CC BY
12
ПОЛЯ ЗНАЧЕНИЙ ОДНОЙ 2х2 ОПЕРАТОРНОЙ МАТРИЦЫ
С ОДНОМЕРНЫМИ ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ 1 2 Бобоева М.Н. , Меражов Н.И. Email: Boboeva695@scientifictext.ru
1Бобоева Муяссар Норбоевна - ассистент; 2Меражов Нурсаид Икром угли - студент, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье приведены основные свойства поля значений линейных операторов в комплексном гильбертовом пространстве. Рассматривается линейная, ограниченная и самосопряженная 2х2 операторная матрица А, действующая в прямой сумме двух гильбертовых пространствах. Элементами исследуемой операторной матрицы являются линейные ограниченные одномерные интегральные операторы с вырожденным ядром. Найдены все собственные значения и кратность этих собственных значений операторной матрицы А. Описаны ее поля значений.
Ключевые слова: линейный оператор, поля значений, операторная матрица, интегральный оператор, собственное значение, кратность.
FIELD OF VALUES OF A 2x2 OPERATOR MATRIX WITH ONE DIMENSIONAL INTEGRAL OPERATORS Boboeva M.N.1, Merajov N.I.2
1Boboeva Muyassar Norboevna - Assistant; 2Merajov Nursaid Ikrom ugli - Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in the present paper the main properties of the field of values of a linear operators acting in the complex Hilbert space are presented. The linear, bounded and self-adjoint 2x2 operator matrix A, acting in the direct sum of two Hilbert spaces is considered. The elements of the investigated operator matrix are the linear one dimensional integral operators with generated kernels. All eigenvalues and the multiplicity of these eigenvalues of the operator matrix A are found. Its field of values is described.
Keywords: linear operator, field of values, operator matrix, integral operator, eigenvalue, multiplicity.
УДК 517.984
Пусть H комплексное гильбертово пространство. Рассмотрим линейный оператор A: H ^ H с областью определения D( A) С H . Если оператор A
ограничен, то D( A) = H . Множество
W(A) := {(Ax, x) : x e D(A),||x|| = l}
называется поля значений оператора A. Очевидно, что поля значений W (A)
является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства
множества W(A) дает некоторые информации о линейном операторе A .
Изучение поля значений линейного оператора в комплексном гильбертовом пространстве является одним из основных методов при исследовании местоположения
спектра линейных операторов. Это понятие впервые введено в работе [1] и доказано, что поля значений матрицы содержит все ее собственные значения.
Ради удобства для читателей сформулируем некоторых свойств поля значений
линейного оператора [2,3]. Через <г(^), <Ср(^) и СГ (•) соответственно
обозначим, спектр, точечный спектр и аппроксимативно точечный спектр линейного оператора. Поля значения линейного оператора есть выпуклая множества (Теорема Тёплица-Хаусдорфа). Кроме, того Ш(А) С К тогда и только тогда, когда
А = А *. Если А самосопряженный оператор и Ш(А) = \т, М] для некоторых
т, М е К, то ||А|| = тах|т|, |м|}. Если Ш(А) = \т, м]. Тогда
т, М е с(А). Имеет место включении Ср (А) С Ш(А) и сарр(А) С Ш(А) . Поля значений некоторых 2х2 операторных матриц исследованы в работах [4,5].
Через обозначим гильбертово пространство квадратично-
интегрируемых (комплексно-значных) функций, определенных на [—л; л]. Пусть
42)[—л;л] := {01,Л): / е L2[—л;л], г = 1,2}.
Напомним, что скалярное произведение двух элементов / = (/, /) и (2)
g = (g1, g2) из [—л; л] определяется выражением л __л _
(f, g ) = | gl(s)ds + | f2(s) g 2(s)ds ,
—л -л
а норма элемента f = (fl, / ) определяется как
М
л л
11 f1(s)|2 ds + {|/2^)|2 ds.
Рассмотрим матричный оператор Т , действующий в гильбертовом пространстве L(2)[—л;л] как
Т :=
т Т ^ ^ 11 12
ТТ
у 21 1 22 у
где матричные элементы Ту : £2[—л;л] —> £2[—л;л], г, у = 1,2 являются одномерными интегральными операторами:
л
(ту/])(х) = (х) ' гч/](s)ds, г, У = 1,2.
—л
Здесь tу (•) - вещественно-значная непрерывная функция на [—л;л], функции t г (•) четные, а tу (•), I Ф ] нечетные функции. При этом операторная матрица Т
г(2)г п
является ограниченным и самосопряженным оператором в L2 [—л;л]. Спектральные свойства 2 X 2 и 3 X 3 операторных матриц, действующих в
—л
—л
обрезанных подпространствах пространство Фока исследованы в работах [6-25]. А в работе [26] описано точечный спектр одной 3 X 3 операторной матрицы с интегральными операторами.
Рассмотрим уравнение Tf = 0. Так как подпространство вектор-функций
f = (, /2 ) , координаты которых удовлетворяют условии
|^ (8)^ (^ = 0
имеет размерность, равную бесконечности, число Х = 0 является бесконечно
кратным собственным значением оператора Т .
Пусть теперь X Ф 0. Тогда уравнение на собственное значение Tf = XX
записывается как система уравнений
п п
tn (х) 1гп(8) f (8)d8 + г 2Х (х) | (8) f2 (8)^ = (х);
—п —п
п п
г12 (Х) |г21 (8) Л + г22 (Х) |г22 (s)f2 (8)й8 = У2 (х) .
—п —п
Простые рассуждения показывают, что число Хф 0 является собственным значением оператора Т тогда и только тогда, когда
(X— IIгп ||2)(Х— IIг22Н2)(Х2—IIг121|2-Цг21 ||2) = 0.
Здесь мы использовали тот факт, что для /, J £ {1,2} функции ^ (•) четные, а
г у ('), I Ф J нечетные функции. Видно, что числа X =Ц ^ Ц2, X =Ц г22 Ц2,
X =Н г 12 II - II г21 II и Х4 = — Ц г 12 II • II г21 II являются собственными значениями оператора Т . Кроме, того эти собственные значения являются простыми, т.е. однократными. Таким образом, операторная матрица Т имеет чисто точечный спектр. Точнее
°(Т) = (Т) = {0, II гц II2, II г22 II2, ± II г^Н^ II}; ^(Т) = {0}, (Т) = {IIгц II2,IIг22 II2, ¿ИМ-КИ}.
Причем, для к = 1,2 собственная векор-функция f соответствующий собственному значению Хк имеет вид:
f (1) = С1(г11(х),0) , f = С2(0, г22(х)), С1, С2-ненулевые комплексные числа.
Аналогично, для к = 3,4 собственную векор-функцию f соответствующий
собственному значению Хк можно найти через функции г^(-) и г21 (•). Основным результатом настоящей работы является следующая теорема. Теорема. Для поля значений оператора Т имеет место равенство
—п
W(T) = [- 11 ti2 11 • 11 t21 ||,max{|1 t11 ||2,11 t22 ||2,11 ti2 11 • 11 t21 ||}]. Из указанных фактов следует, что
o(T) О (T) (T) с W (T).
Список литературы /References
1. Toeplitz O. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer // Math. Z., 2:1-2, 1918. 187-197.
2. Gustafson K.E., Rao D.K.M. Numerical range. Universitext. Springer. New York, 1997. The field of values of linear operators and matrices.
3. Tretter C. Spectral theory of block operator matrices and applications. Imperial College Press, 2008.
4. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. Исследование числовой области значений одной операторной матрицы // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки, 35:2, 2014. C. 50-63.
5. Умарова У.У. Обычные и квадратичные числовые образы 2х2-матриц. оператора // Учёные XXI века. 53:6-1, 2019. С. 25-26.
6. Muminov M.I., Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analysis of the discrete spectrum of the family of 3x3 operator matrices // Communications in Mathematical Analysis. 11:1, 2020. Pp. 17-37.
7. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices // Methods Func. Anal. Topology, 25:1 (2019), Pp. 273-281.
8. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:6, 2019, Pp. 616-622.
9. Rasulov T.H., Tosheva N.A. Analytic description of the essential spectrum of a family of 3x3 operator matrices // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 10:5, 2019, Pp. 511-519.
10. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1, 2016. Pp. 48-61.
11. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2, 2016. Pp. 156-174.
12. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3, 2015. Pp. 369-393.
13. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1, 2014. Pp. 1-22.
14. Расулов Т.Х. О ветвях существенного спектра решетчатой модели спин-бозона с не более чем двумя фотонами // Теор. матем. физика, 186:2, 2016. C. 293-310.
15. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56, 2015. 053507.
16. Муминов М.Э., Расулов Т.Х. Формула для нахождения кратности собственных значений дополнения Шура одной блочно-операторной матрицы 3x3 // Сибирский математический журнал, 54:4, 2015. C. 878-895.
17. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2, 2014. Pp. 60-77.
18. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5, 2014. Pp. 619-625.
19. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.
20. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3, 2010. Pp. 395-412.
21.Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics // Journal of Statistical Physics, 127:2 (2007), pp. 191-220.
22.Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles // Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, 2007. Pp. 1-16.
23. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал, 52:2, 2011. С. 400-415.
24. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science, 51:2, 2020. Part II. Pp. 7-10.
25. Merajov N.I., Rasulov T.H. Description of the point spectrum of a 3x3 tridiagonal operator matrix with Fredholm operators // European science, 51:2, 2020. Part II. P. 27-30.
