О неполной системе экспонент Текст научной статьи по специальности «Математика»

2 2

ТЕОРЕМА 2. Пусть т < 2к и X ИСхъ...,Цт * 0 для V = 1,.

Ть...,Тт=1Л1.....Ля=1

Если /(х) е ¿[0,1] и на интервале (1 / 2,1 / 2 + б), 0 < 8 < 1 / 2 справедливо

-пк \

/00 = 11 М gJ (х), а аик = о j=U=0

(5-е)2е апк

>а = К |

1/п

тогда выполняется (3) для оператора А.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хромов А. П. Конечномерные возмущения вольтерровых операторов // Матем. заметки. 1974. Т.16. № 4. С. 669 - 681.

2. Мацнев Л. Б., Хромов А. П. О порождающих функциях интегральных вольтерровых операторов // Матем. заметки. 1983. № 3. С. 423 - 434.

3. Тихомиров А. С. О конечномерных возмущениях интегральных вольтерровых операторов, действующих в пространстве вектор-функций // Дифференциальные уравнения и теория функций. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1984. С. 35-41.

4. Хромов А. П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Матем. заметки. 1998. Т. 64. № 6. С. 932 - 949.

УДК 517.5

В. И. Шевцов

О НЕПОЛНОЙ СИСТЕМЕ ЭКСПОНЕНТ

Ряды экспонент и их обобщения изучались многими математиками. Фундаментальные исследования по теории представления функций рядами экспонент проведены А. Ф. Леонтьевым [1 - 3].

00

Пусть Ь(Х) = " Делая функция конечного порядка р,

к=О

О < р < 1. Будем предполагать, что все нули функции Ь(Х) - простые. Обозначим нули функции Ь(Х) через , расположив их в порядке неубывания их модулей. Рассмотрим на отрезке [-1; 1] следующую систему экспонент:

а)

00 ]

Так как {~кк} - нули целой функции порядка р, 0 < р < 1, то ряд £ у—г схо-

дится и поэтому система (1) неполна в метрике С ни на каком отрезке вещественной оси [2, с. 61].

Обозначим через Ср класс бесконечно дифференцируемых на

[-1; 1] функций таких, что

V/eCp Vn > о \f{n)(x)\<A}+xmn, *6[-1Д], (2)

где Aj- не зависит от и их, {тп} - последовательность неотрицательных

чисел такая, что выполнено условие

-Г.— In т„ 1

а = lim-— < —.

л-*» «In« р

Отметим, что при а > 1 такой класс функций не является квазианалитическим. Обозначим далее через С* подкласс функций из Ср такой,

что любая функция / е С* удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению бесконечного порядка:

ML{F)=±ckfk\x) = О, *6[-1Д]. (3)

к=О

Элементарными решениями уравнения (3) являются функции системы (1).

В работе автора [4] доказано, что класс Ср является квазианалитическим классом функций на отрезке х е [- l;l]. В исследованиях структуры решений уравнения (2) важное значение имеет интерполирующая функция, которая определяется следующим образом. Обозначим через С„(ц) (п = 0,1,2,...) - тейлоровские коэффициенты функции

mzm-icjrt-. цеС.

Ц-t „=о

Функция

«¿(И-Л-Ёс^/^СО) (4)

л=0

называется интерполирующей функцией. Если / е Ср, то интерполирующая функция является целой функцией комплексного переменного ц. Свойства этой функции подробно изучены в [4, 5].

В настоящей статье рассматривается задача, связанная с аналитическим продолжением функции / е С*. Эта задача рассматривается в случае, когда характеристическая функция L(K) уравнения (3) удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

1) нули расположены на двух лучах

т- п к=1

1-

, »к > о;

2) 1ш1

1

-1Пт

1

г<00, 0</1<1.

(5)

(6)

Справедлива

ТЕОРЕМА. Пусть / е С* и выполнены условия (5) и (6), тогда /(х) допускает аналитическое продолжение в полосу - 1 < Яег < 1 ив этой полосе

Доказательство данной теоремы использует оценки коэффициентов при условии (5), (6), а также доказанную в работах [4, 5] теорему об аппроксимации решений уравнения элементарными решениями.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

2. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980

3. Леонтьев А. Ф. Обобщение рядов экспонент. М.: Наука, 1983.

4. Шевцов В. И. Об одном квазианалитическом классе функций. Саратов, 2000. 15 с. Деп. в ВИНИТИ № 1103-В00.

5. Шевцов В. И. Уравнение бесконечного порядка в одном квазианалитическом классе функций И Математика, Механика, Математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 72 - 75.

УДК 517.927

В. А. Юрко

О ВОССТАНОВЛЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ОСОБЕННОСТЯМИ ПО НЕПОЛНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ*

1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Ь-тоу» -юл (1)

с начальными условиями ^(0, р) = 1, у2(0,р) = -1. Здесь р = ст + /т -спектральный параметр, а И(х) - вещественная функция, которая называ-

" Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №00-01-00741.