CC BY
8
21. Расулов Т.Х. О дискретном спектре одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 152:3, 2007. С. 518-528.
22. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра // Функциональный анализ и его приложения, 37:1, 2003. С 81.
23. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов // Математические заметки, 73:4, 2003. С 556-564.
О ВИРТУАЛЬНОМ УРОВНЕ МОДЕЛИ ФРИДРИХСА С ДВУМЕРНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ Бахронов Б.И. Email: Bahronov1172@scientifictext.ru
Бахронов Бекзод Ислом угли - преподаватель, кафедра математического анализа, физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан
Аннотация: данная статья посвящена исследованию виртуального уровня модели
Фридрихса H с двумерным возмущением в гильбертовом пространстве. Этот модель
является ограниченной и самосопряженной. В данном случае модель Фридрихса H соответствует оператору энергии системы двух квантовых частиц на трехмерной решетке. Найдено критическое значение параметра взаимодействия. Определены условия
существования так называемых виртуальных уровней модели Фридрихса H относительно параметра взаимодействия и параметр функции.
Ключевые слова: модель Фридрихса, виртуальный уровень, параметр взаимодействия, оператор энергии, система частиц, критическое значение.
ON THE VIRTUAL LEVEL OF A FRIEDRICHS MODEL WITH RANK
TWO PERTURBATION Bahronov B.I.
Bahronov Bekzod Islom ugli - Teacher, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS, BUKHARA STATE UNIVERSITY, BUKHARA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: the present paper is devoted to the investigations of the virtual level of a Friedrichs
model H with rank two perturbation in the Hilbert space. This model is a bounded and self-
adjoint. In this case the Friedrichs model H corresponding to the energy operator of the system of two quantum particles on the three-dimensional lattice. The critical values of the coupling
parameter are found. An existence conditions of the virtual level of the Friedrichs model H are investigated with respect to the coupling parameter and parameter function.
Keywords: Friedrichs model, virtual level, coupling parameter, energy operator, system of particles, critical value.
УДК 517.958
В ряде задач анализа, математической физики и теории вероятностей возникают операторы, носящие название операторов Фридрихса [1]. В настоящей работе
рассматривается модель Фридрихса H соответствующая гамильтониану системы двух квантовых частиц на трехмерной решетке. Данная модель является линейной, ограниченной и самосопряженной, причем оператор возмущения имеет ранг 2. Найдено критическое значение параметра взаимодействия. Определены условия существования так называемых
виртуальных уровней модели Фридрихса H относительно параметра взаимодействия и
параметр функции. В работах [2-4] исследованы дискретные и пороговые собственные
значения, а также числовая область значений модели Н . А работа [5] посвящена изучению трехчастичного модельного оператора, записывающихся как тензорная сумма моделей Фридрихса. Следует отметить, что в работах [6-23] рассматриваются модельные операторы, ассоциированных с системой трех частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парных нелокальных потенциалов, где роль двухчастичного оператора Шредингера играет модель Фридрихса.
Пусть L2(T3) - гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплексно-
гр3
значных) функций, определенных на трехмерном торе Т . Рассмотрим модель Фридрихса Н , действующую в гильбертовом пространстве L2(T ) по формуле
Н := Н0 - VI + У2, (1)
где операторы Нп и Va, а = 1,2 определяются по формулам:
(Но/КР) = и(Р)/(Р), V/)(Р) = ^оРа(Р)\т, 4,(0/(')Л, ( = 1,2.
Здесь Ма > 0, а = 1,2-параметр взаимодействия, и(•) и V (•), а = 1,2-
вещественнозначные, непрерывные функции на Тй. Здесь операторы V , а = 1,2
являются нелокальные операторы взаимодействия.
Легко можно проверить, что модель Фридрихса Н, определенная по формуле (1), является ограниченным и самосопряженным оператором.
По определению оператор возмущения — ^ + V2 невозмущенного оператора Но является
самосопряженным оператором ранга 2. В силу известной теоремы Г.Вейля о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга получим, что для существенного
спектра С7е^ (Н) оператора Н имеет место равенство (Н) = [Ех; Е2], где числа Е1 и Е2 определяются по равенствам := min и(р), Е2 := тах и(р)
рЕТ3 рЕТ3
Пусть supp {v(•)} - носитель функции v(•) и mes(Q) - мера Лебега множества Ос Т3 . Всюду в работе предположим, что функция и (•) имеет единственный невырожденный
гр3
минимум в точке Р1 Е т , имеет единственный невырожденный максимум в точке Р2 Е Т3, для а = 1,2 функция V (•) имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки р Е Т3 .
В этом случае существуют числа С1, С2, С3 > 0 и 8 > 0 такие, что
С | Р — Ра |2 <| и(р) — Е( |< С2 | Р — Ра |2, Р Е и, (ра) ; (2) | и(р) — Еа |> С3, Р ^(Ра); (3)
где
из( Ра):= {Р Е Т3 :| р — Ра1<8}.
Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега вытекает, что
Ит = Г К'У' lim Г_(М = Г ^Л'.
г^Е1—0Тз и(г) — г ¿3 и(') — Е/ г^Е2+0 ¡3 и(') — г ¡3 и(') — Е2
Учитывая оценки (2), (3) и непрерывность функции V (•) имеем, что последние интегралы конечны. Положим
T0 := ИГ1
f V2(t)dt V
I"
vT3 u(t) - E a J
/„„„„^„„„^„„^ T ÎT3 N
Пусть C (T ) (соответственно L^ÇT )) - банахово пространство непрерывных
гр3
(соответственно интегрируемых) функций, определенных на T .
Определение. Пусть a = 1,2. Говорят, что оператор H имеет виртуальный уровень в точке Z = Ea , если число 1 является собственным значением интегрального оператора
(G У X*) = Im( Р)"'(())-Н2"2( P)V2(t ) У (t)dt, у € C (T3)
T. u(t) - Ea
и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция у/удовлетворяет условию Ща (pa ) Ф 0.
Теорема. Пусть mes(supp{V'(-)} П supp{v2(-)}) = 0 и a € {1,2}. Число 1 является собственным значением интегрального оператора Ga тогда и только тогда, когда [Ла = Ha и V (pa ) Ф 0. Следовательно, число z = Ea является виртуальном уровнем оператора H тогда и только тогда, когда jua = H0 и Va (pa ) Ф 0. В этом случае, значение параметра взаимодействия ß > 0, ß Ф a произвольна.
Заметим, что если для a € {1,2} оператор H имеет виртуальный уровень в точке Z = Ea, то решение уравнение О уa = у/a при условии
mes(supp{v1(-)} n supp{v2(-)}) = 0 равно (с точностью до константы) функции Va (•) .
Отметим, что в определении виртуального уровня требование наличия собственного значения Л = 1 оператора G соответствует существованию решения уравнения
Hf = Eaj , а из условия Ща (p^ ) Ф 0 следует, что решения f этого уравнения не
принадлежит пространству L2 (T ). Точнее, если оператор H имеет виртуальный
уровень в точке z = E , то функция
fa ( p)=(-1) a ^"T^ap^
U(p) - E a
удовлетворяет уравнению Hf a = Ea f a и f a € L1(T3) \ L2(T3).
Список литературы /References
1. FriedrichsK.O. Uber die Spectralzerlegung einee Integral operators // Math. Ann., 115:1, 1938, 249-272.
2. Бахронов Б.И. Дискретные и пороговые собственные значения модели Фридрихса с двумерным возмущением // Вестник науки и образования. 94:16, 2020. Часть 2. С. 9-13.
3. Bahronov B.I., Rasulov T.H. Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation // European science. 51:2, 2020. Р . 15-18.
15
4. Rasulov T.H., Bahronov B.I. Description of the numerical range of a Friedrichs model with rank two perturbation // Journal of Global Research in Mathematical Archives, 6:9, 2019. P. 15-17.
5. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса // Молодой ученый. 89:9, 2015. С. 17-20.
6. Расулов Т.Х. Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 26:2, 2012. C. 24-32.
7. Расулов Т.Х. Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 166:1, 2011. С. 95-109.
8. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами // Сибирские электронные математические известия. 12, 2015. С. 168-184.
9. Расулов Т.Х., Мухитдинов Р.Т. Конечность дискретного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Известия вузов. Математика. № 1, 2014. С. 61-70.
10. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice // European science. 51:2, 2020. Part II. Р . 19-22.
11. Rasulov T.H. Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian // Contem. Analysis and Appl. Mathematics. 2:2, 2014. Р . 179-198.
12. Расулов Т.Х., Рахмонов А.А. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 23:2, 2011. С. 170-180.
13. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, 2020. Р . 8-13.
14. Расулов Т.Х. Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке // Теоретическая и математическая физика. 163:1, 2010. С. 34-44.
15. Умарова У.У. Аналог системы интегральных уравнений Фаддеева для трехчастичного модельного оператора // Учёные XXI века. 40:5-3, 2018. С. 14-15.
16. Rasulova Z.D. Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice // J. Pure and App. Math.: Adv. A l., 11:1, 2014. Р . 37.
17. Muminov M.I., Rasulov T.H. Universality of the discrete spectrum asymptotics of the three-
article Schrodinger o erator on a lattice // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 6:2, 2015. Р . 280-293.
18. Rasulova Z.D. On the spectrum of a three-particle model operator // J. Math. Sci.: Adv. Appl., 25, 2014. Р . 57-61.
19. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials // Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, 2014. Р . 327-342.
20. Muminov M.I., Rasulov T.H. The Faddeev equation and essential spectrum of a Hamiltonian in Fock Space // Methods Funct. Anal. To ol., 17:1, 2011. Р . 47-57.
21. Расулов Т.Х. Исследование спектра одного модельного оператора в пространстве Фока // Теорет. матем. физика. 161:2, 2009. С. 164-175.
22. Rasulov T.H. On the finiteness of the discrete spectrum of a 3x3 operator matrix // Methods of Functional Analysis and Topology, 22:1, 2016. Pp. 48-61.
23. Muminov M.I., Rasulov T.H. On the eigenvalues of a 2x2 block operator matrix // Opuscula Mathematica. 35:3, 2015. P . 369-393.
