CC BY
16
ВЫЧИСЛЕНИЕ СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА ОБОБЩЕННОЙ
МОДЕЛИ ФРИДРИХСА В СИСТЕМЕ MAPLE 1 2
Бахронов Б.И. , Мансуров Т.З. Email: [email protected]
1Бахронов Бекзод Ислом угли - преподаватель; 2Мансуров Толибжон Зиёдулло угли - магистрант, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: в настоящей статье сначала даётся краткая информация о системе Maple. В прямой сумме одномерной комплексной плоскости и гильбертового пространства рассматривается обобщенная модель Фридрихса. Эта модель является линейной, ограниченной и самосопряженной. Поэтому ее спектр вещественен. В данной работе вычислен существенный спектр обобщенной модели Фридрихса с помощью системы Maple. Приведен алгоритм решения задачи о нахождении существенного спектра. Указана последовательность выполнения команд в системе Maple. Ключевые слова: Maple, команды, прямая сумма, существенный спектр.
CALCULATION OF THE ESSENTIAL SPECTRUM OF THE GENERALIZED FRIEDRICHS MODEL IN THE MAPLE SYSTEM Bahronov B.I.1, Mansurov T.Z.2
1Bahronov Bekzod Islom ugli - Teacher; 2Mansurov Tolibjon Ziyodullo ugli - Master Student, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS,
BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in this paper first we give a brief introduction to the Maple system. The generalized Friedrichs model is considered in the direct sum of a one-dimensional complex plane and a Hilbert space. This model is linear, limited and self-adjoint. Therefore, its spectrum is real. In this paper, the essential spectrum of the generalized Friedrichs model is calculated using the Maple system. An algorithm for solving the problem of finding the essential spectrum is presented. The sequence of command execution in the Maple system is indicated. Keywords: Maple, commands, direct sum, essential spectrum.
УДК 517.984
Maple - это пакет для аналитических вычислений на компьютере, содержащий более двух тысяч команд, которые позволяют решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, статистики, математической физики. Основными объектами являются формулы и действия с ними.
Система Maple оперирует со множеством объектов, используя для работы различные типы данных. Это позволяет применять свои правила обработки для каждого типа. Простейшими объектами являются числа, константы, строки и переменные.
Maple - это система для манипулирования с выражениями. Выражение в системе - это объект, вполне соответствующий сути обычного математического выражения. Оно может содержать операторы, операнды и функции с параметрами. Выражения могут эволюционировать, т.е. изменяться в соответствии с заданными математическими законами и правилами преобразования. Например, это можно осуществить с помощью функции упрощения simplify.
Для выполнения любых математических операций необходимо обеспечить ввод в систему исходных данных - в общем случае математических выражений. Для ввода таких
выражении и текстовых комментариев служат два типа строк ввода - для ввода математических выражений и текстовых комментариев.
Maple обладает широкими возможностями для проведения аналитических преобразований подобных, разложение на множители, раскрытие скобок, приведение рациональной дроби к нормальному виду, вычисление экстремумов функции и многие другие. В настоящей статье рассматривается обобщенная модель Фридрихса и показано способ вычисления существенного спектра этого оператора с помощью системы Maple в примерах.
Пусть Ho . = C - одномерное комплексное пространство, Ну . = L2 [a; b] -гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (вообще говоря, комплекснозначных) функций, определенных на [a; b] и Н := Н0 0 Н1.
В пространстве Н рассмотрим обобщенную модель Фридрихса вида Г л л \
A :=
4о 4)1
V4)i 4i j
с матричными элементами
b
4о/о = w• /о. 4)ifi =iv(t)fi(t)dt . (4Ji)(x) = u(x)/1(x).
a
Здесь / G Hf. i = 0.1; W - фиксированное вещественное число. V (•) и U(•) -
вещественно-значные непрерывные функции на [a; b] .
Следует отметить. что при таких предположениях обобщенная модель Фридрихса A является линейным. ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве H Опишем шаги для вычисления существенного спектра обобщенной модели Фридрихса
A.
Шаг 1. Ввести значения числа a. b (a < b); Шаг 2. Ввести функции u(x) ;
Шаг з. Вычислить m = min u(x) и M = max u(x) ;
xe[ a.b] xg[ a .b]
Шаг 4. Значить для существенного спектра оператора A имеет место равенство CJess(4) = [m. M] (показать в экране);
Шаг 5. Вычислить || 4111|= max{| m 1.1 M |} ; Шаг 6. Конец.
Для нахождения существенного спектра обобщенной модели Фридрихса 4 в системе Maple выполняется следующая последовательность команд.
1. В силу известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при
конечномерных возмущениях имеем. что существенные спектры операторов 4 и 4П
совпадают. В данном случае оператор Лц имеет чисто существенный спектр. т.е. спектр этого оператора совпадает его существенным спектром. Поэтому достаточно ввести аналитический вид оператора 4n. Например. в случае когда
a = -ж; b = п; u(x) = 2 - cosx - cos(x - 3)
оператор V '.= An вводится следующим образом;
> with(student): restart;
> u(x):=2-cos(x)-cos(x-3);
> "NAPISHITE VID OPERATORA"; Vf(x)=u(x)*f(x);
2. Существенный спектр оператора V определяется следующим образом (определяется как область значения функции при оператора умножения);
> "OBLAST ZNACHENIYA FUNKSII U "; m:=evalf(minimize(U, x=-Pi..Pi)); M:=evalf(maximize(U, x=-Pi..Pi));
> "Sushestvenniy spektr operatora V opredelyaetsya sleduyushim obrazom"; sigma[ess]=[m, M];
Отметим, что если a = —7\ b = 7l\ u(X) = 1 — COs X , то аналитически можно
показать, что m = 0; M = 2.
Если, например,
a = —7; b = 7; u(x) = 100 — cosX — COs(2x) —... — cos(100x), то вычислить
m и M с помощью системы Maple удобно. Система Maple более важна при нахождении собственных значений, чем существенный спектр обобщенной модели Фридрихса. Спектральные свойства модели Фридрихса и обобщенной модели Фридрихса изучены в работах [1-30].
Список литературы /References
1. Бахронов Б.И. О виртуальном уровне модели Фридрихса с двумерным возмущением // Наука, техника и образование, 72:8, 2020. С. 13-17.
2. Бахронов Б.И. Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением // Вестник науки и образования. 94:16, 2020. С. 9-13.
3. Bahronov B.I., Rasulov T.H. Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation // European science, 51:2, 2020. С. 15-18.
4. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 9:6 (2019). С. 15-17.
5. Ekincioglu I., Ikromov I.A. On the boundedness of integral operators // Turkish journal of Mathematics. 23:2 (2000). С. 257-264.
6. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А. Конечность числа собственных значений двухчастичного оператора Шредингера на решетке // Теорет. и матем. физика. 152:3 (2007). С. 502-517.
7. Икромов И.А., Шарипов Ф. О дискретном спектре неаналитической матричнозначной модели Фридрихса // Функц. анализ и его прил., 32:1 (1998). С. 63-65.
8. Абдуллаев Ж.И., Икромов И.А., Лакаев С.Н. О вложенных собственных значениях и резонансах обобщенной модели Фридрихса // Теорет. и матем. физика. 103:1 (1995). С. 54-62.
9. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1 (2014). С. 3741.
10. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25 (2014). С. 57-61.
11. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3 (2014). С. 327-342.
12. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1 (2016). С. 48-61.
13. Rasulov T.H. The finiteness of the number of eigenvalues of an Hamiltonian in Fock space // Proceedings of IAM, 5:2 (2016). С. 156-174.
14. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12 (2015). С. 168-184.
15. MuminovM.I., Rasulov T.H. Embedded eigenvalues of an Hamiltonian in bosonic Fock space // Comm. in Mathematical Analysis. 17:1 (2014). С. 1-22.
16. Muminov M., Neidhardt H., Rasulov T. On the spectrum of the lattice spin-boson Hamiltonian for any coupling: 1D case // J. Math. Phys., 56 (2015), 053507.
17. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the number of eigenvalues of the family of operator matrices. // Nanosystems: Phys., Chem., Math., 5:5 (2014). С. 619-625.
18. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2 (2009). С. 164-175.
19. Расулов Т.Х. О числе собственных значений одного матричного оператора // Сибирский математический журнал, 52:2 (2011). С. 400-415.
20. Muminov M.I, Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. Topol., 17:1 (2011). С. 47-57.
21. Rasulov T.H. Investigations of the essential spectrum of a Hamiltonian in Fock space // Appl. Math. Inf. Sci. 4:3 (2010). С. 395-412.
22. Расулов Т.Х. Исследование существенного спектра одного матричного оператор // Теоретическая и математическая физика, 164:1 (2010). С. 62-77.
23. Rasulov T.H., Muminov M., Hasanov M. On the spectrum of a model operator in Fock space // Methods Funct. Anal. Topology. 15:4 (2009). С. 369-383.
24. Расулов Т.Х. О структуре существенного спектра модельного оператора нескольких частиц // Математические заметки. 83:1 (2008). С. 78-86.
25.Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics // Journal of Statistical Physics, 127:2 (2007). С. 191-220.
26. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles // Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1 (2007). С. 1-16.
27. Dilmurodov E.B., Rasulov T.H. Essential spectrum of a 2x2 operator matrix and the Faddeev equation // European science. 51:2 (2020). С. 7-10.
28. Tosheva N.A., Rasulov T.H. Main property of regularizedFredholm determinant corresponding to a family of 3x3 operator matrices // European science. 51 (2020). № 2 (Часть II). С. 11-14.
29. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2 (2020), часть II. С. 19-22.
30. Dustova Sh.B., Rasulov T.H. Number and location of eigenvalues of generalized Friedrichs model with finite rank perturbations // Academy, 55:4 (2020). С. 4-8.
