CC BY
11существенный и дискретныи спектры семейства
МОДЕЛЕЙ ФРИДРИХСА Умиркулова Г.Х.
Умиркулова Гулхаё Хусниддин кизи - магистр, кафедра математики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье рассматриваются два семейства моделей Фридрихса Н( (X), [Л> 0, х = 1,2, X Е (—я;я]й, ассоциированные с системой двух
квантовых частиц на й -мерной решетке. Эти семейства рассматриваются как линейные, ограниченные и самосопряженные операторы в комплексном гильбертовом
пространстве квадратично интегрируемых функций, определенных на (—я;я] . Описан существенный спектр модели Фридрихса Н(( (х). Установлена связь между нулями собственных значений Н(( (х) и нулями определителя Фредгольма. Найден явный вид дискретного спектра модели Фридрихса НН(( (х).
Ключевые слова: модель Фридрихса, система двух частиц, существенный спектр.
УДК 517.984
Пусть С, R ,2 и N - множество всех комплексных, вещественных, целых и
натуральных чисел, соответственно. Для каждого фиксированного й е N через Тй
обозначим й -мерный куб (— я;я]' - с соответствующим отождествлением
противоположных граней. Всюду в работе Тй рассматривается как абелева группа в котором операции сложения и умножения на вещественное число введены как операции сложения и умножения на вещественное число в к по модулю (2я2 У . Например, если
й = 3 и
^ я 2я Ъя\ 1 (2л я я^
Т,—"б,2"
а=
2 3 6
Ь
V2 3 6 у V 3 6 2 У то
а + Ь = (— Я 6а=(я,0,Я)Е Т3.
V 6 6 3 у 4 7
Пусть . (тй) - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на Тй. Рассмотрим два семейства моделей Фридрихса Нх), [Л> 0, х = 1,2, X еТй, действующих в гильбертовом пространстве .¿2 (Тй ) по формуле
Н^( х) := Н0()( X) — МУа,
(X)
М
где операторы h0a) (x) и V определяются по правилам:
(hVfXy) = u(x,y)f(y), f eL2(Td);
h\x)f)(y) = u(x,x -y)f (y), f eL2(Td); (vf)(y) = ((y) j ((t)f(t)dt, f eL2(Td);
(V2f)(y) = (T)f (t)dt, f eL2(Td).
Здесь f положительное число так называемой параметр взаимодействия, (р (),& = 1,2 - вещественнозначные непрерывные функции на Td и U(•,•) -вещественнозначная непрерывная функция на
(Td )2
. В этих предположениях используя
инструменты функционального анализа можно показать, что модель Фридрихса (x)
является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве L2 (Td
Оператор возмущения fV оператора h0a)( x) является самосопряженным оператором ранга 1. Из известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр CTess (h^a)(x))
оператора h^a)(x) не зависят от значения параметра взаимодействия f и совпадает с
существенным спектром оператора h0a) (x). В свою очередь для существенного спектра
невозмущенного оператора h0a) (x) имеет место равенство
<Jess (h0a)( x)) = [m( x); M( x)], где числа m( x) и M (x) определяются равенствами
m(x) := min u(x, y), M(x) := maxu(x, y).
yeTd yeTd
Из последних двух фактов следует, что
°ess (hT( x)) = [m( x); M ( x)].
Отметим, что для некоторого x eTd существенный спектр оператора h(1) (x) может
превратиться в точку {т(х)} и, следовательно, для любого X ЕТ* мы не можем сказать, что существенный спектр оператора УА^ (х) является абсолютно непрерывным. Например, если функция и(у) имеет вид
и(Ху) = X(3 - С°<Х) - С°<Х + У,) - С™(У,-)), У = (У^-У) Е Та,
1=1
и X = П= (п,...,п) ЕТ* , то ^(А^(X)) = {4*} .
При каждом фиксированном м > 0 и х е Тй определим регулярную в С \ [^(х);М(х)] функцию
Д<М(х;;):= 1 — м\ > А?(х;*):= 1 ~м{
Тй и(х, ?) — г Тй и(1, х — ^) — ^
Обычно для х = 1,2 функция А(()(х;-) называется определителем Фредгольма,
ассоциированным с оператором (х).
Лемма 1. Пусть x = 1,2. При каждом фиксированном м > 0 и х е Т число ^(()(х) е С \ х); М(х)] является собственным значением оператора НН~(( (х)
тогда и только тогда, когда а^ (X; Z ^ (x)) = 0.
Из леммы 1 следует, что для дискретного спектра оператора h^a) (х) имеет место равенство
°dlsc (С(х)) = {z е С \ [m(х); M(x)]: А^(х;z) = 0}.
Из определения функции А((1)(X;-) видно, что при Z > M(X) имеет место соотношение А^^X;z) > 1. Поэтому согласно лемме 1 при каждом J > 0 и X eTd
оператор h(X) не имеет собственных значений, лежащих правее точки M(X). С
помощью аналитических свойств таких определителей Фредгольма можно изучит спектральные свойства решетчатых модельных операторов [1 -26].
Список литературы
1. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2 (2020). Part II. Pp. 19-22.
2. Умиркулова Г.Х. Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке // Вестник науки и образования. 16-2 (94), 2020. С. 14-17.
3. Умиркулова Г.Х. Использование Mathcad при обучении теме «квадратичные функции» // Проблемы педагогики. № 6 (51), 2020. С. 93-95.
4. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1 (2014). Pp. 3741.
5. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. 25 (2014). Pp. 57-61.
6. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3 (2014). Pp. 327-342.
7. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
8. Расулова З.Д., Хамроева Х.Ю. Числовой образ модели Фридрихса с одномерным возмущением // Молодой учёный. 61 (7), 2014. С. 27-29.
9. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). Pp. 257-264.
10. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теоретическая и математическая физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
11. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил. 32:1 (1998). С. 63-65.
12.Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теоретическая и математическая физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
13. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. 35:2 (2014). C. 50-63.
14. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis. 11:1 (2020). Pp. 17-37.
15. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 10:5 (2019). Pp. 511-519.
16. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology. 25:1 (2019). Pp. 273-281.
17. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 10:6 (2019). Pp. 616-622.
18. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). Pp. 48-61.
19. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. и матем. физика. 161:3 (2009). Стр. 164-175.
20. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Математические заметки. 73:4 (2003). С. 556-564.
21. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра // Функциональный анализ и его приложения. 37:1 (2003). С. 81.
22. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика. 186:2 (2016). C. 293-310.
23. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал. 54:4 (2015). C. 878-895.
24. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал. 52:2 (2011). С. 400-415.
25. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.
26. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51 (2), 2020. Pp. 7-10.
