О сходимости средних Рисса разложений по собственным функциям функционально-дифференциального оператора на графе-цикле Текст научной статьи по специальности «Математика»

(Ly)(x) =

ai Уі (x) + ві Уі (1-x) + Pii (x)yi (x) + pi2 (x)yi (1-x) «2y2 (x) + в2y2 (1-x) + P2i (x)y2 (x) + P22 (x)y2 (1-x) Уз(x) + P(x)ys(x)

y(x) = (yi (x),y2 (x),ys(x))T

x Є [0,1],

(1)

(2)

У1 (0) = Уз (1), У2 (0) = У1 (1), Уз (0) = У2 (1),

где а2 < в2, Рг? (х) е С1 [0,1]. Краевые условия (2) — это условия непрерывности у(х) во внутренних узлах Г.

Оператор (1) с общими краевыми условиями и (у) = 0 относится к классу функционально-дифференциальных операторов с операторами отражения, исследование которых получило интенсивное развитие [2]-[12]. В числе прочих изучаются и вопросы о разложении по собственным функциям таких операторов [5], [7]-[12]. Главные части первых двух компонент оператора Ь представляют собой линейную комбинацию производных у'(х) и у'(1 — х), квадрат которой есть оператор двукратного дифференцирования у''(х). Поэтому эти компоненты есть функционально-дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией V(х) = 1 — х, представляющие обобщения квадратного корня из у''(х). Данные функционально-дифференциальные операторы приводятся к операторам Дирака, и тем самым

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984

О СХОДИМОСТИ СРЕДНИХ РИССА РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА ГРАФЕ-ЦИКЛЕ

М.Ш. Бурлуцкая*, А.П. Хромов**

* Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа ** Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики E-mail: bums@kma.vsu.ru, KhromovAP@info.sgu.ru

В работе найдены необходимые и достаточные условия равномерной сходимости обобщенных средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям функционально-дифференциального оператора первого порядка на графе из трех ребер, образующих цикл.

On Convergence of Riesz Means of the Expansions in Eigenfunctions of a Functional-Differential Operator on a Cycle-Graph

M.Sh. Burlutskaya, A.P. Khromov

The paper deals with necessary and sufficient conditions of uniform convergence of generalized Riesz means for the expansions in eigen and associated functions of the 1-st order functional-differential operator on the graph with three ribs forming a cycle.

Пусть Г — геометрический граф из трех ребер, образующих цикл.

Используем векторный подход [1, с. 21], когда каждое ребро графа параметризуется отрезком [0,1], и функция на графе понимается как вектор-функция y(x) = (yi(x),y2(x),y3(x))T (T — знак транспонирования), компонента которой yk(x), соответствующая k-му ребру, есть скалярная функция на отрезке [0,1]. В соответствии с таким подходом зададим на Г следующий оператор:

© М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов, 2007

3

Рк(х) = (^ркР(1 -ж) Ркр(1 -ж)) ’ к = 1, 2’ Рз(х) = (р(х)), т(х) = (Ш1 (х),Ш2(х),тз(х),Ш4(х),

мы рассматриваем случай графа-цикла из трех ребер, когда на двух ребрах заданы операторы Дирака, а на одном — обычный дифференциальный оператор первого порядка.

В данной статье получим полное решение вопроса о равномерной сходимости на всем графе Г обобщенных средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям оператора Ь. Подобные результаты для интегральных операторов содержатся, например, в [13] и [14].

1. Построим краевую задачу для резольвенты Я а = (Ь — АЕ)-1 оператора Ь (Е — единичный оператор, А — спектральный параметр). Пусть у(х) = (Яа/)(х), где у(х) = (у1 (х),у2(х),у3(х))т, /(х) = (/1(х),/2(х),/3(х))т. Тогда у(х) есть решение системы

«1 у1 (х) + в1 у1 (1 — х) + Ри(х)у1 (х) + Р12 (х)у1 (1 — х) = Ау1 (х) + /1 (х), (3)

«2 у2 (х) + в2 у2 (1 — х) + Р21 (х)у2 (х) + Р22 (х)у2(1 — х) = Ау2 (х) + /2(х), (4)

у3 (х) + Р(х)уз (х) = Ауз (х) + /3(х), (5)

подчиненное краевым условиям (2).

Введем в рассмотрение следующую краевую задачу в пространстве вектор-функций размерности 5:

фг' (х) + Р (х)г(х) = Аг (х) + т(х), (6)

М0 г (0) + М1 ¿(1) = 0, (7)

где ф = (^(^1 ,ф2,фз), фк = ^ —«^ ’ к = 1’ 2, Фз = (1), Р(х) = diag(Pl(х), Рг(х), Рз(х)),

Рк1 (х) Рк2 (х)

— х) Рк1 (1 — х)

Шб(х))Т, Ш1(х) = /1 (х),Ш2(х) = /1 (1 — х), Шз(х) = /2(х), Ш4(х) = /2(1 — х), Тоб(х) = /з(х); Мо и М1 — квадратные (5 х 5) матрицы, для которых (М0)11 = (М0)32 = (М0)54 = (М1 )22 = (М1)41 = 1, (М0)33 = (М0)55 = (М1 )15 = (М1)25 = (М1)44 = —1, а остальные элементы равны нулю.

Лемма 1. Если А таково, что Яа существует, и у = Яа/, то г(х) = (г1 (х),г2(х),г3(х),г4(х), г5(х))т, где г1 (х) = у1 (х),г2(х) = у1 (1 — х),г3(х) = у2(х),г4(х) = у2(1 — х),г5(х) = у3(х), является решением (6)-(7). Обратно, если г(х) удовлетворяет (6)-(7) и соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение, то Яа существует, и (Яа/)(х) = (у1 (х),у2(х),у3(х))т, где у1 (х) = ¿1 (х), у2 (х) = гз (х), уз (х) = ¿5 (х).

Доказательство. Пусть у = Яа/. Тогда у(х) = (у1(х),у2(х),уз(х))т удовлетворяет системе (3)-(5). Меняя в (3)-(4) х на 1 — х получим еще два уравнения, образующие вместе с (3)-(5) систему, которая при переходе к функциям 2(х) приводится к (6). Далее, так как у1 (0) = 21 (0) = г2(1), у1(1) = ¿1(1) = 22(0), у2(0) = 2з(0) = ¿4(1), у2(1) = 2з(1) = ¿4(0), уз(0) = 25(0), уз(1) = 25(1) то краевые условия (2) дают следующие условия для гг(х): 21 (0) = г5(1), г2(1) = г5(1), г2(0) = гз(0), 21(1) = 24(1), 24(0) = 25(0), которые и есть (7).

Обратно, пусть г(х) является решением задачи (6)-(7). Преобразовывая первые четыре уравнения в системе (6) с использованием замены х на 1 - х, получим, что вектор-функция

(г2(1 — х),21(1 — х),г4(1 — х),гз(1 — х),г5(х))т является решением (6)-(7). В силу невырожденности задачи (6)-(7) имеем, в частности, соотношения г2(х) = 21 (1 — х), г4(х) = гз(1 — х), с учетом которых из (6)-(7) получим (3), (4), (5), (2) относительно 21(х), гз(х), г5(х). Так как однородная задача для (3)-(5), (2) имеет только нулевое решение, то Яа существует, и (Яа/)(х) = (г1(х),гз(х),г5(х))т. □ Введем в рассмотрение следующую краевую задачу:

и'(х) + Р(х)и(х) = АБи(х) + т (х), (8)

М0 и(0) + М1 и(1) = 0, (9)

где Р(х) = diag (В-1д-1Р1 (х)Вь В2- ф-1Р2(х)В2,В3-1 ф-1Рз(х)Вз), Б = diag (Бь Дг, Бз),

Бк = diag , dk = в2 — «к, (к = 1, 2), Бз = (1), т(х) = diag (В-1 ф-1, В-1 ф-1,

В-1ф-1 )т(х), Мо = Мо В, М1 = М1В, В = diag (В1, В2, Вз), Вк = (¿1 ^ , Ьк = в-1 [¿^4 + «к ], (к = 1, 2), Вз = (1).

М.Ш. Бурлуцкая, АП. Хромов. О сходимости средних Рисса разложений по собственным функциям Легко убедиться в справедливости следующего утверждения.

Лемма 2. Если и(х, А) — решение краевой задачи (8)-(9), то г(х, А) = Ви(х, А) есть решение задачи (6)-(7), и наоборот.

2. При исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи (8)-(9) возникают труд-

ности, связанные с наличием ненулевой матрицы -Р(х). Поэтому далее проводится преобразование системы (8), заменяющее Р(х) на матрицу с элементами О (А-^ [15, с. 48-58].

Пусть #о(х) = diag (#01 (х),#о2(х),#оз(х)), где #о1 (х) = diag (^(х),^(х)), #о2(х) =

= diag (Л,з(х),Л,4(х)), #оз(х) = (Л,5(х)), ^¿(х) = вхр | — /(£) и ргг(х) — диагональные элементы матрицы Р(х); #1 (х) = diag (#11 (х),#12(х),#1з(х)), где #1з(х) = 0, а #1к(х) (к = 1, 2) —

кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения:

#0 к (х) + Рк (х)#ок (х) + (#1к (х)Бк — Бк #1к (х)) = 0,

где Рк (х) = В-1ф-1 Рк (х)Вк. Так как элементы матрицы Р(х) и соответственно Р(х) из С 1[0,1], то элементы #1(х) из С1 [0,1], а #о (х) из С2 [0,1].

Теорема 1. Преобразование и(х) = #(х, А)г>(х), где #(х, А) = #о(х) + А-1 #1 (х), приводит

систему (8)-(9) к виду

V(х) + Р(х, А)г>(х) = АБг>(х) + т(х, А), (10)

Моа^(0) + М1а^(1) = 0, (11)

где Р(х, А) = А-1 #-1 (х,А)[#1 (х) + Р(х)#1 (х)], т(х, А) = #-1(х,А)ш(х), Моа = МоВ#(0,А),

М1а = М1В# (1, А).

Доказательство. Утверждение теоремы получается простой проверкой. Действительно, так как система (8) имеет блочно-диагональный вид, ее можно рассматривать как три системы:

и'(х) + Рк(х)и(х) = АБки(х) + т(х), к = 1, 2,3, (12)

где Рк(х) = В-1 ф-1Рк(х)Вк, т(х) = В-1 ф-1т(х), а и(х) и т(х) — векторы из двух компонент для к = 1, 2 и одной компоненты для к = 3 (здесь они имеют новый смысл, отличный от (6) и (8)).

Выполняя в каждой системе (12) преобразование и(х) = #к(х, А)-и(х), (-и(х) — скалярная функция для к = 3, и -и(х) = (и1(х), ^2(х))т для к = 1, 2), где #к(х, А) = #о к(х) + А-1#1к(х), получим систему уравнений, которая с помощью указанных выше блочно-диагональных матриц приводится к (10). Краевые условия (11) следуют из (9). □

3. Для того чтобы исследовать решение задачи (10)-(11), рассмотрим сначала краевую задачу

ь' (х) = дБ ь(х) + т(х), (13)

и (ь) = МоАь(0) + М1А ь(1) = 0, (14)

где т = (т1 ,т2,тз,т4,т5), тг = тг(х) е Ь[0,1], д = ¿А/у^, Б = diag(1, — 1,^, —¿,<^), ^ = д/¿1 /¿2 > 0, ^ /¿, т. е. АБ = дБ.

Общее решение системы (13) имеет вид

1

ь(х,д) = V(х, д)с + J д(х,£, д)т(£) ¿£,

о

где V(х, д) = diag (е^х, е-,е^х,е-^^х,е^шх), с = (с1 ,с2,сз,с4,с5)Т — произвольный вектор, д(х, £, д) = diag ( д1 (х, ¿, д), д2(х, £, д), дз(х, £, д), д4(х, £, д), д5(х, £, д)),

дк(х,£,д) = є(х,£)е^^(х ^, если Ие д^> к < 0,

дк(х,£,д) = —є(£,х)е^^(х-^, если Ие д^ к > 0,

є(х,£) = 1, если х > £, є(х,£) = 0, если х < £, ^ = 1, <^2 = —1, <^3 = <^4 = —^5 = Подчиняя

его краевым условиям (14), получим следующий результат.

Лемма 3. Если ц таково, что матрица Д(ц) = и(V(х,ц)) обратима, то краевая задача (13)-(14) однозначно разрешима при любой т(х) с компонентами из £[0,1], и ее решение имеет

вид

w(x, д) = R1(U m(x) = —V (x, д)Д 1 (д)и (g^m(x)) + m(x)

(15)

1 1

где д^т(х) = /д(х,£, ц)т(£) 4 и(д^т(х)) = / их(д(х, £, ц))т(£) 4 (их означает, что и применя-

0 0

ется к д по переменной х).

Непосредственным вычислением получаем следующее утверждение:

Лемма 4. Имеет место формула:

Д(Д) =

/ 1 + д-161Г2 (0)

bi hi (1) + д-1Г2 (1))e^ bi + д-1 Г2(0)

b1 + д 1r1(0)

(h2 (1) + д-1 Ь1Г1 (1))e-^ 1 + д-1 Ь1Г1 (о)

(h1 (1) + д 1b1 r2(1))e^ (b1h2(1) + д 1r1 (1))e ^

V

0

0

— (1 + д-1Ь2 Г4(0))

— (b2 h3 (1) + д-1 r4(1))e^d b2 + д-1Г4 (0)

— (b2 + д-1 Гз(0))

— (h4(1) + д-1 Ь2Гз (1))e-^d

1 + д-1Ь2 Гз(0)

—h5(1)e^w \

—h5(1)e

0

0

1

/

где 61 = в- 1 [«ч/^Г + а^], 62 = в2 1 [гу^ + а2], ^(х) — элементы матрицы Н0(х), гг(х) — эле-

менты матрицы гй-1/2#1 (х).

Для det Д(ц) справедливо следующее асимптотическое представление:

20

det Д(д) = A1 (д^+^+^ + A2^)e^d + A3(u)e-^d + A4^)e-^d+^ + V Ak(д^^+6fe^d+Cfe^

k=5

где Ак(ц) = + О (ц ^ , к = 1, 4, ^1 = 61 62 ^1 (1)^э(1)^5(1), V! = -Ь? Ь2 ^1 (1)^3(1), ^з = -^2(1)^4(1),

^4 = —61 62 Л,2(1)Л,4(1)Л,5(1), причем ^к = 0; Ак(ц) = О(1), к = 5, 20, акц + 6к+ скц<^ — различные комбинации, отличные от показателей экспонент первых четырех слагаемых (числа ак, 6к, Ск есть 0,

1 или —1).

Далее предполагаем, что Ие ц > 0, Ие ц<^ > 0 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда detД(ц) = е^+^+^ш Т(ц), где Т(ц) = А1(ц) + А2(ц)е-^ш + А3(ц)е-2^-2^-^+

20 , , , ____

+А4(ц)е-2^-2^ + ^ Ак(ц)е1^есть квазиполином. Так как ^к =0 (к = 1,4), то по

к=5

лемме 1 [16, с. 113], Т(ц) имеет счетное количество нулей, все они находятся в полосах вдоль мнимой и вещественной осей, причем в любых прямоугольниках |1тц — £| < 1, |Ие ц — £| < 1 соответствующих полос их число ограничено некоторой константой, не зависящей от £. Вырежем из комплексной плоскости эти нули вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса ¿0. Полученную область обозначим $г0. Тогда в $г0 при Ие ц > 0, Ие ц<^ > 0 для ¿(ц) = det Д(ц) справедлива оценка

|5(д)| > c|e^<1+d+">I.

(16)

Лемма 5. Компоненты матрицы V(х, ц)Д 1(ц) = (п^ (х, ц))5,^=1 в области £г0 при больших |ц| имеют оценки пг/(х, ц) = О (1), (г^ = 1,5), равномерные по х е [0,1].

Доказательство следует напрямую из (16) и оценки элементов матриц Д-1 (ц) и V(х, ц)Д-1 (ц). Лемма 6. Если компоненты вектор-функции т(х) принадлежат С[0,1], то в области £г0 при больших |ц| имеет место следующая оценка:

||R1^ т||^ — О

11

+

m

где

|Re д| |Im д|

есть норма в пространстве вектор-функций на отрезке [0,1].

ЭО

М.Ш. Бурлуцкая, АП. Хромов. О сходимости средних Рисса разложений по собственным функциям Доказательство. Если Re Л < 0 и f (x) Є C[0,1], то

x / x

i eA(x-t) f (t) dt = O l||f ||те ■ t к e|

J 0 OO \ 0

= O

|Re Л|

(17)

Если Re Л > 0, то

1 / 1 —x

J eA(x-t) f (t) dt = O l||f ||o ■ t d к — e|

x O 0

= O

| Re Л|

Поэтому из (17) и (18) получаем такую оценку ||5Vm||o = O ( ,т.1 , +

11

+

|Re д| |Re ^d| |Re д^|

m

(18)

(19)

Так как существует константа с > 0 такая, что с < min{d^v/di}, то |Reд^| 1 < С|Re^| |Reд^|-1 = |Re^v/d1/i|-1 = |Im^v/d!|-1 < С|Im д|-1. Поэтому из (19) получаем

llgum||o = O ^

11

+

|Re д| |Im д|

m

Очевидно, что эта оценка справедлива и для и(д^т) и тем самым, по леммам 3 и 5, для т||с Лемма доказана. □

4. Теперь приступим к получению основного результата статьи.

Пусть д(д, г) удовлетворяет следующим требованиям:

а) д(д, г) непрерывна по д в круге |д| < г и аналитична по д в |д| < г при любом г > 0;

б) существует С > 0 такая, что |д(д, г)| < С при всех г > 0 и |д| < г;

в) существуют положительные в и Н такие, что д(гвг^,г) = 0(|ф|в), где ф = ^, при

ф = ^ — п, при |^ — п| < Н, ф = ^ — п/2, при |^ — п/2| < Н, ф = ^ + п/2, при |^ + п/2| < Н;

г) д(д, г) ^ 1, при г ^ ^ и фиксированном д.

Примеры таких функций есть в [13].

В качестве обобщенных средних Рисса мы будем брать интегралы:

< h,

Jr (f,x) = -

1

2пг

д(д,г)ДАf (x) ¿Л.

|A|=rVd1

Теорема 2 (формула остаточного члена). Пусть /(х) — непрерывная вектор-функция на отрезке [0,1], /о (х) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция на отрезке [0,1] и удовлетворяющая условиям (2). Тогда, если на окружности |Л| = г\/^ї нет собственных значений оператора Ь, то

/(х) - Л(/,х) = /(х) - /о(х) + (1 - д(до,г))/о(х)+

+

1

2пг

д(д,г)

1

Л — Ло

Ra до (x) ¿Л — Jr (f — fo, x),

(20)

| А|=гл/^Г

где Л0 — фиксированное число, не являющееся собственным значением оператора Ь, д0 = гЛ0/л/^ї" и до = Ь/о — Ло/о •

Доказательство. Имеем до = (Ь — ЛЕ)/о + (Л — Ло)/о. Отсюда ДАдо = /о + (Л — Ло)Да/о. Поэтому

Jr (fo,x) = —

2пг

д(д,г)

|A|=rvdT = Іо^Ждо,r) —

f0(x) + 1

1

2пг

Л — Ло Л — Ло

1

ra go

¿Л =

(21)

д(д,г)

Л Ло

RAg0 ¿Л.

| A|=^Vdr

Теперь из Jr(f,x) = Jr(f — f0,x) + Jr(f0,x) и (21) получаем (20). □

OO

ЭО

OO

OO

1

Лемма 7. Пусть вектор-функция f(x) с непрерывными компонентами удовлетворяет (2). Тогда для любого є > 0 существует вектор-функция f0(x) с компонентами из C1 [0,1], удовлетворяющая (2), такая, что ||f (x) — f0(x)||O < є.

Доказательство. Переходим от f(x) и f0(x) к скалярным функциям F(x) и F0(x) по формулам: F(x) = fi(x) (F0(x) = f0i(x)) при x Є [0,1]; F(x) = f2(x — 1) (F0(x) = f02(x — 1)) при x Є [1, 2]; F(x) = Із(x — 2) (F0(x) = f03(x — 2)) при x Є [2,3] (здесь f (x) = (fi(x),f2(x),f3(x))T, f0(x) = (І01 (x),f02(x),f03(x))T). Тогда F(x) (F0 (x)) непрерывна (непрерывна и непрерывно дифференцируема, кроме, быть может, точек x = 1, 2), и утверждение леммы есть следствие соответствующего утверждения для скалярного случая. □

Теорема 3. Если f (x) — та же вектор-функция, что и в лемме 7, то

lim ||f (x) — Jr (f,x)|o =0. (22)

Утверждение теоремы получается из теоремы 2 и леммы 7 так же, как и в [13].

Замечание. Так как (/, х) всегда удовлетворяет условиям (2), то из теоремы 3 следует, что (22) имеет место, тогда и только тогда, когда /(х) имеет непрерывные компоненты и удовлетворяет (2).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

Библиографический список

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физ-матлит, 2004.

2. Babbage Ch. An essay towards the calculus of functions // Philosophical transactions of the Royal Society of London. 1816. V. 11. P. 179-226.

3. Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 5. С. 1126-1128.

4. Dankl Ch.G. Differential-Difference Operators Associated to Reflection Groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311, № 1. P. 167-183.

5. Платонов С.С. Разложение по собственным функциям для некоторых функционально-дифференциальных операторов // Тр. Петрозавод. госун-та. Сер. мат. 2004. Вып. 11. С. 15-35.

6. Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. заметки. 1998. Т. 64, № 6. С. 932-949.

7. Хромов А.П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функциям дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Доклады РАЕН. 2004. № 4. С. 80-87.

8. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Мат. сборник. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378-405.

9. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных опера-

торов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях // Мат. сборник. 2001. Т. 192, № 10. С. 33-50.

10. Корнев В.В., Хромов А.П. Абсолютная сходимость разложений по собственным функциям интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Изв. РАН. Сер. мат. 2005. Т. 69, № 4. С. 59-74.

11. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных функций интегрального оператора с переменным пределом интегрирования // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 1. С. 97-110.

12. Луконина А.С. О сходимости разложений по

собственным и присоединенным функциям одного

дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. Вып. 7. С. 67-70.

13. Гуревич А.П., Хромов А.П. Суммируемость по

Риссу спектральных разложений одного класса интегральных операторов // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 6. С. 809-814.

14. Гуревич А.П., Хромов А.П. Суммируемость по

Риссу спектральных разложений для конечномерных возмущений одного класса интегральных операторов // Изв. вузов. Математика. 2001. № 8 (471). С. 38-50.

15. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН Укр. ССР, 1954.

16. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964.