
ФРИДРИХСА 1 2 Тошева Н.А. , Исмоилова Д.Э. Email: [email protected]
1Тошева Наргиза Ахмедовна - преподаватель; 2Исмоилова Дилдора Эркиновна - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: данная статья посвящается исследованию резольвенты обобщенной модели Фридрихса h . По определению эта модель соответствует системе, состоящей из не более чем двух частиц на решетке, определенной с помощью операторов рождения и уничтожения. Следует отметить, что обобщенная модель Фридрихса h действует в
обрезанном двухчастичном подпространстве фоковского пространства как 2 X 2 -операторная матрица и является линейным, ограниченным, самосопряженным
оператором. Найден явный вид резольвенты обобщенной модели Фридрихса h .
Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, пространство Фока, оператор рождения, оператор уничтожения, спектр, резольвента.
AN EXACT FORM OF THE RESOLVENT OF A GENERALIZED
FRIEDRICHS MODEL
12 Tosheva NA. , Ismoilova D.E.
1Tosheva Nargiza Akhmedovna - Teacher; 2Ismoilova Dildora Erkinovna - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: the present paper is devoted to the investigation of the resolvent of the generalized Friedrichs model h . By the definition this model is corresponding to a system, consisting of no more than two particles, interacting via creation and annihilation operators. Note that the generalized Friedrichs model h is acting on the two-particle cut subspace of Fock space as
2 X 2 -operator matrix and linear, bounded, self-adjoint operator. The exact form of the resolvent of the generalized Friedrichs model h is found.
Keywords: generalized Friedrichs model, Fock space, creation operator, annihilation operator, spectrum, resolvent.
УДК 517.984
Пусть T := (^Ж\Ж] -d - мерный тор, HQ : = C- одномерное комплексное
пространство, Hj : = -^(T ) - гильбертова пространство квадратично-интегрируемых
id
(вообще говоря комплекснозначных) функций, определенных на Г и Н := Н0 0 Н1.
Пространство Н называется двухчастичным обрезнном подпространством пространство Фока.
В пространстве H рассмотрим обобщенную модель Фридрихса вида
?00 мКх
к =
j> 0
mki к
ными элемен
fo = a• fo, h/ = Jv(t)f1(t)dt, (hnfl)(p) = u(p)fx(p).
»01 "11 J с матричными элементами
"OOJO " J0> "Ob
Здесь / G Hf, i = 0,1; a - фиксированное вещественное число, j > 0 - параметр
взаимодействия, V (•) и u() - вещественно-значные непрерывные функции на T . Из определения непосредственно вытекает, что при таких предположениях рассматриваемая обобщенная модель Фридрихса h является линейной, ограниченной и самосопряженной в
гильбертовом пространстве
H (используется инструменты функционального анализа). В силу известной теоремы Вейля об инвариантности существенного спектра при
возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора h , не зависят от параметра взаимодействия j> 0 и CJess (h ) = [m; M], где числа m и M
определяются следующим образом: m := min u(p), M := max u(p) . Определим
pGTd pGTd
регулярную в C \[m; M] функция
... 2 С V2(t)dt
Aj( z) := a - z— j J^—.
TdU(t) — z
Эта функция называется определителем Фредгольма, ассоциированный с оператором h„
. Имеем а( Ац) = [m, M] ^{z G C \[m, M]:A (Z) = 0}, см. [2]. Заметим, что
некоторые спектральные свойства, связанных с определителем Фредгольма изучены в работах [1-27] для решетчатых моделей.
Следующая теорема о явном виде резольвенты обобщенной модели Фридрихса является основным результатом настоящей работы.
Теорема. При каждом фиксированном z G C \ <т( Aj) оператор, действующий в гильбертовом пространстве
H
как операторная матрица
iR00(J z) R01(J z Г
Rj (z) =
V R10(J z) R11(J, z) J
является резольвентой оператора А . Здесь матричные элементы определяются
№
равенствами:
Хоо(М, 2 ) ёо
0
АД 2)
.2.., .А Г ^)
(кп(м2) ё1)(х) =
х)
Т*и(х) - 2
и (х) - 2 | &1(х) (и(х) - 2)А (2) и(х) - 2
М гК* ) )
Ко1(м, 2) ёо = л
Ам(2) Т2 ^) - 2
(К1о(М2 ) ёо)(х) = --
Мх)&
о
(и(х) - 2)Ам(2)
Доказательство. При каждом фиксированном 2 £ С \ А^) рассмотрим
уравнение Ац/- = ё. здесь Л =(/о, ё =(ёо, ё1) £Н. Для удобства, уравнение А^ / - 2= ё напишем в виде следующей системы уравнений
а/о + ^) Л)Л - 2/о = ёо
Т2 (1)
Мх) ./о + и( х) Л1(х) - 2/1(х) = ё1(х)
Для любых 2 £ С \ [т, М] и X £ Т(* верно и(X) - 2 Ф о . Из второго уравнения системы (1) для /у(х) находим
д х) = &(х) -Мх) Л (2)
и(х) - 2
Подставляя полученное выражение (2) для / (х) в первое уравнение системы (1),
имеем
а/о *-м2./о |-/о = ёо.
Т* и(х) - 2 Таи(1) - 2
Учитывая соотношение 2 £ С \ <т( А ), из последнего равенства для /|(х) имеем
/о = ^---^Г^Щ),3,
А,,(2) Ам(2) т'и(1)- 2
Далее, подставляя найденное выражение (3) для / в (2) имеем
мЧх) Г
/(х) = - МУ(х)ёо , т*и(х)- 2 , ё1(х) (4)
1 (и(х) - 2)Ам(2) (и(х) - 2)Ам(2) и(х) - 2 '
Сопоставляя полученные выражения для (3) и (4) для /0 и /1 через g0 и g1 приходим к равенству
( f л J 0 ( R00( z) Rm( z)л (s л 6 0
V f J V RK)( z ) Rn( z) V g1 J
Теорема доказана.
Таким образом, в данной статье описано строение резольвенты обобщенной модели
Фридрихса. Следует отметить, что доказательство существования волновых операторов и их
асимптотическая полнота модели светового излучения с неподвижным атомом и не более
чем тремя фотонами, опираются на детальный анализ резольвенты гамильтониана.
Список литературы /References
1. Исмоилова Д.Э. Метод формирования в преподавании темы Евклидовых пространств // Проблемы педагогики. 51:6 (2020). С. 89-91.
2. Исмоилова Д.Э. О свойствах определителя Фредгольма, ассоциированного с обобщенной моделью Фридрихса // Наука и образование сегодня. 60:1 (2020). С. 21-24.
3. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1 (2014). С. 37.
4. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
5. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). С. 327-342.
6. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
7. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой учёный. 61:7 (2014). С. 27-29.
8. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
9. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
10. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
11.Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
12. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы // Вестник Самарского государственного технического университета, Серия физ.-мат. науки, 35:2 (2014), С. 50-63.
13. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis, 11:1 (2020). С. 17-37.
14. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5 (2019). С. 511-519.
15. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). С. 273-281.
16. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). С. 616-622.
17. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
18. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теор. матем. физика, 161:3 (2009). Стр. 164-175.
19. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Математические заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
20. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра // Функциональный анализ и его приложения, 37:1 (2003). С. 81.
21. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика, 186:2 (2016). C. 293-310.
22. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
23. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал, 54:4 (2015). C. 878-895.
24. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал. 52:2 (2011). С. 400-415.
25. MuminovM.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). С. 619-625.
26. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.
27. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51:2 (2020). С. 7-10.
