CC BY
13О СВОЙСТВАХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ФРЕДГОЛЬМА, АССОЦИИРОВАННОГО С ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛЬЮ ФРИДРИХСА Исмоилова Д.Э.
Исмоилова Дилдора Эркиновна - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье рассматривается обобщенная модель Фридрихса И
соответствующая системе, состоящей из не более чем двух частиц на решетке, определенной с помощью операторов рождения и уничтожения. Эта модель действует в обрезанном двухчастичном подпространстве фоковского пространства как 2 х 2 -операторная матрица и является линейным, ограниченным, самосопряженным оператором. Построен определитель Фредгольма, нули которого являются собственными
значениями Ъ^ и изучены важные свойства, связанные со свойством монотонности определителя Фредгольма.
Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, определитель Фредгольма.
УДК 517.984
Пусть Та : = (—- d -мерный тор, Но : = С - одномерное комплексное пространство, Нх : = L2(Td) - гильбертова пространство квадратично-интегрируемых (вообще говоря комплекснозначных) функций, определенных на
Г и Н := Н0 0 Нх.
В гильбертовом пространстве Н рассмотрим обобщенную модель Фридрихса вида
К
hoo jhoi
mKi hi
'Ii у
с матричными элементами
V/o = a • U hoifi = jv(0 fi(t)dt, {hiifiXp) = u(p)fi{p),
Здесь / G Hf, i = 0,i; a - фиксированное вещественное число, jLl> 0 - параметр взаимодействия, V (•) и u(-) - вещественно-значные непрерывные функции на Td . В этих предположениях обобщенная модель Фридрихса h является ограниченной и самосопряженной в H .
Оператор hon называется оператором умножения, а оператор hm называется оператором рождения.
Пусть оператор ho, действует в H как
'о o л
ho :=
V o hii у
Оператор возмущения h — hQ, оператора h0, является самосопряженным оператором
ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора
h , не зависят от параметра взаимодействия JJ > 0 и совпадает с существенным спектром оператора ho . Легко можно показать, что
Gess(ho) = [m;M], adlsch) = {0},
где числа m и
M определяются следующим образом:
m := min u(p), M := max u(p).
pETd peTd
Заметим, что число 0 является простым собственным значением оператора ho и соответствующая вектор-функция имеет вид (b,0), b Ф 0 .
Из последних фактов следует, что существенный спектр оператора h не зависят от значений параметра взаимодействия J > 0 и CJess (h ) = [m; M]. Определим регулярную в
С \[m; M ]
функцию (определитель Фредгольма,
ассоциированный с оператором h )
АДz):= a — z — J j
v 2(t )dt
iu(t) — z
Установим связь между собственными значениями оператора h , и нулями функции
АД-).
Лемма 1. При каждом фиксированном JJ> 0 число Z Е С \ [m; M] является
собственным значением оператора h^ тогда и только тогда, когда А (Z^ ) = 0.
Лемма 1 доказывается с использованием инструментами функционального анализа. Очевидно, что
lim А (z) = +x, lim А (z) = —x.
z^—x J z^+x J
Одним из важных свойств определителя Фредгольма А (•) есть свойства монотонности.
Лемма 2. При каждом фиксированном J> 0 функция А (•) является строго монотонно убывающей на полуосях (—x; m) и
(M; + x).
Доказательство. Из определения функции А (•) видно, что
d А (z)— d
dz J dz
/
v
a — z — J¡j^M = —1 — J ¡^ V( (t d 2 < 0
v2(t )dt d (u(t) — z)2
при всех 2 Е (-х; т) ^ (М; + х). Это и означает, что функция А^ (•) является строго монотонно убывающей на полуосях (-х; т) и (М; + х) . Лемма 2 доказана.
Лемма 3. При каждом фиксированном Ц > 0 оператор h имеет единственное
и
собственное значение, лежащее на (-х; Zц ),z < m тогда и только тогда, когда Ац( Zц) < 0.
Доказательство. Пусть z G (-х; z ), z^ < m - собственное значение оператора h . Тогда в силу леммы 1 имеем А^ (z) = 0. Согласно лемме 2 при каждом фиксированном Ц> 0 функция А^ (•) строго монотонно убывающая на полуоси
(-х; т). Поэтому Ац () < Ац (z) = 0.
Обратно. Пусть для некоторого z < m выполняется неравенство А^ (z ) < 0 . Так как при каждом фиксированном Ц > 0 имеет место
lim Ац (z) = +х
и функция А (•) монотонно и непрерывно по z в полуоси (-х; z ) , то существует единственное число z^ G (-х; z ) такое, что А (z^) = 0. По лемме 1 число z^ -
является собственным значением оператора h . Лемма 3 доказана.
и
Аналогичная лемма верна для правой части точки z = M . Типичные результаты были получены в работах [1 - 26] для решетчатых моделей.
Список литературы
1. Исмоилова Д.Э. Метод формирования в преподавании темы Евклидовых пространств // Проблемы педагогики. № 6 (51), 2020. С. 89-91.
2. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1 (2014).Pp. 37.
3. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. 25 (2014). Pp. 57-61.
4. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3 (2014). Pp. 327-342.
5. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
6. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой учёный. 61 (7), 2014. С. 27-29.
7. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). Pp. 257-264.
8. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
9. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил. 32:1 (1998). С. 63-65.
10.Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
11. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. 35:2 (2014). C. 50-63.
12. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis. 11:1 (2020). Pp. 17-37.
13. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 10:5 (2019). Pp. 511-519.
14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). Pp. 273-281.
15. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 10:6 (2019). Pp. 616-622.
16. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology. 22:1 (2016). Pp. 48-61.
17. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теоретическая и математическая физика. 161:3 (2009). Стр. 164-175.
18. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Математические заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
19. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра // Функциональный анализ и его приложения. 37:1 (2003). С. 81.
20. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика. 186:2 (2016). C. 293-310.
21. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys. 56 (2015). 053507.
22. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал. 54:4 (2015). C. 878-895.
23. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал. 52:2 (2011). С. 400-415.
24. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 5:5 (2014). Pp. 619-625.
25. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.
26. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51 (2), 2020. Pp. 7-10.
