Об одной теореме равносходимости на всем отрезке для функционально-дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984

ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ РАВНОСХОДИМОСТИ НА ВСЕМ ОТРЕЗКЕ

ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

М.Ш. Бурлуцкая, А.П. Хромов

Воронежский государственный университет, кафедра математического анализа;

* Саратовский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений и прикладной математики

E-mail: burlutskaya@math.vsu.ru, KhromovAP@info.sgu.ru

В работе установлена равносходимость на всем отрезке рядов Фурье по собственным и присоединенным функциям функционально-дифференциального оператора с инволюцией, содержащего потенциалы, и простейшего функционально-дифференциального оператора.

Ключевые слова: функционально-дифференциальный оператор, инволюция, разложение по собственным и присоединенным функциям, равносходимость.

On the Same Theorem on a Equiconvergence at the Whole Segment for the Functional-Differential Operators

M.Sh. Burlutskaya, A.P. Khromov*

Voronezh State University, Chair of Mathematical Analysis;

* Saratov State University, Chair of Differential Equations and Applied Mathematics E-mail: burlutskaya@math.vsu.ru, KhromovAP@info.sgu.ru

The equiconvergence of expansions in eigen- and adjoint functions of functional-differential operator with involution, containing the potentials, and simplest functional-differential operator at the whole segment of Fourier series is established.

Key words: functional-differential operator, involution, the expansions in eigen and associated functions, equiconvergence.

В данной работе устанавливается равносходимость на отрезке [0,1] рядов Фурье по собственным и присоединенным функциям (далее — с.п.ф.) для следующих функционально-дифференциальных операторов с инволюцией:

Ly = У'(1 - x) + ay'(x) + pi(x)y(x) + p2(x)y(1-x), y(0) = Yy(1), Loy = y'(1 - x) + ay'(x), y(0) = Yy(1),

где x e [0,1], a2 = 1, a, y — комплексные постоянные, pi(x) e e C1 [0,1].

Для скалярного дифференциального оператора n-го порядка с регулярными краевыми условиями подобный результат хорошо известен [1].

1. Обозначим через L следующий оператор в пространстве вектор-функций размерности 2:

Lz = Bz' (x) + P (x)z (x), Mo z (0) + Mi z(1) = 0.

(1) (2)

Здесь х(х) = (¿1 (х),х2(х))т (Т — знак транспонирования), Р(х) = ( Р1 (х) Р2(х) ■ ,

(1 - х) Р1 (1 - х) у

В = Г -1 , Мо = 1 -7 , М1 = Г 0 .Оператор Ь представляет собой частный слу-

\1 -а) ° / V7 -1/

чай оператора Дирака.

Так же как в [2, 3] можно доказать

Теорема 1. Спектры операторов Ь и Ь совпадают, причем если Яд и Яд — соответственно резольвенты операторов Ь и Ь, и у = Яд/, х = ЯдГ, где Г(х) = (/(х), /(1 - х))т, то у(х) = ¿1 (х), а Х2(х) = у(1 - х).

Аналогично можно показать, что совпадают спектры операторов Ь0 и Ь0, где

Ьо х = Вх' (х), Мо х(°) + М1х(1) =

(матрицы В, Мо, М1 — те же, что и в (1)-(2)) и ЯД/(х) = [ЯДГ(х)]1, а [ЯДГ(х)]2 = (ЯД/)(1 - х), Яд и ЯД — соответственно резольвенты операторов Ьо и Ьо, Г(х) = (/(х),/(1 - х))т ([•]& означает к-ю компоненту вектора).

Исследуем резольвенту Яд = (Ь - АЕ)-1 оператора Ь (здесь А — спектральный параметр, Е — единичный оператор). Пусть х(х) = х(х, А) = ЯдГ(х) (в дальнейшем для краткости аргумент А в обозначении решений различных задач будем опускать). Тогда х(х) удовлетворяет задаче

Вх'(х) + Р(х)х(х) - Ах(х) = Г(х), (3)

Мо х(°)+ М1 х(1) =°. (4)

Положим Г = ( ], где Ь = а - со, со = V«2 - 1 (числа ± со — собственные значения матрицы В).

Тогда ВГ = ГВ 1, где В 1 = diag(сu, -со). Выполнив в (3)-(4) замену х(х) = Ги(х), получим следующую задачу для и(х):

и'(х) + Р1 (х)и(х) - АВи(х) = Г1 (х), (5)

Мо Ги(°) + М1 Ги(1) = (6)

где Р1(х) = ВГ-1 Р(х)Г, Г1 (х) = ВГ-1 Г(х), В = diag(с, -с) и с = 1/со.

Далее проводится преобразование системы (5)-(6), заменяющее матрицу Р1 (х) на матрицу, компоненты которой имеют оценку О (А-1) (см., напр., [2, 3]).

Лемма 1. Существует преобразование и(х) = Н(х, А)^(х), где Н(х, А) = Но(х) + А-1 Н1 (х), Но(х) — диагональная, Н1 (х) — кодиагональная матрицы, приводящее систему (5)-(6) к виду

V'(х) + Р(х, А)-и(х) - АВ^(х) = Н-1 (х,А)Г1 (х), (7)

Мод v(°)+ М1Д V (1) =°. (8)

Здесь Но(х) = diag(hl(х),^2(х)), ^ (х) = ехр|-сп-11 г(£) , ^2(х) = ехр|сп-11г(1 - ¿) ,

г(х) = §1 (х) - Ь§2(1 - х), §1 (х) = р1 (х) + Ьр2(х), §2(х) = Ьр1 (х) + р2(х), п =1 - Ь2, Р(х, А) = = А-1Н-1 (х,А)[Н1 (х) + Р1 (х)Н1 (х)], Мод = МоГН(О, А), М^ = М1ГН(1, А).

Доказательство. Так же как в [2, 3] строим матричную функцию Н(х, А) = Но(х) + А-1 Н1 (х), где элементы Но (х) есть (х) = ехр| - / (¿) и (х) — диагональные элементы матрицы Р1(х), а Н1 (х) — кодиагональная матрица, являющаяся решением матричного уравнения

Но (х) + Р1(х)Но(х) + (Н1 (х)В - ВН1 (х)) =

Вычислив непосредственно элементы (х), придем к утверждению леммы. □ Лемма 2. Имеет место соотношение (1 - х) = (1)Д1 (х).

Так как Н2(1) = ехр |ш /0 р1 (Ь) , то имеем 1

Следствие. Если $ р1(Ь) & = 0, то Н1 (1) = Н2 (1) = 1 и Н2 (1 - х) = Н1 (х).

о

2. Исследуем решение следующей краевой задачи:

и' (х) — рБ и(х) = т(х), (9)

Ц"оИ = Мои(0) + М и(1) = 0, (10)

где т(х) = (т1(х),т2(х))Т, тк(х) б Ь[0,1], р = Лш, Б = diag(1, —1), М0 = М0ГНо(0), М1 = М1Г Но (1).

Решая задачу (9)-(10) (как и в [2-4]), придем к утверждению

Лемма 3. Если р таково, что матрица До(р) = Ц(V(х,р)), где V(х,р) = diag (в^х), обратима, то краевая задача (9)—(10) однозначно разрешима при любой т(х) с компонентами из Ь[0,1], и ее решение т(х) = т(х,р) имеет вид

и(х,р) = Яо^ т(х) = — V (х,р)Д-1 (р)Ц (дИт) + дИ т(х), (11)

1 1 где дмт(х) = / д(х,Ь, р)т(Ь) <И, ио (дмт) = / Цох (д(х,Ь, р))т(Ь) <И, (иох означает, что ио применя-

о о

ется к д по переменной х), д(х, р) = diag(д1(x, р),д2(х, р)), дк(х, р) = — е(Ь, х) ехр{(—1)к-1 х х р(х — Щ, при (—1)к-1 Иер > 0, дк(х,Ь,р) = е(х, Ь) ехр{(—1)к-1р(х — Щ, при (—1)к-1 Иер < 0, е(х,Ь) = 1, если х > Ь, е(х,Ь) = 0, если х < Ь.

Непосредственно вычисляя До(р), получим, что det До(р) = (Ь — 7)2Д1(1)ем — (1 — ^Ь)2(1)е-м. Всюду далее требуем выполнения условий регулярности

7 = Ь, 7 = Ь-1. (12)

Корни detД0(р) есть числа рк = кп1 + 1па1 /2 (к е где а1 = (1 — 7Ь)2(Ь — 7)-2(1)/^1 (1). Удаляя из комплексной р-плоскости эти корни вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса 5, получим область Б§, в которой справедлива оценка

^ До(р)|> с\в^8^п(Ке

Образ области Б§ в Л-плоскости обозначим Б§.

Лемма 4. 5 области Б§ для элементов Д-1 (р) = (х^-)^-=1,2 имеют место оценки:

xii = O (e-2») , xi2 = O (e-»), x2i = O (1) , x22 = O (e), при Re p > 0, xii = O (1), xi2 = O (e»), x2i = O (e2») , x22 = O (e»), при Re p < 0.

Так же как в [4, теорема 2] доказывается, что

URo^mlU = O (||m||i), ||Ro^lU = O (p-i) , (13)

где ^(x) — вектор-функция, каждая компонента которой есть функция ограниченной вариации, || • и || • ||i — нормы в пространствах L^ и L[0,1] соответственно.

Всюду далее будем обозначать через v(x,A; ф) решение задачи (7)-(8) с правой частью ф^). Рассмотрим следующую вспомогательную задачу:

s'(x) - pDs(x) = m(x), (14)

Ui (w) = MoA s(0) + Mix s(1) = 0. (15)

Ее решение s(x) = Ri/Um(x) имеет вид (11), где U0, A0(p) заменяются на Ui, Ai(p) = Ui(V(x,p)) соответственно. Так же как в [5, лемма 17] можно показать, что для элементов Ai(p) справедливо представление Ai(p) = ([aij] + [bj)2,j=i, где aij, bij — соответственно элементы матриц M0 и Mi,

[а] = а + о(1), Шу = (—1)у 1 Поэтому при выполнении условий регулярности (12) для решения задачи (14)-(15) имеем оценки, аналогичные (13), и так же как в [3, лемма 10] получаем, что

Иш

г^ж

! Н(ж, А) [у (ж, А; Н-1 (ж,А)ш) - Я^(Н0-1т)] ¿А

|Л|=г

= 0.

(16)

Здесь и всюду далее интегрирование ведется по контурам |А| = г, целиком находящимся в области ^.

Лемма 5. Для любой функции т(ж) с компонентами из £[0,1] и функции <^(ж), компоненты которой есть функции ограниченной вариации, справедливы соотношения:

Я^т - Яомт||ж = О(д ^т^), ||Я^^ - Яом<р||ж = О (д 2)

(17)

Доказательство. Так как М0Л = М0+О(А-1), М1Л = М1 + О(А-1), то т(ж)) = и0(дмт(ж)) + + О(д-1 ||т|1). Поэтому, учитывая ограниченность V(ж,д)Д-1 (д), а также и0т(ж)), и то, что компоненты V(ж,д)[Д-1 (д) — Д-1 (д)] есть О(д-1), имеем

Я1Лт(ж) - Я0Мт(ж) = V(ж, д) [Д-Х(д) - Д-1 (д)] и(^т(ж)) + О(д-1||т||1) = О(д-1 ||т||1),

откуда следует первое соотношение в (17). Используя для ^(ж) оценки #^(ж) = О(д-1), и0<^(ж)) = = О(д-1) (доказательства оценок приведены, например, в [4, теорема 2]), получим второе соотношение в (17). □

Из леммы 5 по теореме Банаха - Штейнгауза получим, что

Иш

г^ж

I [Н(ж, А)Я^(Н-1 т) - Н0(ж)Я0ДН0-1 т)] ¿А

= 0.

(18)

|Л|=г

Наконец, из (16) и (18) следует

Лемма 6. Для любой вектор-функции т(ж) = (т1(ж),т2(ж))Т, т^(ж) е £[0,1] имеет место соотношение

Иш

г^ж

I [Н(ж, А)у (ж, А; Н-1 (ж, А)т) - Н0(ж)Я0м(Н0-1 т)] ¿А

|Л|=г

= 0.

Обозначим через Я0Л резольвенту оператора В 1 ад', и0 (ад) = 0. Лемма 7. Для любой функции f (ж) е £[0,1] имеет место соотношение

Иш

г^ж

Ял^ - ГН0(ж)Я0Л(Н0-1 Г-1 Е)

¿А

|Л|=г

= 0,

где Е — та же вектор-функция, что и в теореме 1.

Доказательство. Так как ЯлЕ(ж) = х(ж) = ГН(ж, А)у (ж, А; Н-1(ж, ), где ^ = ВГ-1 Е, то из леммы 6 получаем

Иш

г^ж

ЯлЕ - ГН0 (ж)Я0м (Н0-1 ВГ-1 Е)

¿А

|Л|=г

= 0.

Так как ад = Я0Лт есть решение задачи (9)-(10) с правой частью Вт, то

Я0д = Я0ЛВ 1.

(19)

(20)

Из (19) и (20), учитывая перестановочность диагональных матриц Н0 и В, получим утверждение леммы □.

3. Положим

^г(т) = I [д(ж)Я0Мт - Я0М (фт)] ¿А,

|Л|=г

ж

ж

где Q(x) = diag(q(x), q(1 — x)), q(x) удовлетворяет условию Липшица порядка 1 и q(0) = q(1) = 1.

Лемма 8. Имеет место оценка

/ [((ж)^т(ж) - ^((т(ж))] |Л|=г

Доказательство. Для первой компоненты данного вектора (учитывая, что д = Аш) имеем

= O (||m||i) .

[Q(x)gMm—gM(Qm)]i dA

|A|=r

- R J l[Q(x)g^m—(Qm)]i I =

п/2 Зтг/2"]

= R< ' +

l-n/2 n/2

1 [Q(x)gMm — gM(Qm)]i |ri d<p,

(21)

где ri = r\w\. Пусть Re д > 0. В этом случае gMm(x) = ( — J mi(t) dt, Je м(ж m2(t) dt

Тогда первый интеграл в (21) имеет следующую оценку:

п/2

ri d<^

-п/2

(x) — q(t))mi (t) dt

{ i n/2

J \mi(t)\dt J rieri cos \x — t\d^

= O

уж и

/ i nri (í-x)/2 \

= O /\mi(t)\dt f e-ci€ d£ = O (||m||i)

(здесь использованы замена ^ = п/2 - т, оценка ятт > с1 т, при т е (0, п/2), где с1 — некоторая константа 0 < с1 < 2/п, и замена £ = г1 (£ - ж)).

Аналогично оцениваются второй интеграл в (21) (при Ие д < 0) и вторая компонента вектора, указанного в условии. □

Непосредственно вычисляя компоненты матриц в (11), получим Лемма 9. Если И,е д > 0, то имеет место соотношение:

((ж^(ж, д)Д0-1 (д)^т) - V(ж, д)Д0-1 (д)и(^((т)) = ((7Ь - + 32), (7Ь - 1)(7з + ))Т,

где

71 (ж,д) = жие^ / е-^(51 (ж) - 51 (*))т!(*) dt, 72(ж, д) = ж12М1)е^ / е-^1-*)(51 (ж) - 52(*))т2(*) dt,

00

(ж, д) = ж21е-^х / е-^ (52(ж)-?1 ф)т1 (t) 74(ж, д) = ж22&2(1)е-^х / е-^1-*) (52(ж)-?2(t))m2(t) 00 ж^ — элементы Д-1(д), д1 (ж) = д(ж), д2(ж) = д(1 - ж) — элементы матрицы ((ж). Лемма 10. Имеют место следующие оценки:

Jk(x, д) d^ = O(|m|i), k = 1, 4.

(22)

H=ri

Re

Доказательство. Продолжим функцию д(ж) (соответственно д1(ж) и д2(ж)) периодически с периодом 1. Так как д(0) = 5(1), то полученная функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица. Докажем (22) для 72 (ж, д). Имеем

i

У J2 (x,M) dM< сУ \m2 (t)\dt J \xi2\\qi (x) — q2(t)\ e- Re ^(i-x-t) Ид\.

I^|=ri Re ^>Q

H=ri

Re ^>Q

Используя периодичность q(x), оценки из леммы 4 (xi2 = O(e м)), и неравенство sinт > ciт (так же как в лемме 8), получим

i

п/2 / тг/2

I е- КеМ2-х-0 |9(х) — д(1 — Ь)|Г1 ф = О I

\

-п/2

— Г1 с 1 ^(2-х-<)

|д(х) — д(2 — Ь)|Г1 ф

/

= О

/ п/2

э г1 с1 ^(2-х-^)(2 — х —

Ь)г1

= О

/ ПГ1 (2-х-¿)/2

"С1 £

= О(1).

оо

Отсюда следует справедливость (22) для к = 2. Также доказывается (22) для остальных интегралов. □ Из (11), леммы 8, лемм 9, 10 (и аналогичных им лемм при И,ер < 0) следует Лемма 11. Если 7 = Ь, 7 = Ь-1, то ||Пг(т)||ж = О(|т|1).

Лемма 12. Пусть компоненты вектора Б-1 т имеют ограниченную производную и Цо(Б-1 т) = 0. Тогда Q(x)Яо/Uт — Яо^(Ят) = р-1 [я(х)Яо^((Б-1 т)') — Яом((-Б-1 Qm)')

Доказательство. Пусть Я° — резольвента оператора Б-1и', Цо (и) = 0. Тогда Яо^т = = Я° (Б-1т).

Пусть т удовлетворяет условиям леммы и ио(Б-1 т) = 0. Обозначим Б-1 (Б-1 т)' — рБ-1 т = д. Тогда Б-1 т = Я°д = Яо (Б-1 (Б-1 т)') — рЯ°И(Б-1 т), откуда Я° (Б-1 т) = р-1 [Я° (Б-1 (Б-1 т)') — — Б-1 т], или

Яом т = р-1 [Яом ((Б-1 т)') — Б-1 т]

(23)

Так как д(0) = д(1) = 1, то Q(0) = Q(1) = Е и Цо(Б 1 Qm) = 0. Поэтому так же как (23) получим

Яом ^т) = р-1 [ЯоД(Б-1 Qm)') — Б-1 Qm].

(24)

Учитывая перестановочность диагональных матриц Б-1 и Q(x), из (23) и (24) получим утверждение леммы. □

Так же как в [4, теорема 2] доказывается

Лемма 13. Если т удовлетворяет условиям леммы 12, то

||Яом((Б-1 т)')||ж = О(®(| Иер|)), ЦЯо^((Б-1 Qm)')||ж = О(®(| Иер|)),

где ж(у) = (1 — е-у)/у при у > 0.

Теорема 2. Если 7 = Ь и 7 = Ь-1, то для любой функции т(х) с компонентами из Ь[0,1]

Иш ||Пг(т)

= 0.

(25)

Доказательство. Пусть т удовлетворяет условиям леммы 12. Тогда, учитывая оценки из леммы 13, можно показать (так же как в [4, теорема 3]), что

Ю- (т)||ж = О

С И Иер|)|

1И=г 1

|р|

\<р\\ = О1-

-к/2

1 (' 1 - е-Г1 V

Г1

Г1 =

(пг1/2 л \ Г 1 ^ « =

(26)

Так как множество таких т(х) всюду плотно в Ь2[0,1] (Ь2[0,1] — множество интегрируемых вектор-функций размерности 2), то из (26) и леммы 11 по теореме Банаха - Штейнгауза следует (25). □ Следствие. Для любой функции т(х) с компонентами из Ь[0,1]

Иш

г^ж

Q(x)ЯоАт — ЯоА^т) <Л

= 0.

\А\=г

4. Перейдем к основным результатам статьи.

Теорема 3. Пусть 7 = Ь, 7 = Ь-1. Тогда для любой вектор-функции Е(х) = (/(х),/(1 — х)) / (х) е Ь[0,1] имеет место соотношение

ж

ж

lim ||Sr(F, x) - S0(F, x) ||ж = 0,

(27)

где SV(F,x) (,S'J)(F, x)) — частичная сумма ряда Фурье вектор-функции F(x) «о с.п.ф. оператора L (L0), включающая слагаемые, соответствующие собственным значениям Ak (Ak), для которых A| <r (|Ak| <r).

Доказательство. Имеем Sr(F,x) = — т— f RaFdA (аналогичная формула для s0(F,x)).

2ni | A|=V

1

1. Пусть сначала f p1(t) dt = 0. По следствию из леммы 2 в этом случае H0(x) = diag(h1 (x), )

h1 (1 — x)), h1 (0) = h1(1) = 1. Поэтому теорема 2 справедлива, если в качестве Q(x) взять H0(x). Тогда, используя лемму 7 и следствие из теоремы 2, имеем

|a|=v

RS aF dA = I ГНо(x)RSo a(H-1 Г-1 F) dA + o(1) = I ГЯоа(Г-1 F) dA + o(1), (28)

i a|=v

|a|=v

где ||о(1)||ж ^ 0 при г ^ то. Так как в краевых условиях (10) Н0(0) = Н0(1) = Е (Е — единичная матрица), то для т = Я0 Лт имеет место

D 1 w'(x) — Aw(x) = m(x), Morw(0) + M1rw(1) = 0.

(29)

(30)

Умножая (29) слева на Г и учитывая, что В = ГВ 1Г 1, получим В(Гт)' - А(Гт) = Гт, Откуда Гт = Я0 (Гт) (Я0 — резольвента £0). Тогда ГЯ0 л (Г-1 Е) = ЯД (Е), и из (28) получаем

Я лЕdА = I Я0ЕdА + о(1),

|Л|=г |Л|=г

откуда следует утверждение теоремы. 1

2. Пусть теперь /р1 (t) dt = а = 0. Контуры, по которым ведется интегрирование в (27), це-

0

ликом располагаются в области , образованной из А-плоскости удалением чисел Ак = дк/ш = = (2кпг + 1п а1 )/2ш вместе с некоторыми окрестностями (образами круговых окрестностей радиуса 5 точек дк). В любом кольце г - d < |А| < г + d (d > 0) количество таких окрестностей ограниченно константой, не зависящей от г. Следовательно, количество слагаемых в ¿>г(Е,ж), соответствующих этому кольцу, ограничено. Пусть е — круговой контур из указанного кольца достаточно малого радиуса 50 с центром в Ак. Докажем, что

lim

RSa FdA

= 0.

(31)

Yk

Нетрудно показать (как, например, в [3]), что

ЯлЕ = ГН(ж, А)у (ж, А; Н-1 (ж, А)Ец) = ГН0(ж)Я0М(Н0-1 Е1) + О(А-1 ||f ||1), откуда, учитывая оценку (13), получим, что ||ЯЛЕ||ж = О(|^ ||1) для любой функции f е £[0,1], и

RSa FdA

= O(IIf II1).

(32)

Yk

Пусть теперь f (x) £ C1 [0,1] и f (0) = 7/(1). Тогда, положив Lf = g, из Lf — Af = g — Af получим

Rf = - A + ^

Поэтому

R f dA

Rg

dA

(RSa G)1 dA

= O

|dA|

"lAf

= o(1), при k —> то,

Yk

Yk

Yk

Yk

ж

ж

A

(здесь С(х) = (д(х),д(1 — х))т). Отсюда и из (32) следует (31). А следовательно,

= о(1), при г ^ ж. (33)

ж

Ra FdX - J Rx FdX

|A|=r+d |A|=r-d

Рассмотрим оператор

Ь1 у = у'(1 — х) + ау'(х) + Р1(х)у(х) + Р2 (х)у(1—х), у(0) = ту(1) где рз! (х) = р1 (х) — а, который порождает оператор

Ь1 г = Бг '(х) + р(х)г(х), Мо г(0) + М1 г(1) = 0

~ ~ 1 ~ (матрица -Р(х) определяется через р1 (х), р2(х) так же как Р(х) в (1)). Тогда /р1 (Ь) = 0, и

о

J RAFdX = J RA FdX + o(1),

|A|=r |A|=r

где ЯА — резольвента оператора Ь1. Так как ЯА/ = ЯА+а/ (ЯА — резольвента Ь1) и соответственно ЯАЕ = ЯА+аЕ, то в силу (31) и (33)

J Rx FdX = J RX+a FdX = J RA FdX = J R\ FdX -J R{ FdX + J R\ FdX =

|A|=r |A|=r |A-a|=r |A|=r |A|=r |A-a|=r

= J RA FdX + J RA FdX -J RA FdX + o(1) = J RAFdX + o(1) = J RA FdX + o(1),

|A|=r |A|=r+|a| |A|=r-|a| |A|=r |A|=r

откуда следует соотношение (27) для RAF. □

Учитывая, что согласно теореме 1, RAf = [RAF]i, R°Af = [RAF]i, получим

Теорема 4. Пусть y = b, y = b-1, b = a - Va2 - 1. Тогда для любой функции f (x) G L[0,1] имеет место соотношение

lim ||Sr(f, x) - S0 (f,x)|U = 0,

где Sr (f, x) (S0 (f, x)) — частичная сумма ряда Фурье функции f (x) по с.п.ф. оператора L (L0 ), включающая слагаемые, соответствующие собственным значениям X0 (X°k), для которых |X0| < r (X| < r).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-01-00397) и гранта для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-2970.2008.1).

Библиографический список

1. Stone M.H. A comparison of the series of Fourier and графе из двух ребер, содержащем цикл // Диф. урав-Birkhoff // Trans. Amer. Math. Soc. 1926. Vol. 28, № 4. нения. 2007. Т. 43, № 12. С. 1597-1605.

P. 695-761. 4. Корнев В.В., Хромов А.П. О равносходимости разло-

2. Бурлуцкая М.Ш., Курдюмов В.П., Луконина А.С., жений по собственным функциям интегральных опера-Хромов А.П. Функционально-дифференциальный опе- торов с ядрами, допускающими разрывы производных ратор с инволюцией // Докл. РАН. 2007. Т. 414, № 4. на диагоналях // Мат. сборник. 2001. Т. 192, № 10. С. 443-446. С. 33-50.

3. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. О равносходимости 5. Хромов А.П. Интегральные операторы с ядрами, раз-разложений по собственным функциям функциональ- рывными на ломаных линиях // Мат. сборник. 2006. но-дифференциального оператора первого порядка на Т. 197, № 11. С. 115-142.