CC BY
11НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЕРВОГО ДОПОЛНЕНИЯ ШУРА, СООТВЕТСТВУЮЩЕГО 4 х 4-ОПЕРАТОРНОЙ МАТРИЦЕ
Мустафоева З.Э.
Мустафоева Заринабону Эркин кизи - магистр, кафедра математики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье рассматривается линейная ограниченная самосопряженная 4 х 4 - операторная матрица, действующая в обрезанном четырехчастичном подпространстве фоковского пространства. Это подпространство представляется как прямая сумма двух гильбертовых пространств и построится первое дополнение Шура для соответствующего 2 х 2 -операторной матрицы. Устанавливается связь между собственными значениями 2 х 2 -операторной матрицы и первого дополнения Шура. Исследуются свойства, связанные с существенным спектром и резольвентным множеством первого дополнения Шура.
Ключевые слова: операторная матрица, дополнения Шура, спектр.
УДК 517.984
В рамках проблемы нескольких тел на непрерывном пространстве и на решетке решено большое число задач о собственных значениях для систем квазичастиц, число которых сохраняется. Однако имеются в определенном смысле более интересные задачи, возникающие в теории твердого тела, квантовой теории поля и статистической физике в которых число квазичастиц не сохраняется. Надо отметит, что изучение систем с несохраняющимся ограниченным числом квазичастиц сводится к изучению спектральных свойств самосопряженных операторов, действующих в П -частичном обрезанном подпространстве фоковского пространства. В настоящей заметке рассматривается некоторая 4 X 4 блочно-операторная матрица, соответствующая оператору энергии с несохраняющимся ограниченным числом частиц, действующая в четырехчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства. Спектральные свойства 2 X 2 и 3 X 3 -блочно операторных матриц такого рода и решетчатых трехчастичных модельных операторов были изучены во многих работах, см. например, [1 - 26]. Здесь мы исследуем некоторые свойства первого дополнения Шура соответствующей 4 X 4 -блочно операторной матрицей.
Пусть Н[, Н 2, Н3 и н : четыре гильбертовы пространства и н := н;е н 2 е н3 е н 4. Тогда известно, что всякий линейный ограниченный
оператор А, действующий в Н всегда представляется как 4 X 4 блочно-операторная матрица
А
А А11 А12 А13 А А14
А21 А22 А23 А24
А31 А32 А33 А34
^ А41 А42 А43 А 44 )
(1)
с линейными ограниченными операторами А.. : Н'. —> Н', /, ] = 1,2,3,4.
V ] 1
При этом блочно-операторная матрица А является самосопряженным тогда и только
тогда, когда А = А*, I < ], I, ] = 1,2,3,4 (Ан сопряженный оператор к Ан).
11 V ц
Теперь гильбертово пространство Н представим в виде прямой суммы двух гильбертовых пространств Нх := Н[ Ф Н^ и Н2 := Н3 Ф Н'л . Положим
Вп:={Л Л1, В12:= (Лз Л\ В21 := Л1, В^И33 Л
V А21 Л22) V Л23 Л24/ V А41 Л42) V Л43 Л44
Очевидно, что В у : Ну —> Н., у = 1,2. Тогда 4 X 4 -блочно-операторная
матрица Л действующий в Н относительно представление Н = Н1 0 Н2 записывается как 2 X 2 -блочно-операторная матрица следующего вида:
Л =
^В11 В12Л V В21 В22 )
(2)
Пусть С - множество комплексных чисел и Ь(Н) - пространство линейных
ограниченных операторов в гильбертовом пространстве Н . Операторы вида : С \ а(В22) — Ь(Н1), S1(A) := В11 -Я-В12(В22-I)4 В21, Яер(В22);
S2 : С \ сг(Вп) — Ь(Н2), ¿2(г) := В22 - Я - В21 (Вп - Я) 1 Ви, I е ДВП);
называются дополнениями Шура соответствующий блочно-операторной матрицы Л, определенный по формуле (2) и они играют важную роль в спектральном анализе этой матрицы. Видно, что дополнением Шура являются операторно-значные регулярные
функции, определенные вне спектров операторов В22 и Вц, соответственно.
Пусть Тй := (-Т; т] - й -мерный куб с соответствующим отождествлением
противоположных граней, ^((Т )п)- гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на (Тй )п, П = 1,2,3. Рассмотрим случай, когда Н[ = С и Н'п= Ь2((Т'1)), П = 1,2,3. Пространства Н[, Н'2, Н3 и Н4 называются нольчастичным, одночастичным, двухчастичным и трехчастичном подпространством стандартного фоковского пространства F(Ь<2(Тй )) по ^2 (Тй), соответственно, где
F(Ь2 (Тй )):= С Ф Ь2 (Тй) Ф Ь2 (Т )2) Ф Ь2 ((Та)3) Ф ....
Всюду в работе будем рассматривать блочно-операторную матрицу Л , определенную по формуле (1), со следующими матричными элементами
Л^1 = сЛ,АЛ = , Л13 = 0, Л14 = 0;
Л21 = ЛШ (ЛЛ^ = С^ШрХ (Л23f3 )(Р) = jЧ(tШP, t)dt, Л24 = 0
Л31 = 0, Л32 = Лз,(Лззfз)(p, Ф = сз(p, чХ/з^ q),(AъJ4)(p, Ф = ч №
Л41 = 0 Л42 = 0, Л43 = Л34 , (Л4/4 )(P, Ч к) = С4 (P, Ч кХЛ (P, Ч к) .
Здесь / е H'i, i = 1,2,3,4; С - фиксированное вещественное число; (•),i = 1,2,3; СУ3(у) и С4(•,•,•)- вещественно-непрерывные функции на
компактном множестве Td ; (Td )2 и (Td )3, соответственно. Надо отметить, что
A2: Hi^H2, (Aj^Xp) = Жр)/1, / еH1;
A23: H3, (4э/2)(р,q) = s2(q)f2(p), /2 е HJ;
A4 : H3 ^ H4, (Aj^Xp,q,k) = 4(k)f3(p,q), /3 е H3. Можно легко проверить, что при этих предположениях блочно-операторная матрица A
является ограниченным и самосопряженным оператором в H .
Основные свойства: а) Число А является собственным значением оператора A тогда и
только тогда, когда оператор Si(A) имеет собственное значение, равное нулю и их
кратности совпадают. б) А е o~ess (A) 0 е CJess (S1(A)). с) А е р( A)
0 ер(^(Л)).
Список литературы
1. Mustafoeva Z.E., Rasulov T.H. Investigation of the spectrum of a diagonalizable 4x4-operator matrix // European science. 51:2 (2020). Part II. Pp. 23-26.
2. Rasulov T.H., Mustafoeva Z.E. On the essential spectrum of a quadratic operator matrix of order 4 // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2020). С. 17-20.
3. Мустафоева З.Э. О методах нахождения нормы матриц // Проблемы педагогики. 51: 6 (2020). С. 89-92.
4. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1 (2014). P. 37.
5. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014), Pp. 57-61.
6. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3 (2014). Pp. 327-342.
7. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
8. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой учёный. 61 (7), 2014. С. 27-29.
9. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). Pp. 257-264.
10. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
11. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил. 32:1 (1998). С. 63-65.
12.Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
13. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки, 35:2 (2014). C. 50-63.
14. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis. 11:1 (2020). Pp. 17-37.
15. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 10:5 (2019). Pp. 511-519.
16. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology. 25:1 (2019). Pp. 273-281.
17. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 10:6 (2019). Pp. 616-622.
18. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology. 22:1 (2016). Pp. 48-61.
19. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. и матем. физика. 161:3 (2009). Стр. 164-175.
20. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Математические заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
21. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра // Функциональный анализ и его приложения. 37:1 (2003). С. 81.
22. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика, 186:2 (2016). C. 293-310.
23. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал. 54:4 (2015). C. 878-895.
24. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал. 52:2 (2011). С. 400-415.
25. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.
26. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51 (2), 2020. Pp. 7-10.
