CC BY
8ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ФРЕДГОЛЬМА ДВУМЕРНОЙ ОБОБЩЕННОЙ МОДЕЛИ
ФРИДРИХСА Гадаев Р.Р.1, Джонизоков У.А.2, Ахадова К.С.3
'Гадаев Рустам Ражабович — старший преподаватель; 2Джонизоков Улугбек Абдуганиевич — преподаватель; 3Ахадова Комила Саид кизи — преподаватель, кафедра высший математики, факультет химической технологии, Джизакский политехнический институт, г. Джизак, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье рассматривается линейная, ограниченная и самосопряженная обобщенная модель Фридрихса, действующая в прямой сумме ноль-частичного и одночастичного подпространства фоковского пространства. Эта модель соответствует гамильтониану системы с несохраняющимся ограниченным числом частиц. Найден определитель Фредгольма, ассоциированный с рассматриваемой обобщенной моделью Фридрихса. Установлено, что нули определителя Фредгольма совпадают с собственными значениями обобщенной модели Фридрихса. Ключевые слова: обобщенная модель Фридрихса, пространства Фока, определитель Фредгольма, собственное значение, частица.
УДК 517.984
В задачах физики твердого тела, квантовой теории поля и статистической физики важную роль играет исследование спектров гамильтонианов систем с несохраняющимся неограниченным числом частиц.
Одним из основных методов применяемых при изучении этих задач является теория возмущения самосопряженных операторов. Поэтому необходимо подробное изучение спектров гамильтонианов с ограниченным числом квазичастиц, т.е. изучение спектров сужений операторов, действующих на одночастичном, двухчастичном и т.д. П - частичном подпространствах или же на " П - частичном обрезанном" подпространстве, состоящим из одночастичного, двухчастичного и т.д. П - частичного подпространств.
В настоящей работе рассматривается самосопряженная обобщенная модель Фридрихса действующая в двухчастичном обрезанном подпространстве фоковского пространства. Как известно, некоторые актуальные задачи, в частности, задачи квантовой механики, статистической механики и гидродинамики сводятся к исследованию спектра модели Фридрихса и обобщенной модели Фридрихса [1-25]. Следует отметить, что спектральные свойства обобщенных моделей Фридрихса играют важную роль при исследовании существенного и дискретного спектра соответствующих операторных матриц третьего порядка.
В работах [14, 15, 16, 20, 21] получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы либо
число Z = 0 являлось собственным значением обобщенной модели Фридрихса, либо эта модель имела резонанс с нулевой энергией (или виртуальный уровень).
Пусть С - одномерное комплексное пространство и ^ (О) -
гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на О = [—а,а]2, а > 0. Обозначим через н прямую сумму пространств
Н0 = С и н = Ь2(О), т.е. Н = Н0 ФН1. Гильбертово пространство Н называется двухчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.
Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса Л , действующую в гильбертовом пространстве
И
Н и задающийся как операторная матрица
( , Г.и л (1)
К =
Ко
Ло К
где операторы Ь ' Н ^ Н , I 1 = 01 определяются по формулам
ь^Л = &0, КЛ = |п Л1 , Л е Н>, 1 = 0,1;
(КЫ(*,у) = *УЛ, (НцЛХху) = (* + у)А(х,У), г, еhl, , = 0,1.
Здесь К и / ^ 0 - вещественные числа.
Используя элементами функционального анализа можно легко проверить, что оператор Н , определенный по формуле (1), и действующий в гильбертовом пространстве
н, является
ограниченным и самосопряженным.
Очевидно, что оператор возмущения Н — Но, / > 0 невозмущенного оператора Но ,
является диагональным самосопряженным оператором ранга 2. Следовательно, из известной теоремы Г.Вейля о стабильности существенного спектра при конечно мерных возмущениях вытекает, что
существенный спектр оператора Н/ , совпадает с существенным спектром оператора Но .
Известно, что
^ (Но) = [0; 2а2],
поэтому независимо от параметра взаимодействия /Л имеет место равенство
^(Н/) = [0; 2а2].
С целью изучения дискретного спектра, множество всех конечно кратных и изолированных собственных значений оператора Н , определим
2-
регулярную в С \[0; 2а'] следующую функцию (определитель Фредгольма,
ассоциированный с оператором Н ):
. . . с stdsdt
Дм( 2) = К — 2 — /
а S2 + t2 — 2
Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями оператора Н и нулями функции Д ^ (•) .
Теорема 1. При каждом фиксированном /I число
2 е С \ [0; 2а ] является собственным значением оператора Ни тогда и только тогда, когда Д (2) = 0 . В силу теоремы 1 для дискретного спектра оператора Н получим
^(Нм) = {2 е С \ [0; 2а2]: ДД2) = 0}.
Из определения функции Д (•) следует, что она монотонно убывает на промежутках (—&,0)
и (2а , . Этот факт означает, что функция Д (•) имеет не более одного нуля в этих промежутках.
Согласно теоремы 1 оператор Н может иметь по одному простыму собственнму значению в
промежутках (—&,0) и (2а , .
Следует отметить, что с помощью нулей определителя Фредгольма можно изучить местоположение и структуру существенного спектра соответствующих операторных матриц порядка 3. Кроме того, при строении уравнения Фаддеева и Вайнберга для собственных функций таких операторных матриц особую роль играет явный вид определителя Фредгольма. А при построение симметричного аналога этих уравнение основано на знако-определенность определителя Фредгольма левее и правее существенного спектра. При доказательстве конечности дискретного спектра
используется двусторонняя оценка для определителя Фредгольма в окрестности экстремальных точек. А асимптотики дискретного спектра получается с использованием асимптотическое разложение определителя Фредгольма.
Список литературы
1. Гадаев Р.Р., Джонизоков У.А. О семействе обобщенных моделей Фридрихса // Молодой учёный, 2016. № 13 (117). С. 5-7.
2. Гадаев Р.Р. О собственных значениях одномерной обобщенной модели Фридрихса // Молодой учёный. 159:25 (2017). С. 3-4.
3. Куланов И.Б. Основные свойства квадратичного числового образа // Молодой учёный. № 13 (2016). С. 41-44.
4. Куланов И.Б. Формула для числового образа одной операторной матрицы // Молодой учёный. № 25 (2017). С. 8-10.
5. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
6. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
7. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
8. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl., 25 (2014). Pp. 57-61.
9. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1 (2014). Pp. 37-41.
10. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). Pp. 327-342.
11. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С.168-184.
12. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Number and Location of the Eigenvalues of a 2x2 Operator matrix // Молодой учёный. № 7 (2014). С. 7-9.
13. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой учёный. 61:7 (2014). С. 27-29.
14. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis. 11:1 (2020). Pp. 17-37.
15. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019) Pp. 273-281.
16. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). Pp. 616-622.
17. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5 (2019). Pp. 511-519.
18. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). Pp. 48-61.
19. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016), pp. 156-174.
20. MuminovM.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3 (2015). Pp. 369-393.
21. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1 (2014). Pp. 1-22.
22. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
23. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). Pp. 619-625.
24. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.
25. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science, 51:2 (2020). Part II. Pp. 7-10.
