Теорема Жордана-Дирихле для функционально-дифференциального оператора с инволюцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

ТЕОРЕМА ЖОРДАНА-ДИРИХЛЕ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

С ИНВОЛЮЦИЕЙ

М. Ш. Бурлуцкая

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Воронежский государственный университет, ЬтвИ2001 ©mail.ru

В работе исследуются вопросы о сходимости разложений произвольной функции f (х) в ряд Фурье по системе собственных функций функционально-дифференциального оператора с инволюцией Ьу = у'( 1 - х) + ау'(х) + +Р1 (х)у(х)+р2 (х)у (1-х), у (0) = 7у (1). Основываясь на исследовании резольвенты более простого функционально-дифференциального оператора и используя метод контурного интегрирования резольвенты, получены достаточные условия сходимости ряда Фурье к функции f (х) (аналог теоремы Жордана-Дирихле).

Ключевые слова: функционально-дифференциальный оператор, инволюция, равносходимость, ряд Фурье.

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается функционально-дифференциальный оператор с инволюцией

Ly = y'(1 - x) + ay'(x) + Pi(x)y(x) + P2(x)y(1—x), y(0) = 7y(l),

где x E [0,1], a2 = 1, a, y — комплексные постоянные, p(x) e C 1[0,1].

Исследование различных свойств таких операторов проводится, например, в работах [1-4] (см. также библиографию).

В [4] установлена равносходимость на отрезке [0,1] рядов Фурье по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) для оператора L и оператора

L0У = y'(1 - x) + ay'(x), У(0) = 7У(1)-

А именно доказана следующая теорема

Теорема 1 [4]. Пусть 7 = b, 7 = b-1, b = a — Va2 — 1. Тогда для любой функции f (х) e L[0,1] имеет место соотношение

lim ||Sr(f,x) — S0(f,x)|U =0,

r—

где Sr(f,x) (S0(f, x)) — частичная сумма ряда Фурье функции f(x) по с.п.ф. оператора L (L0), включающая слагаемые, соответствующие собственным значениям А0 (А0), для которых |А0 | < r (А| < r).

В данной работе получены достаточные условия сходимости ряда Фурье по с.п.ф. оператора L (аналог теоремы Жордана-Дирихле). На основании теоремы 1 исследование достаточно провести лишь для оператора L0.

1. ФОРМУЛА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА Lo

В этом пункте приведем некоторые вспомогательные факты из [4].

Обозначим через Lo следующий оператор в пространстве вектор-функций размерности 2:

L0z = Bz' (x), M0 z(0) + M1 z (1) = 0.

T irr -...........—...... \ n _ fa —1\л* _ f1 —Y

Здесь ¿(ж) = (¿1 (ж), ¿2(ж))т (Т — знак транспонирования), В = ^ ^, М0 = °

=е° °

47 — 1

Пусть Я°х = (¿о—АЕ)-1 — резольвента оператора ¿0 (А — спектральный параметр, Е — единичный оператор), В°х — резольвента оператора ¿0.

© Бурлуцкая М. Ш, 2013

9

Теорема 2. Если Л таково, что резольвента оператора £о существует и у = ЯоО/, то вектор-функция г(ж) = (¿1 (ж),г2 (ж))т, где ¿1 (ж) = у (ж), г2(ж) = у(1 — ж), является решением краевой задачи

Яг/(ж) — Лг (ж) = ^ (ж), (1)

Мог(0) + М1 г(1) = 0, (2)

с ^(ж) = (/(ж), /(1—ж))т. Обратно, если г(ж) удовлетворяет (1), (2) и задача (1), (2) невырождена, то существует и (Я°/)(ж) = г1(ж), где г1 — первая компонента решения г(ж) = ^ системы (1),(2).

Положим Г = ^ ^, где Ь = а — ¿5, ¿5 = V«2 — 1 (числа ± ¿5 — собственные значения матрицы В). Тогда ВГ = ГВ-1, где В-1 = diag(¿5, —¿5). Выполнив в (1), (2) замену г(ж) = Ги(ж), получим следующую задачу для и (ж):

и'(ж) — и (ж) = Ф(ж), (3)

ио(и) = МоГи(0) + М1Ги(1) = 0, (4)

где В1 = ^(1, —1), ц = Ли, и = 1/5, Ф(ж) = ВГ-1 В(ж).

Лемма 1. Если ц таково, что матрица Д0(ц) = и0(V(ж, ц)), где V(ж, ц) = diag (е^х, е-^х), обратима, то краевая задача (3), (4) однозначно разрешима при любой Ф(ж) с компонентами из £[0,1] и ее решение и(ж) = и (ж, ц) имеет вид

и(ж,ц) = Яо^ Ф(ж) = —V (ж, ц)Д-1 (ц)Цо(д^Ф) + д,л Ф(ж), (5)

1 1

где д^Ф(ж) = /д(ж,£,ц)Ф(£) ио(д^Ф) = / иох(д(ж, £, ц))Ф(£) (иох означает, что ио при-

о о меняется к д по переменной ж), д(ж, £, ц) = diag(д1 (ж, ц),д2(ж, ц)), дк(ж, ¿,ц) = —е(£, ж) х

х ехр{(—1)к-1ц(ж — £)}, при (—1)к-1 Иец > 0, дк(ж,^,ц) = е(ж,£)ехр{(—1)к-1 ц(ж — £)}, при (—1)к-1 Ие ц < 0, е(ж,£) = 1, если ж > £, е(ж,£) = 0, если ж < £.

Таким образом, г(ж) = ^(ж) = Ги(ж, ц) = ГДо^Ф(ж) и тем самым по теореме 2

ЯО/ = [ГДо^ Ф]1, (6)

где [■]1 означает первую компоненту вектора.

2. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Пусть /(ж) е С[0,1] Р| V[0,1] (непрерывная функция ограниченной вариации) и удовлетворяет краевому условию:

/ (0)= 7/(1)- (7)

Будем считать, что Иец > 0 (противоположный случай рассматривается аналогично). Для исследования резольвенты оператора £о оценим компоненты решения в (5). Лемма 2. Имеет место формула

д^Ф(ж) = ц (ж) + (ж,ц) + £з(ж,ц)} , ц

где

(ж) = (—Ф1(ж), Ф2(ж))Т , ^2(ж, ц) = (е^(х-1)Ф1 (1), — е-^хФ2(0))Т ,

(1 х ^

хо Доказательство. Имеем, используя интегрирование по частям:

1 1

(д^Ф(ж))1 = / д1 (ж,^,ц)Ф1(^) ^ = — / Ф^) ^ =

о

х

е^х-1)ф1(1) — ф1(ж) — е^-^ ¿Ф^)

1

(^Ф(ж))2 = I д2(ж,*,д)Ф2(*) ^ = I е-^х— Ф2(*) ей =

0

д

Ф2(ж) — е-^хФ2(°) — е-^-^ ^СО

откуда следует утверждение леммы.

Так как в (3) Ф(ж) = (ж), Е(ж) = (/(ж),/(1 — ж))т, то очевидно утверждение

Лемма 3. Для компонент вектора Ф(ж) = (Ф1 (ж), Ф2(ж))т в (3) имеют место формулы

□

ш

Ф1(ж) = |Г| [/(ж) — Ь/(1 — ж)],

ш

Ф2(ж)= |Г| [Ь/(ж) — /(1 — ж)

гае |Г| = detГ = 1 — Ь2. Отсюда и из (7) имеем

Следствие. Для функций Фк(ж) справедливы соотношения

Ф2 (ж) = —Ф1 (1 — ж), Ф1 (°) = (7 — Ь)/(1), Ф2(0) = |Г| (Ь7 — 1)/(1),

Ф1 (1) = |Щ| (1 — Ь7)/(1), Ф2(1) = щ(Ь — 7)/(1).

Из леммы 3 и следствия из нее для компонент д^Ф(ж) легко получим: С1 (ж) = -Г (Ь/(1 — ж) — /(ж), Ь/(ж) — /(1 — ж))т ,

С2(ж, д) = -Г(1 — Ь7)/(1) (е^х-1),е-^х)

Лемма 4. Для компонент и0(д^Ф) имеют место соотношения

ио (^1 ) = (°, °)т,

и (С2) = ^(1 — Ь7)/(1) [(1 — Ь7)е-^ + (Ь — 7)] (1, —1)т.

(8) (9)

(10)

Доказательство. Имеем:

М0Г =

Учитывая (8) и (7), получим:

1 — Ь7 Ь — 7 °°

М1Г =

°°

7 — Ь Ь7 — 1

Ц,(С1) = МГО (°)+ М1ГС1(1)=^ °Ьт Ь° 7)(ЬЬ7 —у1) -|Ш| /(1)+

°

°

+ ',7 — Ь Ь7 — 1Дб —7) |Г|/(1) Ю

Далее, так как

(>(х-1),е-^х)Т^ = М0Г(е-^, 1)т + М1 Г(1,е^)т = [(1 — Ь7)е-^ + (Ь — 7)] (1, —1)

то из (9) следует (10).

Лемма 5. Имеет место формула

□

До-1 (д) =

1 /(Ь7 — 1)е-^ 7 — Ь

¿0(мН (Ь —7)е^ 1 — Ь7;'

)2 е-^

где ¿0(д) = det Д0(д) = (7 — Ь)2е^ — (1 — Ь7)2е Доказательство. Имеем:

Д0(д) = (ж, д)) = М0Г + М1 Гdiag(e^, е-^) =

Отсюда получается явное выражение для ¿0 (д).

1 — Ь7

Ь — 7

(7 — Ь)е^ (Ь7 — 1)е"

1

х

х

х

1

0

0

1-1

Вычисляя алгебраические дополнения, получим утверждение леммы. □

Из леммы 5 сразу следует

-1 1 /(Ь7 — 1)е-^(1-х) (7 — Ь)е^х \

V(ж, ц)До (ц) = ^ (ь — 7)е^(1-х) (1 — Ь7)е-^ху •

Лемма 6. Имеют место соотношения

V (ж, ц)Д-1 (ц)Цо(£1) = (0,0)т,

V(ж, ц)Д-1 (ц)ио(С2) = ^(1 — Ь7)/(1) /е

|Г|' у 7 V е-^х

Доказательство. В силу леммы 4 первое соотношение очевидно, а для второго, учитывая, что

--^г.лгл л\Т _ 1 — 1)е-^(1-х) — (7 — Ь)е^х

V(ж,ц)До" (ц)(1, —1) = ^ — 7)е,(1-х) — (1 — ь7)е-,х

1 ( [(Ь7 — 1)е-^ — (7 — Ь)]е^х

¿о(ц) \[(Ь7 — 1)е-^ — (7 — Ь)]е^е-^ху '

имеем из (10)

V(ж,ц)Д-1 (ц)Во(^2) = /ц)(1 — Ь7) [(1 — Ь7)е-^ + (Ь — 7)] [(Ьу — 1)е-^ — (7 — Ь)] (еХх))) ¿/(1)

| Г | ¿о (ц)

Отсюда, так как

(1 — Ь7) [(Ь — 7)2 — (Ь7 — 1)2е-2^] (е^х, е^(1-х))Т•

[(Ь — 7)2 — (Ь7 — 1)2 е-2^ = [(Ь — 7 )2 — (Ьу — 1)2 е-2^] ¿о(ц) =(7 — Ь)2 е^ — (1 — Ь7 )2е-^

= е-^,

получим утверждение леммы для С2. □

Лемма 7. Если Ие ц > 0, /(ж) е С[0,1] П V[0,1] и /(0) = 7/(1), то

1 х

¿1

ЙО/ = — ц/(ж) — - | х е^(х"^ ¿Ф^) + Ь I е-^(¿^ "

/ / 1 х X Т \

^ .ф20 о

ГV (ж,ц)Д-1(ц)ио Доказательство. Имеем в силу (6)

(11)

Й / = [ГДо^Ф]1 = [Г(д^ Ф(ж) — V (ж,ц)Д0-1(ц)ио(д^^] 1.

Из (8) и (9) получим:

[Г^1(ж)]1 = — (Ь/(1 — ж) — / (ж) + Ь2 / (ж) — Ь/(1 — ж) = — (Ь2 — 1)/(ж) = —и/(ж), [Г^2(ж,ц)]1 = (1 — Ь7)/(1) [Г(е^(х-1), е-^х)Т^ = (1 — Ь7)/(1)(е^(х-1) + Ье-^х)• Далее, по лемме 6

[^(ж, ц)Д-1 (ц)ио (^1 )]1 = 0, [ГV(ж, ц)Д-1 (ц)ио (С2)]1 = (1 — Ь7)/(1)(е^(х-1) + Ье-^х)•

Из этих соотношений следует утверждение леммы. □

1

3. ОСНОВНОЙ результат

Для получения основного результата используется следующее утверждение. Лемма 8. Если ^(ж) е С[0,1] Р| V[0,1], то при Ие д > 0

e^ dp(t) = e-^5) + 05(1)e^x,

e-^ dp(t) = O(e-^xe-^5) + 05(1)e

-^x

(12) (13)

где (1) ^ 0 при 5 ^ 0 равномерно по ж е [0,1], О(-) не зависит от 5.

Доказательство. В силу непрерывности /(ж) функция V(/) = / (ж)| также непрерывна на

о о

х+5

отрезке [0,1] и, следовательно, равномерно непрерывна на нем и \/ (/) = о^(1) для любого ж е [0,1].

X

Если ж > 5, то

x f' x - 5 x Г Г 1x

/ e^ dp(t) = / e^ dp(t)+ / e^ dp(t) < e^(x-5) V(^) + |e^x I V M

J 0 J J 0 x-5 0 x-5

Если x < 5, то

e^ dp(t)

<|e^x IV 0

Отсюда следует (12). Оценка (13) получается из (12) заменой переменной. □

Теорема 3 (Жордана-Дирихле). Если f (x) е C[0,1] П V[0,1] и f (0) = 7/(1), 7 = b, 7 = b-1,

lim max |f(x) — Sr(f,x)| = 0.

r—^^o 0<x<1

Доказательство. Имеем:

SO(f,x) = — ^ / R°fdA = — ^ / [ГД0Л

dA.

(14)

|A|=r

|A|=r

Так как V(ж, = 0(1) и в силу леммы 8, интегралы в (11) имеют оценку ) + о^(1),

то интеграл / от второго и третьего слагаемых в (11) есть о(1). Аналогичный результат может

Н=г

Ие ^>0

быть получен при Ие д < 0, причем в этом случае первое слагаемое в имеет тот же вид--/(ж).

А так как

то из (14) получим:

ß

/ Ш ,л / ^ п ^ •

— dA = -— dA = J ß J Aw

| A|=r | A|=r

□

50(/,ж) = / (ж)+ о(1), откуда в силу теоремы 1 следует утверждение теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00238а).

Библиографический список

1. Хромов А. П. Теоремы равносходимости для интегро- ров с ядрами, разрывными на диагоналях // Мат. за-дифференциальных и интегральных операторов // Мат. метки. 1998. Т. 64, № 6. С. 932-949. 001: 10.4213/ сб. 1981. Т. 114(156), № 3. С. 378-404. шгш1472.

2. Хромов А. П. Об обращении интегральных операто- 3. Бурлуцкая М. Ш., Курдюмов В. П., Луконина А. С.,

0

1

x

x

0

Хромов А. П. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией // Докл. РАН. 2007. Т. 414, № 4. С. 1309-1312.

4. Бурлуцкая М. Ш., Хромов А. П. Об одной теореме

равносходимости на всем отрезке для функционально-дифференциальных операторов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 4. С. 3-10.

Jordan-Dirichlet Theorem for Functional Differential Operator with Involution

M. Sh. Burlutskaya

Voronezh State University, Russia, 394006, Voronezh, Universitetskaya pl., 1, bmsh2001@mail.ru

In this paper the problem of decomposability of a function f (x) into Fourier series with respect to the system of eigenfunctions of a functional-differential operator with involution Ly = y'(l - x) + ay'(x) + pi(x)y(x) + p2(x)y(l-x), y(0) = Yy(l) is investigated. Based on the study of the resolvent of the operator easier and using the method of contour integration of the resolvent, we obtain the sufficient conditions for the convergence of the Fourier series for a function f (x) (analogue of the Jordan—Dirichlet's theorem).

Keywords: functional-differential operator, involution, equiconvergence, Fourier series.

References

1. Khromov A. P. Equiconvergence theorems for integro-differential and integral operators. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1982, vol. 42, no. 3, pp. 331-355.

2. Khromov A. P. Inversion of integral operators with kernels discontinuous on the diagonal. Math. Notes, 1998, vol. 64, no. 5-6, pp. 804-813. DOI: 10.4213/mzm1472.

3. Burlutskaya M. Sh., Kurdyumov V. P., Lukonina A. S., Khromov A. P. A functional-differential operator with

УДК 501.1

involution. Doklady Math., 2007, vol. 75, no 3, pp. 399402.

4. Burlutskaya M. Sh., Khromov A. P. On the same theorem on a equiconvergence at the whole segment for the functional-differential operators. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. Inform., 2009, vol. 9, iss. 4, pt. 1, pp. 3-10 (in Russian).

КОГОМОЛОГИИ АЛГЕБРЫ ЛИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НЕКОТОРОГО ОДНОМЕРНОГО ОРБИФОЛДА

Е. Ю. Волокитина

Ассистент кафедры геометрии, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, evgenia.yu@gmail.com

И. М. Гельфанд и Д. Б. Фукс доказали, что когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности изоморфны тензорному произведению кольца полиномов с одной образуюшей степени 2 и внешней алгебры с одной образующей степени 3. В настоящей статье изучаются когомологии алгебры Ли векторных полей одномерного орбифолда 51 ¡Ъ2, который представляет собой пространство орбит при действии группы Ъ2 на окружности отражением относительно оси Ох. Доказано, что рассматриваемые когомологии изоморфны тензорному произведению внешней алгебры с двумя образующими степени 1 и кольца полиномов с одной образующей степени 2. В доказательстве используется метод Гельфанда-Фукса с модификациями для данного случая.

Ключевые слова: орбифолд, алгебра Ли, когомологии.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Б1 — единичная окружность в плоскости комплексного переменного г, £ — угловой параметр на окружности. Обозначим через X = Б1 /й2 орбифолд, получающийся из окружности, действием группы Ъ2, порожденной отражением относительно оси Ож. Б1 /Ъ2 — один из естественных одномерных орбифолодов. У данного орбифолда существует две особые точки, соответствующие значениям углового параметра £ = 0 и £ = п. Обозначим через и (Б1) и и (X) алгебры Ли гладких векторных полей на окружности и орбифолде X соответственно. Под гладкостью здесь и далее будем понимать гладкость класса С^. Алгебра Ли и (Б1) — топологическая алгебра Ли с С^-топологией, и (X) — ее замкнутая подалгебра.

© Волокитина Е. Ю., 2013