Спектральный анализ одного класса интегральных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

гЛ+г,;1 = 0 (4')

Из теории винтов (см., например, [2]) известно, что пару векторов

Л,л ) можно рассматривать как мотор некоторого винта с параметром

о

Л Л

/> = -—, а условие (4) - есть условие того, что все скользящие векторы Л

г ,г j определяют прямые (по которым они скользят), попадающие в

один и тот же комплекс, определяемый данным винтом.

Последнее означает, что ось винта и прямая скрещиваются под углом а и имеют общий перпендикуляр такой длины h, что

71

h ■ tg а = р (Особый случай: Я = 0=>р = оо=>а = —, вместо оси комплекса

о

имеется только направление вектора Л, которому перпендикулярны прямые комплекса).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Stewart, D. A Platform with Six Degree of Freedom // Proc. ImechE (London). 1965-1966. Vol. 180, № 15. P. 1.

2. Диментберг Ф. M. Теория винтов и её приложения. М.: Наука, 1978.

3. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. М.: Наука,

1987.

УДК 513.88

Д. Г. Шалтыко

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Рассмотрим интегральный оператор А вида

т 1

А/{х) =М/(х) + х е [0,1], (1)

к=I о

где М - вольтерров оператор, действующий в пространстве £[0,1], а 1.....т' Ьк(х)\ =1.....т ' некоторые системы функций этого пространства. Спектральному анализу таких операторов посвящен целый ряд работ.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 00-01-00075, и программы "Ведущие научные школы", проект №00-15-96123.

Например, в работах [1, 2] проводился спектральный анализ оператора (1) в случае, когда М представлял собой оператор

М/(х) = ]м(х,1)/(!)Ж.

о

В пространстве вектор-функций подобные исследования проводились в [3]. В настоящей статье предполагается, что

М/(х) = } Мх (х, 0/(0Л + ]м2 (1 - *,0/(0<*> (2)

1/2 1/2

где М,{х,г) непрерывны по х, / и имеют вид (х — Л"-'

Mi(х,0 = а; --— + о((х -0"), а.2 * а?, а,а2 * 0,/? = 2£ + 1,(£ > 1).

(и-1)!

Операторы вида (2) - сравнительно новый класс вольтерровых операторов, впервые подобные операторы были рассмотрены в [4]. Предположим, что функции gk(x) непрерывны на [0,1],

аг(1/2 хУ" + 0((1/2 - хУк ),х -»1/2-0, 1 (*-1/2)'*

а*

+ о((х -1/2) * ),я: ->1/2 + 0,

а ^(х) непрерывны на [0,1/2)11(1/2,1], имеют разрыв 1-го рода в точке х=1/2 и таковы, что

Р*

А!

- Г\Р*

л!

+ о((1 — хук ->1-0,

где сх^, е С, , рк - положительные целые числа, 'а, -

Г = = (у-Д - матрицы, диагонализирующие матрицу А. Введем

Пусть А =

, ЬьЬг - собственные значения этой матрицы и

сектор 5 = ш е С: — < ащц. < — к 0, - корни и-й степени из -[ п п)

(г = 1,2;у' = 1,...,«), расположенные в порядке убывания 11ец0,у при = = Б. Каждому подсектору 5'у сопоставим два не-

отрицательных целых числа тх и тг, сумма которых равна т и при \х е Sv выполняется соотношение

min Re(n©, j) > max Re(^©, y).

¡=l,2,7<m,v ' /=1,2,/2m/

Положим далее =ßi1..ß^aj11...aj1 -det(a,-y)-det(6(J), где

aiJ = 0ij%дС/ = = 0-тЛ,,2(7 = 4 + l,...,m,i = 1,...,»»),

= Кл, С/ = l.-.O^/J = 03-т1Л'2>Т1'(7 = ^ +1>">"!>' =

Сформулируем основной результат данной статьи.

2 2

ТЕОРЕМА 1. Пусть /и < 2к и £ ZGx„..„т,т * 0 для v = l,...,N.

T1,....Tm=lriI,...,41m=,

Если /(х) е L[0,l] и на интервале (1/2-8,1/2 + 8), 0<5 < 1/2 справедливо

Г , , -пк\

m = ltdj,kMkgj(x), idJJt=0 <(6"е)2^ -

j=U=0

тогда выполняется соотношение

(8-s)2e

апк

1г. 11/и

>a = N >

1ип II/ - 5 (/)|| =0, (3)

„Г л9 ^ 11с[1/2-стД/2+сг]

где 0 < а < 8, а 5И (/) - частичная сумма ряда Фурье функции /(х) по

собственным и присоединенным функциям оператора Л.

Для доказательства теоремы 1 оператор А приводится к векторному виду. Для него формулируется соответствующая теорема о разложении. Доказательство этой теоремы проводится по методике, предложенной С. А. Тихомировым [3], но вместо отрезка [0,1] приходится рассматривать отрезок [1/2,1], что создает дополнительные трудности. ЛЕММА. Если у(х) = А/(х), то

-- 12

у(х) = А/(х)=МДх)+^к(х) | 5У,(0*,(0Л,хе[1/2,1], к=1 1/2/=1

где у{х) = (х), у2 (х)}Т, у1 (х) = у(х), у2 (х) = у(\ - х), тот же смысл имеют

/(х),ё(х)Хх) и

Mf(x)= fM(x,t)f(t)dt,M(x,t) = 1/2

Справедливо и обратное утверждение.

Г\ о "[(*-< Г1

.0 Ч

- + o((x-t)").

2 2

ТЕОРЕМА 2. Пусть т < 2к и X ИСхъ...,Цт * 0 для V = 1,.

Ть...,Тт=1Л1.....Ля=1

Если /(х) е ¿[0,1] и на интервале (1 / 2,1 / 2 + б), 0 < 8 < 1 / 2 справедливо

-пк \

/00 = 11 М gJ (х), а аик = о j=U=0

(5-е)2е апк

>а = К |

1/п

тогда выполняется (3) для оператора А.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов // Матем. заметки. 1974. Т.16. № 4. С. 669 - 681.

2. Мацнев Л. Б., Хромов А. П. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов // Матем. заметки. 1983. № 3. С. 423 - 434.

3. Тихомиров А. С. О конечномерных возмущениях интегральных вольтерровых операторов, действующих в пространстве вектор-функций // Дифференциальные уравнения и теория функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. С. 35-41.

4. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Матем. заметки. 1998. Т. 64. № 6. С. 932 - 949.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

О НЕПОЛНОЙ СИСТЕМЕ ЭКСПОНЕНТ

Ряды экспонент и их обобщения изучались многими математиками. Фундаментальные исследования по теории представления функций рядами экспонент проведены А. Ф. Леонтьевым [1 - 3].

00

Пусть Ь(Х) = " Делая функция конечного порядка р,

к=О

О < р < 1. Будем предполагать, что все нули функции Ь(Х) - простые. Обозначим нули функции Ь(Х) через , расположив их в порядке неубывания их модулей. Рассмотрим на отрезке [-1; 1] следующую систему экспонент:

а)

00 ]

Так как {~кк} - нули целой функции порядка р, 0 < р < 1, то ряд £ у—г схо-