О СПЕКТРЕ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

О СПЕКТРЕ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ Ризоев У.Р.

Ризоев Умиджон Рахим угли - студент, кафедра математики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в настоящей статье рассматривается интегральный оператор А с вырожденным ядром. Этот оператор является линейным, ограниченным, самосопряженным, двумерным оператором и действует в гильбертовом пространстве квадратично-интегрируемых (вообще говоря комплексно-значных) функций, определенных

на отрезке [~Л",ж]. Показывается, что число Я = 0 является бесконечно кратным

собственным значениям интегрального оператора А. Найдены два простых ненулевых собственных значения интегрального оператора А. Определен явный вид соответствующих собственных функций.

Ключевые слова: интегральный оператор, собственное значение, кратность, собственная функция.

УДК 517.984

Пусть гильбертово пространство квадратично интегрируемых (вообще

говоря, комплексно-значных) функций, определенных на \—п; ТС\. Исследование интегрального уравнения вида

п

/ (х) =| к(х, ^ / + ^(х), (1)

—п

разумеется, сводится к изучению свойства оператора А , действующего в гильбертовом пространстве L2\—п;п\ и определяемого равенством

п

(А/ )(х) = | к (х, t) / ^ )Ш. (2)

—п

Здесь (р(-) и К(•,•) - известные функции, а /(•) - искомая функция. Переменные X и ? пробегают здесь фиксированный отрезок \—п; п\ .

Характерная особенность уравнения (1) - его линейность: неизвестная функция /(•)

входит в него линейно. Уравнение (1) называется интегральным уравнением Фредгольма второго рода.

Всякий оператор вида (2) называется оператором Фредгольма. Если же ядро К(•,•) удовлетворяет условию

п п

111 К(х, у) ^йхйу < ,

—п—п

то он называется оператором Гильберта-Шмидта.

Известно, что если К(•,•) - функция с интегрируемым квадратом, то оператор А

является компактным линейным оператором в пространстве L2\—п;п\, норма которого удовлетворяет неравенству

А ||<

|||К (л, у)|2 dxdy

Кроме того, если А - оператор Гильберта-Шмидта, определяемый ядром К(х, у), то сопряженный ему оператор А * определяется «сопряженным» ядром К(у, х). В частности, оператор А самосопряжен в Ь2[—я;я\, т.е. А = А * , тогда и только тогда,

когда К (у, х) = К (х, у) . В случае, когда рассматривается действительное гильбертово

пространство (и, стало быть, действительные ядра), условием самосопряженности служит равенство

К (у, х) = К (х, у).

В данной работе рассмотрим интегральный оператор Фредгольма с ядром вида

К (х, у) = К (х)К (у) + (х^2 (у).

Здесь и k2 (■) - вещественно-значные непрерывные функции на [—я, я].

В этом случае оператор А является линейным ограниченным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве Ь2 [—я, я].

Можно легко проверить, что оператор А также является двумерным оператором. Поэтому этот оператор имеет чисто точечный спектр. Чтобы найти точечный спектр оператора А рассмотрим уравнение на собственное значение

А/ = Я/ .

Сперва рассмотрим случай Я = 0 . Тогда уравнение А/ = 0 имеет вид:

я я

К (х) | К (г) / (г )Ж + К2 (х) | К2 (г) / (г )Ж = 0.

Тогда множество решения этого уравнения определяется как

Ь := {/ е ¿2[—ж;Ж]:(/,К) = 0, \ = 1,2}.

Из бесконечномерности гильбертово пространства я,я] следует, что

подпространства Ь бесконечномерно. Это означает, что число Я = 0 является бесконечномерным собственным значением оператора А . Каждая ненулевая функция из Ь является собственной функцией соответствующий собственному значению Я = 0 .

Теперь переходим к изучению случая Яф 0. Тогда уравнение А/ = Я записывается следующим образом

К (х) | К (г)/(г)Л + К2 (х) | К2 (г)/(г)Л = Я/(х). (3)

—я —я

Обозначим

я

С = I К(г) / (г уг, (4)

—я я

С2 = I К(г) / (г )Л. (5)

—я

—я—я

—я

—я

я

я

Так как Х Ф 0, из уравнения (3) для f (X) имеем

f (х) = -^^к^ x) + С2^( х)). (6) Х

Подставляя выражение (6) для f (х) в равенства (4) и (5), получим

1 2 1

С1 = ^с1-11 kl|| +Jс2 ■ (kl,к2^

1 1 2

С2 = _Т С1 ■ (к1> k2) + ~7 С2 ■ 11 k2 11 ; Х Х

или

(Х- || М2)^ - k2) ■ С2 = 0; -кк,)■ С1 + (Х-1| к2 ||2)С2 = 0.

Основной определитель этой системы имеет вид

Д(Х) = (Х-1| к1 ||)(Х-1| к21|)-(к1,к2)2

или

А(Х) = Х2 -(|| к1|| +1| к2||)Х+1| к1|| ■ || к2|| -(к1,к2)2.

Нули последнего определителя определяются как

К :=

k II2 + II к21|2 ±yl (||kj2-||k2||2) + 4(kl5 k2)2

2

Эти числа являются простыми собственными значениями оператора А. Соответствующие собственные функции определяются с помощью формулы (6). Собственные значения решетчатых модельных операторов и операторных матриц изучены в работах [1 - 25].

Список литературы

1. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1 (2014). Pp. 37.

2. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. 25 (2014). Pp. 57-61.

3. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3 (2014). Pp. 327-342.

4. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.

5. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой учёный. 61 (7), 2014. С. 27-29.

6. Ekincioglu I., Ikromov IA. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). Pp. 257-264.

7. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.

8. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил. 32:1 (1998). С. 63-65.

9. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.

10. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51 (2), 2020. Pp. 7-10.

11. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы // Вестник Самарского государственного технического университета, Серия физ.-мат. науки. 35:2 (2014). C. 50-63.

12. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis, 11:1 (2020). Pp. 17-37.

13. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5 (2019). Pp. 511-519.

14. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019). Pp. 273-281.

15. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6 (2019). Pp. 616-622.

16. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). Pp. 48-61.

17. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016). Pp. 156-174.

18. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3 (2015). Pp. 369-393.

19. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1 (2014). Pp. 1-22.

20. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика, 186:2 (2016). C. 293-310.

21. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys. 56 (2015), 053507.

22. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал. 54:4 (2015). C. 878-895.

23. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2 (2014). Pp. 60-77.

24. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 5:5 (2014). Pp. 619-625.

25. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.