CC BY
77
Л Є стс(Т) ^ 0 є (сте(Ал) и ас(Вл))\((аг(Ал) и стг(Вл)) и (стр(Ал) и (Вл))),
гае Ал = Л|^2(Л)Х, Вл = В|Еі(Л)Х.
Доказательство. Известно [3], что в условиях теоремы матричный оператор Т является ограни-
^ (Еі (•) о \
ченным спектральным оператором с разложением единицы .£?(•) = I и квазинильпо-
V 0 Е2 (0/
тентной частью N =
O A
чБ °/
Следовательно, если Е\(Л) = Е2(Л) = О, то Е(Л) = (5, и в силу приведенного утверждения Л е ае(Т), где О — нулевой матричный оператор, а в случае Е?(Л) = О, что получается хотя бы при одном из условий Е1 (Л) = О, Е2(Л) = О, верны:
Л е <7р(Т) ^ 0 е стр(Уа), Л е ау(Т) ^ 0 е <гг(Ул), Л е <гс(Т) ^ 0 е <гс(Ул),
где N = N|Е(Л)Х2. В силу утверждения 2) теоремы 2 получим
0 е стр(Ул) ^ 0 е СТр(Ал) и стр(Вл), 0 е аг(Ул) ^ 0 е (стг(Ал) и стг(Вл))\(стр(Ал) и стр(Вл)).
0 е СТс(Л'л) ^ 0 е (ас(Ал) и стс(Вл))\((аг(Ал) и стг(Вл)) и (стр(Ал) и стр(Вл))).
Теорема доказана. Библиографический список
□
1. Данфорд Н, Шварц Дж. Т. Линейные операторы : 3. Исмайлов М. И. О спектральности матричных опе-
в 3 т. Т. III. Спектральные операторы. М. : Мир, 1974. раторов в банаховом пространстве // Изв. Сарат. ун-та.
2. Ismailov M. I. On spectrum property of matrix Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Ин-
operators in Banach space // Trans. NAS of Azerb. 2006. форматика, вып. 4. С. 23-28.
Vol. XXXIII. P. 47-52.
УДК 517.984
ИНТЕГРАЛЬНЫМ ОПЕРАТОР С ЯДРОМ, ИМЕЮЩИМ СКАЧКИ НА ЛОМАНЫХ ЛИНИЯХ
О. А. Королева, А. П. Хромов
Саратовский государственный университет E-mail: [email protected], [email protected]
В настоящей работе изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, ядро которого терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат.
Ключевые слова: равносходимость, резольвента, характеристические числа, собственные и присоединенные функции.
Integral Operator with Kernel Having Jumps on Broken Lines
O. A. Koroleva, A. P. Khromov
In this paper we study equiconvergence expansions in trigonometric Fourier series, and in eigenfunctions and associated functions of an integral operator whose kernel suffers jumps at the sides of the square inscribed in the unit square.
Key words: equiconvergence, resolvent, characteristic number, eigenfunctions and associated functions.
Рассмотрим интегральный оператор:
1
У = А/ = У А (х,£) /(£) О)
о
Обозначим: А1 (х,£) = А(х,£), если {0 < £ < 1/2 — х, 0 < х < 1/2}, А2(х,£) = А(х,£), если {1/2 + х < < £ < 1, 0 < х < 1/2}, Аз(х, £) = А(х,£), если {0 < £ < —1/2 + х, 1/2 < х < 1}, А4(х, £) = А(х,£),
© Королева О. А., Хромов А. П., 2012
если {3/2 — х < £ < 1, 1/2 < х < 1}, А5(х, £) = А(х, £), если {1/2 — х < £ < 1/2 + х, 0 < х < 1/2} и
{ — 1/2 + х < £ < 3/2 — х, 1/2 < х < 1}.
Предположим, что А^(х, £), г = 1,5, непрерывно-дифференцируемые в своих областях, причем А5(х, 1/2 — х + 0) — А1 (х, 1/2 — х — 0) = а, А5(х, 1/2 + х — 0) — А2(х, 1/2 + х + 0) = Ь,
А5(х, —1/2 + х + 0) — А3(х, —1/2 + х — 0) = с, А5(х, 3/2 — х — 0) — А4(х, 3/2 — х + 0) = й, где а,
Ь, с, й — постоянные.
Частный случай оператора (1) впервые рассматривался в [1].
1. Рассмотрим следующий оператор:
1/2
г = Вд = J В(х,£)д(£) й£, 0 < х < 1/2, (2)
о
где г(х) = (^1(х),^2(х),гз(х),^(х))т, д(х) = (д1 (х),д2(х), дз(х),д4(х))т,
/ 0 А(х, 1/2 — £) А(х, 1/2 + £) 0 ^
_ ( )= А(1/2 — х,£) 0 0 А(1/2 — х, 1 — £)
(X, ) = А(1/2 + х,£) 0 0 А(1/2 + х, 1 — £)
\ 0 А(1 — х, 1/2 — £) А(1 — х, 1/2 + £) 0 )
Теорема 1. Если у = А/, то г = Вд, где г1(х) = у(х), г2(х) = у(1 /2 — х), г3(х) = у(1 /2 + х),
¿4(х) = у(1 — х), д1(х) = /(х), д2(х) = /(1/2 — х), дз(х) = /(1/2 + х), д4(х) = /(1 — х). Обратно:
если г = Вд и д1 (х) = д2(1/2 — х), д3(х) = д4(1/2 — х), то г1(х) = г2(1/2 — х), г3(х) = г4(1/2 — х) и у = А/, где /(х) = д1 (х), при х е [0,1/2]; /(х) = д3(—1/2 + х), при х е [1/2,1] и у(х) = г1 (х), при х е [0,1/2]; у(х) = г3(—1/2 + х), при х е [1/2,1].
Доказательство. Пусть у = А/. Тогда имеем
1/2 1
у(х) = У А(х, £)/(£) + J А(х, £)/(£) й£. (3)
о 1/2
Пусть х е [0,1/2]. Представим (3) в виде
1/2 1/2
у(х) = У А(х, 1/2 — £)/(1/2 — £) + J А(х, 1/2 + £)/(1/2 + £) й£. (4)
оо
Здесь разрывы ядер в обоих интегралах на линии х = £. Положим в (4) 1/2 — х вместо х, и в обоих интегралах выполним такие замены £, чтобы опять разрывы ядер были на линии х = £, т. е. будем иметь
1/2 1/2
у(1 /2 — х) = У А(1/2 — х, £)/(1/2 — £) + J А(1/2 — х, 1 — £)/(1 — £) й£. (5)
оо Пусть теперь х е [1/2,1]. Тогда возьмем в (3) 1/2 + х вместо х (т. е. опять получаем, что х е [0,1/2]),
и опять надлежащими заменами по £ добьемся, что разрывы ядер в интегралах будут на линии х = £,
т. е. имеем
1/2 1/2
у (1/2 + х) = У А(1/2 + х, £)/(£)й£ + J А(1/2 + х, 1 — £)/(1 — £) й£. (6)
оо Наконец, в (6) положим 1/2 — х вместо х, и, действуя далее как ив (3), придем к
1/2 1/2
у(1 — х) = У А(1 — х, 1/2 — £)/(1/2 — £) + J А(1 — х, 1/2 + £)/(1/2 + £) й£. (7)
оо
В итоге, (4)-(7) представляет собой г = Вд. Обратное очевидно. □
Замечание. Представление типа (2) не единственно. Наше же представление хорошо тем, что компоненты матрицы В(ж, Ь) терпят разрывы лишь на линии Ь = ж.
2. Займемся обращением оператора В. Представим В в виде
X 1/2
¿(ж) = Вд(ж) = / В1 (ж, Ь)д(Ь) ¿Ь + В2(ж, Ь)д(Ь) ¿Ь, (8)
где
(
В1 (ж, Ь) =
В2 (ж, Ь) =
0
А1 (1/2 — ж, Ь) Аз (1/2 + ж, Ь) 0 0
А5 (1 / 2 — ж, Ь) А5 (1/2 + ж, Ь) 0
А5 (ж, 1/2 — Ь) А5 (ж, 1/2 + Ь)
А5 (1 — ж, 1/2 — Ь) А5 (1 — ж, 1/2 + Ь) А1 (ж, 1/2 — Ь) А2(ж, 1/2 + Ь)
V
Аз (1 — ж, 1/2 — Ь) А4 (1 — ж, 1/2 + Ь)
0
А2(1/2 — ж, 1 — Ь) А4(1/2 + ж, 1 — Ь) 0 0
А5(1/2 — ж, 1 — Ь) А5(1/2 + ж, 1 — Ь) 0
Дифференцируем (8) по ж. Получим
х 1/2 х
2'(ж) = / + д,(ж) = / в. омы*)* + Од(ж), (9)
0 х 0
0
где Q =
Ь 0 \
—а 0 0 —Ь
—с 0 0 —^
\ 0 с й 0 /
Считаем, что ^ обратима, т. е. требуем, чтобы Ьс — ай = 0. Тогда из (9) получим
Р/ (ж) = д(ж) + В д(ж).
(10)
1/2
где Р = Q 1, Вд(ж) = / В(ж, Ь)д(Ь)^Ь, В(ж,Ь) = РВх(ж,Ь).
Представим оператор В в пространстве ¿2[0,1/2] в виде В = ^ + V , где ||^|| < 1, а V —
т
конечномерный, т.е. Vg(x) = ^(д,"0к)^к(х), где {^к}т=1, {^&}т=1. — линейно независимые системы
к = 1
в пространстве вектор-функций размерности 4, причём ^(х) достаточно гладкие, например, вектор-функции полной ортогональной системы, образованной из тригонометрической,
т 1/2 _
(д^д^- (£Ж(£Ж
¿ = 1
где (Ь) компоненты (1). Из (10) получаем
(Е + ^ )-1 = Рг'(ж) = д(ж) + (Е + ^ )-1Уд(ж).
-1
(11)
Лемма 1. Оператор В 1 существует тогда и только тогда, когда
( Е + (<^)т \
гае М =
1/2 _
/ В(°,Ь)^Т(Ь) ¿Ь \ 0
<£*, = (Е + ^)-1<ь <^т = (<^1,..., <^т).
Доказательство повторяет доказательство леммы 14 из [1]
га^ М = т,
Е — единичная матрица тхт, (<^,^) = (<^^- ,^к )[пк=1,
/
0
0
0
0
а
Лемма 2. Пусть В-1 существует и для определенности минор Д матрицы М, образованный из первых т строк, отличен от нуля. Тогда
^ т
В-1 г = (Е + W)-1 Рг'(ж) — - ^ ((Е + W)-1Рг',^-)А^(ж), (12)
І,к=1
1/2
J В(0, г)В-1г(Ь)^Ь = ¿(0), (13)
0
где А^к — алгебраические дополнения элементов определителя А.
Доказательство. Пусть г = Вд. Тогда имеет место (10). Отсюда
((Е + ^ 1 р/ (ж),^і) = (д^- )(<^ ^ ), і = 1,т
к=1
Так как определитель этой системы относительно (д, ^) есть А, то, находя явно (д, ^) и подставляя в (11), получаем (12). Соотношение (13) очевидно. □
Теорема 2. Для оператора В-1 справедливо представление
1/2
В-1г(ж) = Р/(ж) + а1(ж)г(0) + а2(ж)г (1/2)+ а3(ж)г(ж) + J а(ж, Ь)г(Ь) ¿Ь,
0
1/2
£¿(0) + Тг(1/2) + У а(Ь)г(Ь) ¿Ь = 0.
0
где а^ (ж), і = 1,3, а3 (ж), а(ж) — непрерывные матрицы-функции, каждая компонента матрицы
1/2
а(ж,Ь) имеет такой же характер гладкости, что и компоненты Вх(ж,Ь), £ = Е + / В(0, Ь)а1 (Ь) ¿Ь,
0
1/2
Т = / В(0, Ь)а2(Ь) ¿Ь — постоянные матрицы 4 х 4.
0
Доказательство повторяет доказательство теоремы 10 в [1].
3. Получим интегродифференциальную систему для резольвенты Дл = (Е — ЛА)-1 А оператора А. Пусть г = (Е — ЛВ)-1Вд. Тогда г — ЛВг = Вд. Отсюда по теореме 2 получаем
Р2/ (ж) + а1(ж)г(0) + а2(ж)г (1/2) + а3(ж)г(ж) + N г — Лг(ж) = д(ж), (14)
1/2
£г(0) + Тг(1/2)^У а(Ь)г(Ь) ¿Ь = 0, (15)
0
_ 1/2
где Nг = / а(ж, Ь)г(Ь) ¿Ь.
0
Теорема 3. £сли Дл существует, то Дл/ = -и(ж), где
■и(ж) = г1(ж) при ж Є [0,1/2] и ■и(ж) = г3(ж — 1/2) при ж Є [1/2,1], (16)
г1 (ж), г3(ж) — первая и третья компоненты вектора г (ж), удовлетворяющего системе (14), (15).
Обратно, если Л таково, что однородная краевая задача для (14), (15) имеет только нулевое решение, то Дл существует и определяется по формуле (16).
Доказательство повторяет доказательство леммы 1 из [2].
4. Приступим к исследованию системы (14), (15). Минимальный многочлен матрицы Q = Р-1 совпадает с характеристическим многочленом и равен Л4 — Л2 (¿2 — 2Ьс + а2) + (Ьс — а^)2. Значит, выполняется следующая лемма.
Лемма 3. При условии й = а, (й + а)2 — 4Ьс = 0 матрица Q подобна диагональной Б = diag (^1,
^2,^3,^4), причём ^3 = —^2, ^4 = — ш1, ^1 = ш2. Пусть матрица Г такая, что Г-1Р-1Г = Б.
Выполнив в (14), (15) замену г = Г5, получим
г'(х) + р1 (х)г(0) + р2 (х)г (1/2) + Р3 (х)г(х) + уг(х) — ЛБг(х) = т(х), (17)
С1/2
МоГ5(0) + М1 Гг(1/2)+Г / ОДг(£) = 0, (18)
о
где Р*(х) = БГ-1 аг(х)Г, N = БГ-1УТ, т(х) = БГ-1 д(х), 0(£) = а(£)Г, Мо = £Г, М1 = ТГ.
При изучении системы (17), (18) затруднения вызывает матрица Р3(х). Поэтому дадим её дальнейшее преобразование.
Лемма 4. Существует матрица-функция Н(х, Л) = Но(х) + Л-1 Н1(х) с непрерывно-дифференцируемыми компонентами матриц Н0 (х), Н1 (х), причем Н0 (х) невырождена при всех х и диагональная такая, что преобразование г = Н(х, Л)и приводит систему (17), (18) к виду
V'(х) + Р1 (х, Л)г>(0) + Р2(х, Л)г> (1/2) + Р3(х, Л)г>(х) + УЛ^(х) — ЛБг>(х) = т(х, Л), (19)
Г1/2
и(V) = Мо^(0) + M1Лv (1/2)+ / 0(£,Л^(£)й; = 0, (20)
о
где Р1 (х, Л) = Н-1(х,Л)Р1 (х)Н(0, Л), Р2(х,Л) = Н-1(х,Л)Р2(х)Н(1/2, Л), Р3(х, Л) = Л-1 Н-1(х,Л) х
х [Н2(х) + Р3(х)Н2(х)], Ул = Н-1(х,Л)УН(х, Л), Мол = МоН(0, Л), Ми = М1Н(1/2, Л), 0(£,Л) =
= 0(£)Н(£, Л), т(х, Л) = Н-1(х, Л)т(х).
Доказывается так же, как и лемма 16 в [1].
5. Рассмотрим систему
т' (х) = ЛБт(х) + т(х), (21)
и (т) = 0, (22)
где и берётся из (20), а т(х) — произвольная вектор-функция с компонентами из ¿[0,1/2]. Будем считать, что ИеЛ^1 ^ ИеЛ<^2 ^ 0. Так же, как в [1] (лемма 1), получаем следующую лемму.
Лемма 5. Для решения т системы (21), (22) имеет место представление
11/2
т(х) = т(х, Л) = —К(х, Л) Д-1 (Л) J их(д(х, £, Л))т(£)й£ + дЛт(х), (23)
о
где К (х, Л) = diag (еЛ^1Х,..., еЛ^4Х), Д(Л) = и (К (х, Л)), их означает, что и применяется по х,
д(х, £, Л) = diag (д1(х, £, Л),..., д4(х, £, Л)).
, Г —е(£, х)еЛш4(х-^), при ИеЛ^ > 0,
дДх, £, Л) = < ч
е(х,£)еЛ^4(х ^, при Ие Л^ < 0,
11/2
, , 1, при £ ^ х ,, л N / N ,
е(х,£) = < , дЛт(х) = / д(х, £, Л)т(£)й£.
0, при £ > х, ]
о
Лемма 6. Для матрицы Д(Л) при больших Л имеет место следующее представление:
Д(Л) = ([ау ] + [Ьу ]е^ )4>5.=1, (24)
где ^ = Л/2, а^, — компоненты матриц Ко и ¿о соответственно, Ко = £ГНо(0),
¿о = ТГНо(1/2), [а] = а + о(1).
Доказательство. Пусть Д(Л) = До(Л) + Д1(Л), где До(Л) = МоЛК(0, Л) + М1ЛК(1/2, Л), Д1 (Л) =
1/2
= / 0(£, Л)К(£,Л) Для До(Л) имеет место формула
о
До (Л) = Ко + Л-1 К + (¿о + Л-1£1)Г (1/2, Л),
где — постоянные матрицы. Элементы Д1 (Л) имеют оценку о(еКе ^) для первого и второго
столбиков и о(1) — для третьего и четвёртого столбиков. Тогда утверждение леммы становится очевидным. □
Лемма 7. Для det Д(Л) имеет место асимптотическая формула:
Д(Л) = {^(Л) + о(1)К(ш1 +Ш2),
где <^(Л) = #о + 01 е^(-Ш1) + 02е^(-Ш2) + 03е^(шз-Ш1-Ш2) + 04е^(шз-Ш2) + 05е^4-Ш2) + 06е^(шз-Ш1) + + 07е^4-Ш1) + 08е^(шз +^4-^1-^2), 0^ — комплексные числа, причём
0п =
Утверждение леммы следует из леммы 6.
Потребуем, чтобы 0о08 = 0. Из (24) следует, что нули det Д(Л), а именно они являются собственными значениями (21), (22) и при больших |Л| находятся в полосах, границы которых параллельны некоторым лучам, исходящим из точки д = 0, причём в каждой полосе в любом прямоугольнике единичной длины число нулей det Д(Л) ограниченно числом, не зависящим от прямоугольника. Тогда известно, что если удалить все собственные значения вместе с круговыми окрестностями одного и того же достаточно малого радиуса 5, то в получившейся области £5 справедлива оценка:
611 612 «13 «14 «11 «12 613 614
&21 622 «23 «24 , 08 = «21 «22 623 624
631 632 633 634
«33 «34 «31 «32
641 642 «43 «44 «41 «42 643 644
Iд(л)| > с+Ш2)|,
(25)
где С > 0 и зависит только от 5.
Лемма 8. Обозначим через Д1Ат решение ад(ж, Л) задачи (21), (22). В области £5 при больших |Л| имеют место оценки
||р1А т||с = 0(||т||1),
||р1А т|1 = 0(^(Л)||т||1),
||р1А т||с = 0(^(Л)||т||с),
Н^1А х|и = о( Л),
где || ■ ||С, || ■ ||1 — нормы в пространстве вектор-функций с компонентами из (0,1/2), ¿(0,1/2), х(ж) — вектор-функция, у которой каждая компонента есть характеристическая функция
4
какого-нибудь отрезка, содержащегося в [0,1/2], ^(Л) = ^ Н(| Ие Л^-1), Н(у) = (1 — е-у)/у при
5 = 1
У > 0.
Доказательство. В силу (24) алгебраические дополнения элементов матрицы Д(Л) имеют оценки
Д-1 = 0(е^^2), Д-2 = 0(е^Ш1), Д-3 = 0(е^(^1+Ш2)), Д-4 = 0(е^(ш1+^2)). Они получаются после
разложения миноров по аддитивному свойству и вынесением самой большой степени экспоненты.
Поэтому в силу (25) для элементов матрицы У (ж, Л) ■ Д-1(Л) справедливы оценки: 0(еЛ£^(х-1/2)),
1/2
г = 1, 2 и 0(еЛ£^х), г = 3,4. Так же, как в [2], получим, что / (ж, £, Л)т-(£) = 0(||т-11).
о
1/2
Следовательно, и( / ^(ж,^, Л)т(^) ¿£) = 0(|т|1), и первая оценка следует из (23).
о
Аналогично доказываются вторая и третья оценки. Четвертая оценка получается, если в качестве т(ж) взять х(ж). □
Лемма 9. Для /(ж) е ¿[0,1] справедливо соотношение
Нш
Г —— ОС
Н(ж, Л) [г>(ж, Л) — Д1Л (Нп 1 ш(ж))] ¿Л
|Л|=г
= 0,
где т(ж) = ВГ 1^(ж).
Это утверждение доказывается по теореме Банаха-Штейнгауза.
ОС
6. Основная теорема. Рассмотрим краевую задачу
и (ж) = Лри(ж) + т(ж), ип (и) = и(0) — и(1/2) = 0.
где т(ж) — вектор-функция с компонентами из £[0,1/2]. Ее решение обозначим через Д2лт. Тогда для Д2Лт имеет место формула (23), где Д, и заменяются на Д п, ип. Удалим из вместе с круговыми окрестностями 5 нули Д п(Л). Получим новую область, которую опять обозначим за . Тогда в выполняются леммы:
Лемма 10. Имеет место
Ііт
Г — С
Н(ж, Л)[Д1Лт(ж) — Д2Лт(ж)] ¿Л
|Л|=Г
= 0,
[є, 1/2-є]
где ||-||[е 1/2-е] — норма в С[е, 1/2 — е], е е (0,1/4).
Это утверждение устанавливается так же, как и лемма 13 в [2]. Лемма 11. Если г>(ж, Л) — решение задачи (19), (20), то
Ііт
Г — С
[Н(ж, Л)-и(ж, Л) — Нп(ж)Д2Л(Н0 1 т(ж))] ¿Л
|Л|=Г
= 0.
[є,1/2-є]
Доказательство. Имеем
Н(ж, Л)-и(ж, Л) — Нп(ж)Д2Л (Н0 1 т(ж)) = Н(ж, Л) [г>(ж, Л) — Д1Л (Н0 1 т(ж))] + Н(ж, Л)х х [р1Л (Н-1т(ж)) — Д2Л (Н-1 т(ж))] + [Н(ж, Л) — Нп (ж)] Л^лН-1 т.
Тогда по леммам 9, 10 получаем требуемое. □
Теперь можно сформулировать теорему равносходимости.
Теорема 4. Пусть существует А-1, ядро А(ж,£) удовлетворяет условиям из леммы 3. Тогда в для любой /(ж) є £[0,1]
Ііт ||£г (/,ж) — V ТУ |(<£/ ,ж)||[є,1/2-є] = °,
‘-1 ' Л
.7 = 1
Иш У^Г (/,ж) — X! ^3 ^г|^ | ,ж — 1/2) || [1/2+є,1-є] = 0,
- = 1
где £г (/, ж) — частичная сумма ряда Фурье, по с. п. ф. оператора А для тех характеристических чисел Лк, для которых |Лк| < г, о> (/, ж) — частичная сумма тригонометрического ряда Фурье на [0,1/2] по системе {е4кпгх} для тех к, для которых |4кп| < г, 7- (5-) — компоненты матрицы
Г (Г-1), ^(ж) = 5-1/(ж) + 5-2/(1/2 — ж) + 5-3/(1/2 + ж) + 5-4/(1 — ж).
Доказательство. Имеем
£г(/,ж) = — / Да(А) /¿ж, стг(/,ж) = — [ Вол/^ж,
|А|=г
где В0А/ — решение краевой задачи у; — Лу = /, у(0) = у (1/2). Пусть ж е [е, 1/2 — е]. Тогда в силу лемм 10-13 имеем
|Л|=Г
£г (/,ж) = —
1
2пг
г1 (ж)^Л = — J (Г5(ж))1 ¿Л,
|Л|=г |Л|=г
где (■)1 — первая компонента вектора, помещенного в скобки. Тогда
£г(/, ж) = — 2- /* (ГН(ж,Л)^(ж,Л))1 ¿Л = — / (ГНп(ж)Д2Л(Н0-1 (ж)т(ж)))1 ¿Л + о(1),
|Л|=Г
|Л|=Г
4
где o(1) ^ 0, r ^ ^ равномерно по x Є [є, 1/2 — є]. Значит,
Ä' (f’x) = — 2ПІ
Г I Ho(x)R2A (h^(x)^i^i(x),..., h4 1 (x)^4^4(x))T dA
+ o(1) =
i
\ I A|=r
= (Г ■ (hi(x)ffr|Wl|(h41 ^1 ,x),... ,h4(x)ar|^4|(hJ1^4,x))T)i + o(1).
По аналогу теоремы Штейнгауза
4
a(x)ay(/,x) = ar(а ■ /,x) + o(1), Sr(/,x) = Yjаг|ш.|(<р,,x) + o(1).
j=1
Аналогично доказывается при x Є [1/2 + є, 1 — є] □
Лемма 12. Для того чтобы ш1, ^2 — различные корни уравнения
A2 — а1 A + a2 = 0, (26)
где а1 = d2 — 2bc+а2, а2 = (bc—ad)2, удовлетворяли условию |^1| = |^2|, необходимо и достаточно,
чтобы
а1 = 1(eai + еві), а2 = 12е(а+в) г, (27)
где 1 = |^1|, а = argш1, ß = argw2.
Доказательство. Пусть |^1| = |о>2| = 1. Тогда ^1 = 1 eai, w2 = 1 еві, и а, ß различны. Тогда из (26) получим систему
Га2 — 1eai а1 = —12 е2т, (28)
^а2 — 1 ев а1 = —12 е2в\
Отсюда а1 = 1(еаі + еві), а2 = 12е(а+в)\
Обратно, пусть выполняется (27). Тогда выполняется (28). Другими словами, уравнение (26) имеет корни ^1 = 1ет, ^2 = 1еві. Лемма доказана. □
Теорема 5. Если |wj | = I, j = 1,4, то
lim ||£г(f,x) — (/, ^Ц^д^] = °
Г—— ^
lim ||Sr(/,x) — стг(g,x — 1/2)У[1/2+е>14Є] = 0,
Г—— ^
где g(x) = /(1/2 + x).
Доказательство. Рассмотрим
4
J^Y1j (^j ,x) = Стгг(711 ^1 + 712 ^2 + Y13 + Y14 ^4 ,x).
j=1
Так как 711 ^1 + 712^2 + 713^э + 714^4 = (Г ■ (^1,^2,^э,^4)T) 1 = (Г ■ Г41(/(x),/(1/2 — x),
/(1/2 + x), /(1 — x))T)1 = /(x), то первое утверждение доказано.
Аналогично доказывается второе утверждение. □
Замечание. Постановка задачи и результат, представленный в теореме 1, принадлежат А. П. Хромову.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00270). Библиографический список
1. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, раз- ложений по собственным функциям интегральных опе-
рывными на ломаных линиях // Мат. сб. 2006. Т. 197, раторов с ядрами, допускающими разрывы производ-№ 11. C. 115-142. ных на диагоналях // Мат. сб. 2001. Т. 192, № 10.
2. Корнев В. В., Хромов А. П. О равносходимости раз- C. 33-50.
