О равносходимости разложений для некоторого класса функционально-дифференциальных операторов с инволюцией на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, в случае <50 = 0 решение исходной задачи СИ1;м можно найти по формуле (3), где (г) и (г) определяются по формулам (28), (30), (35) и (36).

Резюмируя все сказанное выше, в случае <50 = 0 можно сформулировать следующий основной результат.

Теорема 2. Если 50 =0 и |6к1(£)| = |(5к2(£)| на Ь (к = 1, 2), то решение задачи СИ1>м сводится к решению в классах аналитических функций двух скалярных задач Римана вида (19) и двух скалярных задач Римана вида (20).

Если же 50 =0 и |(5к1(£)| = |(5к2(£)| на Ь (к = 1, 2), то решение задачи СИ1>м сводится к решению в классах аналитических функций двух обобщенных скалярных задачи Римана вида (22) и двух обычных скалярных задач Римана вида (23).

Кроме того, задача СИ1>м разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы указанные задачи Римана для аналитических функций и дифференциальное уравнение (27).

Библиографический список

1. Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитиче-ских функций и некоторые их приложения. Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. 344 с.

2. Расулов К.М., Сенчилов В.В. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для мета-аналитических функций в круге // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 43. С. 415-418.

3. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

4. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977. 448 с.

5. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 436 с.

6. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966. 628 с.

УДК 517.984

О РАВНОСХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИИ ДЛЯ НЕКОТОРОГО КЛАССА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ИНВОЛЮЦИЕЙ НА ГРАФЕ

М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов*

Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа * Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики

E-mail: bums@kma.vsu.ru, KhromovAP@info.sgu.ru

Для функционально-дифференциального оператора первого порядка, заданного на графе-цикле, устанавливается равносходимость разложений в ряд по собственным и присоединенным функциям и в тригонометрический ряд Фурье.

On the Equiconvergence of Expansions for the Certain Class of the Functional-Differential Operators with Involution on the Graph

M.Sh. Burlutskaya, A.P. Khromov

The equiconvergence of expansions in eigen- and adjoint functions and trigonometric Fourier series is established for a 1-st order functional-differential operator on the graph-cycle.

На связном геометрическом графе Г, состоящем из трех ребер, образующих цикл, рассматривается функционально-дифференциальный оператор, порождающий следующий оператор Ь в пространстве вектор-функций у(х) = (у1(х),у2(ж),уз(х))т (Т — знак транспонирования), х Є [0,1],

(ЬУ)(х) = (11 (У1 ),12 Ы,Ыуз))Т, (1)

У1(0) = уз(1), у2(0) = у1(1), уз(0) = у2(1), (2)

где 1к (у к) = ак у'к (х) + вк у'к (1-х) + Рк1(х)ук (х) + Рк2(х)ук (1-х),

в2 — ак > 0, в2 + в! + вз = 0, Ріу (х) Є С 1[0,1]. Краевые условия (2) — это условия непрерывности у(х) во внутренних узлах Г.

© М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов, 2008

9

В связи с интенсивным развитием теории краевых задач на ветвящихся многообразиях [1] возникает необходимость в переносе классических результатов спектральной теории операторов на случай операторов, заданных на графах. Компоненты оператора Ь есть функционально-дифференциальные операторы (ФДО) первого порядка с инволюцией V(х) = 1 — х. Исследование подобных операторов представляет собой активно развивающееся направление [2]-[6], в том числе и в задачах на графах

[7], [8].

Будем рассматривать случай, когда один из коэффициентов при некоторой у'к(1 — х) равен нулю. Пусть для определенности вз = 0, (в1 в2 = 0). Тогда считаем, что аз = 1, рз2(х) = 0, и полагаем рз1 (х) = р(х). В этом случае оператор (1) на третьем ребре примет вид 1з(уз) = ук(х) + р(х)уз(х). Таким образом, на двух ребрах графа задан ФДО (который может быть приведен к известному оператору Дирака), а на третьем — обычный оператор дифференцирования. В [8] исследовались вопросы о равномерной сходимости на всем графе Г обобщенных средних Рисса разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) оператора Ь. В данной работе для оператора Ь устанавливается равносходимость разложений в ряд по с.п.ф. и в тригонометрический ряд Фурье.

Отметим, что для корректного задания дифференциального и функционально-дифференциального оператора первого порядка необходимо, чтобы граф содержал цикл, причем единственный. Поэтому полученные в работе результаты могут быть распространены на случай произвольного графа такой структуры. При этом на ребрах, входящих в цикл, может быть задан как ФДО, так и оператор чистого дифференцирования, а на ребрах вне цикла — только ФДО (иначе нарушается регулярность краевых условий).

Сходимость разложений по с.п.ф. исследуется методом контурного интегрирования резольвенты Ял = (Ь — АЕ)-1 (Л — спектральный параметр, Е — единичный оператор) по расширяющимся контурам комплексной плоскости.

1. Для построения и исследования краевой задачи для Ял воспользуемся некоторыми результатам из [8]. Пусть у(х) = (ЯЛ/)(х) где у(х) = (у1 (х),у2(х),уз(х))Т, /(х) = (/1(х),/2(х),/з(х))Т.

Введем в рассмотрение следующую краевую задачу в пространстве вектор-функций размерности 5:

фг'(х) + Р (х)г(х) = Аг(х) + т(х), (3)

М0г(0) + М1 г(1) = 0, (4)

где ^ = diag(Ql,^2,^з), Р(х) = diag (Р1(х), Р2(х),Рз(х)), ^ в^ , к = 1, 2, ^з = (1),

\вк — ак/

Рк(х) = (рР(1 (х)х) рР(2(х)х0 , к = 1 2, Рз(х) = (Р(X)), т(х) = (т1 (х),--',Ш5(х))Т,

\Рк2 (1 — х) Рк1 (І — х)/

т1 (х) = /1 (х), Ш2(х) = /1 (1 — х), Шз(х) = /2(х), Ш4(х) = /2(1 — х), Шб(х) = /з(х), М0, М1 — квадратные матрицы размерности 5, причем (М0)11 = (М0)з2 = (М0)54 = —(М0)зз = —(М0)55 = 1, (М1)22 = (М1 )41 = —(М1 )15 = —(М1 )25 = —(М1 )44 = 1, остальные элементы (Мк)у = 0.

Лемма 1. Если А таково, что ЯЛ существует, и у = ЯЛ/, то г(х) = (г1 (х),...,г5(х))т, где г1 (х) = у1 (х),г2(х) = у1 (1 — х),гз(х) = у2(х),г4(х) = у2(1 — х),г5(х) = уз(х), является решением (3)-(4). Обратно, если г(х) удовлетворяет (3)-(4) и соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение, то ЯЛ существует, и (ЯЛ/)(х) = (у1 (х),у2(х),уз(х))т, где у1 (х) = ^(х), у2(х) = гз(х), уз(х) = ^(х).

Диагонализируя задачу (3)-(4), получим

(х) + Р(х)и(х) = А£и(х) + т (х), (5)

М0и(0) + М1 и(1) = 0, (6)

где Р(х) = diag (Р1 (х), Р2(х), Рз(х)), Рк(х) = В-1 ^-1Рк(х)Вк, £ = diag (£ ,£,£з),

£к = diag («/^, —«/^ік), Зк = вк — а І, к = 1, 2, £з = (1), т(х) = diag(B-1Q-1 , В-1 д-1, )-1л-1 )т(х) М = м В В = ^„,о В в)Вк = (*7 ), Ьк = ^ври, к = 1, 2, Вз = (1).

вз-1дз-1 )т(х), Мк = МкВ, В = diag(Bl,B2,Вз), Вк = Ц ^), Ьк = , к = 1,

Для получения асимптотических оценок решения краевой задачи (5)-(6) проводится преобразование системы (5), заменяющее ненулевую матрицу Р(ж) на матрицу с элементами О (А-1) ([9], с. 48-58).

Положим Но (ж) = diag (Но1(ж), Но2(ж), Но3 (ж)), где Ни (ж) = diag (^1(ж), Л,2(ж)), Но2(ж) = = diag (^3 (ж),^4(ж)), Ноз (ж) = (Л,5 (ж)), Л,* (ж) = ехр| - / р^(£) и р^(ж) — диагональные элементы матрицы -Р(ж); Н1 (ж) = diag (Н11 (ж),Н12(ж),Н13(ж)), где Н13(ж) = 0, а Н1к(ж) (к = 1, 2) — кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения: Нок(ж)+Рк(ж)Нок(ж) + (Н1к(ж)О — О,Н1к(ж)) = 0. Так как элементы матрицы Р(ж) и соответственно -Р(ж) принадлежат пространству С 1[0,1], то элементы Н1 (ж) из пространства С1 [0,1], а Но (ж) — из С 2[0,1].

Теорема 1. Преобразование х (ж, А) = ВН(ж, А)ю(ж), где Н(ж, А) = Но(ж) + А-1 Н (ж), приводит систему (3)-(4) к виду

ю'(ж) + Р(ж, А)ю(ж) = АОю(ж) + т(ж, А), (7)

Мэлю(0) + М1Л ю(1) = 0, (8)

где Р(ж, А) = А-1Н-1 (ж,А)[Н1 (ж) + Р(ж)Н (ж)], т(ж,А) = Н-1 (ж,А)т(ж), Мол = МоВН(0, А), М1л = М1ВН(1, А).

2. Рассмотрим сначала краевую задачу:

ад'(ж) = дО ад (ж) + т(ж), (9)

и (ад) = Молад(0) + М1лад(1) = 0, (10)

где т = (т1,т2, т3, т4,т5), т, = т,(ж) е Ь[0,1], д = гА/л/^ь О = diag(1, — 1,Й, — Й,о>), Й = а/й1/й2 > 0, ^ /г, т. е. АО = дО.

Общее решение системы (9) имеет вид

1

ад(ж, д) = V(ж, д)с + J д(ж, £, ^)т(£) Й£,

о

где V(ж, д) = diag (е^х, е-^х, е^х, е-^х, е^шх), д(ж, £, д) = diag (д1(ж, £, д), ..., д5(ж, £, д)), дк(ж, £, д) = = е(ж,£)е^^(х-^, если Ие < 0, дк(ж, £, д) = — е(£,ж)е^^(х-^, если Ие > 0; е(ж,£) = 1, если

ж > £, е(ж,£) = 0, если ж < £, ^1 = 1, <^2 = —1, <^3 = Й, <^4 = —Й, <^5 = о>, с — произвольный вектор. Подчиняя его краевым условиям (10) получим следующий результат.

Лемма 2. £сли д таково, что матрица Д(д) = и(V(ж, д)) обратима, то краевая задача (9)-(10) однозначно разрешима при любой т(ж) с компонентами из Ь[0,1], и ее решение имеет вид

ад(ж, д) = Р1^ т(ж) = —V (ж, д)Д-1(д)и (д^т(ж)) + д^ т(ж), (11)

1 1

где д^т(ж) = Jд(ж,£, ^)т(£) Ш, и(д^т(ж)) = Jих(д(ж, £, ^))т(£) М, (их означает, что и приме-

о о

няется к д по переменной ж).

Из ограниченности компонент матрицы д(ж,£,^) следует

Лемма 3. Имеют место оценки:

Цд^Чи = O(llmlll), IIй (д^т)1и = °(Нт1|1),

где || ■ ОМЬ) _ норма в пространстве вектор-функций размерности 5 с компонентами из Ь^

(Ь).

Так же как в [8] можно показать, что для определителя 5(д) = det Д(д) справедливо следующее асимптотическое представление:

20

ёе^(д) = Аі(д)е^+^+^ + А(д)е^+^ + Аз(д)е-^-^ + Лі(м)е-^-^+^ + £ Ак(д)еак^+Ьк^+Ск^,

к=5

где Ак(и) = + О (д-1) , к = 1, 4, VI = Ьі &2 ^і(1)^з(1)^5(1), ^2 = -Ь2 &2 ^1 (1)^з(1), ^з = — Л,2(1)^(1),

^4 = —Ь1 Ь2 Л,2(1)Л,4(1)Л,5(1), причем V*; = 0; Ак(и) = О(1), к = 5, 20, акд + Ьк+ скди — различные комбинации, отличные от показателей экспонент первых четырех слагаемых (числа ак, Ьк, Ск есть 0,

1 или —1).

Далее предполагаем, что Иед > 0, Иеди > 0 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда ёе!;Д(д) = е^+^+^ш Т(и), где Т(и) есть квазиполином, который имеет счетное количество нулей (см. [10, с. 113, лемма 1]), все они находятся в полосах вдоль мнимой и действительной осей, причем в любых прямоугольниках |1т д — £| < 1, |Ие д — £| < 1 соответствующих полос их число

ограничено некоторой константой, не зависящей от £. Вырежем из комплексной плоскости эти нули

вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса 50. Полученную область обозначим Ss0. Тогда в £г0 при Иед > 0, Иеди > 0 справедлива оценка |5(д)| > с |е^(1+^+ш)|. Отсюда и из оценки элементов матриц Д-1 (д) и V(х, д) следует

Лемма 4. Если х є [5,1 — 5] (5 є [0,1/2)), то компоненты матрицы V(х, д)Д-1 (д) = = (пу (х, д))5)^=1 в области £г0 имеют следующие оценки: пу(х, д) = О (е-^к5) , і = 1,5, і = 1, 5, где и1>2 = 1, и3,4 = ^ и5 = и.

С помощью лемм 2, 3 и 4, так же как теорема 2 из [6], доказывается Лемма 5. В области £г0 при больших |д| справедливы оценки

т||те = О (||т||1), (12)

||Л1^^Н~ = о (м-1), (13)

где ^(х) — вектор-функция, каждая компонента которой есть функция ограниченной вариации.

Лемма 6. В области £г0 при больших |д| краевая задача (7)—(8) однозначно разрешима, и для ее решения г>(х, А) справедлива оценка

11V(х, А) — #1^#0-1тїй = О (д-1||/ІІ1).

Доказательство. Из (7) имеем -и(х, А)=#1^ (т(х, А) — Р(х, А)г>(х, А)), или

(Е + Р1(„Р(х, А))-и(х, А) = Р1(„т(х, А). (14)

Так как ядро оператора Р1^ ограниченно, а Р(х, А) = О (А-1) = О (д-1), то оператор Е + Р1(„Р(х, А) обратим в Р^. Поэтому уравнение (14) однозначно разрешимо и

■и(х, А) = Р^#1^ш(х, А), где Р^ = (Е + Р1^Р(х, А))-1. Учитывая, что Р^ = Е — Р^Р1^Р(х, А),

получим -и(х, А) = #1^ш(х, А) — Р^Р1^Р(х, А)#1А4ш(х, А). Отсюда, используя представления

т(х, А) = Н-1(х, А)т(х), Н-1(х, А) = Н0_1(х) + О (д-1), оценку (12) и ограниченность операто-

ра Р^, получим утверждение леммы. □

Аналогично, учитывая оценку (13), имеем

Лемма 7. Если компоненты т(х) есть функции ограниченной вариации, то

11V(х, А) — #1^Н0_1т||те = О (д-2) .

Из лемм 6 и 7 по теореме Банаха - Штейнгауза следует

Лемма 8. Если т(х) та же, что и в (5) для интегрируемой вектор-функции /(х) = (/1 (х),

/2(х),/3(х))Т, то

J Н(х, А) [и(х, А) — Р1^Н(-1т] ^А

|Л|=г

(интегрирование проводится по контурам, целиком лежащим в £г0).

3. Для получения основного результата статьи (теоремы равносходимости) рассмотрим следующую краевую задачу:

и' (х) = дР и(х) + т(х), и0 (и) = и(0) — и(1) = 0. (15)

Ііт

Г—>-00

=0

ОС

Удалим из $г0 вместе с круговыми окрестностями радиуса <50 собственные значения краевых задач:

и' (ж) = до'и(ж), и(0) — %(1) = 0, = 1, 5), где = 1; <^2 = —1; <^4 = —^; <^5 = о>,

и получившуюся область снова обозначим $г0. Тогда в $г0 задача (15) однозначно разрешима, и ее решение есть Д2^т, которое имеет тот же вид (11), что и Л1(„т, с заменой и на и0.

Лемма 9. Если т(ж) та же, что и в лемме 8, то

Ііт

Г—>00

= 0,

С[є,1 — є]

Н(ж, А) [Я^Н0 1т — Я2(„Н0 1 ш] ^А

|Л|=г

где е е (0,1/2), и || ■ ||с[е,1-е] _ норма в пространстве непрерывных вектор-функций на [е, 1 — е]. Доказательство повторяет доказательство леммы 13 из [6].

Лемма 10. Для любой функции /(ж) = (/1(ж), /2(ж), /з(ж))т, /г(ж) е £[0,1],

Ііт

Г—>-00

= 0, (16)

С [є, 1—є]

[И(ж, А)-и(ж, А) — И0(ж)Я2^И0 1т] ^А

|Л|=г

где -и(ж, А) — решение задачи (7)-(8), и т(ж) та же, что и в (5).

Доказательство. Обозначим интеграл в (16) через /. Представим его в виде суммы І = І1 +І2 + /3, где 11 = J И (ж, А)|и(ж, А) — Я^ И—1 т] ^А, 12 = J И (ж, А)[Я1(„ И—1 т — Я2(„ И—1т] ^А,

|Л|=г |Л|=г

13 = J (И(ж,А) — И0(ж))Я2(„И—1т^А. По леммам 8 и 9, ||11 ||о ^ 0, ||І2||С[є>1—є] ^ 0, при

|Л|=Г

г ^ го. Так как И (ж, А) — Ио (ж) = О (А—^, и Я2/иИ—1 т = О (||/Ц1), то ||Із ||о = О (||/Ц1). Если /г(ж) (і = 1, 2, 3) есть непрерывные функции ограниченной вариации, то Я2(„И— 1т = О (д—^ и ||І3||о = О (г—^. Тогда по теореме Банаха - Штейнгауза ||І3||о ^ 0, при г ^ го. Отсюда следует утверждение леммы. □

Обозначим через £г(/, ж) частичную сумму ряда Фурье функции / по с.п.ф. оператора Ь для собственных чисел Ак, попадающих в круг |Ак | < г; через ау3. (/, ж) частичную сумму ряда Фурье функции /' по тригонометрической системе {е2кпгх}+=°оо, включающую слагаемые, для которых |2пк| < Г'.

Теорема 2. Для любой вектор-функции /(ж) = (/1 (ж),/2(ж),/3(ж))т с компонентами /г(ж) из Ь[0,1], и любого є є (0,1/2)

II ^(/,ж) — (^Г! (/1 ,ж),^г2 (/2,ж),^г (/3,ж))Т ||С[є>1 — є] = 0,

где Г1 = г/\/Зъ г2 = г/у^.

Доказательство. Из леммы 1, ЯЛ/=(г1(ж, А),г3(ж, А),г5(ж, А))т, где — компоненты решения задачи (3)-(4). Учитывая теорему 1 и лемму 10,

(£г(/,ж))1 = — 2“^ / ^1 (ж, А) ^А = — 1л(ж) ^А + о(1), (17)

|Л|=г |Л|=г

где ІЛ есть первая компонента вектора ВИ0(ж)Я2^И—1 (ж)т, а о(1) ^ 0 при г ^ го равномерно по ж є [є, 1 — є]. Вычислим Іл. Имеем

-1/™\ о-1^>-1„

ІЛ (ж) = (ВИ0 (ж)Я^И0-1(ж)В—1 д—1т(ж^ 1,

где т(ж) = (/1 (ж),/1(1 — ж),/2(ж),/2 (1 — ж), /3 (ж))Т. Полагая ВИ0 (ж) = (7^ (ж))5,^,

И—1(ж)В—1 = (^ (ж))5,'=1, и учитывая, что ^ = diag(ЯJ,Я—^,Я°гі,Я—^,Я^) (ЯЛ — резольвента скалярного оператора Ь0у = у', у(0) = у(1)), найдем

ІЛ = 7иЯ^ (^11 ^1 + ^12+ 712Я—Д^21 ^1 + ^22д2),

где gl (x) = dl [—«і /1 (x) + 01 /1(1 — x)], g2 (x) = dl [—01 /l(x) + «1 /1(1 — x)]

Так как д = іЛ/л/^Т, то

1

V^T

1

V^T

—2ПЇ J (R/)(x) dЛ ^~Tari(/,x), — 2Пі J (R_-“/)(x) ^ = —^(/,x),

| Л | =r | Л | =r

где rT = r/^/dT. Поэтому

— 2ni I ^) dЛ = {711 (x) [an (5iigi,x)+ an (6i2g2,x)] —

|л|=г

—'712(x) [ari (621 gi, x) + ari (622g2, x)] j.

(18)

Далее используя принцип локализации и теорему Штейнгауза ([11], с. 111), несложно получить, что если а(ж) удовлетворяет условию Липшица первого порядка, то ||ау(а/,ж) — а(ж)ау(/,ж)||С[£)1-е] ^ 0, при г ^ го для любой функции /(ж) е £[0,1]. Следовательно, (18) перейдет в

11 —2ПЇ J /л (x) dЛ = VdT |л|=г

piari (/1 ,x) + #2 ari (/i,x)] + o(1),

(19)

где 01 = «1 (712^21 — 7115ц) + 01(712^22 — 711^12), $2 = «1(711 ^12 — 712^22) + 01 (ТИ^И — 712^21), /]_(ж) = /(1 — ж). Непосредственно вычислив элементы 7у (ж) и (5у (ж), найдем, что 01 = ^ 02 = 0. Таким образом, из (17) и (19) имеем (£г(/,ж))1 = <гГ1 (/1 ,ж) + о(1).

Аналогично доказывается, что (£г (/, ж))2 = ау2 (/2, ж) + о(1), где г2 = гй/у^ =

= (гл/ЗГ)/^л/З^л/З2) = г/\/^2, а о(1) ^ 0 при г ^ го равномерно по ж е [е, 1 — е]. Для третьей компоненты £г(/,ж) имеем (£г(/,ж))з = ау(/з,ж) + о(1). Отсюда следует утверждение теоремы. □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 06-01-00003, 07-01-00397).

Библиографический список

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.:Физматлит, 2004. 272 с.

2. Андреев А.А. Об аналогах классических краевых задач для одного дифференциального уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40, № 5. С. 1126-1128.

3. Dankl Ch.G. Differential-Difference Operators Associated to Reflection Groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1989. V. 311, № 1. P. 167-183.

4. Платонов С.С. Разложение по собственным функциям для некоторых функциональнодифференциальных операторов // Тр. Петрозавод. унта. Сер. Матем. 2004. Вып. 11. С. 15-35.

5. Хромов А.П. Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Мат. сборник. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378-405.

6. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных

на диагоналях // Мат. сборник. 2001. Т. 192, № 10. С. 33-50.

7. Бурлуцкая М.Ш., Курдюмов ВИ., Луконина А.С., Хромов А.И. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией // Докл. АН. 2007. Т. 414, № 4. С. 443-446.

8. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.И. О сходимости средних Рисса разложений по собственным функциям функционально-дифференциального оператора на графе-цикле //Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2007. Т. 7, вып. 1. С. 3-8.

9. Рапопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН Укр. ССР, 1954. 287 с.

10. Расулов М.Л. Метод контурного интеграла и его применение к исследованию задач для дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. 464 с.

11. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физмат-гиз, 1961. 936 с.