Научная статья на тему 'Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке'

Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
49
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
МОДЕЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР / РЕШЕТКА / СИСТЕМА ТРЕХ ЧАСТИЦ / НЕЛОКАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ / СУЩЕСТВЕННЫЙ СПЕКТР / ГРАНЬ / MODEL OPERATOR / LATTICE / SYSTEM OF THREE PARTICLES / NON-LOCAL POTENTIAL / ESSENTIAL SPECTRUM / BOUND

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Умиркулова Гулхаё Хусниддин Кизи

В данной работе изучается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх частиц на одномерной решетке. Этот модель рассматривается как линейный, ограниченный и самосопряженный оператор в некотором комплексном гильбертовом пространстве. Найдено местоположение существенного спектра модельного оператора Н, т.е. выделены двухчастичные и трехчастичные ветви существенного спектра оператора Н. Построен аналог уравнения Фаддеева для собственных функций оператора Н. Получены оценки для нижней и верхней граней существенного спектра оператора Н.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ESTIMATES FOR THE BOUNDS OF ESSENTIAL SPECTRUM OF A THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR ON A LATTICE

In the present paper a model operator H associated with the system of three particles on the one dimensional lattice is studied. This model is considered as a linear bounded and self-adjoint operator in some complex Hilbert space. The location of the essential spectrum of the model operator H is find, that is, two-particle and three particle branches of the essential spectrum of the model operator H are singled out. An analogue of the Faddeev equation for the eigenfunctions of the model operator H is constructed. The estimates for the lower and upper bounds of the essential spectrum of the model operator H is obtained.

Текст научной работы на тему «Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке»

ОЦЕНКИ ДЛЯ ГРАНЕЙ СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА МОДЕЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ТРЕХ ЧАСТИЦ НА РЕШЕТКЕ Умиркулова Г.Х. Email: Umirkulova694@scientifictext.ru

Умиркулова Гулхаё Хусниддин кизи - магистр, кафедра математики, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в данной работе изучается модельный оператор Н, ассоциированный с системой трёх частиц на одномерной решетке. Этот модель рассматривается как линейный, ограниченный и самосопряженный оператор в некотором комплексном гильбертовом пространстве. Найдено местоположение существенного спектра модельного оператора Н, т.е. выделены двухчастичные и трехчастичные ветви существенного спектра оператора Н. Построен аналог уравнения Фаддеева для собственных функций оператора Н. Получены оценки для нижней и верхней граней существенного спектра оператора Н.

Ключевые слова: модельный оператор, решетка, система трех частиц, нелокальный потенциал, существенный спектр, грань.

ESTIMATES FOR THE BOUNDS OF ESSENTIAL SPECTRUM OF A THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR ON A LATTICE

Umirkulova G.&

Umirkulova Gulhayo Husniddin qizi - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: in the present paper a model operator Н associated with the system of three particles on the one dimensional lattice is studied. This model is considered as a linear bounded and self-adjoint operator in some complex Hilbert space. The location of the essential spectrum of the model operator Н is find, that is, two-particle and three particle branches of the essential spectrum of the model operator Н are singled out. An analogue of the Faddeev equation for the eigenfunctions of the model operator Н is constructed. The estimates for the lower and upper bounds of the essential spectrum of the model operator Н is obtained.

Keywords: model operator, lattice, system of three particles, non-local potential, essential spectrum, bound.

УДК 517.984

Существенный спектр модельных операторов трех частиц на решетки изучен во многих работах, см., например, [1-14]. А в работах [15-23] исследованы спектральные свойства, в частности, местоположение и структура существенного спектра матричных операторов, одно из диагональных элементов является дискретными модельными операторами трех частиц. В настоящей работе изучен модельный оператор H , ассоциированный с оператором энергии системы трех квантовых частиц на одномерной решетке и взаимодействующих с помощью нелокальных потенциалов. Такие потенциалы обычно возникает в модели на примесной решетке. При этом роль двухчастичного дискретного оператора Шредингера играет модель Фридрихса с одномерным возмущением. Заметим, что для периодического оператора нелокальные потенциалы представляют собой сумму локального потенциала и некоторого конечномерного оператора. Напомним, что для многочастичных гамильтонианов нелокальные потенциалы в импульсном представлении являются частично-интегральными операторами. Подчеркнем, что для таких гамильтонианов в том случае, когда ядро частично-

интегрального оператора является невырожденным, получено очень мало результатов. Исследованы грани существенного спектра оператора H .

Пусть T1 - одномерный тор и T2 = T1 X T1 - декартово произведение. Через

L!,(T2) обозначим гильбертово пространство квадратично интегрируемых,

симметричных (комплекснозначных) функций, определенных на T 2.

Рассмотрим модельный оператор H , действующий в гильбертовом пространстве

L2(T2) по формуле

(Hf )(x, y) = u(x, y)f (x, y) - цух (x)JT, v (i)f (t, y)dt (y)^ v (t)f (x, t)dt

- Hi JTi v2 (t)f (t, x + y - t)dt .

Здесь ¡ла, < = 1,2 положительные числа так называемые параметры взаимодействия,

v (•),< = 1,2 - вещественнозначные непрерывные функции на T1 и u(-,-) -

вещественнозначная симметричная непрерывная функция на T2. В этих предположениях используя инструменты функционального анализа можно показать, что оператор H является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве Ls2(T2).

Для формулировки основных результатов работы определим регулярную в C \ [m;M] функцию

а / \ 1 Г v2(t)dt

Ai(x; z) :=1 JT^—^-;

J1 u( x, t) - z

f. / \ л Г v2(t)dt

A2 (x; z) :=1 - ¡л2 JT. 2W-;

n u(t, x -1) - z

где числа m и M определяются равенствами m := min u(x, y), M := maxu(x, y).

x, yeT1 x, yeT1

Через <T< обозначим множество тех точек Z, для которых A< (x; z) = 0 хотя бы для одного p Е T1. Пусть LLH^ (T1) - гильбертово пространство двухкомпонентных вектор-функций (/1, /2) : f Е .¿^(T1), Z = 1,2, т.е.

L(2)(Tх):= {(/1,Л): f ЕL2(T'), г = 1,2}.

При каждом Z Е C \{[m; M] ^ 0~1 ^ ^2} вводим блочно-операторную

матрицу T ( z), действующую в гильбертовом пространстве L^ (T1) по формуле

fTn(z) Tl2(zf

Mz) 0 ;

Здесь операторы Ty (z) : L2 (T1) —> L2 (T1), г, J = 1,2 - интегральные операторы

(H^xx) = ^1^ j^MM;

A1(x; z) u(x, t) - z

T(z):=

(T12(z)p)(x) = Г, V'(t"(W ;

Aj (x; z)JT u(t, t - x) - z

(T21(¿ШХ) = ^ i 1 ^X - t)(v2(t) + V2(X - t)p1(t)dt . A2(x; z) T u(t, x -1) - z

Следующая теорема устанавливает связь между собственными значениями

операторов H и T (z).

Теорема 1. Число z Е C \ {[m; M] ^ (Tj ^ T2} является собственным

значением оператора H тогда и только тогда, когда оператор T (z ) имеет собственное значение, равное единице, и их кратности совпадают.

Заметим, что матричное уравнение T(z)( = ( обычно называется аналогом

уравнения Фаддеева для собственных функций оператора H . Это уравнение играет важную роль при нахождении местоположения существенного спектра оператора H . А при помощи симметризованного варианта уравнения Фаддеева можно исследовать конечность или бесконечность числа собственных значений оператора H.

Теперь сформулируем результат, который описывает местоположение существенного спектра оператора H .

Теорема 2. Существенный спектр оператора H совпадает с множеством [m; M ] ^ T ^ T2, т е. имеет место равенство

Tes (H) = [m; M ]

Кроме того, множество Tess (H) представляет собой объединения не более чем трех отрезков.

Множества T1 ^ T2 и [m; M] называются двухчастичной и трехчастичной ветвями существенного спектра оператора H , соответственно.

Отметим, что max Tess (H) = M . Пусть функция u(-,-) имеет единственный

невырожденный минимум в точке (x0, xQ ) Е T2. Если V1 (xQ ) Ф 0, то имеет место оценки min t(H) < min Tess (H) < m. Эти факты играет важную роль при исследовании дискретного спектра оператора H .

Список литературы /References

1. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки. 26:2, 2012. C. 24-32.

2. Расулов Т.Х. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 166:1, 2011. С. 95-109.

3. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12, 2015. С. 168-184.

4. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. № 1, 2014. С. 61-70.

5. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2, 2020. Часть II. С. 19-22.

6. Расулов Т.Х., Рахмонов А.А. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 23:2, 2011. С. 170-180.

7. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, 2020. С. 8-13.

8. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 163:1, 2010. С. 34-44.

9. Умарова У.У.Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3, 2018. С. 14-15.

10. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl. 11:1, 2014. С. 37.

11. Muminov M.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-particle Schrodinger operator on a lattice // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 6:2, 2015. С. 280-293.

12. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl. 25, 2014. С. 57-61.

13. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contem. Analysis and Appl. Mathematics. 2:2, 2014. С. 179-198.

14. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics. 5:3, 2014. С. 327-342.

15. Muminov M.I, Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol. 17:1, 2011. С. 47-57.

16. Muminov M.I., Rasulov T.H. Infiniteness of the number of eigenvalues embedded in the essential spectrum of a 2x2 operator matrix // Eurasian Mathematical Journal. 5:2, 2014. С. 60-77.

17. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.

18. Расулов Т.Х. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Известия вузов. Математика. 12, 2008. С. 59-69.

19. Muminov M.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1, 2014. С. 1-22.

20. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3, 2015. С. 369-393.

21. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology. 22:1, 2016. С. 48-61.

22. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM. 5:2 (2016. С. 156-174.

23. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператора // Теоретическая и математическая физика. 164:1, 2010. С. 62-77.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.