CC BY
9ПАНЖАРАДАГИ УЧ ЗАРРАЧАЛИ МОДЕЛЬ ОПЕРАТОРГА МОС КАНАЛ ОПЕРАТОРЛАР ВА УЛАРНИНГ СПЕКТРЛАРИ
Гул^аё Хусниддин кизи Умиркулова
Бухоро давлат университети
АННОТАЦИЯ
Бир улчамли панжарада локал булмаган потенциалга эга учта заррачалар системасига мос модель оператор каралади. Бу оператор икки улчамли торда аникланган квадрати билан интегралланувчи симметрик функцияларнинг Х,илберт фазосида чизикли, чегараланган ва уз-узига кушма оператор сифатида урганилади. Унга мос келувчи иккита канал операторлар аникланган. Бу операторларнинг спектрлари Фридрихс моделлари оиласининг спектри оркали ёйилувчи операторларнинг спектри хакидаги теорема ёрдамида тавсифланади.
Калит сузлар: модель оператор, Фридрихс моделлари оиласи, панжара, локал булмаган потенциал, канал оператор, спектр, ёйилувчи операторларнинг спектри хдкидаги теорема.
CHANNEL OPERATOR CORRESPONDING TO THE THREE-PARTICLE MODEL OPERATOR ON A LATTICE AND THEIR SPECTRUM
Gulhayo Husniddin kizi Umirkulova
Bukhara State University
ABSTRACT
We consider a model operator corresponding to the three particle system with nonlocal potential on a lattice. This operator is acting on the Hilbert space of square-integrable symmetric functions defined on the two-dimensional lattice as a linear, bounded and self-adjoint operator. We define two corresponding channel operators. The spectrum of this operators are described by the spectrum of families of Friedrichs models using the theorem on decomposable operators.
Keywords: model operator, families of Friedrichs models, lattice, nonlocal potensial, channel operator, spectrum, theorem on decomposable operators.
КИРИШ
Панжарадаги учта заррачалар системасига мос модель операторлар билан боглик масалалар каттик жисмлар физикаси, статистик физика, квант майдон назарияси ва замонавий математик физиканинг яна куплаб сохаларида учраб туради. Одатда бундай операторларнинг мухим ва дискрет спектрини урганиш
масаласи уз-узига кушма операторлар спектрал назариясининг кенг тадкик килинадиган масалаларидан биридир. Эслатиб утиш жоизки, панжарадаги учта заррачали системага мос модель операторларнинг му^им спектрининг жойлашув урнини ва тузилишини хдмда уни ташкил килувчи кесмалар сонини аниклашда тадкик килинадиган модель операторга нисбатан содда куринишга эга "канал операторлар" деб аталувчи операторларни топиш хдмда улар спектрлари орасидаги богланишни урганиш мухдм ахдмиятга эга. Шу сабабли мазкур маколада канал операторлар топилган. Тугри интегралга ёйиш усулидан фойдаланиб канал операторларнинг спектрал хоссаларини урганиш масаласи Фридрихс моделлари оиласининг спектрал хоссаларини урганиш масаласига келтирилган. Канал операторларнинг спектри ёйилувчан операторларнинг спектри хдкидаги теорема ёрдамида тулик тавсифланган.
УЧ ЗАРРАЧАЛИ МОДЕЛЬ ОПЕРАТОР
T1 - бир улчамли тор ва T2 = T1 х T1 - декарт купайтма булсин. (T2)
оркали T2 да аникланган квадрати билан интегралланувчи (умуман олганда комплекс кийматларни кабул килувчи) симметрик функцияларнинг Х,илберт фазосини белгилаймиз.
Ls2(T2) Х,илберт фазосида
НмЛ := Ho -j(V + V2) -ÄV3 (1)
куринишда аникланган операторни караймиз. Бу ерда H0 - кузгалмас оператори булиб, u (•,•) функцияга купайтириш операторидир, яъни
(Hof )(x y) = u(x y)f (x y); V операторлари эса куйидагича таъсир килувчи операторлар:
(Vf )(х, y) = v( y)^, v(t )f ( x, t )dt; (V2f )(x, y) = v( х)\т1 v(t)f (t, y)dt; (V3f )(x, y) = \т1 f (t, x + y -1 )dt. Бу ерда ju,Ä- таъсирлашиш параметрлари деб аталувчи мусбат сонлар, v() -T1 да аникланувчи хдкикий кийматли узлуксиз функция ва u(•,•) -T2 да аникланган хдкикий кийматли симметрик узлуксиз функция.
(1) формула билан аникланган H х оператор юкорида келтирилган
фаразларда чизикли, чегараланган ва уз- узига кушма оператор булади. Бу тасдик функционал анализдаги мос таърифлар ёрдамида текширилади.
КАНАЛ ОПЕРАТОРЛАР
H x операторнинг мухим спектрини аникдаш максадида унга кура нисбатан содда куринишга эга булган хамда L2 (T2) Х,илберт фазосида
H? = H0 -ßVx;
Hf = Hо -ÄV3;
каби аникланган канал операторлар деб аталувчи операторларни караймиз.
Аникланишига кура H? ва H(2) операторлар L2(T2) Х,илберт фазосида таъсир килувчи чизикли, чегараланган ва уз- узига кушма операторлардир.
Осонгина курсатиш мумкинки H^ оператор L2 (T2) Х,илберт фазосидаги
Uig)(x, y) = U (x)g(X, y), g e L2 (t2) куринишдаги купайтириш оператори билан, худди шунингдек Hj2) оператор
L2 (T2) Х,илберт фазосидаги
(U2g)(x У) = U2(X + y)g(X yX g e L2(T2) , купайтириш оператори билан урин алмашиниш хоссасига эга. Шу сабабли, L (T 2 ) фазонинг
L2(T2) = l2 T)dk (2)
тугри интегралга ёйилмасидан H?1 ва H(2) операторлар учун
H? = \ш (k)dk, Hf = \kT (k)dk (3)
тугри интегралга ёйилмалар келиб чикади.
Бунда h? (k), (k), k eT Фридрихс моделлари оилалари L2(T) Х,илберт фазосида
h? (k) := h01) (k
h™ (k ) := h02) (k )-Av2, формулалар ёрдамида таъсир килади. Охирги формулада
(h01) (k )f )(x ) = u(k, X )f (x ), (h02) (k)f )(x) = u (x, x - k)f (x), (vfXx) = v(x)fT v(t)f(t)dt, (V2f)(x) = I f(t)dt.
Фридрихс моделлари оиласининг баъзи спектрал хоссалари [1-9] ишларда урганилган.
h(a) (k),а = 1,2 кузгалмас операторнинг va, а = 1,2 кузгалиш оператори бир улчамли чизикли, чегараланган ва уз- узига кушма оператор булади.
Шу сабабли, чекли улчамли кузгалишларда мухим спектрнинг кузгалмаслиги хакидаги Вейл теоремасига кура (k) операторнинг мухим
спектри (к) операторнинг мухим спектри билан, худди шунингдек h{2)(к) операторнинг мухим спектри h0(2) (k) операторнинг мухим спектри билан устма -уст тушади.
Х,ар бир а = 1,2 сони учун h(a) (к) операторнинг аникланишига кура ae.2S(h0a)(к))= [ma(к);Mа(к)]. Бу ерда ma(k) ва Ыа(к) сонлар куйидагича аникланган:
m (k) := min u(k, x), M (к) := max u(k, x),
xeT 1 xeT
m2 (k) := min u(x, к - x), M2 (k) := max u(x, к - x).
xeT xeT
Бундан эса уз навбатида
^ ess (hj (k ))= [mi(k); M i(k)]
ва
^ ess (h|2) (k ))= [m2(k ); M 2(k )]
эканлиги келиб чикади.
Фараз килайлик, хар бир фиксирланган x e Т учун u(x, y) = 3 - cos x - cos y - cos(x + y)
булсин. Бу холда k0 =n учун aess{h()(k0))= {4} тенглик уринли булади.
Х,ар бир фиксирланган j,A> 0 сони ва keT учун С\[ma(k);Ma(k)] сохада
аналитик булган
v\t)
Aj(k; z) = 1 -jf-Vit^t;
JT u(k, t) - z
A?(k; z) = 1 -Af-
dt
, u(t, k -1) - z функцияларни киритамиз.
Одатда Ajj^k;•) ва Af(k;•) функцияларга hj (к) ва h{2) (k) операторларга
мос Фредгольм детерминантлари дейилади.
1-лемма. Х,ар бир фиксирланган к eT ва j> 0 (A> 0) сони учун
za(k)e С\[ma(к);Ma(к)] сони hj(к) (hj2)(к)) операторнинг хос киймати булиши
учун A(jJJ(k ;•) = 0 (A(A}(k ;•) = o) булиши зарур ва етарлидир.
Бу леммадан hj (к) ва h^2) (к) операторларнинг дискрет спектрлари учун
^ (hj (k)) = {z e С \ [mi (k); Mi (k)]: A(j (k; z) = 0},
°dISCfe2)(k)) = {z e С\[m2 (k);M2(k)]: A(f (k; z) = 0} тенгликлар келиб чикади.
Hj ва H(2) операторларнинг спектри hj1 (к) ва h{2) (k) операторларнинг
спектри оркали куйидагича тавсифланади.
1-теорема. Куйидаги тенгликлар уринлидир.
4H™)= U a(h»(k))= (h?(k))u [m;M\
а(н? )= yMhï> (k )) = H (hf (k ))u [m; M1
бу ерда
m(k ):= min u(k, x), M (k ):= max u(k, x).
k, xeT k,xeT
Куриниб турибдики, H^ ва Hj2) канал операторлар ИмЛ операторга
нисбатан содда куринишга эга. Шунинг учун 1-теорема H х операторнинг мухим
спектрини хамда унинг икки ва уч заррачали тармокларини ажратишда алохида ахамият касб этади. Канал операторлар дастлабки модель оператордан тугри интегралга ёйилувчанлик шарти асосида ягона усул билан ажратилади. 1-теоремани исботлашда тугри интегралга ёйилувчи операторларнинг спектри хакидаги теоремадан фойдаланилади. [10-18] маколаларда панжарадаги учта заррачалар системасига мос турли хил модель операторларнинг мухим ва дискрет спектрлари Фридрихс моделлари оиласининг спектрал хоссаларидан фойдаланиб урганилган. [19-21] ишларда эса умумлашган Фридрихс моделлари оиласи тадкик килинган. Таъкидлаш жоизки, худди Фридрихс моделлари оиласи каби умумлашган Фридрихс моделлари оиласи хам купи билан учта заррачалар системасига мос операторли матрицаларнинг спектрал хоссаларини урганишда мухим хисобланади [22-30].
REFERENCES
1. Umirkulova G.H., Rasulov T.H. (2020). Characteristic property of the Faddeev equation for three-particle model operator on a one-dimensional lattice. European science. 51:2, Part II, pp. 19-22.
2. Умиркулова Г.Х. (2020). Оценки для граней существенного спектра модельного оператора трех частиц на решетке. ВНО. 16-2 (94), С. 14-17.
3. Умиркулова Г.Х. (2020). Использование Mathcad при обучении теме «квадратичные функции». Проблемы педагогики. № 6 (51), С. 93-95.
4. Умиркулова Г.Х. (2021). Существенный и дискретные спектры семейства моделей Фридрихса. Наука и образование сегодня. 60:1, С. 17-20.
5. Umirqulova G.H. (2021). Uch zarrachali model operatorning xos funksiyalari uchun Faddeev tenglamasi. Scientific progress. 2:1, 1413-1420 b.
6. Умиркулова Г.Х. (2021). Местоположение собственных значений двух семейств моделей Фридрихса. НТО, 77:2, часть 2, С. 56-60.
7. Хайитова Х.Г. (2020). О числе собственных значений модели Фридрихса с двумерным возмущением. Наука, техника и образование, 8(72), 5-8.
8. Bahronov B.I., Rasulov T.H. (2020). Structure of the numerical range of Friedrichs model with rank two perturbation. European science. 51:2, pp. 15-18.
9. Расулов Т.Х., Бахронов Б.И. (2015). О спектре тензорной суммы моделей Фридрихса. Молодой учёный. № 9, С. 17-20.
10. Rasulova Z.D. (2014). Investigations of the essential spectrum of a model operator associated to a system of three particles on a lattice. J. Pure and App. Math.: Adv. Appl., 11:1, pp. 37-41.
11. Rasulova Z.D. (2014). On the spectrum of a three-particle model operator. Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications, 25, pp. 57-61.
12. Rasulov T.H., Rasulova Z.D. (2014). Essential and discrete spectrum of a three-particle lattice Hamiltonian with non-local potentials. Nanosystems: Physics, Chemistry, Mathematics, 5:3, pp. 327-342.
13. Расулов Т.Х., Расулова З.Д. (2015). Спектр одного трехчастичного модельного оператора на решетке с нелокальными потенциалами. Сибирские электронные математические известия. 12, С. 168-184.
14. Расулов Т.Х. (2012). Структура существенного спектра модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. Вестн. Сам. гос. техн. унта. Сер. Физ.-мат. науки, 26:2, C. 24-32.
15. Расулов Т.Х. (2011). Существенный спектр одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. ТМФ. 166:1, С. 95-109.
16. Kurbonov G.G., Rasulov T.H. (2020). Essential and discrete spectrum of the three-particle model operator having tensor sum form. Academy. 55:4, pp. 8-13.
17. Расулов Т.Х. (2010). Асимптотика дискретного спектра одного модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на решетке. ТМФ. 163:1, С. 34-44.
18. Rasulov T.H. (2014). Number of eigenvalues of a three-particle lattice model Hamiltonian. Contem. Analysis and Appl. Mathematics. 2:2, pp. 179-198.
19. Тошева Н.А., Исмоилова Д.Э. (2021). Икки каналли молекуляр-резонанс модели хос кийматларининг мавжудлиги. Scientific progress. 2:1, 111-120.
20. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Eigenvalues and virtual levels of a family of 2x2 operator matrices. Methods Func. Anal. Topology, 1(25), 273-281.
21. Дилмуродов Э.Б. (2017). Числовой образ многомерной обобщенной модели Фридрихса. Молодой ученый, 15, 105-106.
22. Бахронов Б.И., Холмуродов Б.Б. (2021). Изучение спектра одной 3х3-операторной матрицы с дискретным спектром. НТО, 2-2(77), 31-34.
23. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2020). Analysis of the spectrum of a 2x2 operator matrix. Discrete spectrum asymptotics. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 2(11), 138144.
24. Rasulov T.H., Dilmurodov E.B. (2019). Threshold analysis for a family of 2x2 operator matrices. Nanosystems: Phys., Chem., Math., 6(10), 616-622.
25. Расулов Т.Х., Дилмуродов Э.Б. (2020). Бесконечность числа собственных значений операторных (2х2)-матриц. Асимптотика дискретного спектра. ТМФ. 3(205), 368-390.
26. Латипов Х.М. (2021). О собственных числах трехдиагональной матрицы порядка 4. Academy, 3(66), 4-7.
27. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Модель в теории возмущений существенного спектра многочастичных операторов. Математические заметки. 73:4, С. 556-564.
28. Лакаев С.Н., Расулов Т.Х. (2003). Об эффекте Ефимова в модели теории возмущений существенного спектра. Функциональный анализ и его приложения, 37:1, С. 81-84.
29. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). On the Spectrum of an Hamiltonian in Fock Space. Discrete Spectrum Asymptotics. Journal of Statistical Physics, 127:2, pp. 191-220.
30. Albeverio S., Lakaev S.N., Rasulov T.H. (2007). The Efimov Effect for a Model Operator Associated with the Hamiltonian of non Conserved Number of Particles.
Methods of Functional Analysis and Topology, 13:1, pp. 1-16.
