CC BY
8
ДИСКРЕТНЫЕ И ПОРОГОВЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МОДЕЛИ ФРИДРИХСА С ДВУМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ Бахронов Б.И. Email: [email protected]
Бахронов Бекзод Ислом угли - преподаватель, кафедра математика, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье рассматривается ограниченная самосопряженная модель Фридрихса Н с двумерным возмущением в гильбертовом пространстве. Эта модель соответствует гамильтониановой системе двух квантовых решетчатых частиц. Описан существенный спектр и изучены число, кратность, а также местонахождение дискретных собственных значений модели Фридрихса Н. Исследованы условия существования таких дискретных собственных значений и пороговых собственных значений модели Фридрихса Н относительно параметра взаимодействия.
Ключевые слова: модель Фридрихса, возмущения, квантовая частица, параметр взаимодействия, кратность, пороговое собственное значение.
DISCRETE AND THRESHOLD EIGENVALUES OF A FRIEDRICHS MODEL WITH RANK TWO PERTURBATION Bahronov B.I.
Bahronov Bekzod Islom ugli - Teacher, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in the present paper in the Hilbert space a bounded self-adjoint Friedrichs model Н with rank two perturbation is considered. This model corresponding to the Hamiltonian of the system of two quantum lattice particles. The essential spectrum is described and number, multiplicity, and also location of the eigenvalues of the Friedrichs model Н are studied. An existence conditions of these discrete eigenvalues and the threshold eigenvalues of the Friedrichs model Н are investigated with respect to the coupling constant. Keywords: Friedrichs model, perturbation, quantum particle, coupling constant, multiplicity, threshold eigenvalue.
УДК 517.958
Для d e N обозначим через Td := (—7, 7]d — d -мерный тор, а через
L2(Td) - гильбертово пространство квадратично- интегрируемых (комплексно-
значных) функций, определенных на T . Рассмотрим модель Фридрихса H, действующую в гильбертовом пространстве L2(Td ) по формуле
H := H0 — V + V2, (1)
где операторы Ho и V, С = 1,2 определяются по формулам: (Hof)(p) = u(p)f(p), (Vaf)(p) = ^ava(p)\Tdva(t)f(t)dt, « = 1,2. Здесь j > 0, a = 1,2-параметр взаимодействия, u(-) и v (•), a = 1,2-вещественнозначные, непрерывные функции на Td .
Пользуясь элементами функционального анализа, легко можно проверить, что оператор H, определенный по формуле (1) и действующий в гильбертовом
пространстве L2 (Td ), является ограниченным и самосопряженным оператором.
Надо отметить, что оператор возмущения — V + V оператора HQ является
самосопряженным оператором ранга 2. Поэтому из известной теоремы Г. Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что
существенный спектр CTess (H) оператора H совпадает с существенным спектром оператора Hn . Известно, что
a(H 0) ess (Ho) = E E2],
где числа Ej и E2 определяются по равенствам
E1 := min u(p), E2 := max u(p).
peTd peTd
Из последних двух фактов следует, что (Н) = [Е^; Е2 ] .
Пусть С - комплексная плоскость. При каждом [Ла, а = 1,2 определим
регулярную в С \ [Е1; Е2 ] функцию
А(^1,/Л2,z) := А1(^1, ^^ z) + №(Аз(г))2 (определитель Фредгольма, ассоциированный с оператором Н ), где
А((ра,г):= 1 + (-1)«^„Г, ^, а = 1,2, Аз(г):=Г, ^^^.
Тогда простые рассуждение показывают, что
(Н) = е С \[Е:;Е2]: А(М, г) = 0}.
Рассмотрим также ограниченный и самосопряженный оператор На , X = 1,2, действующий в гильбертовом пространстве Е2(Т^ ) по формулам Н1 := Н0 — V и Н2 := Н0 + V2. В этом случае верно
(На) = {г е С\ЕЕ2]: Аа(ца,г) = 0}, Пусть SUpp{v(•)} - носитель функции у(-) и теБ(О) - мера Лебега
множества ^ С Та .
Следующий результат о числе собственных значений оператора
Н , а также
устанавливает связь между собственными значениями оператора Н и более простых операторов Н
Теорема 1. А) Оператор Н может иметь не более чем по одному простому собственному значению, лежащих левее Е1 и правее Е2 .
Б) Если mes(supp{v1(•)} п supp{v2(•)}) = 0,
то число
г е С \ [Е1; Е2 ] является собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда число г является собственным значением хотя бы одного из операторов
Н1 и Н 2 .
Положим
1,,(*У-=1 , »- *^
я п(г) - 2
В случае | Iа (Еа) |< +ГО, а = 1,2 положим = (/1(Е1))-1,
=-(12 (Е2 ))-1 •
В следующей теореме приведены условия существования собственных значений оператора Н , а также определены их местоположения.
Теорема 2. Допустим, что mes(supp{v1(•)} П supp{v2(•)}) = 0 .
А) Если 11 (Е1) = и 12 (Е2) = , то при всех значениях параметры / > ° и /12 > ° оператор Н имеет по одному простому собственному значению, лежащих левее Е1 и правее Е2 .
Б) Пусть 11(Е1) < +ГО и | 12(Е2) |< +ГО.
Б1) При ° < /1а — /Л°,а = 1,2 оператор Н не имеет собственных значений,
лежащих вне своего существенного спектра.
Б2) Если ° < / — и / > , то оператор Н имеет единственное собственное значение е вне существенного спектра. Причем е < Е^.
Б3) Если /Л > /Л° и ° < /2 — /Л, то оператор Н имеет единственное собственное значение е вне существенного спектра. Причем е > Е2 .
Б4) При /1а > /Л°, а = 1,2 оператор Н имеет по одному простому собственному значению, лежащих левее Е1 и правее Е2 .
Предположим, что й = 3 , функция и(-) является аналитической на Т и имеет
единственный невырожденный минимум (максимум) в точке Р1 Е Тй ( Р2 Е Тй ), а для а Е {1,2} функция V (•) является аналитической в некоторой окрестности точки р Е Тй .
а
Теорема 3. Пусть mes(supp{v1(•)} П supp{v2(•)}) =0 и а Е {1,2} . Число 2 = Еа является собственным значением оператора Н тогда и только тогда,
когда /а = /° и а Ра) = °.
Теоремы 1-3 играют важную роль при изучении местоположение и структуру двухчастичных и трехчастичных ветвей существенного спектра и при доказательстве конечности числа собственных значений модельного оператора трех частиц на решетке (см., например, [1 - 14]), а также матричных операторов, одно из диагональных элементов которого является модельный оператор трех частиц на решетке (см., например, [15 - 23]).
Список литературы /References
1. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. 26:2, 2012. C. 24-32.
2. Расулов Т.Х. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 166:1, 2011. С. 95-109.
3. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12, 2015. С. 168-184.
4. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. № 1, 2014. С. 61-70.
5. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2, 2020. Часть II. С. 19-22.
6. Расулов Т.Х., Рахмонов А.А. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 23:2, 2011. С. 170-180.
7. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, 2020. С. 8-13.
8. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 163:1, 2010. С. 34-44.
9. Умарова У.У.Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3, 2018. С. 14-15.
10. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1, 2014. С. 37-41.
11. Muminov M.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 6:2, 2015. С. 280-293.
12. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl. 25, 2014. С. 57-61.
13. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contem. Analysis and Appl. Mathematics. 2:2, 2014. С. 179-198.
14. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3, 2014. С. 327-342.
15. Muminov M.I, Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol. 17:1, 2011. С. 47-57.
16. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2, 2014. С. 60-77.
17. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.
18. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. 12, 2008. С. 59-69.
19. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1, 2014. С. 1-22.
20. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3, 2015. С. 369-393.
21. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology. 22:1, 2016. С. 48-61.
22. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM. 5:2 (2016. С. 156-174.
23. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператора // Теоретическая и математическая физика. 164:1, 2010. С. 62-77.
