CC BY
6
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
О ЧИСЛЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОДЕЛИ ФРИДРИХСА С ДВУХМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ Хайитова Х.Г. Email: [email protected]
Хайитова Хилола Гафуровна - преподаватель, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей работе рассматривается ограниченная и самосопряженная модель Фридрихса Н с двухмерным возмущением. Эта модель ассоциирована с системой двух частиц на d - мерной решетке Zd. Определен определитель Фредгольма, соответствующий модели Фридрихса Н. Нули этого определителя являются собственными значениями оператора Н. Изучено число и местонахождение собственных значений модели Фридрихса Н. Установлено, что модель Фридрихса Н не имеет собственных значений, лежащих правее существенного спектра.
Ключевые слова: модель Фридрихса, нелокальный потенциал, параметр взаимодействия, существенный спектр, кратность.
ON THE NUMBER OF EIGENVALUES OF THE FRIEDRICHS MODEL WITH TWO-DIMENSIONAL PERTURBATION Khayitova Kh.G.
Khayitova Khilola Gafurovna - Teacher, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in this paper we consider a bounded and self-adjoint Friedrichs model Н with two-dimensional perturbation. This model is associated to a system of two particles on a d -dimensional lattice Zd. The Fredholm determinant corresponding to the Friedrichs model Н is defined. Zeros of this determinant are eigenvalues of the operator Н . The number and location of the eigenvalues of the Friedrichs model Н are studied. It is established that the model Friedrichs has no eigenvalues, located on the right hand side of the essential spectrum.
Keywords: Friedrichs model, nonlocal potential, coupling constant, essential spectrum, multiplicity.
УДК 517. 984
Пусть T d -мерной тор и L 2(Т d) - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на T d. В гильбертовом пространстве L 2 (T d) рассмотрим так называемый модель Фридрихса Н действующий по формуле
Н :=Н0- ц^ - ц2У2, где Н0- оператор умножения на функцию и ( ■ ) в L 2 (T d) :
ШХр) = u(p)f(p), а - нелокальные операторы взаимодействия вида
Ш)(р) = va(P) J va(t)/(t)dt, /6L2(Td).
Tii
При этом u а > 0 , а = 1 , 2 - параметры взаимодействия, а va(■),а = 1 , 2 и и(■)-вещественнозначные, непрерывные функции на В этих предложения оператор является ограниченным и самосопряженным.
По определению оператор возмущения ц + ц 2 72 оператор Н0 является самосопряженным оператором ранга 2. Из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр сге ss (Н) оператора Н совпадает с существенным спектром, точнее с спектром оператора Известно, что , где числа и определяются равенствами
т ■= min и(р), М\ = тахи(р).
p€Td p€Td
Из последних двух фактов следует, что cress (Н ) = [ш, М ] .
Определим регулярные в области С \ [ш, М] функции
f va(t)vß(t)dt
'"'!(Z) := J u(t)-z ' a'ß = 1'2;
Td
A(z): = det (saß - ßßIaß(z)) ^ (1)
где
( 1 , если a = ß
:= to, i
' 1 0 , если а Ф //'
Видно, что /ajg (z) = /g „ (z) при всех а,/? = 1 , 2 и zE С \ [ш,М ] . Обычно функция Д ( ■ ) называется детерминантом Фредгольма ассоциированным с оператором Я'
Установим связь между собственными значениями оператора Я и нулями функции Д ( ■) '
Лемма 1. Число z E \ [ш, М] является собственным значением оператора Я тогда и только тогда, когда Д (z) = 0 '
Доказательство. Пусть число z E \ [ш, М ] есть собственное значение оператора Я, а /EL 2(Т d) соответствующая собственная функция. Тогда функция / удовлетворяет уравнению
2
u(p)/(p)-^№(p) J va(t)f(t)dt = zf(p). (2)
а=1 -jd
Заметим, что для любых z E С \ [ш, М] и р E Тd имеет место соотношение u (р ) — z Ф 0. Тогда из уравнения (2) для / имеем
2
/(р) = , )(3)
а=1
где
с« := J va(t)f(t)dt, а = 1,2. (4)
Td
Подставляя выражения (3) для / в равенства (4) получим, что уравнения (2) имеет нулевое решения тогда и только тогда, когда система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
(1 - iuJ^Cz))Cx - ц2112(г)С2 = 0
l-(M2iO)Ci + (l - (U2/22(z))C2 = 0
или матричное уравнение
имеет не нулевое решение (СХ,С2) E С 2 , т.е. когда Д (z) = 0 , где С 2- декартовая квадрат множества С ' Лемма 1 доказана.
Пусть - носитель функции и - мера Лебега множества .
Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями операторов Я и .
Теорема 1. Если для любых а Ф ß верно
mes(supp{va(-)} П supp[vß (■)}) = 0, (5)
то число z Е С \ [т,М] является собственным значением оператора Н тогда и только тогда, когда число z является собственным значением хотя бы одного из операторов На, а = 1, .
Для удобства читателя приведем следующий пример, где в случае d = 1 функции va ( ■) , а = 1 , 2 , удовлетворяет условию (5), т.е. класс функций удовлетворяющих условию (5) не пусто:
„ zw- ísinx' хе[-п, 0] 0, х Е [0,7г] '
„ ísinx- ^ е [0,тг] vax)--\q, х е [—л, 0] Для этих функций при всех х Е (—п,п] имеет место равенство v 1 (х)v2(x) = 0 . Поэтому
для всех
Следующая теорема описывает число и местонахождение собственных значений оператора .
Теорема 2. Для любых ца> , 1, оператор А имеет не более двух собственных значений (с учётом кратности) лежащих левее точки т и не имеет собственных значений правее точки М.
Отметим, что теоремы 1 и 2 играют ключевой роль при определении месторасположение и структуру двухчастичных и трехчастичных ветвей существенного спектра, а также при исследовании числа собственных значений трехчастичных решетчатых модельных операторов (см. например [1-14]), а также операторных матриц операторов, одно из диагональных элементов которого является трехчастичный решетчатый модельный оператор (см. например [15-23]).
Список литературы /References
1. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 26:2, 2012. C. 24-32.
2. Расулов Т.Х. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 166:1, 2011. С. 95-109.
3. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12, 2015. С. 168-184.
4. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. № 1, 2014. С. 61-70.
5. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2, 2020. Part II. Pp. 19-22.
6. Расулов Т.Х., Рахмонов А.А. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 23:2, 2011. С. 170-180.
7. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, 2020. Pp. 8-13.
8. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 163:1 (2010), С. 34-44.
9. Умарова У.У. Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3, 2018. С. 14-15.
10. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1, 2014. Pp. 37.
11. Muminov M.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-
article Schrodinger o erator on a lattice // Nano y tem : Phy ic , Chemi try, Mathematics, 6:2, 2015. Pp. 280-293.
12. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl., 25, 2014. Pp. 57-61.
13. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contem. Analysis and Appl. Mathematics. 2:2, 2014. Pp. 179-198.
14. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, 2014. Pp. 327-342.
15. Muminov M.I., Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol., 17:1, 2011. Pp. 47-57.
16. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2, 2014. Pp. 60.
17. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.
18. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. 12, 2008. С. 59-69.
19. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1, 2014. Pp. 1-22.
20. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3, 2015. Pp. 369-393.
21. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1, 2016. Pp. 48-61.
22. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2, 2016. Pp. 156-174.
23. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператора // Теоретическая и математическая физика, 164:1, 2010. С. 62-77.
